Էյլերի բանաձև

Վիքիպեդիայից՝ ազատ հանրագիտարանից
Jump to navigation Jump to search
Էյլերի բանաձևի երկրաչափական իմաստը

Էյլերի բանաձևը կապում է կոմպլեքս էքսպոնենտին եռանկյունաչափական ֆունկցիաների հետ։ Անվանված է ի պատիվ Լեոնարդ Էյլերի, ով այն ստեղծել է։

Էյլերի բանաձևը պնդում է, որ ցանկացած կոմպլեքս թվի (հիմնականում իրական ) համար տեղի ունի հետևյալ հավասարությունը՝

,

որտեղ ֊ն մաթեմատիկական կարևորագույն հաստատուններից մեկն է, որը սահմանում է հետևյալ բանաձևը՝ ,

֊ն կեղծ միավորն է։

Պատմություն[խմբագրել | խմբագրել կոդը]

Էյլերի բանաձևը առաջին անգամ ներկայացվել է անգլիացի մաթեմատիկոս Ռոջեր Կոտսի (Իսահակ Նյուտոնի օգնական) «Լոգոմետրիա» (լատ.՝ Logometria) հոդվածում, որը հրատարակվել է «Թագավորական հասարակության փիլիսոփայական աշխատանքներ» ամսագրում 1714 թվականին[1] և տպագրվել է «Չափողականության ներդաշնակություն» (լատ.՝ Harmonia mensurarum) գրքում, որը հրատարակվել է 1722 թվականին՝ հեղինակի մահից հետո[2]։ Կոտսը դուրս է բերել բանաձևը որպես ոչ մեծ առաջարկություն բազմաթիվ երկրաչափական կառուցումների մեջ, որը ժամանակակից մաթեմատիկական լեզվով թարգմանությունից և նշանների սխալների ուղղումից հետո ունի հետևյալ տեսքը՝[3]:

։

Էյլերը հոդվածում 1740 թվականին և «Անվերջ նվազողների մուտքագրում անալիզում» (լատ.՝ Introductio in analysin infinitorum) գրքում[4] (1748) հրապարակել է բանաձևը իր սովորական տեսքով՝ ստեղծելով ապացույց աստիճանային շարքերում անվերջ բաժանվողների աջ և ձախ մասերի հավասարության համար։ Ո՛չ Էյլերը, ո՛չ Կոտսը չէին պատկերացնում բանաձևի երկրաչափական մեկնաբանումը․ հասկացողությունը կոմպլեքս թվերի մասին, որպես Կոմպլեքս հարթության վրայի կետեր, հայտնվեց մոտ 50 տարի անց՝ Գասպար Վեսսելի շնորհիվ։

Ածանցյալ բանաձևեր[խմբագրել | խմբագրել կոդը]

Էյլերի բանաձևի շնորհիվ կարելի է որոշել և ֆունկցիաները հետևյալ եղանակով՝

,
.

Այնուհետև կարելի է ներմուծել կոմպլեքս փոփոխականի եռանկյունաչափական ֆունկցիայի գաղափարը։ Ենթադրենք , այդ դեպքում։

,
.

Հանրահայտ Էյլերի նույնությունը, որը կապում է մաթեմատիկական ֆունդամենտալ հինգ հաստատունները՝ 1, 0, i, pi, e

համարվում է Էյլերի բանաձևի մասնավոր դեպք դեպքում։

Կիրառությունը կոմպլեքս անալիզում[խմբագրել | խմբագրել կոդը]

Էյլերի բանաձևի շնորհիվ դուրս է բերվում կոմպլեքս թվի այսպես կոչվող եռանկյունաչափական և ընդհանուր տեսքը. ։

Նշանակալի հետևանք կարելի է համարել նաև կոմպլեքս թվի կամայական աստիճանով բարձրացումը՝ , ։ Տվյալ բանաձևի երկրաչափական իմաստը հետևյալն է․ թիվը աստիճանով բարձրացնելիս՝ նրա հեռավորությունը կենտրոնից բարձրացվում է աստիճան, իսկ շրջման անկյունը առանցքում մեծանում է անգամ։

Աստիճանով բարձրացման բանաձևը ճիշտ է ոչ միայն ամբողջ թվերի համար, այլև՝ իրական թվերի։ Հիմնականում թվի ընդհանուր տեսքը թույլ է տալիս գտնել ցանկացած աստիճանի արմատներ ցանկացած կոմպլեքս թվից։

Փոխադարձ կապը եռանկյունաչափության հետ[խմբագրել | խմբագրել կոդը]

Էյլերի բաանաձևը ներկայացնում է մաթեմատիկական անալիզի և եռանկյունաչափության միջև կապ, ինչպես նաև թույլ է տալիս սինուս և կոսինուս ֆունկցիաների ինտերպրետացիա, որպես էքսպոնենցիալ ֆունկցիայի կախույթային արժեքներ:

Վերը նշված հավասարումները կարող են ստացվել Էյլերի բանաձևի բաժանման կամ հանման եղանակով

հետևող սինուսով կամ կոսինուսով լուծմամբ։

Ինչպես նաև այս բանաձևերը կարող են ծառայել կոմպլեքս փոփոխականով եռանկյունաչաափական ֆունկցիաների որոշմանը։ Օրինակ, կատարելով x = iy նշանակում, ստանում ենք՝

Կոմպլեքս էքսպոնենտները թույլ են տալիս եռանկյունաչափական հաշվարկները պարզեցնել, քանի որ դրանցով ավելի հեշտ է կառավարել, քան սինուսոիդ կոմպոնենտներով։ Մոտեցումներից մեկը նախատեսում է էքսպոնենցիալ համապատասխան արտահայտության մեջ սինուսոիդ փոխարկում։ Օրինակ ՝

Մյուս մոտեցման իմաստը սինուսոիդ ֆունկցիայի ներկայացումն է իրական թվերում և մանիպուլյացիայի ձևակերպումը անմիջականորեն կոմպլեքս արտահայտության հետ։ Օրինակ՝

Տրված բանաձևը օգտագործվում է n ամբողջ թվերով cos(nx)֊ի և կամավոր x նշանակությունների (ռադիաններով) ռեկուրսիվ հաշվարկման համար։

Ապացույց[խմբագրել | խմբագրել կոդը]

Էյլերի բանաձևի ապացույցը կարելի է ներկայացնել Մակլորենի շարքը օգտագործելով։ ֆունկցիան տեղադրելով Մակլորենի շարք a = 0 կետի մոտակայքում աստիճանով։ Կստանանք

Բայց

Այդ պատճառով , ինչը և պահանջվում էր ապացուցել։

Կոմպլեքս թվի ընդհանուր տեսք[խմբագրել | խմբագրել կոդը]

Կոմպլեքս թվերի ընդհանուր և եռանկյունաչափական տեսքերը կապված են միմյանց Էյլերի բանաձևով։

Ենթադրենք կոմպլեքս թիվը եռանկյունաչափական վիճակում ունի տեսք։ Էյլերի բանաձևի հիմքի վրա փակագծերի արտահայտությունը կարելի է փոխարինել ընդհանուր տեսքով։ Արդյունքում կստանանք

Այս գրելաձևը կոչվում է կոմպլեքս թվի ընդհանուր տեսք։ Ինչպես եռանկյունաչափական տեսքում, այստեղ էլ , .

Տես նաև[խմբագրել | խմբագրել կոդը]

Ծանոթագրություններ[խմբագրել | խմբագրել կոդը]

  1. Cotes R. (1714-1716)։ «Logometria»։ Philosophical Transactions of the Royal Society of London 29: 32։ doi:10.1098/rstl.1714.0002 
  2. Cotes R. (1722)։ Harmonia mensurarum։ էջ 28 
  3. González-Velasco Enrique A. (2011)։ Journey through Mathematics: Creative Episodes in Its History։ էջ 182 
  4. Euler L. (1748)։ «Cap.VIII. De quantitatibus transcendentibus ex Circulo ortis»։ Introductio in analysin infinitorum 1։ էջ 104 

Գրականություն[խմբագրել | խմբագրել կոդը]