Թեյլորի շարք

Վիքիպեդիայից՝ ազատ հանրագիտարանից
Jump to navigation Jump to search
As the degree of the Taylor polynomial rises, it approaches the correct function. This image shows sin x and its Taylor approximations, polynomials of degree 1, 3, 5, 7, 9, 11 and 13.
The exponential function ex (in blue), and the sum of the first n + 1 terms of its Taylor series at 0 (in red).

Թեյլորի շարք, մաթեմատիկայում ֆունկցիան անվերջ շարքի տեսքով ներկայացում, որի անդամները ստացվում են որոշակի կետում ֆունկցիայի ածանցյալների արժեքներից։

Թեյլորի շարքերի հասկացությունը ձևակերպել է շոտլանդացի մաթեմատիկոս Ջեյմս Գրեգորին, սակայն ֆորմալ ներկայացրել է անգլիացի մաթեմատիկոս Բրուկ Թեյլորը 1715 թվականին։ Եթե Թեյլորի շարքի կենտրոնը 0-ն է, այն նաև կոչվում է Մակլորենի շարք՝ ի պատիվ շոտլանդացի մաթեմատիկոս Քոլին ՄաքԼորինի, որը 18-րդ դարում լայնորեն օգտագործել է Թեյլորի շարքի մասնավոր դեպքերը։

Ֆունկցիան կարելի է մոտարկել՝ օգտագործելով իր Թեյլորի շարքի վերջավոր քանակությամբ անդամներ։ Թեյլորի թեորեմը նման մոտարկման համար քանկական գնահատական է տալիս։ Թեյլորի շարքերի վերջավոր քանակությամբ անդամներով կազմված բազմանդամը կոչվում է Թեյլորի բազմանդամ։ Ֆունկցիայի Թեյլորի շարքը այդ ֆունկցիայի Թեյլորի բազմանդամի սահմանն է, երբ աստիճանը աճում է, եթե սահմանը գոյություն ունի։ Ֆունկցիան կարող է հավասար չլինել իր Թեյլորի շարքին, նույնիսկ եթե Թեյլորի շարքը ցանկացած կերտում զուգամետ է։ Այն ֆունկցիաները որոնք բաց միջակայքում (կամ շրջան կոմպլեքս հարթությունում) հավասար են իրենց Թեյլորի շարքին կոչվում են անալիտիկ ֆունկցիաներ այդ միջակայքում։

Սահմանում[խմբագրել | խմբագրել կոդը]

a կետում ցանկացած կարգի ածանցյալ ունեցող իրական կամ կոմպլեքս f (x) ֆունկցիայի Թեյլորի շարքը աստիճանային շարք է,

կամ

-->:

որտեղ n!nֆակտորիալն է, իսկ f(n)(a)a կետում f ֆունկցիայի n-րդ կարգի ածանցյալն է։ Ըստ սահմանման՝ f-ի 0-րդ ածանցյալը հավասար է հենց f-ին, իսկ (xa)0-ը և 0!-ը՝ 1-ի։ a = 0 դեպքում շարքը կոչվում է Մակլորենի շարք[1]։

Օրինակներ[խմբագրել | խմբագրել կոդը]

Բազմանդամի Թեյլորի շարքը հենց այդ բազմանդամն է։

11 − x-ի Մակլորենի շարքը երկրաչափական շարք է

հետևաբար՝ a = 1 կետում 1x-ի Թեյլորի շարքն է՝

Ինտեգրելով այս շարքը՝ ստանում ենք, որ log(1 − x)-ի Մակլորենի շարքը՝

Համապատասխանաբար՝ a = 1 կետում log x-ի Թեյլորի շարքն է՝

Ընդհանուր առմամբ a = x0 կետում log x-ի Թեյլորի շարքն է՝

a = 0 կետում ex աստիճանային ֆունկցիայի Թեյլորի շարքը ունի

տեսքը, քանի որ x-ի նկատմամբ ex-ի ածանցյալը հավասար է ex-ի, իսկ e0-ը՝ 1-ի։ Արդյունքում՝ համարիչը ունենում է (x − 0)n տեսքը, իսկ հայտարարը՝ n!։

Պատմություն[խմբագրել | խմբագրել կոդը]

Հույն փիլիսոփա Զենոն Էլեացին քննարկել է անվերջ շարքի անդամները գումարելով վերջավոր արժեք ստանալու խնդիրը, սակայն այն անհնար է համար, ինչի արդյունքն է Զենոնի պարադոքսը։ Հետագայում, Արիստոտելը ներկայացրել է պարադոքսի փիլիսոփայական լուծում, բայց մաթեմատիկական մասը չլուծված է մնացել մինչև Արքիմեդեսի սպառման մեթոդի մշակումը[2]։ Լիու Հուին դարեր անց անկախ մշակել է նման մեթոդ[3]։

14-րդ դարում Թեյլորի շարքի և նման մեթոդների առաջին օրինակները տվել է հնդիկ մաթեմատիկոս Մադհավա Սանգամագրամացին[4][5]։ Չնայած իր աշխատանքները չեն պահպանվել, հետագա հնդիկ մաթեմատիկոսների գրառումները վկայում են, որ նա գտել է Թեյլորի շարքերի մի քանի մասնավոր դեպքեր, ներառյալ՝ սինուս, կոսինուս, տանգես և արկտանգես եռանկյունաչափական ֆունկցիաների ներկայացումը։ Աստղագիտության և մաթեմատիկայի Կերալա դպրոցը մինչև 16-րդ դարը համալրել է այս ֆունկցիաների ցանկը։

17-րդ դարում Ջեյմս Գրեգորին աշխատել է այս բնագավառում և հրատարակել է որոշ Մակլորանի շարքերի։ 1715 թվականին Բրուկ Թեյլորը, որի անվամբ հետագայում կոչվել են այս շարքերը, ապացուցել է ցանկացած ֆուկցիայի համար այս շարքը գտնելու ընդհանուր մեթոդը (եթե նման շարք գոյություն ունի)[6]։

Մակլորանի շարքերը կոչվել են Էդինբուգի պրոֆեսոր Կոլին Մակլորենի անվամբ, որը 18-րդ դարում հրատարակել է Թեյլորի շարքի մասնավոր դեպքը։

Որոշ հայտնի ֆունկցիաների Մակլորենի շարքերի ցանկ[խմբագրել | խմբագրել կոդը]

Կոսինուս ֆունկցիայի իրական մասը կոմպլեքս հարթությունում
Կոմպլեքս հարթությունում կոսինուս ֆունկցիայի 8-րդ կարգի մոտարկումը
Վերևի երկու կորերը միասին
Մոտարկման անիմացիա

Որոշ նշանավոր Մակլորենի շարքեր[7]։ Այս բոլոր շարքերը վավեր են կոմպլեքս x արգումենտի համար։

Ցուցչային ֆունկցիա[խմբագրել | խմբագրել կոդը]

ցուցչային ֆունկցիայի (e հիմքով) Մակլորենի շարքն է՝

։

Այն զուգամենտ է ցանկացած x-ի համար։

Բնական լոգարիթմ[խմբագրել | խմբագրել կոդը]

Բնական լոգարիթմի (e հիմքով) Մակլորենի շարքն է՝

Որոնք զուգամետ են, երբ ։

Երկրաչափական շարքեր[խմբագրել | խմբագրել կոդը]

Երկրաչափական շարքերը և նրանց ածանցյալները ունեն Մակլորենի շարք՝

Այս բոլոր շարքերը զուգամետ են դեպքում։ Սրանք բոլորը բինոմիական շարքերի մասնավոր օրինակներ դեպքեր են։

Բինոմիական շարքեր[խմբագրել | խմբագրել կոդը]

Բինոմիական շարքերը աստիճանային շարքեր են

որոնց գործակիցները հավասար են՝

( n = 0 դեպքում արտադրյալը կոչվում է դատարկ արտադրյալ, որը հավասար է 1)։ Այն զուգամետ է դեպքում իրական կամ կոմպլեքս թվերի α-ի համար։

Երբ α = −1, շարքը նույն նախորդ բաժնում նշված երկրաչափական շարքն է։ α = 12 և α = −12 մասնավոր դեպքերում շարքն ունի հետևյալ տեսքը՝

Եռանկյունաչափական ֆունկցիաներ[խմբագրել | խմբագրել կոդը]

Եռանկյունաչափական ֆունկցիաների և նրանց հակադարձ ֆունկցիաների Մակլորենի շարքերն են՝

Բոլոր անկյունները ներկայացված են ռադիաներով։ BkԲերնուլիի թիվն է, Ek-ն՝ Էյլերի թիվը, որը սահմանված է

որտեղ cosh t-ը հիպերբոլական կոսինուսն է։

Հիպերբոլական ֆունկցիաներ[խմբագրել | խմբագրել կոդը]

Հիպերբոլական ֆունկցիաների Մակլորենի շարքերն են՝

Bk-ը Բերնուլիի թիվն է։

Ծանոթագրություններ[խմբագրել | խմբագրել կոդը]

  1. Thomas & Finney 1996, §8.9
  2. Kline M. (1990)։ Mathematical Thought from Ancient to Modern Times։ New York: Oxford University Press։ էջեր 35–37։ ISBN 0-19-506135-7 
  3. Boyer C., Merzbach U. (1991)։ A History of Mathematics (Second revised ed.)։ John Wiley and Sons։ էջեր 202–203։ ISBN 0-471-09763-2 
  4. «Neither Newton nor Leibniz – The Pre-History of Calculus and Celestial Mechanics in Medieval Kerala»։ MAT 314։ Canisius College։ Արխիվացված օրիգինալից 2015-02-23-ին։ Վերցված է 2006-07-09 
  5. S. G. Dani (2012)։ «Ancient Indian Mathematics – A Conspectus»։ Resonance 17 (3): 236–246։ doi:10.1007/s12045-012-0022-y 
  6. Taylor Brook (1715)։ Methodus Incrementorum Directa et Inversa [Direct and Reverse Methods of Incrementation] (Latin)։ London։ p. 21–23 (Prop. VII, Thm. 3, Cor. 2)  Translated into English in Struik D. J. (1969)։ A Source Book in Mathematics 1200–1800։ Cambridge, Massachusetts: Harvard University Press։ էջեր 329–332 
  7. Այս շարքերի մեծ մասը կարելի է գտնել (Abramowitz & Stegun 1970) գրքում։

Աղբյուրներ[խմբագրել | խմբագրել կոդը]

Արտաքին հղումներ[խմբագրել | խմբագրել կոդը]