Եռանկյունաչափական նույնություններ

Եռանկյունաչափական նույնությունները մաթեմատիկական արտահայտություներ են եռանկյունաչափական ֆունկցիաների համար, որոնք կատարվում են արգումենտի բոլոր արժեքների համար (ընդհանուր որոշման տիրույթից)։

Հիմնական եռանկյունաչափական բանաձևեր

Բանաձևեր	Արգումենտի թույլատրելի արժեքներ	Համար
$~\sin ^{2}\alpha +\cos ^{2}\alpha =1$	$\forall \alpha$	(1)
$\operatorname {tg} ^{2}\alpha +1={\frac {1}{\cos ^{2}\alpha }}=\operatorname {sec} ^{2}\alpha$	$\alpha \neq {\frac {\pi }{2}}+\pi n,n\in \mathbb {Z}$	(2)
$\operatorname {ctg} ^{2}\alpha +1={\frac {1}{\sin ^{2}\alpha }}=\operatorname {cosec} ^{2}\alpha$	$\alpha \neq \pi n,n\in \mathbb {Z}$	(3)

Բանաձև (1)-ը հետևանք է Պյութագորասի թեորեմայից։ (2)-րդ և (3)-րդ բանաձևերը ստացվում են (1)-ին բանաձևից բաժանելով համապատասխանաբար $~\cos ^{2}\alpha$-ի և $~\sin ^{2}\alpha$-ի։

Արգումենտի գումարի բանաձևերը

Արգումենտի գումարի բանաձևերը	Համարը
$\sin \left(\alpha \pm \beta \right)=\sin \alpha \cos \beta \pm \cos \alpha \sin \beta$	(4)
$\cos \left(\alpha \pm \beta \right)=\cos \alpha \cos \beta \mp \sin \alpha \sin \beta$	(5)
$\operatorname {tg} \left(\alpha \pm \beta \right)={\frac {\operatorname {tg} \alpha \pm \operatorname {tg} \beta }{1\mp \operatorname {tg} \alpha \operatorname {tg} \beta }}$	(6)
$\operatorname {ctg} \left(\alpha \pm \beta \right)={\frac {\operatorname {ctg} \alpha \operatorname {ctg} \beta \mp 1}{\operatorname {ctg} \beta \pm \operatorname {ctg} \alpha }}$	(7)

Բանաձև (6)-ը ստացվում է (4)-ը (5)-ի վրա բաժանելիս, իսկ (7)-րդ բանաձևը՝ (5)-ը (4)-ի բաժանելիս։

Կրկնակի անկյան բանաձևերը

Կրկնակի անկյան բանաձևերը	Համարը
$\operatorname {sin} 2\alpha =2{\sin \alpha }{\cos \alpha }$	(8)
$\operatorname {cos} 2\alpha ={\cos ^{2}\alpha }-{\sin ^{2}\alpha }$ $\operatorname {cos} 2\alpha =2{\cos ^{2}\alpha }-1=1-2{\sin ^{2}\alpha }$	(9)
$\operatorname {tg} 2\alpha ={\frac {2\operatorname {tg} \alpha }{1-\operatorname {tg} ^{2}\alpha }}$	(10)
$\operatorname {ctg} 2\alpha ={\frac {\operatorname {ctg} ^{2}\alpha -1}{2\operatorname {ctg} \alpha }}$	(11)

Կրկնակի անկյան բանաձևերը դուրս են բերվում (4), (5), (6) և (7) բանաձևերից, եթե հաշվի առնենեք, որ $\beta$ և $\alpha$ անկյունները հավասար են։

Ուշադրություն  

$\operatorname {tg} 2\alpha$-ի բանաձևի համար (10)՝

• $\alpha \not ={\frac {\pi }{4}}+{\frac {\pi }{2}}n,n\in \mathbb {Z} ,$
• $\alpha \not ={\frac {\pi }{2}}+\pi n,n\in \mathbb {Z} ,$

$\operatorname {ctg} 2\alpha$-ի բանաձևի համար (11)՝ $\alpha \not ={\frac {\pi }{2}}+\pi n,n\in \mathbb {Z} .$

Եռակի անկյան բանաձևերը

Եռակի անկյան բանաձևերը	Համարը
$\sin 3\alpha =3\sin \alpha -4\sin ^{3}\alpha \,$	(12)
$\cos 3\alpha =4\cos ^{3}\alpha -3\cos \alpha \,$	(13)
$\operatorname {tg} 3\alpha ={\frac {3\operatorname {tg} \alpha -\operatorname {tg} ^{3}\alpha }{1-3\operatorname {tg} ^{2}\alpha }}$	(14)
$\operatorname {ctg} 3\alpha ={\frac {3\operatorname {ctg} \alpha -\operatorname {ctg} ^{3}\alpha }{1-3\operatorname {ctg} ^{2}\alpha }}$	(15)

Ուշադրություն  

$\operatorname {tg} 3\alpha$-ի բանաձևի համար (14)՝ $\alpha \not ={\frac {\pi }{6}}+{\frac {\pi }{3}}n,n\in \mathbb {Z}$
$\operatorname {ctg} 3\alpha$-ի բանաձևի համար (15)՝ $\alpha \not ={\frac {\pi }{3}}n+\pi n,n\in \mathbb {Z}$;

Աստիճանի իջեցման բանաձևերը

Աստիճանի իջեցման բանաձևերը դուրս են բերվում (9)-րդ բանաձևերից։

	Աստիճանի իջեցման բանաձևերը	Համարը
Սինուս	$\sin ^{2}\alpha ={\frac {1-\cos 2\alpha }{2}}$	(16)
Կոսինուս	$\cos ^{2}\alpha ={\frac {1+\cos 2\alpha }{2}}$	(17)

Ֆունկցիաների արտադրյալի ձևափոխման բանաձևեր

Ֆունկցիաների արտադրյալի ձևափոխման բանաձևեր	Համարը
$\sin \alpha \sin \beta ={\frac {\cos(\alpha -\beta )-\cos(\alpha +\beta )}{2}}$	(18)
$\sin \alpha \cos \beta ={\frac {\sin(\alpha -\beta )+\sin(\alpha +\beta )}{2}}$	(19)
$\cos \alpha \cos \beta ={\frac {\cos(\alpha -\beta )+\cos(\alpha +\beta )}{2}}$	(20)

Ուշադրություն  

Ֆունկցիաների արտադրյալի ձևափոխման բանաձևերը ստացվում են արգումենտների գումարման (4) և (5) բանաձևերից։ Օրինակ, (4)-րդ բանաձևից հետևում է՝

$\sin(\alpha +\beta )+\sin(\alpha -\beta )=\sin \alpha \cos \beta +\cos \alpha \sin \beta +\sin \alpha \cos \beta -\cos \alpha \sin \beta =2\sin \alpha \cos \beta$.

Այսինքն.

$\sin \alpha \cos \beta ={\frac {\sin(\alpha +\beta )+\sin(\alpha -\beta )}{2}}$    — բանաձև (19).

Ֆունկցիաների արտադրյալի մյուս բանաձևերը ստացվում են նույն ձևով։

Ֆունկցիաների գումարի ձևափոխման բանաձևեր

Ֆունկցիաների գումարի ձևափոխման բանաձևեր	Համարը
$\sin \alpha \pm \sin \beta =2\sin {\frac {\alpha \pm \beta }{2}}\cos {\frac {\alpha \mp \beta }{2}}$	(21)
$\cos \alpha +\cos \beta =2\cos {\frac {\alpha +\beta }{2}}\cos {\frac {\alpha -\beta }{2}}$	(22)
$\cos \alpha -\cos \beta =-2\sin {\frac {\alpha +\beta }{2}}\sin {\frac {\alpha -\beta }{2}}$	(23)
$\operatorname {tg} \alpha \pm \operatorname {tg} \beta ={\frac {\sin(\alpha \pm \beta )}{\cos \alpha \cos \beta }}$	(24)
$\operatorname {ctg} \alpha \pm \operatorname {ctg} \beta ={\frac {\sin(\beta \pm \alpha )}{\sin \alpha \sin \beta }}$	(25)

Ուշադրություն  

Ֆունկցիաների գումարի ձևափոխման բանաձևերը դուրս են բերվում ֆունկցիաների արտադրյալների ձևափոխման (18), (19) և (20) բանաձևերից տեղադրման օգնությամբ՝

$\alpha ={\frac {\alpha +\beta }{2}}$   և   $\beta ={\frac {\alpha -\beta }{2}}$:

Տեղադրենք այս արտահայտությունները (18) բանաձևում՝

$\sin({\frac {\alpha +\beta }{2}})\sin({\frac {\alpha -\beta }{2}})={\frac {\cos \beta -\cos \alpha }{2}}$, այսինքն՝

$\cos \alpha -\cos \beta =-2\sin({\frac {\alpha +\beta }{2}})\sin({\frac {\alpha -\beta }{2}})$    — բանաձև (23)։

Ֆունկցիաների գումարի մյուս բանաձևերը (սինուսի և կոսինուսի) ստացվում են նույն ձևով։
Բանաձև (6)-ից հետևում է՝

$\operatorname {tg} \alpha +\operatorname {tg} \beta =\operatorname {tg} (\alpha +\beta )(1-\operatorname {tg} (\alpha )\operatorname {tg} (\beta ))=$

$={\frac {\sin(\alpha +\beta )}{\cos(\alpha +\beta )}}\cdot {\frac {\cos \alpha \cos \beta -\sin \alpha \sin \beta }{\cos \alpha \cos \beta }}$

$={\frac {\sin(\alpha +\beta )}{\cos(\alpha +\beta )}}\cdot {\frac {\cos(\alpha +\beta )}{\cos \alpha \cos \beta }}$, այսինքն՝

$\operatorname {tg} \alpha \pm \operatorname {tg} \beta ={\frac {\sin(\alpha \pm \beta )}{\cos \alpha \cos \beta }}\qquad \qquad$   — բանաձև (24)։

Երեք տարբեր անկյունների սինուսների գումարը արտադրյալի ձևափոխվում է երբ $\alpha \ +\beta \ +\gamma \ =180^{\circ }$ :

$\sin 2\alpha +\sin 2\beta +\sin 2\gamma =4\sin \alpha \ \sin \beta \ \sin \gamma$

Պարզագույն եռանկյունաչափական հավասարումների լուծում

• $\sin x=a$

եթե $|a|>1$ — իրական լուծում չունի։

եթե $|a|\leqslant 1$ — լուծումն ունի այսպիսի տեսք՝ $x=(-1)^{n}\arcsin a+\pi n;\ n\in \mathbb {Z} :$

• $\cos x=a$

եթե $|a|>1$ — իրական լուծում չունի։

եթե $|a|\leqslant 1$ — լուծումն ունի այսպիսի տեսք՝ $x=\pm \arccos a+2\pi n;\ n\in \mathbb {Z} :$

• $\operatorname {tg} \,x=a$

լուծումն ունի այսպիսի տեսք՝ $x=\operatorname {arctg} \,a+\pi n;\ n\in \mathbb {Z} :$

• $\operatorname {ctg} \,x=a$

լուծումն ունի այսպիսի տեսք՝ $x=\operatorname {arcctg} \,a+\pi n;\ n\in \mathbb {Z} :$

Օգտակար նույնություններ

Բանաձևերում $k$ և $n$ ամբողջ թվեր են։

$\sin \left({\frac {\pi }{4}}+x\right)=\cos \left({\frac {\pi }{4}}-x\right).$

$\sin \left({\frac {\pi }{4}}-x\right)=\cos \left({\frac {\pi }{4}}+x\right).$

$1\pm \sin x=2\sin ^{2}\left({\frac {\pi }{4}}\pm {\frac {x}{2}}\right).$

$1+\cos x=2\cos ^{2}\left({\frac {x}{2}}\right).$

$1-\cos x=2\sin ^{2}\left({\frac {x}{2}}\right).$

$\sin ^{2}x={\frac {1}{1+\operatorname {ctg} ^{2}x}}.$

$\cos ^{2}x={\frac {1}{1+\operatorname {tg} ^{2}x}}.$

$\sin ^{2}x-\sin ^{2}y=\sin(x-y)\cdot \sin(x+y).$

$\cos ^{2}x-\cos ^{2}y=-\sin(x-y)\cdot \sin(x+y).$

$\cos ^{2}x-\sin ^{2}y=\cos(x-y)\cdot \cos(x+y).$

$\sin 2x+\sin 2y=2\cos(x-y)\cdot \sin(x+y).$

$\sin 2x-\sin 2y=2\sin(x-y)\cdot \cos(x+y).$

$\cos 2x+\cos 2y=2\cos(x-y)\cdot \cos(x+y).$

$\cos 2x-\cos 2y=-2\sin(x-y)\cdot \sin(x+y).$

$\sin 2x+\cos 2y=2\sin \left({\frac {\pi }{4}}+x-y\right)\cdot \sin \left({\frac {\pi }{4}}+x+y\right).$

$\sin 2x-\cos 2y=-2\sin \left({\frac {\pi }{4}}-x-y\right)\cdot \sin \left({\frac {\pi }{4}}-x+y\right).$

$\sin ^{3}x+\cos ^{3}x=(\sin x+\cos x)(1-\sin x\cos x).$

$\sin ^{4}x+\cos ^{4}x=1-2\sin ^{2}x\,\cos ^{2}x=1-{\frac {1}{2}}\sin ^{2}(2x)={\frac {3}{4}}+{\frac {1}{4}}\cos(4x).$

$\sin ^{6}x+\cos ^{6}x=1-3\sin ^{2}x\,\cos ^{2}x=1-3\sin ^{2}x+3\sin ^{4}x=1-{\frac {3}{4}}\sin ^{2}(2x)={\frac {5}{8}}+{\frac {3}{8}}\cos(4x).$

$1\pm \operatorname {tg} x={\frac {{\sqrt {2}}\sin \left({\frac {\pi }{4}}\pm x\right)}{\cos x}}.$

$1\pm \operatorname {ctg} x={\frac {{\sqrt {2}}\sin \left({\frac {\pi }{4}}\pm x\right)}{\sin x}}.$

$\operatorname {tg} x={\frac {\sin 2x}{\cos 2x+1}}={\frac {1-\cos 2x}{\sin 2x}}.$

$\operatorname {ctg} ^{2}x-\operatorname {tg} ^{2}x={\frac {4\cos 2x}{\sin ^{2}2x}}.$

$\sin 3x=4\sin x\cdot \sin \left({\frac {\pi }{3}}+x\right)\cdot \sin \left({\frac {\pi }{3}}-x\right).$

$\operatorname {tg} 3x=\operatorname {tg} x\cdot \operatorname {tg} \left({\frac {\pi }{3}}+x\right)\cdot \operatorname {tg} \left({\frac {\pi }{3}}-x\right).$

$\sin 5x=16\sin x\cdot \sin \left({\frac {\pi }{5}}+x\right)\cdot \sin \left({\frac {\pi }{5}}-x\right)\cdot \sin \left({\frac {2\pi }{5}}+x\right)\cdot \sin \left({\frac {2\pi }{5}}-x\right).$

$\operatorname {tg} 5x=\operatorname {tg} x\cdot \operatorname {tg} \left({\frac {\pi }{5}}+x\right)\cdot \operatorname {tg} \left({\frac {\pi }{5}}-x\right)\cdot \operatorname {tg} \left({\frac {2\pi }{5}}+x\right)\cdot \operatorname {tg} \left({\frac {2\pi }{5}}-x\right).$

$\sin 7x=64\sin x\cdot \sin \left({\frac {\pi }{7}}+x\right)\cdot \sin \left({\frac {\pi }{7}}-x\right)\cdot \sin \left({\frac {2\pi }{7}}+x\right)\cdot \sin \left({\frac {2\pi }{7}}-x\right)\cdot \sin \left({\frac {3\pi }{7}}+x\right)\cdot \sin \left({\frac {3\pi }{7}}-x\right).$

$\operatorname {tg} 7x=\operatorname {tg} x\cdot \operatorname {tg} \left({\frac {\pi }{7}}+x\right)\cdot \operatorname {tg} \left({\frac {\pi }{7}}-x\right)\cdot \operatorname {tg} \left({\frac {2\pi }{7}}+x\right)\cdot \operatorname {tg} \left({\frac {2\pi }{7}}-x\right)\cdot \operatorname {tg} \left({\frac {3\pi }{7}}+x\right)\cdot \operatorname {tg} \left({\frac {3\pi }{7}}-x\right).$

$\sin nx=2^{n-1}\prod \limits _{k=0}^{n-1}\sin \left(x+{\frac {\pi k}{n}}\right).$

$\operatorname {tg} {\big [}(2n+1)x{\big ]}=(-1)^{n}\prod \limits _{k=0}^{2n}\operatorname {tg} \left(x+{\frac {\pi k}{2n+1}}\right).$

$\sum \limits _{k=1}^{n}\sin(kx)=\sin \left({\frac {n+1}{2}}x\right){\frac {\sin \left({\frac {nx}{2}}\right)}{\sin \left({\frac {x}{2}}\right)}}.$

$\sum \limits _{k=1}^{n}\cos(kx)=\cos \left({\frac {n+1}{2}}x\right){\frac {\sin \left({\frac {nx}{2}}\right)}{\sin \left({\frac {x}{2}}\right)}}.$

$\sum \limits _{k=1}^{n}\sin {\big [}(2k-1)x{\big ]}={\frac {\sin ^{2}nx}{\sin x}}.$

$\sum \limits _{k=1}^{n}\cos {\big [}(2k-1)x{\big ]}={\frac {\sin 2nx}{2\sin x}}.$

$\sum \limits _{k=1}^{n}\cos {\frac {2\pi k}{2n+1}}=-{\frac {1}{2}}.$

$\prod \limits _{k=1}^{n-1}\sin {\frac {k\pi }{n}}={\frac {n}{2^{n-1}}}.$

$\prod \limits _{k=1}^{n}\sin {\frac {k\pi }{2(n+1)}}={\frac {\sqrt {n+1}}{2^{n}}}.$

$\prod \limits _{k=1}^{n}\sin {\frac {k\pi }{2n+1}}={\frac {\sqrt {2n+1}}{2^{n}}}.$

$\prod \limits _{k=1}^{2n-1}\cos {\frac {k\pi }{n}}={\frac {(-1)^{n}-1}{2^{2n-1}}}.$

$\prod \limits _{k=0}^{n}\cos \left(2^{k}x\right)={\frac {\sin \left(2^{n+1}x\right)}{2^{n+1}\sin x}}.$

$\prod \limits _{k=0}^{n}\cos {\frac {x}{2^{k}}}={\frac {\sin 2x}{2^{n+1}\sin \left({\frac {x}{2^{n}}}\right)}}.$

$\prod \limits _{k=1}^{n}\cos {\frac {x}{2^{k}}}={\frac {\sin x}{2^{n}\sin \left({\frac {x}{2^{n}}}\right)}}.$

$\prod \limits _{k=0}^{\infty }\cos {\frac {x}{2^{k}}}={\frac {\sin 2x}{2x}}.$

$\prod \limits _{k=1}^{\infty }\cos {\frac {x}{2^{k}}}={\frac {\sin x}{x}}.$

$\cos 20^{\circ }\cdot \cos 40^{\circ }\cdot \cos 80^{\circ }={\frac {1}{8}}.$

$\cos {\frac {\pi }{7}}\cdot \cos {\frac {4\pi }{7}}\cdot \cos {\frac {5\pi }{7}}={\frac {1}{8}}.$

$\cos {\frac {\pi }{7}}\cdot \cos {\frac {2\pi }{7}}\cdot \cos {\frac {4\pi }{7}}=-{\frac {1}{8}}.$

$\cos {\frac {\pi }{9}}\cdot \cos {\frac {2\pi }{9}}\cdot \cos {\frac {4\pi }{9}}={\frac {1}{8}}.$

$\cos {\frac {\pi }{9}}\cdot \cos {\frac {5\pi }{9}}\cdot \cos {\frac {7\pi }{9}}={\frac {1}{8}}.$

$\cos 24^{\circ }+\cos 48^{\circ }+\cos 96^{\circ }+\cos 168^{\circ }={\frac {1}{2}}.$

${\begin{aligned}&\cos \left({\frac {2\pi }{21}}\right)+\cos \left(2\cdot {\frac {2\pi }{21}}\right)+\cos \left(4\cdot {\frac {2\pi }{21}}\right)\\[10pt]&{}\qquad {}+\cos \left(5\cdot {\frac {2\pi }{21}}\right)+\cos \left(8\cdot {\frac {2\pi }{21}}\right)+\cos \left(10\cdot {\frac {2\pi }{21}}\right)={\frac {1}{2}}.\end{aligned}}$

Следующая формула приводится в двух вариантах для угла $\alpha$ заданного в градусах и радианах:

$\operatorname {tg} \alpha ={\frac {360^{\circ }\cdot \alpha }{\pi }}\sum \limits _{k=1}^{\infty }{\frac {1}{(180^{\circ }k-90^{\circ }+\alpha )(180^{\circ }k-90^{\circ }-\alpha )}}=2\alpha \sum \limits _{k=1}^{\infty }{\frac {1}{(k-1/2)^{2}\pi ^{2}-\alpha ^{2}}}.$

$\operatorname {arctg} {\frac {1}{2}}+\operatorname {arctg} {\frac {1}{3}}={\frac {\pi }{4}}.$

Երկրաչափական հավասարումներ

Եռանկյունաչափության հավասարումներ, հանրահաշվական հավասարումներ անհայտ արգումենտի եռանկյունաչափական ֆունկցիաների նկատմամբ։

Ընդհանուր բնութագիր

Երկրաչափություն

Վերջինների միջև տարբեր առնչությունների օգնությամբ եռանկունաչափության հավասարումները միշտ բերվում են միևնույն ֆունկցիայի հանրահաշվական հավասարման։ Եռանկյունաչափության հավասարումները լուծվում են ավելի պարզ, եթե հնարավոր է հավասարման ձախ մասը վերածել տարբեր եռանկյունաչափական ֆունկցիաների արտադրյալի։ Օրինակ, sinx+sin2x+sin3x=0 հավասարումը կարելի է բերել և sin2x(2cosx+1) = 0 տեսքի և sinx-ի նկատմամբ խորանարդ հավասարման։ Եռանկյունաչափական հավասարումների տեսքը երբեմն հնարավոր է պարզեցնել օժանդակ արգումենտ մուծելով։

Այս հոդվածի կամ նրա բաժնի որոշակի հատվածի սկզբնական կամ ներկայիս տարբերակը վերցված է Քրիեյթիվ Քոմմոնս Նշում–Համանման տարածում 3.0 (Creative Commons BY-SA 3.0) ազատ թույլատրագրով թողարկված Հայկական սովետական հանրագիտարանից  (հ․ 3, էջ 520)։