Աստիճան (հանրահաշիվ)

Վիքիպեդիայից՝ ազատ հանրագիտարանից
Jump to navigation Jump to search
HS Disambig.svg Անվան այլ կիրառումների համար տե՛ս՝ Աստիճան (այլ կիրառումներ)
Տարբեր b հիմքերի համար y = bx ֆունկցիայի գրաֆիկ.                      10 հիմք,                      e հիմք,                      2 հիմք և                      12 հիմք Բոլոր կորերը անցնում են (0, 1) կետով, քանի որ զրոյից տարբեր կամայական թվի 0 աստիճանը 1 է։ x = 1 կետում y-ի արժեքը հավասար է հիմքին, քանի որ կամայական թվի 1 աստիճանը հավասար է ինքն իրեն։

Աստիճան, մաթեմատիկական գործողություն, գրվում է bn, որտեղ b թիվը հիմքն է իսկ n-ը՝ աստիճանացույցը կամ ցուցիչը։ Երբ n-ը դրական ամբողջ թիվ թիվ է, աստիճան բարձրացնելը համապատասխանում է հիմքի կրկնվող (n անգամ) բազմապատկման հետ, այսինքն՝ bn թիվը հավասար է b հիմքի n արտադրյալին.

Ցուցիչը սովորաբար գրվում է հիմքի աջ վերնատողում։ Այդ դեպքում bn արտահայտությունը կարդում են «b-ն բարձրացրած n աստիանի» կամ «a-ի n աստիճան»։

Կամայական m և n դրական ամբողջ թվերի համար ճիշտ է bnbm = bn+m նույնությունը։ Այս հատկությունը ոչ բնական ամբողջ ցուցիչների վրա տարածելու համար b0-ը սահմանում են 1 և bn-ը, որտեղ n-ը դրական ամբողջ թիվ է իսկ b-ն՝ զրոյից տարբեր կամայական թիվ, որպես 1bn։ Մասնավորապես՝ b−1 հավասար է 1b։

Աստիճանի սահմանումը կարելի է ընդլայնել կամայական իրական կամ կոմպլեքս ցուցիչների համար։ Ամբողջ ցուցիչով աստիճանը կարելի է սահմանել տարբեր հանրահաշվական կառույցների, այդ թվում մատրիցների համար։

Աստիճանը լայնորեն կիրառվում է տարբեր ոլորտներում, այդ թվում՝ տնտեսագիտություն, կենսաբանություն, քիմիա, ֆիզիկա և ինֆորմատիկա, այնպիսի կիրառություններով ինչպիսիք են՝ բարդ շահատոկոս, բնակչության աճ, քիմիական կինետիկա, ալիքների վարք և ծածկագիտություն։

Նշանակման պատմություն[խմբագրել | խմբագրել կոդը]

Հետևելով Հիպոկրատ Քիոսացուն[1]՝ հույն մաթեմատիկոս Էվկլիդեսը աստիճան եզրը օգտագործում էր հատվածի քառակուսու համար[2]։ Արքիմեդեսը բացահայտել և ապացուցել է ցուցիչների 10a ⋅ 10b = 10a+b կանոնը, որը անհրաժեշտ է 10-ի աստիճանների հետ աշխատելու համար[3]։ Պարսիկ մաթեմատիկոս Ալ-Խորեզմին 9-րդ դարում mal եզրը օգտագործում էր քառակուսու համար իսկ kahb-ը՝ խորանարդի, ինչի պատճառով հետագայի (սկած 15-րդ դարից) իսլամական մաթեմատիկոսները դրանք համապատասխանաբար նշանակում էին m և k[4]։

16-րդ դարում Յոսթ Բուրգին ցուցիչների համար օգտագործում էր հռոմեական թվերը[5]։

17-րդ դարի սկզբին Ռենե Դեկարտը իր Երկրաչափություն աշխատության առաջին գրքում ներմուծել է աստիճանի ժամանակակից նշանակումը[6]։

Որոշ մաթեմատիկոսները (օրինակ՝ Իսահակ Նյուտոն) աստիճանի օգտագործել են միայն երկուսից մեծ ցուցիչների համար՝ նախընտրելով թվի քառակուսին կրկնվող արտադրյալի տեսքով գրել։ Այսինքն, բազմանդամները նրանք գրում էին ax + bxx + cx3 + d տեսքով։

1748 թվականին Լեոնարդ Էյլեր գրում է. «պատկերացրեք աստիճաններ, որտեղ ցուցչը փոփոխական է։ Պարզ է, որ այս տեսակի մեծությունները հանրահաշվական ֆունկցիաներ չեն, քանի որ սրանցում ցուցիչը պետք է հաստատուն կլինի»[7]։ Այսպիսով, Էյլերը ներկայացրեց տրանսցենդենտ ֆունկցիաները՝ հիմք դնելով բնական լոգարիթմի՝ որպես ցուցչային ֆունկցիայի հակադարձ ֆունկցիա ներմուծմանը (f(x) = ex

Ամբողջ ցուցիչներ[խմբագրել | խմբագրել կոդը]

Ամբողջ ցուցիչով աստիճանը կարելի ա սահմանել տարրական թվաբանությամբ։

Դրական ցուցիչ[խմբագրել | խմբագրել կոդը]

Դրական ամբողջ ցուցիչով աստիանը կարելի է խիստ սահմանել միայն հետևյալ նախնական պայմանով[8]՝

և անդրադարձ առնչությամբ

։

Բազմապատկման զուգորդականությունից հետևում է, որ կամայական դրական ամբողջ m և n թվերի համար՝

։

Զրո ցուցիչ[խմբագրել | խմբագրել կոդը]

Զրոյից տարբեր կամայական թվի 0 աստիճանը հավասար է 1[9].

։

Այս հատկության մեկնաբանություններից մեկը դատարկ արտադրյալն է։

00 արտահայտության արժեքի ընտրությունը կամ որևէ արժեք տալու հարցը կարող է կախված լինել համատեքստից Ավելի մանրամասն տեղեկությունների համար տես՝ Զրոյի զրո աստիճան։

Բացասական ցուցիչ[խմբագրել | խմբագրել կոդը]

Հետևյալ նույնությունը ճիշտ է կամայական ամբողջ n և զրոյից տարբեր b թվերի համար՝

։

Զրոյի բացասական աստիճանը սահմանված չէ, բայց որոշ դեպքերում այն մեկնաբանվում է որպես անվերջություն (

Որպեսզի այս նույնությունը ստանանք բացասական թվերի համար ևս, զրոյից տարբեր b թվի և դրական n համար վերոհիշյալ անդրադարձ առնչությամը ձևափոխենք հետևյալ կերպ՝

։

Ապա այս առնչությունը սահմանենք ճիշտ բոլոր ամբողջ n և զրոյից տարբեր b թվերի համար, ինչից հետևում է, որ

Առհասարակ, զրոյից տարբեր կամայական b և ոչ բացասական ամբողջ n թվերի համար կունենանք՝

։

Նույնություններ և հատկություններ[խմբագրել | խմբագրել կոդը]

Հետրյալ նույնությունները ճիշտ են բոլոր ամբողջ ցուցիչների համար, եթե հիմքը տարբեր է զրոյից.

Ի տարբերություն գումարման և բազմապատկման՝ Unlike addition and multiplication:

  • Աստիճանը կոմուտատիվ չէ։ Օրինակ՝ 23 = 8 ≠ 32 = 9.
  • Աստիճանը զուգորդական չէ։ Օրինակ՝ (23)4 = 84 = 4096, բայց 2(34) = 281 = [[Վիքիպեդիա:Վստահելի աղբյուրներ|[Error in {{val}}: first argument is not a valid number or requires too much precision to display.]]]։ Փակագծերի բացակայության դեպքում վերտողի նշանակման գործողության կարգը վերևից ներքև է (կամ «աջ» զուգորդական), ոչ թե ներքևից վերև[10] (կամ «ձախ» զուգորդական)։ Այսինքն,

    որը, ընդհանուր առմամբ, տարբեր է

    -ից։

Կոմբինատոր մեկնաբանում[խմբագրել | խմբագրել կոդը]

Ոչ բացասական ամբողջ n և m թվերի դեպքում nm արժեքը համապատասխանում է m տարր ունեցող բազմությունից դեպի n տարր ունեցող բազմություն գնացող ֆունկցիաների քանակին։ Նման ֆունկցիաները կարելի է ներկայացնել որպես m-շարաններ (կորտեժ) n տարր ունեցող բազմությունից (կամ m տառ ունեցող բառեր n տառ ունեցող այբուբենից)։ Հետևյալ աղյուսակում տրված է m և n թվերի որոշակի արժեքների օրինակներ.

nm Բոլոր m-շարանները {1, ..., n} բազմության տարրերից
ոչինչ

Մասնավոր հիմքեր[խմբագրել | խմբագրել կոդը]

10-ի աստիճան[խմբագրել | խմբագրել կոդը]

Տասնորդական հաշվման համակարգերում 10-ի ամբողջ ցուցիչով աստիճանները գրվում են որպես 1, որին հետևում է կամ նախորդում է զրոներ՝ կախված ցուցիչի նշանից և չափից։ Օրինակ՝ 103 = 1000 և 10−4 = 0,0001։

10 հիմքով աստիճանները օգտագործվում են գիտական նշանակման մեջ՝ չափազանց մեծ կամ չափազանց փոքր թվերը նշանակելու համար։ Օրինակ՝ (Լույսի արագությունը վակուումում), որը մոտարկվում է -ի։

Տասնորդական նախածանցները, որոնք նույնպես օգտագործվում են չափազանց փոքր կամ չափազանց մեծ թվերը նշանակելու համար, հիմնված են 10 հիմքով աստիճանների վրա։ Օրինակ՝ կիլոն նժանակում է 103 = 1000, հետևաբար մեկ կիլոմետրը հավասար է 1000 մետրի։

2-ի աստիճան[խմբագրել | խմբագրել կոդը]

Երկու հիմքով առաջին մի քանի բացասական աստիճանները լայնորեն կիրառվում են և ունեն հատուկ անուններ, օրինակ՝ կես և չարորդ։

Բազմությունների տեսությունում n տարր ունեցող բազմության բոլոր ենթաբազմությունների քանակը հավասար է 2n-ի։

Երկու հիմքով և ամբողջ ցուցիչով աստիճանները կարևոր նշանակություն ունեն ինֆորմատիկայում։ n-բիթ երկուական ամբողջ թվի բոլոր հնարավոր արժեքները հավասար է 2n. օրինակ՝ բայթը ընդունում է 28 = 256 տարբեր արժեք։ Հաշվարկման երկուական համակարգում կամայական թիվ արտահայտվում է 2-ի աստիճանների տեսքով, որը նշանակելու համար սովորաբար օգտագործվում է 0 և 1 թվերի հաջորդականություն և բինար կետ. կետից աջ գտնվող 1-երը դիտարկվում են որպես երկուսի բացասական աստիճան (ցուցիչը համընկնում է կետից հետո 1-ի դիրքի հետ), իսկ կետից ձախ գտնվող 1-երը՝ որպես երկուսի դրական աստիճան (ցուցիչը համընկնում է մեկի դիրքի հետ, որտեղ հաշվարկը սկսվում է զրոյից։ Թիվը հավասար է այս աստիճանների գումարին։ Օրինակ՝ 1101.101 թիվը հավասար է

1-ի աստիճան[խմբագրել | խմբագրել կոդը]

Մեկ հիմքով կամայական աստիճան հավասար է մեկի. 1n = 1։

0-ի աստիճան[խմբագրել | խմբագրել կոդը]

Դրական n ցուցիչի դեպքում (n > 0) զրոյի n աստիճանը հավասար է զրոյի. 0n = 0։

Բացասական n ցուցիչի դեպքում (n > 0) զրոյի n աստիճանը 0n որոշված չէ, քանի որ այն պետք է հավասար լինի -ի՝ ըստ սահմանման։

00 արտահայտությունը կամ սահմանվում է որպես 1, կամ չի սահմանվում (տե՛ս զրոյի զրո աստիճան

-1-ի աստիճան[խմբագրել | խմբագրել կոդը]

Զույգ n թվի դեպքում (−1)n = 1։ Կենտ n թվի դեպքում (−1)n = 1։ Այս հանգամանքը −1 թվի աստիճանները օգտակար է դարձնում նշանափոխ հաջորդականությունների նշանակման համար։

Մեծ ցուցիչներ[խմբագրել | խմբագրել կոդը]

Մեկից մեծ թվի թվի աստիճանների հաջորդականության սահմանը տարամետ է, այլ կերպ ասած՝ հաջորդականությունը աճում է առանց սահման.

bn → ∞, երբ n → ∞, եթե b > 1։

Սա կարելի է կարդալ որպես «b թվի n աստիճանը ձգտում է +∞-ի, երբ n-ը ձգտում է անվերջության, եթե b-ն մեծ է մեկից»։

Բացարձակ արժեքով մեկից փոքր թվի աստիճճանը ձգտում է զրոյի, երբ ցուցիչը ձգտում է անվերջության.

bn → 0, երբ n → ∞, եթե ։

Մեկի կամայական աստիճան հավասար է մեկի.

bn = 1 կամայական n թվի համար, եթե b = 1։

–1-ի աստիճանները փոխվում են 1 և –1 թվերի միջև, երբ n-ը փոխվում է կենտ և զույգ թվերի միջև, հետևաբար՝ սահմանը գոյություն չունի, երբ n-ը ձգտում է անվերջության։

Եթե b < –1, bn-ը փոխվում է ավելի ու ավելի մեծ դրական և բացասական թվերի միջև, երբ երբ n-ը փոխվում է կենտ և զույգ թվերի միջև (ձգտվելով անվերջության), հետևաբար այս սահմանը նույնպես գոյություն չունի։

Եթե հիմքը ձգտում է մեկի, իսկ ցուցիչը՝ անվերջության, վերևում նշված պայմանները միշտ չէ, որ գործում են։ Օրինակ՝

(1 + 1/n)ne, երբ n → ∞

Աստիճանային ֆունկցիաներ[խմբագրել | խմբագրել կոդը]

Աստիճանային ֆունկցիաներ արժեքների համար։
Աստիճանային ֆունկցիաներ արժեքների համար։

տեսքի իրական ֆունկցիաները, որտեղ , կոչվում են աստիճանային ֆունկցիաներ։ Եթե ամբողջ թիվ է և , գոյություն ունեն երկու հիմնական ընտանիքներ. զույգ և կենտ -երի համար։ Ընդհանուր առմամբ, եթե և -ը զույգ է, ֆունկցիան կձգտի դրական անվերջության, երբ -ը ձգտի դրական կամ բացասական անվերջության։ Զույգ աստիճանային ֆունկցիաների գրաֆիկը ունի ֆունկցիայի գրաֆիկին նման տեսք[11]։ Նման համաչափություն ունեցող () ֆունկցիաները կոչվում են զույգ ֆունկցիաներ։

Կենտ ցուցիչի դեպքում ֆունկցիայի ասիմպտոտ վարքը փոխվում է կախված -ի նշանից։ Եթե , ֆունկցիան կձգտի դրական անվերջության, երբ -ը ձգտի դրական անվերջության, բայց երբ ժը ձգտում է բացասական անվերջության՝ ֆունկցիան ձգտում է բացասական անվերջության։ Կենտ աստիճանային ֆունկցիաների գրաֆիկը ունի ֆունկցիայի գրաֆիկին նման տեսք։ Նման համաչափություն ունեցող () ֆունկցիաները կոչվում են կենտ ֆունկցիաներ։

Երկու դեպքում էլ տեղի ունի հակառակ ասիմտոտ վարքը, երբ [12]։

Աստիճանների ցանկ[խմբագրել | խմբագրել կոդը]

n n2 n3 n4 n5 n6 n7 n8 n9 n10
2 4 8 16 32 64 128 256 512 1,024
3 9 27 81 243 729 2,187 6,561 19,683 59,049
4 16 64 256 1,024 4,096 16,384 65,536 262,144 1,048,576
5 25 125 625 3,125 15,625 78,125 390,625 1,953,125 9,765,625
6 36 216 1,296 7,776 46,656 279,936 1,679,616 10,077,696 60,466,176
7 49 343 2,401 16,807 117,649 823,543 5,764,801 40,353,607 282,475,249
8 64 512 4,096 32,768 262,144 2,097,152 16,777,216 134,217,728 1,073,741,824
9 81 729 6,561 59,049 531,441 4,782,969 43,046,721 387,420,489 3,486,784,401
10 100 1,000 10,000 100,000 1,000,000 10,000,000 100,000,000 1,000,000,000 10,000,000,000

Ռացիոնալ ցուցիչ[խմբագրել | խմբագրել կոդը]

Վերևից՝ ներքև, x1/8, x1/4, x1/2, x1, x2, x4, x8.

Տրված b թվի -րդ աստիճանի արմատը այն թիվն է, որը բավարարում է xn = b պայմանին։

Եթե b-ն դրական իրական թիվ է իսկ n-ը՝ դրական ամբողջ թիվ, xn = b արտահայտությունը ունի ճիշտ մեկ լուծում։

Այս լուծումը կոչվում է գլխավոր n-րդ արմատ b թվից։ Այն նշանակվում է nb-ով, որտեղ -ը կոչվում է արմատի նշան, գլխավոր արմատը նաև նշանակում են b1/n-ով։ Օրինակ՝ 91/2 = 9 = 3 և 81/3 = 38 = 2։

Այն փաստը, որ -ը լուծում է -ի համար կարելի է ապացուցել հետևյալ կերպ՝

Եթե nզույգ է և b-ն՝ դրական, ուրեմն xn = b արտահայտությունը ունի երկու իրական լուծում, որոնք b-ի դրական և բացասական n-րդ արմատներն են, այսինքն՝ b1/n > 0 and −(b1/n) < 0։

Եթե nզույգ է և b-ն՝ բացասական, հավասարումը իրական լուծում չունի։

Եթե nկենտ է, ուրեմն xn = b արտահայտություն ունի ճիշտ մեկ լուծում, որը դրական է, եթե b-ն դրական է (b1/n > 0) և բացասական է, եթե b-ն բացասական է (b1/n < 0

Դրական իրական b թիվը rational u/v աստիճան բարձրացնելով, որտեղ u-ն ամբողջ թիվ է իսկ v՝ դրական ամբողջ թիվ, և միայն գլխավոր արմատները դիտարկելով ստանում ենք՝

։

Բացասական իրական b թիվը ռացիոնալ u/v բարձրացնելիս, որտեղ u/v-ը չկրճատվող կոտորակ է, արդյունքում ստացվում է դրական իրական թիվ, եթե u-ը զույգ է (զույգ u-ից հետևում է, որ v-ն կենտ է, քանի որ u/v-ը չկրճատվող կոտորակ է), որովհետև bu-ը դրական է, իսկ եթե u և v թվերը կենտ են, արդյուքնում ստացվում է բացասական իրական թիվ, որովհետև bu-ն բացասական է։ Զույգ v (հետևաբար՝ կենտ u-ի) հնարավոր չէ դիտարկել այս ձևով, քանի որ գոյություն չունի իրական x թիվ, որը բավարարում է x2k = −1 պայմանին։ Այս դեպքում bu/v-ի արժեքը նկարագրվում է i կեղծ միավորով։

Այսպիսով, ունենք (−27)1/3 = −3 և (−27)2/3 = 9։ Չորս թիվը ունի երկու 3/2-րդ աստիճան. 8 և −8, սակայն, ընդունված է 43/2 նշանակմամբ հասկանալ գլխավոր արմատը, հետևաբար՝ ։ u/v-րդ աստիճանը նաև կոչվում է v/u-րդ արմատ, իսկ զույգ v-ի դեպքում՝ գլխավոր արմատ եզրը վերաբերում է դրական արդյունքին։

Այս նշանային անորոշությունը պետք է հաշվի առնել աստիճանների նույնությունները կիրառելիս։ Օրինակ՝

որը ակնհայտորեն սխալ է։ Խնդիրը սկսվում է առաջին հավասարությունից՝ անորոշ իրավիակում ստանդարտ նշանակում ներմուծելով (զույգ արմատ պահանջել) և պարզապես հիմնվելով միայն մեկ՝ ընդունված կամ գլխավոր մեկնաբանման վրա։ Նույն խնդրը առաջանում է անտեղի արմատի նշանը օգտագործելիս.

փոխարենը պետք է լինի՝

։

Նման խնդիրներ առաջանում են նաև կոմպլեքս թվերի դեպքում։

Իրական ցուցիչ[խմբագրել | խմբագրել կոդը]

Դրական իրական թվերի իրական աստիճանը կարելի է սահմանել կամ իրական թվերի ռացիոնալ աստիճանի սահմանման ընդլայնմամբ, կամ այնպես, ինչպես նկարագրված է «Լոգարիթմներով աստիճան» բաժնոմ։ Արդյունքում միշտ ստացվում է դրական ամբողջ թիվ և պահպանվում են դրական իրական հիմքով և ամբողջ ցուցիչով աստիճանների նույնությունները և հատկությունները։

Մյուս կողմից, բացասական իրական թվի իրական աստիճան կայուն կերպով սահմանելը շատ ավելի դժվար է, քանի որ այն կարող է լինել ոչ իրական և ունենալ մեկից ավելի արժեքներ։ Հնարավոր է ընտրել այս արժեքներից մեկը՝ գլխավոր արժեքը, բայց գոյություն չունի գլխավոր արժեքի այնպիսի ընտրություն, որի դեպքում տեղի ունի հետևյալ առնչությունը՝

Հետևաբար՝ ոչ դրական իրական հիմքով աստիճանը հիմնականում դիտարկվում է որպես մի քանի արժեքանի ֆունկցիա։

Ռացիոնալ ցուցիչների սահմաններ[խմբագրել | խմբագրել կոդը]

Քանի որ ցուցչային ֆունկցիան անընդհատ է, ունենք որ զուգամետ հաջորդականությունների (xn) համար։ Այստեղ ցույց է տրված xn = 1n դեպքը։

Քանի որ կամայական իռացիոնալ թիվ կարելի է ներկայացնել ռացիոնալ թվերի հաջորդականության սահմանի տեսքով, դրական իրական b թվի կամայական իրական x աստիճանը կարելի է սահմանել անընդհատությամբ և հետևյալ կանոնով[13]՝

,

որտեղ r-ը մոտենում է x-ին՝ ընդունելով միայն ռացիոնալ արժեքներ։ Սահմանը գոյություն ունի միայն դրական b թվերի համար։ Այստեղ օգտագործվել է սահմանի (ε, δ) սահմանումը. այսինքն, ցույց է տրվել, որ տրված կամայական ճշգրտության դեպքում հնարավոր է ընտրել x-ի այնպիսի շրջակայք, որպեսզի այդ շրջակայքի բոլոր ռացիոնալ աստիճանները bx-ից տարբերվեն ամենաշատը տրված ճշգրտության չափ։

Օրինակ՝ եթե x = π, կարելի է օգտագործել թվի ներկայացումը (հիմնվելով ռացիոնալ աստիճանների խիստ մոնոտոնության վրա)՝ ռացիոնալ թվերով սահմանափակված միջակայքեր գտնելու համար

, , , , , , …

Սահմանափակված միջակայքերը զուգամիտում են ճիշտ մեկ իրական թվի, որը նշանակվում է -ով։ Նմանապես կարելի է ստանալ կամայական դրական իրական b թվի կամայական իռացիոնալ աստիճան։ Հետևաբար, fb(x) = bx ֆունկցիան սահմանված է բոլոր իրական x թվերի համար։

Ցուցչային ֆունկցիա[խմբագրել | խմբագրել կոդը]

Մաթեմատիկական հաստատուն e թիվը մոտավորապես հավասար է 2.718 և բնական լոգարիթմի հիմքն է։ Չնայած e թվի աստիճանը կարելի է դիտարկել այնպես, ինչպես կամայական իրական թվի աստիճանը, այն ունի բազմաթիվ օգտակար հատկություններ։ Այս հատկությունները թույլ են տալիս e-ի աստիճանները բնականորեն ընդլայնել այլ տեսակի աստիճանների վրա, ինչպես օրինակ՝ կոմպլեքս թվերը կամ մատրիցները։

Որպես հետևանք, ex արտահայտությամբ սովորաբար նշանակում են աստիճանի ընդհանրացված սահմանումը՝ ցուցչային ֆունկցիան (exp(x)), որը հնարավոր է սահմանել բազմաթիվ ձևերով, օրինակ՝

Այլ հատկություններից բացի, exp-ը նաև բավարարում է ցուցչային նույնությանը՝

։

Ցուցչային ֆունկցիան սահմանված է բոլոր ամբողջ, ռացիոնալ, իրական և կոմպլեքս թվերի համար։ Իրականում, ցուցչային մատրիցը սահմանված է քառակուսային մատրիցների համար (այս դեպքում ցուցչային նույնությանը ճիշտ է, երբ x-ը և y-ը տեղափոխելի են) և օգտակար է գծային դիֆերենցիալ հավասարումների համակարգել լուծելու համար։

Քանի որ և -ը բավարարում է ցուցչային նույնությանը, հետևաբար -ը համընկնում է ամբողջ x-երի համար -ի սահմանմանը (կրկնվող բազմապատկում), ինչպես նաև այն, որ ռացիոնալ աստիճանները նշանակում են (դրական) արմատներ։ Այսպիսով, -ը համընկնում է նախորդ բաժնում իրական թվերի համար ի սահմանմանը՝ ըստ անընդհատության։

Լոգարիթմներով աստիճան[խմբագրել | խմբագրել կոդը]

ex արտահայտությունը ցուցչային ֆունկցիա սահմանելու դեպքում bx-ը (կամայական դրական իրական b թվի դեպքում) կարելի է սահմանել ex-ի միջոցով։ Մասնավորապես, ln(x) բանական լոգարիթմը ex ցուցչային ֆունկցիայի հակադարձ ֆունկցիան է։ Այն սահմանված է դրական թվերի համար և բավարարում է հետևյալ պայմանին՝

Որպեսզի արտահայտությունը պահպանի ցուցիչների և լոգարիթմի կանոնները, այն կամայական իրական թվի համար պետք է բավարարի հետևյալ պայմանին՝

։

Սա կարող է օգտագործվել որպես իրական թվերի աստիճանի սահմանում, այն համապատասխանում է վերևում տրված սահմանմանը։ Աստիճանի լոգարիթմներով սահմանում ավելի տարածված է կոմպլեքս թվերի համատեքստում։

Բացասական հիմքով իրական ցուցիչ[խմբագրել | խմբագրել կոդը]

Դրական իրական թվի աստիճանը միշտ դրական իրական թիվ է։ Չնայած հավասարումը ունի երկու լուծում՝ 2 և -2։ արտահայտության գլխավոր արժեքը 2–ն է, բայց -2-ը նույնպես թույլատրելի քառակուսի արմատ

Լոգարիթմի կամ ռացիոնալ ցուցիչի մեթոդների միջոցով հնարավոր չէ արտահայտությունը սահմանել որպես իրական թիվ՝ բացասական իրական թվի և կամայական իրական թվի համար։ Քանի որ արտահայտությունը դրական է կամայական իրական թվի համար, արտահայտությունը իրական թիվ չէ երբ ։

Ռացինալ ցուցիչի մեթոդի չի կարող օգտագործվել բացասական արժեքների համար, քանի որ այն հիմնվում է անընդհատության վրա։ Կամայական թվի համար ֆունկցիան ունի ճիշտ մեկ[13] ընդլայնում ռացիոնալ թվերից դեպի իրական թվեր։ Բայց երբ , ֆունկցիան նույնիսկ անընդհատ չէ ռացիոնալ թվերի բացմության վրա։

Օրինակ՝ դիտարկենք դեպքը։ Կամայական բնական կենտ թվի դեպքում -1-ի n-րդ արմատը -1 է։ Այսպիսով, եթե -ը կենտ դրական ամբողջ թիվ է, , եթե -ը զույգ է՝ ։ Հետևաբար, ռացիոնալ թվերի բազմություն, որոնց համար խիտ է ռացիոնալ թվերում, ինչպես և այն թվերի բազմություն, որոնց համար ։ Սա նշանակում է, որ ֆունկցիան անընդհատ չէ կամայական ռացիոնալ թվի համար, որտեղ սահմանված է։

Մյուս կողմից, բացասական թվի կամայական կոմպլեքս աստիճան հնարավոր է սահմանել՝ ընտրելով կոմպլեքս լոգարիթմ։

Իռացիոնալ ցուցիչ[խմբագրել | խմբագրել կոդը]

Եթե -ն դրական իրական հանրահաշվական թիվ է, իսկ -ը՝ ռացիոնալ, ապացուցված է, որ -ը հանրահաշվական թիվ է։ Այս պնդումը ճիշտ է նաև կամայական հանրահաշվական թվի դեպքում, միայն այն տարբերությամբ, որ -ը կարող է ընդունել մի քանի արժեք (վերջավոր թվով), որոնք բոլորը հանրահաշվական են։ Ըստ Գելֆոնդ-Շնայդերի թեորեմը որոշ տեղեկություններ է տալիս իռացիոնալ -ի դեպքում -ի մասին, մասնավորապես՝

Aquote1.png Եթե -ն 0-ից և 1-ից տարբեր հանրահաշվական թիվ է և -ը իռացիոնալ հանրահաշվական թիվ է, ուրեմն արտահայտության բոլոր արժեքները (գոյություն ունեն անթիվ բազմությամբ արժեքներ) տրանսցենդենտ թվեր են։ Aquote2.png


Կոմպլեքս ցուցիչ և դրական իրական հիմք[խմբագրել | խմբագրել կոդը]

Եթե -ն դրական իրական թիվ է իսկ -ը՝ կամայական կոմպլեքս թիվ, ուրեմն աստիճանը սահմանվում է հետևյալ կերպ՝

որտեղ հավասարման միակ իրական լուծումն է, իսկ թվի կոմպլեքս աստիճանը սահմանված է ցուցչային ֆունկցիայով, որը կոմպլեքս փոփոխականով այն միակ ֆունկցիան է, որի ածանցյալը հավասար է իրեն և դեպքում ընդունում է արժեքը։

Քանի որ -ը միշտ չէ, որ իրական թիվ է, տիպի արտահայտությունները չեն սահմանվում նախորդ սահմանմամբ։ Այն պետք է ներկայացվի կոմպլեքս թվերի աստիճանների կանոնների միջոցով, և եթե -ը իրական չէ կամ -ը ամբողջ չէ, այն ընդհանուր առմամբ հավասար չէ -ի։

Ցուցչային ֆունկցիան ունի բազմաթիվ սահմանումներ, բայց բոլորն էլ հաջողությամբ տարածվում են կոմպլեքս թվերի վրա և բավարարում են ցուցչային հատկությանը։ Կամայական կոմպլեքս և թվերի համար ցուցչային ֆունկցիան բավարարում է պայմանին։ Մասնավորապես, կամայական կոմպլեքս թվի համար

Արտահայտության երկրորդ արտադրյալը՝ -ը, կարելի է ներկայացնել Էյլերի բանաձևի միջոցով՝

։

Հետևաբար, կամայական կոմպլեքս թվի համար

։

Պյութագորասի եռանկյունաչափական նույնության պատճառով արտահայտության բացարձակ արժեքը է։ Հետևաբար, իրական արտադրյալը -ի բացարձակ արժեքն է իսկ ցուցիչի կեղծ մասը արտահայտում է կոմպլեքս թվի արգումենտը (աստիճանը)։

Շարքերով սահմանում[խմբագրել | խմբագրել կոդը]

Քանի որ ցուցչային ֆունկցիան հավասար է իր ածանցյալին և բավարարում է , հետևաբար ֆունկցայի Թեյլորի շարքը կունենա հետևյալ տեսքը՝

։

Այս անվերջ շարքը, որը հաճախ ընդունվում է որպես կամայական կոմպլեքս ցուցիչի համար ֆունկցիայի սահմանում, բացարձակ զուգամիտում է կամայական կոմպլեքս թվի համար։

Եթե -ը ունի միայն կողծ մաս, այսինքն՝ կամայական իրական -ի համար, շարքը վերածվում է հետևյալին՝

,

որը (բացարձակ զուգամիտության պատճառով) կարելի է վերադասավորել և ստանալ

։

Այս արտահայտության իրական և կոմպլեքս ասերը համապատասխանում են սինուսի և կոսինուսի Թեյլորի շարքերին (զրո կենտրոնով), որից հետևում է Էյլերի բանաձևը.

։

Սահմանով սահմանում[խմբագրել | խմբագրել կոդը]

Այս անիմացիան կոմպլեքս հարթությունում կրկնվող բազմապատկման միջոցով ցույց է տալիս, թե ինչպես է -ը ձգտում -ի (n-ը փոխվում է -ից մինչև -ի արժեքները () բեկյալի գագաթներն են, որի ամենաձախ կետը -ն է (իրական -ի համար)։ Այստեղից երևում է, որ -ի մեծ արժեքների դեպքում -ը ձգտում է -ի, ինչը պատկերավորում է Էյլերի նույնությունը՝

Ցուցչային ֆունկցիան կարելի է նաև սահմանել որպես սահման, երբ -ը ձգտում է անվերջության։ Կամայական կոմլեքս թիվ կարելի է ներկայացնել բևեռային տեսքով, որտեղ -ը թվի բացարձակ արժեքն է, -ն՝ արգումենտը։ Երկու կոմպլեքս և թվերի արտադրյալը հավասար է -ի։

Կոմպլեքս հարթությունուն դիտարկենք այն ուղղանկյուն եռանկյունը, որի գագաթները , և թվերն են։ -ի մեծ արժեքների դեպքում եռանկյունը գրեթե սեկտոր է՝ շառավղով և ռադիան կենտրոնական անկյամբ։ -ը այդ դեպքում կարելի է մոտարկել բևեռային տեսքն ունեցող թվով։ Այսպիսով, երբ -ը ձգտում է անվերջության, -ը ձգտում է -ի՝ միավոր շրջանագծի այն կետրին, որի և դրական իրական առանցքի անկյունը կազմում է ռադիան։ Այս կետի Դեկարտյան կոորդինատներն են՝ , հետևաբար՝, որը Էյլերի բանաձևն է։

Պարբերականություն[խմբագրել | խմբագրել կոդը]

հավասարման լուծումները -ի ամբողջ արտադրյալներ են.

Հետևաբար, եթե -ն այնպիսի կոմպլեքս թիվ ա, որ , ուրեմն -ին բավարարող կամայական կարելի է ստանալ -ից (-ին -ին բազմապատիկ որևէ թիվ գումարելով).

Այլ կերծ ասած, կամայական ամբողջ -ի համար կոմպլեքս ցուցիչային ֆունկցիան պարբերությամբ պարբերական ֆունկցիա է։

Օրինակներ[խմբագրել | խմբագրել կոդը]

Կոմպլեք թվերի աստիճան[խմբագրել | խմբագրել կոդը]

Զրոյից տարբեր կոմպլեքս թվերի ամբողջ ցուցիչով աստիճանները սահմանվում են կրկնվող բազմապատկման կամ բաժանման միջոցով։ Եթե կեղծ միավոր է իսկ -ը՝ ամբողջ թիվ, ուրեմն արտահայտություն հավասար է կամ ` կախված նրանից, թե -ը կոնգուրենտ է 0, 1, 2 կամ 3 թվերին (մոդ 4-ում)։ Այս պատճառով -ի ամբողջ աստիճանները օգտագործվում են 4 պարբերությաբ հաջորդականություններ նշանակելու համար։

Դրական իրական թվերի կոմպլեքս աստիճանները սահմանվում են ֆունկցիայի միջոցով՝ ինչպես նկարգրված է նախորդ «Կոմպլեքս ցուցիչ և դրական իրական հիմք» բաժնում։ Սրանք անընդհատ ֆունկցիաներ են։

Այս ֆունկցիաները կոմպլեքս թվի կամայական աստիճանի համար ընդհանրացնելիս առաջանում եմ որոշակի դժվարությունները. ֆունկցիաները ստացվում են կամ խզվող, կամ մի քանի արժեքանի են լինում։ ԱՅս տարբերակներից ոչ մեկը բավարարող չէ։

Կոմպլեքս թվի ռացինոալ աստիճանը պետք է հանրահաշվական հավասարման լուծում լինի։ Հետևաբար, այն միշտ ունի վերջավոր թվով արժեքներ։ Օրինակ՝ -ը պետք է լինի հավասարման լուծում։ Բայց, եթե -ն լուծում է, ուրեմն լուծում է նաև -ն, քանի որ ։ Միակ, բայց ինչ-որ առումով կամայական լուծում, որը կոչում են գլխավոր արժեք, կարելի է ընտրել օգտվելով ինչ-որ ընդհանուր կանոնից։

Կամայական կոմպլեքս թվի ոչ ռացիոնալ աստիճան ունի անթիվ բազմությամբ արժեքներ՝ կոմպլեքս լոգարիթմի բազմարժեքանիության պատճառով։ Սրանցից որպես գլխավոր արժեք ընտրվում է այն արժեքը, որի դեպքում դրական իրական բազմով և զրոյական կեղծ մասով կոմպլեքս թվերի աստիճանների արժեքները համընկնում են վերևի կանոնով սահմանված իրական հիմքով աստիճանների արժեքին։ Իրական թվի կոմպլեքս աստիճան բարձրացնելու գործողությունը ֆորմալ առումով տարբերվում է կոմպլեքս թիվի կոմպլեքս աստիճան բարձրացնելու գործողությունից։ Սակայն, դրական իրական թվերի դեպքում գլխավոր արժեքը նույնն է։

Բացասական իրական թվերի աստիճանները միշտ չէ, որ սահմանված են, իսկ սահմանված լինելու դեպքում խզվող են։ Ընդ որում, դրանք սահմանված են միայն այն դեպքում, երբ ցուցիչը ռացիոնալ թիվ է, որի հայտարարը կենտ ամբողջ թիվ է։

Կոմպլեքս ցուցիչ և կոմպլեք հիմք[խմբագրել | խմբագրել կոդը]

Տրված և կոմպլեքս թվերի համար նշանակումը բազմիմաստ է այնպես, ինչպես արտահայտությունը։

-ին արժեք վերագրելու համար սկզբում ընտրում են -ի լոգարիթմի համար արժեք՝ : Այս ընտրությունը կարող է լինել գլխավոր արժեքը` (եթե այլ պայմա տրված չէ) կամ կարող է լինել -ի այլ արժեք։ Օգտագործելով այս արժեքը և ցուցչային ֆունկցիան կարելի է սահմանել՝

,

քանի որ սա համընկնում է նախկին սահմանմանը, երբ -ն դրական իրական թիվ էր և օգտագործվում էր -ի (իրական) գլխավոր արժեքը։

Եթե ամբողջ թիվ է, ուրեմն արտահայտության արժեքը կախված չէ -ի ընտրությունից և համընկնում է ամբողջ ցուցիչով աստիճանների նախկին սահմանմանը։

Եթե տեսքի (չկրճատվող) ռացիոնալ թիվ է և , ուրեմն -ի հաշվելի քանակությամբ անվերջ արժեքները արտահայտության համար տալիս են արժեք։ Այս արժեքները հավասարման կոմպլեքս լուծումներն են։

Եթե իռացիոնալ թիվ է, ուրեմն -ի հաշվելի քանակությամբ անվերջ արժեքները արտահայտության համար տալիս են անվերջ քանակությամբ իրարից տարբեր արժեքներ։

Միավորի կոմպլեքս արմատներ[խմբագրել | խմբագրել կոդը]

1-ի 3 աստիճանի երեք արմատները

Դրական ամբողջ թվերի համար պայմանին բավարարող կոմպլեքս թիվը կոչվում է միավորի n աստիճանի արմատ։ Երկրաչափորեն, միավորի n աստիճանի արմատները կոմպլեքս հարթությունում գտնվում են միավոր շրջանագծին ներգծված այն n չափանի կանոնավոր բազմանկյան վրա, որի գագթներից մեկը գտնվում է 1 թվի վրա։

Եթե , բայց պայմանին բավարարող բոլոր բնական թվերի համար , ուրեմն -ն կոչվում է միավորի n աստիճանի պարզունակ արմատ։ Բացասական մեկը միավորի միակ երկրորդ աստիճանի պարզունակ արմատն է։ Միավորի 4-րդ աստիճանի պարզունակ արմատներն են և ։

թիվը միավորի n աստիճանի ամենափոքր դրական արգումենտով պարզունակ արմատն է։ Այն երբեմն կոչվում է միավորի n աստիճանի գլխավոր արմատ, բայց այս եզրը համընդհանուր տարածում չունի և պետք չէ այն շփոթել -ի գլխավոր արժեքի հետ, որը հավասար է 1-ի[14]։

Միավորի n աստիճանի արմատները տրվում են հետևյալ կերպ՝

որտեղ ։

Կամայական կոմպլեքս թվի արմատներ[խմբագրել | խմբագրել կոդը]

Չնայած ընդհանուր կոմպլեքս լոգարիթմի համար կան անթիվ բազմությամբ արժեքներ, արտահայտությունը ունի վերջավոր արժեքներ, երբ , որտեղ -ը դրական ամբողջ թիվ է։ Սրանք թվի -րդ աստիճանի արմատներն են՝ հավասարման լուծումները։ Իրական արմատների նման -րդ աստիճանի արմատը կոչվում է քառակուսի արմատ, իսկ -րդ աստիանի արմատը՝ խորանարդ արմատ։

Սովորաբար -ով նշանակում են արմատի գլխավոր արժեքը, որը ընդունում են -րդ աստիճանի այն արմատը, որի արգումենտը բացարձակ արժեքով ամենափոքրն է։ Երբ -ի կեղծ մասը զրո է իսկ իրական մասը դրական, այս սահմանումը համապատասխանում է իրական թվերի համար -ի ընդունված սահմանմանը։ Մյուս կողմից, երբ -ը կեն ամբողջ թիվ է իսկ -ն՝ բացասական իրական թիվ, -ի արժեքը կածված է համատեքստից։

կոմպլեքս թվի -րդ աստիճանի արմատների բազմությունը կարելի է ստանալ գլխավոր արժեքը միավորից n աստիճանի արմատներով բազմապատկելով։ Օրինակ, 16-ի չորս արմատներն են՝ և , քանի որ 16-ի գլխավոր 4-րդ արմատը 2 է իսկ միավորի 4 աստիճանի արմատները՝ և ։

Ծանոթագրություններ[խմբագրել | խմբագրել կոդը]

  1. W. W. Rouse Ball, A Short Account of the History of Mathematics (1888) p. 36.
  2. Կաղապար:MacTutor
  3. For further analysis see The Sand Reckoner.
  4. Կաղապար:MacTutor
  5. Cajori, Florian (2007). A History of Mathematical Notations; Vol I. Cosimo Classics. p. 344 1-60206-684-1
  6. René Descartes, Discourse de la Méthode ... (Leiden, (Netherlands): Jan Maire, 1637), appended book: La Géométrie, book one, page 299. From page 299: " ... Et aa, ou a2, pour multiplier a par soy mesme; Et a3, pour le multiplier encore une fois par a, & ainsi a l'infini ; ... " ( ... and aa, or a2, in order to multiply a by itself; and a3, in order to multiply it once more by a, and thus to infinity ; ... )
  7. Լեոնարդ Էյլեր (1748) Introduction to the Analysis of the Infinite, English version, page 75
  8. Hodge Jonathan K., Schlicker Steven, Sundstorm Ted (2014)։ Abstract Algebra: an inquiry based approach։ CRC Press։ էջ 94։ ISBN 978-1-4665-6706-1 
  9. Achatz Thomas (2005)։ Technical Shop Mathematics (3rd ed.)։ Industrial Press։ էջ 101։ ISBN 978-0-8311-3086-2 
  10. Raphael M. Robinson (1958)։ «A report on primes of the form k · 2n + 1 and on factors of Fermat numbers»։ Proc. Amer. Math. Soc. 9 (5): 677։ doi:10.1090/s0002-9939-1958-0096614-7 
  11. Anton Howard, Bivens Irl, Davis Stephen։ Calculus: Early Transcendentals (9th ed.)։ John Wiley & Sons։ էջ 28 
  12. Anton Howard, Bivens Irl, Davis Stephen։ Calculus: Early Transcendentals (9th ed.)։ John Wiley & Sons։ էջ 28 
  13. 13,0 13,1 Denlinger Charles G. (2011)։ Elements of Real Analysis։ Jones and Bartlett։ էջեր 278–283։ ISBN 978-0-7637-7947-4 
  14. This definition of a principal root of unity can be found in:

Արտաքին հղումներ[խմբագրել | խմբագրել կոդը]