Աստիճան (հանրահաշիվ)

Վիքիպեդիայից՝ ազատ հանրագիտարանից
Jump to navigation Jump to search

Աստիճան[խմբագրել | խմբագրել կոդը]

Երբեմն անհրաժեշտ է լինում միևնույն թիվը կամ արտահայտությունը մի քանի անգամ բազմապատկել ինքն իրենով։ Նման եղանակով կազմված արտադրյալը կոչվում է աստիճան, կրկնվող բազմաւցատկիչը կոչվում է աստիճանի հիմք, իսկ բազմապատկիչների թիվը աստիճանացույց կամ ցուցիչ։ Բնական ցուցիչով աստիճանի սահմանումը

Բնական ցուցիչով աստիճանի սահմանումը[խմբագրել | խմբագրել կոդը]

a արտահայտության ո (ո>1) բնական ցուցիչով աստիճան է կոչվում այն արտահայտությու նը, որն ստացվում է a-ն ինքն իրենով n անգամ բազմապատկելուց։ a արտահայտության 1 ցուցիչով աստիճան է կոչվում արտահայտությունը։ a արտահայտության ո բնական ցուցիչով աստիճանը գրառվում է այսպես an։ Այն կարդացվում է՝ a–ն բարձրացրած ո աստիճան կամ՝ a-ի ո աստիճան։ Այսպիսով՝

an=-ո անգամ

Այստեղ an արտահայտությունը աստիճանն է, a –ն՝ նրա հիմքը, ո –ը աստիճանացույցը կամ ցուցիչը։ Տրված հիմքի և աստիճանացույցի միջոցով աստիճանը ստանալու գործողությունը հաճախ անվանելու ենք նաև աստիճան բարձրացնելու գործողություն։ a –ի 2 աստիճանը անվանելու ենք նրա քառակուսի, կամ ս քառակուսի, իսկ (a –ի 3 աստիճանը a խորանարդ)։

Բերենք մի քանի օրինակ.

a1=a, x3=xxx, 102=10*10, 25=2*2*2*2*2 Այստեղ մենք ունենք աստիճանի չորս օրինակ։ Նրանց ցուցիչներն են. առաջինինը 1,երկրորդինը 3, Երրորդինը 2. չորրորդինը 5։ Առաջին աստիճանի հիմքը a է, երրորդինը՝ 10 է, չորրորդինը 2։ Նկատենք, որ 1 աստիճանացույցը, սովորաբար, չի գրառվում։

Շատ հեշտ է աստիճան բարձրացնել 0 –ն և 1-ը. կամայական ո բնական թվի համար

1n=1 , 0n=0։ Կարևոր է ճիշտ գրառել ու կարդալ աստիճան պարունակող արտահայտությունները։ Բերենք մի քանի օրինակ.

  • ա. x+y2, x և y քառակուսու գումարը, x պլյուս y քառակուսի,
  • բ. x+y2, x և y–ի գումարի քառակուսին, x պլյուս y քառակուսի,
  • գ. x+y2, x քառակուսու և y քառակուսու գումարը, x քառակուսի պլյուս y քառակուսի։

Կանոն աստիճան բարձրացնելու կարգի մասին[խմբագրել | խմբագրել կոդը]

Աստիճան բարձրացնելու գործողությունը ավելի բարձր կարգի գործողություն է, քան գումարման, հանման, բազմապատկման և բաժանման գործողությունները, և արտահայտության մեջ փակագծերի բացակայության դեպքում նախ պետք է կատարել աստիճան բարձրացնելու գործողությունը։

Օրինակներ. 2+32=2+(3*3)=11, 3*42=3*(42)=48, 54։33=54։(33)= 2

Աստիճանների հավասարությունը[խմբագրել | խմբագրել կոդը]

Հավասարության հետ աստիճանի կապը դիտարկելրս ամենաբնական հարցը, որ առաջանում է, այն է, թե արդյո՞ք իրար հավասար են հավասար հիմքեր և հավասար ցուցիչներ ունեցող աստիճանները։ Այս հարցի պատասխանը տալիս է հետևյալ օրենքը։

Աստիճանների հավասարության օրենքը[խմբագրել | խմբագրել կոդը]

Հավասար հիմքով և միևնույն ցուցիչներով աստիճանները հավասար են։ Այսինքն կամայական X և y արտահայտությունների և m, ո բնական թվերի համար եթե x =y , m=ո, ապա xm=yn։

Այս օրենքից մասնավորապես հետևում է, որ միևնույն հիմքով և հավասար ցուցիչներով աստիճանները, ինչպես նաև հավասար հիմքերով և միևնույն ցուցիչով աստիճանները իրար հավասար են։ Այսինքն՝ կամայական x, y արտահայտությունների և m, ո բնական թվի համար.

  • ա. եթե m = ո, ապա xm՝ = xn՛՝,
  • բ. եթե x = y ապա xn =yn

Այսպիսով հիմքերի հավասարության և, միաժամանակ, ցուցիչների հավասարության դեպքում մենք կարող ենք պնդել աստիճանների հավասարությունը։ Իսկ եթե իրար հավասար են երկու աստիճաններ և նրանց հիմքերը, կարելի՞ է այս դեպքում էլ պնդել ցուցիչների հավասարությունը։ 0, 1,-1 հիմքերն ունեցող աստիճանները անմիջապես հերքում են այս դրույթի ճշմարտացիությունը։ Օրինակ 1 –ի ցանկացած երկու աստիճաններ իրար հավասար են, իսկ այդ աստիճանների աստիճանացույցերը կարելի է վերցնել իրարից տարբեր։ Պարզվում է, որ այս երեք դեպքերը իսկապես բացառիկ են. մնացած դեպքերում մեր դրույթը ճշմարիտ է։