Մուավրի բանաձև

Վիքիպեդիայից՝ ազատ հանրագիտարանից
Jump to navigation Jump to search

Մաթեմատիկայում, Մուավրի բանաձևը (անգլ.՝ de Moivre's formula , նաև հայտնի է որպես Մուավրի թեորեմ և Մուավրի նույնություն), անվանվել է ի պատիվ Աբրահամ դե Մուավրի, պնդում է, որ ցանկացած x կոմպլեքս թվի (և, մասնավորապես ցանկացած իրական թվի) և n ամբողջ թվի համար

որտեղ i֊ն կեղծ միավորն է (i2 = −1)։ Չնայած բանաձևը անվանված է Մուավրի պատվին, նա երբեք իր աշխատանքներում չի պնդել բանաձևը[1]: cos (x) + i sin (x) արտահայտությունը երբեմն հապավում են cis (x)

Բանաձևը կարևոր է, քանի որ այն կապում է կոմպլեքս թվերն ու եռանկյունաչափությունը։ Տարածելով ձախ մասը և այնուհետև համեմատելով իրական և կեղծ մասերը՝ x֊ը ընդունելով իրական՝ հնարավոր է ստանալ օգտակար արտահայտություններ cos(nx)֊ի և sin(nx)֊ի համար cos (x)֊ի և sin (x)֊ի տեսանկյունից։

Ինչպես գրված է, բանաձևը ընդունելի չէ n ոչ ամբողջ թվերի համար։ Այնուամենայնիվ, կան այս բանաձևի ընդհանրացումներ, որոնք ընդունելի են էքսպոնենտների համար։ Սա կարող է գործածվել n֊րդ միավոր արմատներին պարզ արտահայտություններ տալուն, օրինակ, z կոմպլեքս թվերին այնպես, որ zn = 1։

Էյլերի բանաձևից ածանցում[խմբագրել | խմբագրել կոդը]

Չնայած որ պատմականորեն նախկինում ապացուցվել է, Մուավրի բանաձևը հեշտությամբ կարող է ստացվել Էյլերի բանաձևից

և ամբողջ թվերի համար էքսպոնենցիալ կանոնից:

Այնուհետև Էյլերի բանաձևով,

Ինդուկցիայով ապացույց (n ամբողջ թվի համար)[խմբագրել | խմբագրել կոդը]

Մուավրի թեորեմի ճշմարտությունը հիմնվում է մաթեմատիկական ինդուկցիայով բնական թվերի համար և ծավալվում բոլոր ամբողջ թվերի համար։ n ամբողջ թվերի համար, հետևյալ պնդումը նշանակենք S(n):

n > 0֊ի համար, մենք շարունակում ենք մաթեմատիկական ինդուկցիայով։ S(1)֊ը լիովին ճիշտ է։ Մեր վարկածի համար, մենք ենթադրում ենք S(k)֊ն ճիշտ է ինչ֊որ kբնական թվի համար։ Այսինքն մենք ենթադրում ենք

Հիմա համարելով S(k + 1):

Տե՛ս անկյունների գումար և տարբերության նույնություններ։

Մենք եզրակացնում ենք, որ S(k) ենթադրում է S(k + 1)։ Մաթեմատիկական ինդուկցիայի սկզբունքով հետևում է, որ արդյունքը ճիշտ է բոլոր բնական թվերի համար։ S(0)֊ն լիովին ճիշտ է, քանի որ cos(0x) + i sin(0x) = 1 + 0i = 1։ Վերջապես, բացասական ամբողջ թվերի դեպքում, մենք համարում ենք −n էքսպոնենտը n բնական թվի համար։

Հավասարումը (*) նույնության արդյունք է

z = cos (nx) + i sin (nx) համար։ Այդ պատճառով, S(n)֊ը բավարարում է բոլոր n ամբողջ թվերին։

Կոսինուս և սինուսի համար բանաձև[խմբագրել | խմբագրել կոդը]

Լինելով կոմպլեքս թվերիհավասարում, այդ մեկը անպայմանորեն ունի հավասարման իրական մասերի և կեղծ մասերի անդամների հավասարություն։ Եթե x֊ը, հետևաբար նաև cos x֊ն ու sin x֊ը, իրական թվեր են, ապա այս մասերի նույնությունը կարող է գրվել օգտագործելով բինոմական գործակիցներ։ Այս բանաձևը տրվել էր 16֊րդ դարի մաթեմատիկոս Ֆրանցիսկոս Վիետի կողմից

։

Այս երկու հավասարումներից յուրաքանչյուրում, վերջնական եռանկյունաչափական ֆունկցիան հավասար է 1 կամ ֊1 կամ 0, այդպիսով հեռացնելով գումարնեից յուրաքանչյուրում մուտքագրումների կեսը։ Այս հավասարումներն իրականում x կոմպլեքս թվերի համար անգամ ընդունելի են, քանի որ երկու կողմերն էլ x֊ի ամբողջական ֆունկցիաներ են (այսինքն հոլոմորֆիկ են ողջ կոմպլեքս հարթության վրա), և երկու այսպիսի ֆունկցիաները, որ համընկնում են իրական առանցքի վրա, անպայմանորեն համընկնում են ամենուրեք։ Ահա n = 2 և n = 3֊ի համար այս հավասարումների կոնկրետ օրինակներ․

cos(nx)֊ի համար բանաձևի աջ կողմը իրականում TnՉեբիշեվի բազմանդամի Tn(cos x) արժեքն է cos x֊ով։

Ոչ ամբողջ թվերի համար ձախողում և ընդհանրացում[խմբագրել | խմբագրել կոդը]

Մուավրի բանաձևը ուժի մեջ չէ ոչ ամբողջ աստիճանների համար։ Մուավրի բանաձևի ածանցումը ներառում է n ամբողջ թվով բարձրացրած կոմպլեքս թիվ։ Եթե կոմպլեքս թիվը բարձրացրած է ոչ ամբողջ թվով, արդյունքը բազմարժեք ֆունկցիա է (տե՛ս Աստիճանի և լոգարիթմի նույնությունների ձախողում)։ Օրինակ, երբ n = 12, Մուավրի բանաձևը տալիս է հետևյալ արդյունքները՝

for x = 0 բանաձևը տալիս է 112 = 1, և
for x = 2 բանաձևը տալիս է 112 = −1

Սա սահմանում է երկու տարբեր արժեքներ միևնույն 112 արտահայտության համար, այդպիսով բանաձևը կայուն չէ այս դեպքում։

Մյուս կողմից, 1 և −1 արժեքները երկուսն էլ 1֊ի արմատներն են։ Ավելի ընդհանրական, եթե z֊ը և w֊ն կոմպլեքս թվեր են, ապա

բազմարժեք է, մինչդեռ

ոչ։ Այնուամենայնիվ, միշտ կա դեպք, որտեղ

is one value of

Կոմպլեքս թվերի արմատներ[խմբագրել | խմբագրել կոդը]

Այս հոդվածում Մուավրի բանաձևի տարբերակի համեստ ընդլայնումը կարող է օգտագործվել կոմպլեքս թվի (equivalently, 1nրդ աստիճան) n֊րդ արմատները գտնելու համար։

Եթե z֊ը կոմպլեքս թիվ է գրված հարթության տեսքով որպես

ապա n n֊րդ արմատները z֊ի տրվում են

որտեղ k֊ն ընկած է 0 ֊ից n − 1 ամբողջ թվերի մեջ։

Երբեմն այս բանաձևը հայտնի է որպես Մուավրի բանաձև։

Զուգահեռներ այլ կարգավորումներում[խմբագրել | խմբագրել կոդը]

Հիպերբոլիկ եռանկյունաչափություն[խմբագրել | խմբագրել կոդը]

Քանի որ cosh x + sinh x = ex, Մուավրի բանաձևի անալոգը ևս հարմար է հիպերբոլիկ եռանկյունաչափությանը։ Բոլոր n ∈ ℤ համար

Նաև, եթե n ∈ ℚ, ապա (cosh x + sinh x)n մեկ արժեքը կարող է լինել cosh nx + sinh nx[2]:

Քվատերնիոններ[խմբագրել | խմբագրել կոդը]

Քվատերնիոնների արմատը գտնելու համար գոյություն ունի Մուավրի բանաձևի անալոգ։ Հետևյալ տեսքով քվատերնիոնը

կարող է ներկայացվել

Այս տեսքում,

և եռանկյունաչափական ֆունկցիաները սահմանվում են որպես

Այս դեպքում այդ a2 + b2 + c2 ≠ 0,

այսնինքն՝ միավոր վեկտոր։ Սա տանում է Մուավրի բանաձևի բազմաձևության՝

[3]

Օրինակ[խմբագրել | խմբագրել կոդը]

խորանարդ արմատ բարձրացնելու համար, քվատերնիոնը պետք է գրել

Այնուհետև խորանարդ արմատները տրվում են

Ծանոթագրություններ[խմբագրել | խմբագրել կոդը]

  1. Lial Margaret L., Hornsby John, Schneider David I., Callie J. Daniels (2008)։ College Algebra and Trigonometry (4th ed.)։ Boston: Pearson/Addison Wesley։ էջ 792։ ISBN 9780321497444 
  2. Mukhopadhyay Utpal (August 2006)։ «Some interesting features of hyperbolic functions»։ Resonance 11 (8): 81–85։ doi:10.1007/BF02855783 
  3. Brand Louis (October 1942)։ «The roots of a quaternion»։ The American Mathematical Monthly 49 (8): 519–520։ doi:10.2307/2302858։ Վերցված է 19 August 2012 

Արտաքին հղումներ[խմբագրել | խմբագրել կոդը]