Եռանկյունաչափական նույնություններ

Եռանկյունաչափական նույնությունները մաթեմատիկական արտահայտություներ են եռանկյունաչափական ֆունկցիաների համար, որոնք կատարվում են արգումենտի բոլոր արժեքների համար (ընդհանուր որոշման տիրույթից)։

Հիմնական եռանկյունաչափական բանաձևեր

Բանաձևեր	Արգումենտի թույլատրելի արժեքներ	Համար
$~ \sin^2 \alpha + \cos^2 \alpha = 1$	$\forall \alpha$	(1)
$\operatorname{tg}^2 \alpha + 1 = \frac{1}{\cos^2 \alpha} = \operatorname{sec}^2 \alpha$	$\alpha \neq \frac{\pi}{2} + \pi n, n \in \mathbb Z$	(2)
$\operatorname{ctg}^2 \alpha + 1 = \frac{1}{\sin^2 \alpha} = \operatorname{cosec}^2 \alpha$	$\alpha \neq \pi n, n \in \mathbb Z$	(3)

Բանաձև (1)-ը հետևանք է Պյութագորասի թեորեմայից։ (2)-րդ և (3)-րդ բանաձևերը ստացվում են (1)-ին բանաձևից բաժանելով համապատասխանաբար $~ \cos^2 \alpha$-ի և $~ \sin^2 \alpha$-ի։

Արգումենտի գումարի բանաձևերը

Արգումենտի գումարի բանաձևերը	Համարը
$\sin \left( \alpha \pm \beta \right) = \sin \alpha \cos \beta \pm \cos \alpha \sin \beta$	(4)
$\cos \left( \alpha \pm \beta \right) = \cos \alpha \cos \beta \mp \sin \alpha \sin \beta$	(5)
$\operatorname{tg} \left( \alpha \pm \beta \right) = \frac{ \operatorname{tg} \alpha \pm \operatorname{tg} \beta}{1 \mp \operatorname{tg} \alpha \operatorname{tg}\beta}$	(6)
$\operatorname{ctg} \left( \alpha \pm \beta \right) = \frac{ \operatorname{ctg} \alpha \operatorname{ctg} \beta \mp 1}{\operatorname{ctg} \beta \pm \operatorname{ctg}\alpha}$	(7)

Բանաձև (6)-ը ստացվում է (4)-ը (5)-ի վրա բաժանելիս, իսկ (7)-րդ բանաձևը՝ (5)-ը (4)-ի բաժանելիս։

Կրկնակի անկյան բանաձևերը

Կրկնակի անկյան բանաձևերը	Համարը
$\operatorname{sin} 2 \alpha = 2 {\sin \alpha}{\cos \alpha}$	(8)
$\operatorname{cos} 2 \alpha = {\cos^2 \alpha} - {\sin^2 \alpha}$ $\operatorname{cos} 2 \alpha = 2 {\cos^2 \alpha} - 1 = 1 - 2 {\sin^2 \alpha}$	(9)
$\operatorname{tg} 2 \alpha = \frac{2 \operatorname{tg} \alpha}{1 - \operatorname{tg}^2 \alpha}$	(10)
$\operatorname{ctg} 2 \alpha = \frac{\operatorname{ctg}^2 \alpha - 1}{2 \operatorname{ctg} \alpha}$	(11)

Կրկնակի անկյան բանաձևերը դուրս են բերվում (4), (5), (6) և (7) բանաձևերից, եթե հաշվի առնենեք, որ $\beta$ և $\alpha$ անկյունները հավասար են։

Ուշադրություն  

$\operatorname{tg} 2 \alpha$-ի բանաձևի համար (10)՝

• $\alpha \not=\frac{\pi}4 + \frac{\pi}2 n, n \in \mathbb Z,$
• $\alpha \not=\frac{\pi}2 + \pi n, n\in \mathbb Z,$

$\operatorname{ctg} 2 \alpha$-ի բանաձևի համար (11)՝ $\alpha \not=\frac{\pi}2 + \pi n, n \in \mathbb Z.$

Եռակի անկյան բանաձևերը

Եռակի անկյան բանաձևերը	Համարը
$\sin 3\alpha = 3 \sin \alpha - 4 \sin^3\alpha \,$	(12)
$\cos 3\alpha = 4 \cos^3\alpha - 3 \cos \alpha \,$	(13)
$\operatorname{tg} 3\alpha = \frac{3 \operatorname{tg}\alpha - \operatorname{tg}^3\alpha}{1 - 3 \operatorname{tg}^2\alpha}$	(14)
$\operatorname{ctg} 3\alpha = \frac{3 \operatorname{ctg}\alpha - \operatorname{ctg}^3\alpha}{1 - 3 \operatorname{ctg}^2\alpha}$	(15)

Ուշադրություն  

$\operatorname{tg} 3\alpha$-ի բանաձևի համար (14)՝ $\alpha \not=\frac{\pi}6 + \frac{\pi}3 n, n \in \mathbb Z$
$\operatorname{ctg} 3\alpha$-ի բանաձևի համար (15)՝ $\alpha \not=\frac{\pi}3 n + \pi n, n \in \mathbb Z$;

Աստիճանի իջեցման բանաձևերը

Աստիճանի իջեցման բանաձևերը դուրս են բերվում (9)-րդ բանաձևերից։

	Աստիճանի իջեցման բանաձևերը	Համարը
Սինուս	$\sin^2\alpha = \frac{1 - \cos 2\alpha}{2}$	(16)
Կոսինուս	$\cos^2\alpha = \frac{1 + \cos 2\alpha}{2}$	(17)

Ֆունկցիաների արտադրյալի ձևափոխման բանաձևեր

Ֆունկցիաների արտադրյալի ձևափոխման բանաձևեր	Համարը
$\sin \alpha \sin \beta = \frac{ \cos ( \alpha - \beta) - \cos ( \alpha + \beta)}{2}$	(18)
$\sin \alpha \cos \beta = \frac{ \sin ( \alpha - \beta) + \sin ( \alpha + \beta)}{2}$	(19)
$\cos \alpha \cos \beta = \frac{ \cos ( \alpha - \beta) + \cos ( \alpha + \beta)}{2}$	(20)

Ուշադրություն  

Ֆունկցիաների արտադրյալի ձևափոխման բանաձևերը ստացվում են արգումենտների գումարման (4) և (5) բանաձևերից։ Օրինակ, (4)-րդ բանաձևից հետևում է՝

$\sin ( \alpha + \beta) + \sin ( \alpha - \beta) = \sin \alpha \cos \beta + \cos \alpha \sin \beta + \sin \alpha \cos \beta - \cos \alpha \sin \beta = 2 \sin \alpha \cos \beta$.

Այսինքն.

$\sin \alpha \cos \beta = \frac{\sin ( \alpha + \beta) + \sin ( \alpha - \beta)}{2}$    — բանաձև (19).

Ֆունկցիաների արտադրյալի մյուս բանաձևերը ստացվում են նույն ձևով։

Ֆունկցիաների գումարի ձևափոխման բանաձևեր

Ֆունկցիաների գումարի ձևափոխման բանաձևեր	Համարը
$\sin \alpha \pm \sin \beta = 2 \sin \frac{ \alpha \pm \beta}{2} \cos \frac{ \alpha \mp \beta}{2}$	(21)
$\cos \alpha + \cos \beta = 2 \cos \frac{ \alpha + \beta}{2} \cos \frac{ \alpha - \beta}{2}$	(22)
$\cos \alpha - \cos \beta = - 2 \sin \frac{ \alpha + \beta}{2} \sin \frac{ \alpha - \beta}{2}$	(23)
$\operatorname{tg} \alpha \pm \operatorname{tg} \beta = \frac{ \sin ( \alpha \pm \beta)}{ \cos \alpha \cos \beta}$	(24)
$\operatorname{ctg} \alpha \pm \operatorname{ctg} \beta = \frac{ \sin ( \beta \pm \alpha)}{ \sin \alpha \sin \beta}$	(25)

Ուշադրություն  

Ֆունկցիաների գումարի ձևափոխման բանաձևերը դուրս են բերվում ֆունկցիաների արտադրյալների ձևափոխման (18), (19) և (20) բանաձևերից տեղադրման օգնությամբ՝

$\alpha = \frac{ \alpha + \beta}{2}$   և   $\beta = \frac{ \alpha - \beta}{2}$:

Տեղադրենք այս արտահայտությունները (18) բանաձևում՝

$\sin ( \frac{ \alpha + \beta}{2}) \sin ( \frac{ \alpha - \beta}{2}) = \frac{ \cos \beta - \cos \alpha}{2}$, այսինքն՝

$\cos \alpha - \cos \beta = - 2 \sin ( \frac{ \alpha + \beta}{2}) \sin ( \frac{ \alpha - \beta}{2})$    — բանաձև (23)։

Ֆունկցիաների գումարի մյուս բանաձևերը (սինուսի և կոսինուսի) ստացվում են նույն ձևով։
Բանաձև (6)-ից հետևում է՝

$\operatorname{tg} \alpha + \operatorname{tg} \beta = \operatorname{tg}( \alpha + \beta)(1 - \operatorname{tg} ( \alpha) \operatorname{tg}( \beta)) =$

$= \frac{\sin(\alpha+\beta)}{\cos(\alpha+\beta)}\cdot \frac{\cos\alpha \cos\beta - \sin\alpha \sin\beta}{\cos\alpha \cos\beta}$

$= \frac{\sin(\alpha+\beta)}{\cos(\alpha+\beta)}\cdot\frac{\cos(\alpha+\beta)} {\cos\alpha \cos\beta}$, այսինքն՝

$\operatorname{tg} \alpha \pm \operatorname{tg} \beta = \frac{ \sin ( \alpha \pm \beta)}{ \cos \alpha \cos \beta} \qquad \qquad$   — բանաձև (24)։

Երեք տարբեր անկյունների սինուսների գումարը արտադրյալի ձևափոխվում է երբ $\alpha\ + \beta\ + \gamma\ = 180^\circ$ :

$\sin 2\alpha + \sin 2\beta + \sin 2\gamma = 4 \sin\alpha\ \sin\beta\ \sin\gamma$

Պարզագույն եռանկյունաչափական հավասարումների լուծում

• $\sin x = a$

եթե $|a|>1$ — իրական լուծում չունի։

եթե $|a| \leqslant 1$ — լուծումն ունի այսպիսի տեսք՝ $x=(-1)^n \arcsin a + \pi n;\ n \in \mathbb Z:$

• $\cos x = a$

եթե $|a|>1$ — իրական լուծում չունի։

եթե $|a| \leqslant 1$ — լուծումն ունի այսպիսի տեսք՝ $x=\pm \arccos a + 2 \pi n;\ n \in \mathbb Z:$

• $\operatorname{tg}\, x = a$

լուծումն ունի այսպիսի տեսք՝ $x=\operatorname{arctg}\, a + \pi n;\ n \in \mathbb Z:$

• $\operatorname{ctg}\, x = a$

լուծումն ունի այսպիսի տեսք՝ $x=\operatorname{arcctg}\, a + \pi n;\ n \in \mathbb Z:$