Եռանկյունաչափական նույնությունները մաթեմատիկական արտահայտություներ են եռանկյունաչափական ֆունկցիաների համար, որոնք կատարվում են արգումենտի բոլոր արժեքների համար (ընդհանուր որոշման տիրույթից)։
Բանաձևեր
Արգումենտի թույլատրելի արժեքներ
Համար
sin
2
α
+
cos
2
α
=
1
{\displaystyle ~\sin ^{2}\alpha +\cos ^{2}\alpha =1}
∀
α
{\displaystyle \forall \alpha }
(1)
tg
2
α
+
1
=
1
cos
2
α
=
sec
2
α
{\displaystyle \operatorname {tg} ^{2}\alpha +1={\frac {1}{\cos ^{2}\alpha }}=\operatorname {sec} ^{2}\alpha }
α
≠
π
2
+
π
n
,
n
∈
Z
{\displaystyle \alpha \neq {\frac {\pi }{2}}+\pi n,n\in \mathbb {Z} }
(2)
ctg
2
α
+
1
=
1
sin
2
α
=
cosec
2
α
{\displaystyle \operatorname {ctg} ^{2}\alpha +1={\frac {1}{\sin ^{2}\alpha }}=\operatorname {cosec} ^{2}\alpha }
α
≠
π
n
,
n
∈
Z
{\displaystyle \alpha \neq \pi n,n\in \mathbb {Z} }
(3)
Բանաձև (1) -ը հետևանք է Պյութագորասի թեորեմայից։ (2) -րդ և (3) -րդ բանաձևերը ստացվում են (1) -ին բանաձևից բաժանելով համապատասխանաբար
cos
2
α
{\displaystyle ~\cos ^{2}\alpha }
sin
2
α
{\displaystyle ~\sin ^{2}\alpha }
Արգումենտի գումարի բանաձևերը
Համարը
sin
(
α
±
β
)
=
sin
α
cos
β
±
cos
α
sin
β
{\displaystyle \sin \left(\alpha \pm \beta \right)=\sin \alpha \cos \beta \pm \cos \alpha \sin \beta }
(4)
cos
(
α
±
β
)
=
cos
α
cos
β
∓
sin
α
sin
β
{\displaystyle \cos \left(\alpha \pm \beta \right)=\cos \alpha \cos \beta \mp \sin \alpha \sin \beta }
(5)
tg
(
α
±
β
)
=
tg
α
±
tg
β
1
∓
tg
α
tg
β
{\displaystyle \operatorname {tg} \left(\alpha \pm \beta \right)={\frac {\operatorname {tg} \alpha \pm \operatorname {tg} \beta }{1\mp \operatorname {tg} \alpha \operatorname {tg} \beta }}}
(6)
ctg
(
α
±
β
)
=
ctg
α
ctg
β
∓
1
ctg
β
±
ctg
α
{\displaystyle \operatorname {ctg} \left(\alpha \pm \beta \right)={\frac {\operatorname {ctg} \alpha \operatorname {ctg} \beta \mp 1}{\operatorname {ctg} \beta \pm \operatorname {ctg} \alpha }}}
(7)
Բանաձև (6) -ը ստացվում է (4) -ը (5) -ի վրա բաժանելիս, իսկ (7) -րդ բանաձևը՝ (5) -ը (4) -ի բաժանելիս։
Կրկնակի անկյան բանաձևերը
Համարը
sin
2
α
=
2
sin
α
cos
α
{\displaystyle \operatorname {sin} 2\alpha =2{\sin \alpha }{\cos \alpha }}
(8)
cos
2
α
=
cos
2
α
−
sin
2
α
{\displaystyle \operatorname {cos} 2\alpha ={\cos ^{2}\alpha }-{\sin ^{2}\alpha }}
cos
2
α
=
2
cos
2
α
−
1
=
1
−
2
sin
2
α
{\displaystyle \operatorname {cos} 2\alpha =2{\cos ^{2}\alpha }-1=1-2{\sin ^{2}\alpha }}
(9)
tg
2
α
=
2
tg
α
1
−
tg
2
α
{\displaystyle \operatorname {tg} 2\alpha ={\frac {2\operatorname {tg} \alpha }{1-\operatorname {tg} ^{2}\alpha }}}
(10)
ctg
2
α
=
ctg
2
α
−
1
2
ctg
α
{\displaystyle \operatorname {ctg} 2\alpha ={\frac {\operatorname {ctg} ^{2}\alpha -1}{2\operatorname {ctg} \alpha }}}
(11)
Կրկնակի անկյան բանաձևերը դուրս են բերվում (4) , (5) , (6) և (7) բանաձևերից, եթե հաշվի առնենեք, որ
β
{\displaystyle \beta }
α
{\displaystyle \alpha }
Ուշադրություն
tg
2
α
{\displaystyle \operatorname {tg} 2\alpha }
(10) ՝
α
≠
π
4
+
π
2
n
,
n
∈
Z
,
{\displaystyle \alpha \not ={\frac {\pi }{4}}+{\frac {\pi }{2}}n,n\in \mathbb {Z} ,}
α
≠
π
2
+
π
n
,
n
∈
Z
,
{\displaystyle \alpha \not ={\frac {\pi }{2}}+\pi n,n\in \mathbb {Z} ,}
ctg
2
α
{\displaystyle \operatorname {ctg} 2\alpha }
(11) ՝
α
≠
π
2
+
π
n
,
n
∈
Z
.
{\displaystyle \alpha \not ={\frac {\pi }{2}}+\pi n,n\in \mathbb {Z} .}
Եռակի անկյան բանաձևերը
Համարը
sin
3
α
=
3
sin
α
−
4
sin
3
α
{\displaystyle \sin 3\alpha =3\sin \alpha -4\sin ^{3}\alpha \,}
(12)
cos
3
α
=
4
cos
3
α
−
3
cos
α
{\displaystyle \cos 3\alpha =4\cos ^{3}\alpha -3\cos \alpha \,}
(13)
tg
3
α
=
3
tg
α
−
tg
3
α
1
−
3
tg
2
α
{\displaystyle \operatorname {tg} 3\alpha ={\frac {3\operatorname {tg} \alpha -\operatorname {tg} ^{3}\alpha }{1-3\operatorname {tg} ^{2}\alpha }}}
(14)
ctg
3
α
=
3
ctg
α
−
ctg
3
α
1
−
3
ctg
2
α
{\displaystyle \operatorname {ctg} 3\alpha ={\frac {3\operatorname {ctg} \alpha -\operatorname {ctg} ^{3}\alpha }{1-3\operatorname {ctg} ^{2}\alpha }}}
(15)
Աստիճանի իջեցման բանաձևերը դուրս են բերվում (9) -րդ բանաձևերից։
Աստիճանի իջեցման բանաձևերը
Համարը
Սինուս
sin
2
α
=
1
−
cos
2
α
2
{\displaystyle \sin ^{2}\alpha ={\frac {1-\cos 2\alpha }{2}}}
(16)
Կոսինուս
cos
2
α
=
1
+
cos
2
α
2
{\displaystyle \cos ^{2}\alpha ={\frac {1+\cos 2\alpha }{2}}}
(17)
Ֆունկցիաների արտադրյալի ձևափոխման բանաձևեր
Համարը
sin
α
sin
β
=
cos
(
α
−
β
)
−
cos
(
α
+
β
)
2
{\displaystyle \sin \alpha \sin \beta ={\frac {\cos(\alpha -\beta )-\cos(\alpha +\beta )}{2}}}
(18)
sin
α
cos
β
=
sin
(
α
−
β
)
+
sin
(
α
+
β
)
2
{\displaystyle \sin \alpha \cos \beta ={\frac {\sin(\alpha -\beta )+\sin(\alpha +\beta )}{2}}}
(19)
cos
α
cos
β
=
cos
(
α
−
β
)
+
cos
(
α
+
β
)
2
{\displaystyle \cos \alpha \cos \beta ={\frac {\cos(\alpha -\beta )+\cos(\alpha +\beta )}{2}}}
(20)
Ուշադրություն
Ֆունկցիաների արտադրյալի ձևափոխման բանաձևերը ստացվում են արգումենտների գումարման (4) և (5) բանաձևերից։
Օրինակ, (4)-րդ բանաձևից հետևում է՝
sin
(
α
+
β
)
+
sin
(
α
−
β
)
=
sin
α
cos
β
+
cos
α
sin
β
+
sin
α
cos
β
−
cos
α
sin
β
=
2
sin
α
cos
β
{\displaystyle \sin(\alpha +\beta )+\sin(\alpha -\beta )=\sin \alpha \cos \beta +\cos \alpha \sin \beta +\sin \alpha \cos \beta -\cos \alpha \sin \beta =2\sin \alpha \cos \beta }
Այսինքն.
sin
α
cos
β
=
sin
(
α
+
β
)
+
sin
(
α
−
β
)
2
{\displaystyle \sin \alpha \cos \beta ={\frac {\sin(\alpha +\beta )+\sin(\alpha -\beta )}{2}}}
Ֆունկցիաների արտադրյալի մյուս բանաձևերը ստացվում են նույն ձևով։
Ֆունկցիաների գումարի ձևափոխման բանաձևեր
Համարը
sin
α
±
sin
β
=
2
sin
α
±
β
2
cos
α
∓
β
2
{\displaystyle \sin \alpha \pm \sin \beta =2\sin {\frac {\alpha \pm \beta }{2}}\cos {\frac {\alpha \mp \beta }{2}}}
(21)
cos
α
+
cos
β
=
2
cos
α
+
β
2
cos
α
−
β
2
{\displaystyle \cos \alpha +\cos \beta =2\cos {\frac {\alpha +\beta }{2}}\cos {\frac {\alpha -\beta }{2}}}
(22)
cos
α
−
cos
β
=
−
2
sin
α
+
β
2
sin
α
−
β
2
{\displaystyle \cos \alpha -\cos \beta =-2\sin {\frac {\alpha +\beta }{2}}\sin {\frac {\alpha -\beta }{2}}}
(23)
tg
α
±
tg
β
=
sin
(
α
±
β
)
cos
α
cos
β
{\displaystyle \operatorname {tg} \alpha \pm \operatorname {tg} \beta ={\frac {\sin(\alpha \pm \beta )}{\cos \alpha \cos \beta }}}
(24)
ctg
α
±
ctg
β
=
sin
(
β
±
α
)
sin
α
sin
β
{\displaystyle \operatorname {ctg} \alpha \pm \operatorname {ctg} \beta ={\frac {\sin(\beta \pm \alpha )}{\sin \alpha \sin \beta }}}
(25)
sin
x
=
a
{\displaystyle \sin x=a}
եթե
|
a
|
>
1
{\displaystyle |a|>1}
եթե
|
a
|
⩽
1
{\displaystyle |a|\leqslant 1}
x
=
(
−
1
)
n
arcsin
a
+
π
n
;
n
∈
Z
:
{\displaystyle x=(-1)^{n}\arcsin a+\pi n;\ n\in \mathbb {Z} :}
cos
x
=
a
{\displaystyle \cos x=a}
եթե
|
a
|
>
1
{\displaystyle |a|>1}
եթե
|
a
|
⩽
1
{\displaystyle |a|\leqslant 1}
x
=
±
arccos
a
+
2
π
n
;
n
∈
Z
:
{\displaystyle x=\pm \arccos a+2\pi n;\ n\in \mathbb {Z} :}
tg
x
=
a
{\displaystyle \operatorname {tg} \,x=a}
լուծումն ունի այսպիսի տեսք՝
x
=
arctg
a
+
π
n
;
n
∈
Z
:
{\displaystyle x=\operatorname {arctg} \,a+\pi n;\ n\in \mathbb {Z} :}
ctg
x
=
a
{\displaystyle \operatorname {ctg} \,x=a}
լուծումն ունի այսպիսի տեսք՝
x
=
arcctg
a
+
π
n
;
n
∈
Z
:
{\displaystyle x=\operatorname {arcctg} \,a+\pi n;\ n\in \mathbb {Z} :}
Բանաձևերում
k
{\displaystyle k}
n
{\displaystyle n}
sin
(
π
4
+
x
)
=
cos
(
π
4
−
x
)
.
{\displaystyle \sin \left({\frac {\pi }{4}}+x\right)=\cos \left({\frac {\pi }{4}}-x\right).}
sin
(
π
4
−
x
)
=
cos
(
π
4
+
x
)
.
{\displaystyle \sin \left({\frac {\pi }{4}}-x\right)=\cos \left({\frac {\pi }{4}}+x\right).}
1
±
sin
x
=
2
sin
2
(
π
4
±
x
2
)
.
{\displaystyle 1\pm \sin x=2\sin ^{2}\left({\frac {\pi }{4}}\pm {\frac {x}{2}}\right).}
1
+
cos
x
=
2
cos
2
(
x
2
)
.
{\displaystyle 1+\cos x=2\cos ^{2}\left({\frac {x}{2}}\right).}
1
−
cos
x
=
2
sin
2
(
x
2
)
.
{\displaystyle 1-\cos x=2\sin ^{2}\left({\frac {x}{2}}\right).}
sin
2
x
=
1
1
+
ctg
2
x
.
{\displaystyle \sin ^{2}x={\frac {1}{1+\operatorname {ctg} ^{2}x}}.}
cos
2
x
=
1
1
+
tg
2
x
.
{\displaystyle \cos ^{2}x={\frac {1}{1+\operatorname {tg} ^{2}x}}.}
sin
2
x
−
sin
2
y
=
sin
(
x
−
y
)
⋅
sin
(
x
+
y
)
.
{\displaystyle \sin ^{2}x-\sin ^{2}y=\sin(x-y)\cdot \sin(x+y).}
cos
2
x
−
cos
2
y
=
−
sin
(
x
−
y
)
⋅
sin
(
x
+
y
)
.
{\displaystyle \cos ^{2}x-\cos ^{2}y=-\sin(x-y)\cdot \sin(x+y).}
cos
2
x
−
sin
2
y
=
cos
(
x
−
y
)
⋅
cos
(
x
+
y
)
.
{\displaystyle \cos ^{2}x-\sin ^{2}y=\cos(x-y)\cdot \cos(x+y).}
sin
2
x
+
sin
2
y
=
2
cos
(
x
−
y
)
⋅
sin
(
x
+
y
)
.
{\displaystyle \sin 2x+\sin 2y=2\cos(x-y)\cdot \sin(x+y).}
sin
2
x
−
sin
2
y
=
2
sin
(
x
−
y
)
⋅
cos
(
x
+
y
)
.
{\displaystyle \sin 2x-\sin 2y=2\sin(x-y)\cdot \cos(x+y).}
cos
2
x
+
cos
2
y
=
2
cos
(
x
−
y
)
⋅
cos
(
x
+
y
)
.
{\displaystyle \cos 2x+\cos 2y=2\cos(x-y)\cdot \cos(x+y).}
cos
2
x
−
cos
2
y
=
−
2
sin
(
x
−
y
)
⋅
sin
(
x
+
y
)
.
{\displaystyle \cos 2x-\cos 2y=-2\sin(x-y)\cdot \sin(x+y).}
sin
2
x
+
cos
2
y
=
2
sin
(
π
4
+
x
−
y
)
⋅
sin
(
π
4
+
x
+
y
)
.
{\displaystyle \sin 2x+\cos 2y=2\sin \left({\frac {\pi }{4}}+x-y\right)\cdot \sin \left({\frac {\pi }{4}}+x+y\right).}
sin
2
x
−
cos
2
y
=
−
2
sin
(
π
4
−
x
−
y
)
⋅
sin
(
π
4
−
x
+
y
)
.
{\displaystyle \sin 2x-\cos 2y=-2\sin \left({\frac {\pi }{4}}-x-y\right)\cdot \sin \left({\frac {\pi }{4}}-x+y\right).}
sin
3
x
+
cos
3
x
=
(
sin
x
+
cos
x
)
(
1
−
sin
x
cos
x
)
.
{\displaystyle \sin ^{3}x+\cos ^{3}x=(\sin x+\cos x)(1-\sin x\cos x).}
sin
4
x
+
cos
4
x
=
1
−
2
sin
2
x
cos
2
x
=
1
−
1
2
sin
2
(
2
x
)
=
3
4
+
1
4
cos
(
4
x
)
.
{\displaystyle \sin ^{4}x+\cos ^{4}x=1-2\sin ^{2}x\,\cos ^{2}x=1-{\frac {1}{2}}\sin ^{2}(2x)={\frac {3}{4}}+{\frac {1}{4}}\cos(4x).}
sin
6
x
+
cos
6
x
=
1
−
3
sin
2
x
cos
2
x
=
1
−
3
sin
2
x
+
3
sin
4
x
=
1
−
3
4
sin
2
(
2
x
)
=
5
8
+
3
8
cos
(
4
x
)
.
{\displaystyle \sin ^{6}x+\cos ^{6}x=1-3\sin ^{2}x\,\cos ^{2}x=1-3\sin ^{2}x+3\sin ^{4}x=1-{\frac {3}{4}}\sin ^{2}(2x)={\frac {5}{8}}+{\frac {3}{8}}\cos(4x).}
1
±
tg
x
=
2
sin
(
π
4
±
x
)
cos
x
.
{\displaystyle 1\pm \operatorname {tg} x={\frac {{\sqrt {2}}\sin \left({\frac {\pi }{4}}\pm x\right)}{\cos x}}.}
1
±
ctg
x
=
2
sin
(
π
4
±
x
)
sin
x
.
{\displaystyle 1\pm \operatorname {ctg} x={\frac {{\sqrt {2}}\sin \left({\frac {\pi }{4}}\pm x\right)}{\sin x}}.}
tg
x
=
sin
2
x
cos
2
x
+
1
=
1
−
cos
2
x
sin
2
x
.
{\displaystyle \operatorname {tg} x={\frac {\sin 2x}{\cos 2x+1}}={\frac {1-\cos 2x}{\sin 2x}}.}
ctg
2
x
−
tg
2
x
=
4
cos
2
x
sin
2
2
x
.
{\displaystyle \operatorname {ctg} ^{2}x-\operatorname {tg} ^{2}x={\frac {4\cos 2x}{\sin ^{2}2x}}.}
sin
3
x
=
4
sin
x
⋅
sin
(
π
3
+
x
)
⋅
sin
(
π
3
−
x
)
.
{\displaystyle \sin 3x=4\sin x\cdot \sin \left({\frac {\pi }{3}}+x\right)\cdot \sin \left({\frac {\pi }{3}}-x\right).}
tg
3
x
=
tg
x
⋅
tg
(
π
3
+
x
)
⋅
tg
(
π
3
−
x
)
.
{\displaystyle \operatorname {tg} 3x=\operatorname {tg} x\cdot \operatorname {tg} \left({\frac {\pi }{3}}+x\right)\cdot \operatorname {tg} \left({\frac {\pi }{3}}-x\right).}
sin
5
x
=
16
sin
x
⋅
sin
(
π
5
+
x
)
⋅
sin
(
π
5
−
x
)
⋅
sin
(
2
π
5
+
x
)
⋅
sin
(
2
π
5
−
x
)
.
{\displaystyle \sin 5x=16\sin x\cdot \sin \left({\frac {\pi }{5}}+x\right)\cdot \sin \left({\frac {\pi }{5}}-x\right)\cdot \sin \left({\frac {2\pi }{5}}+x\right)\cdot \sin \left({\frac {2\pi }{5}}-x\right).}
tg
5
x
=
tg
x
⋅
tg
(
π
5
+
x
)
⋅
tg
(
π
5
−
x
)
⋅
tg
(
2
π
5
+
x
)
⋅
tg
(
2
π
5
−
x
)
.
{\displaystyle \operatorname {tg} 5x=\operatorname {tg} x\cdot \operatorname {tg} \left({\frac {\pi }{5}}+x\right)\cdot \operatorname {tg} \left({\frac {\pi }{5}}-x\right)\cdot \operatorname {tg} \left({\frac {2\pi }{5}}+x\right)\cdot \operatorname {tg} \left({\frac {2\pi }{5}}-x\right).}
sin
7
x
=
64
sin
x
⋅
sin
(
π
7
+
x
)
⋅
sin
(
π
7
−
x
)
⋅
sin
(
2
π
7
+
x
)
⋅
sin
(
2
π
7
−
x
)
⋅
sin
(
3
π
7
+
x
)
⋅
sin
(
3
π
7
−
x
)
.
{\displaystyle \sin 7x=64\sin x\cdot \sin \left({\frac {\pi }{7}}+x\right)\cdot \sin \left({\frac {\pi }{7}}-x\right)\cdot \sin \left({\frac {2\pi }{7}}+x\right)\cdot \sin \left({\frac {2\pi }{7}}-x\right)\cdot \sin \left({\frac {3\pi }{7}}+x\right)\cdot \sin \left({\frac {3\pi }{7}}-x\right).}
tg
7
x
=
tg
x
⋅
tg
(
π
7
+
x
)
⋅
tg
(
π
7
−
x
)
⋅
tg
(
2
π
7
+
x
)
⋅
tg
(
2
π
7
−
x
)
⋅
tg
(
3
π
7
+
x
)
⋅
tg
(
3
π
7
−
x
)
.
{\displaystyle \operatorname {tg} 7x=\operatorname {tg} x\cdot \operatorname {tg} \left({\frac {\pi }{7}}+x\right)\cdot \operatorname {tg} \left({\frac {\pi }{7}}-x\right)\cdot \operatorname {tg} \left({\frac {2\pi }{7}}+x\right)\cdot \operatorname {tg} \left({\frac {2\pi }{7}}-x\right)\cdot \operatorname {tg} \left({\frac {3\pi }{7}}+x\right)\cdot \operatorname {tg} \left({\frac {3\pi }{7}}-x\right).}
sin
n
x
=
2
n
−
1
∏
k
=
0
n
−
1
sin
(
x
+
π
k
n
)
.
{\displaystyle \sin nx=2^{n-1}\prod \limits _{k=0}^{n-1}\sin \left(x+{\frac {\pi k}{n}}\right).}
tg
[
(
2
n
+
1
)
x
]
=
(
−
1
)
n
∏
k
=
0
2
n
tg
(
x
+
π
k
2
n
+
1
)
.
{\displaystyle \operatorname {tg} {\big [}(2n+1)x{\big ]}=(-1)^{n}\prod \limits _{k=0}^{2n}\operatorname {tg} \left(x+{\frac {\pi k}{2n+1}}\right).}
∑
k
=
1
n
sin
(
k
x
)
=
sin
(
n
+
1
2
x
)
sin
(
n
x
2
)
sin
(
x
2
)
.
{\displaystyle \sum \limits _{k=1}^{n}\sin(kx)=\sin \left({\frac {n+1}{2}}x\right){\frac {\sin \left({\frac {nx}{2}}\right)}{\sin \left({\frac {x}{2}}\right)}}.}
∑
k
=
1
n
cos
(
k
x
)
=
cos
(
n
+
1
2
x
)
sin
(
n
x
2
)
sin
(
x
2
)
.
{\displaystyle \sum \limits _{k=1}^{n}\cos(kx)=\cos \left({\frac {n+1}{2}}x\right){\frac {\sin \left({\frac {nx}{2}}\right)}{\sin \left({\frac {x}{2}}\right)}}.}
∑
k
=
1
n
sin
[
(
2
k
−
1
)
x
]
=
sin
2
n
x
sin
x
.
{\displaystyle \sum \limits _{k=1}^{n}\sin {\big [}(2k-1)x{\big ]}={\frac {\sin ^{2}nx}{\sin x}}.}
∑
k
=
1
n
cos
[
(
2
k
−
1
)
x
]
=
sin
2
n
x
2
sin
x
.
{\displaystyle \sum \limits _{k=1}^{n}\cos {\big [}(2k-1)x{\big ]}={\frac {\sin 2nx}{2\sin x}}.}
∑
k
=
1
n
cos
2
π
k
2
n
+
1
=
−
1
2
.
{\displaystyle \sum \limits _{k=1}^{n}\cos {\frac {2\pi k}{2n+1}}=-{\frac {1}{2}}.}
∏
k
=
1
n
−
1
sin
k
π
n
=
n
2
n
−
1
.
{\displaystyle \prod \limits _{k=1}^{n-1}\sin {\frac {k\pi }{n}}={\frac {n}{2^{n-1}}}.}
∏
k
=
1
n
sin
k
π
2
(
n
+
1
)
=
n
+
1
2
n
.
{\displaystyle \prod \limits _{k=1}^{n}\sin {\frac {k\pi }{2(n+1)}}={\frac {\sqrt {n+1}}{2^{n}}}.}
∏
k
=
1
n
sin
k
π
2
n
+
1
=
2
n
+
1
2
n
.
{\displaystyle \prod \limits _{k=1}^{n}\sin {\frac {k\pi }{2n+1}}={\frac {\sqrt {2n+1}}{2^{n}}}.}
∏
k
=
1
2
n
−
1
cos
k
π
n
=
(
−
1
)
n
−
1
2
2
n
−
1
.
{\displaystyle \prod \limits _{k=1}^{2n-1}\cos {\frac {k\pi }{n}}={\frac {(-1)^{n}-1}{2^{2n-1}}}.}
∏
k
=
0
n
cos
(
2
k
x
)
=
sin
(
2
n
+
1
x
)
2
n
+
1
sin
x
.
{\displaystyle \prod \limits _{k=0}^{n}\cos \left(2^{k}x\right)={\frac {\sin \left(2^{n+1}x\right)}{2^{n+1}\sin x}}.}
∏
k
=
0
n
cos
x
2
k
=
sin
2
x
2
n
+
1
sin
(
x
2
n
)
.
{\displaystyle \prod \limits _{k=0}^{n}\cos {\frac {x}{2^{k}}}={\frac {\sin 2x}{2^{n+1}\sin \left({\frac {x}{2^{n}}}\right)}}.}
∏
k
=
1
n
cos
x
2
k
=
sin
x
2
n
sin
(
x
2
n
)
.
{\displaystyle \prod \limits _{k=1}^{n}\cos {\frac {x}{2^{k}}}={\frac {\sin x}{2^{n}\sin \left({\frac {x}{2^{n}}}\right)}}.}
∏
k
=
0
∞
cos
x
2
k
=
sin
2
x
2
x
.
{\displaystyle \prod \limits _{k=0}^{\infty }\cos {\frac {x}{2^{k}}}={\frac {\sin 2x}{2x}}.}
∏
k
=
1
∞
cos
x
2
k
=
sin
x
x
.
{\displaystyle \prod \limits _{k=1}^{\infty }\cos {\frac {x}{2^{k}}}={\frac {\sin x}{x}}.}
cos
20
∘
⋅
cos
40
∘
⋅
cos
80
∘
=
1
8
.
{\displaystyle \cos 20^{\circ }\cdot \cos 40^{\circ }\cdot \cos 80^{\circ }={\frac {1}{8}}.}
cos
π
7
⋅
cos
4
π
7
⋅
cos
5
π
7
=
1
8
.
{\displaystyle \cos {\frac {\pi }{7}}\cdot \cos {\frac {4\pi }{7}}\cdot \cos {\frac {5\pi }{7}}={\frac {1}{8}}.}
cos
π
7
⋅
cos
2
π
7
⋅
cos
4
π
7
=
−
1
8
.
{\displaystyle \cos {\frac {\pi }{7}}\cdot \cos {\frac {2\pi }{7}}\cdot \cos {\frac {4\pi }{7}}=-{\frac {1}{8}}.}
cos
π
9
⋅
cos
2
π
9
⋅
cos
4
π
9
=
1
8
.
{\displaystyle \cos {\frac {\pi }{9}}\cdot \cos {\frac {2\pi }{9}}\cdot \cos {\frac {4\pi }{9}}={\frac {1}{8}}.}
cos
π
9
⋅
cos
5
π
9
⋅
cos
7
π
9
=
1
8
.
{\displaystyle \cos {\frac {\pi }{9}}\cdot \cos {\frac {5\pi }{9}}\cdot \cos {\frac {7\pi }{9}}={\frac {1}{8}}.}
cos
24
∘
+
cos
48
∘
+
cos
96
∘
+
cos
168
∘
=
1
2
.
{\displaystyle \cos 24^{\circ }+\cos 48^{\circ }+\cos 96^{\circ }+\cos 168^{\circ }={\frac {1}{2}}.}
cos
(
2
π
21
)
+
cos
(
2
⋅
2
π
21
)
+
cos
(
4
⋅
2
π
21
)
+
cos
(
5
⋅
2
π
21
)
+
cos
(
8
⋅
2
π
21
)
+
cos
(
10
⋅
2
π
21
)
=
1
2
.
{\displaystyle {\begin{aligned}&\cos \left({\frac {2\pi }{21}}\right)+\cos \left(2\cdot {\frac {2\pi }{21}}\right)+\cos \left(4\cdot {\frac {2\pi }{21}}\right)\\[10pt]&{}\qquad {}+\cos \left(5\cdot {\frac {2\pi }{21}}\right)+\cos \left(8\cdot {\frac {2\pi }{21}}\right)+\cos \left(10\cdot {\frac {2\pi }{21}}\right)={\frac {1}{2}}.\end{aligned}}}
Следующая формула приводится в двух вариантах для угла
α
{\displaystyle \alpha }
tg
α
=
360
∘
⋅
α
π
∑
k
=
1
∞
1
(
180
∘
k
−
90
∘
+
α
)
(
180
∘
k
−
90
∘
−
α
)
=
2
α
∑
k
=
1
∞
1
(
k
−
1
/
2
)
2
π
2
−
α
2
.
{\displaystyle \operatorname {tg} \alpha ={\frac {360^{\circ }\cdot \alpha }{\pi }}\sum \limits _{k=1}^{\infty }{\frac {1}{(180^{\circ }k-90^{\circ }+\alpha )(180^{\circ }k-90^{\circ }-\alpha )}}=2\alpha \sum \limits _{k=1}^{\infty }{\frac {1}{(k-1/2)^{2}\pi ^{2}-\alpha ^{2}}}.}
arctg
1
2
+
arctg
1
3
=
π
4
.
{\displaystyle \operatorname {arctg} {\frac {1}{2}}+\operatorname {arctg} {\frac {1}{3}}={\frac {\pi }{4}}.}
Եռանկյունաչափության հավասարումներ , հանրահաշվական հավասարումներ անհայտ արգումենտի եռանկյունաչափական ֆունկցիաների նկատմամբ։
Երկրաչափություն Վերջինների միջև տարբեր առնչությունների օգնությամբ եռանկունաչափության հավասարումները միշտ բերվում են միևնույն ֆունկցիայի հանրահաշվական հավասարման ։ Եռանկյունաչափության հավասարումները լուծվում են ավելի պարզ, եթե հնարավոր է հավասարման ձախ մասը վերածել տարբեր եռանկյունաչափական ֆունկցիաների արտադրյալի։ Օրինակ, sinx+sin2x+sin3x=0 հավասարումը կարելի է բերել և sin2x(2cosx+1) = 0 տեսքի և sinx-ի նկատմամբ խորանարդ հավասարման։ Եռանկյունաչափական հավասարումների տեսքը երբեմն հնարավոր է պարզեցնել օժանդակ արգումենտ մուծելով։
Այս հոդվածի կամ նրա բաժնի որոշակի հատվածի սկզբնական կամ ներկայիս տարբերակը վերցված է Քրիեյթիվ Քոմմոնս Նշում–Համանման տարածում 3.0 (Creative Commons BY-SA 3.0) ազատ թույլատրագրով թողարկված Հայկական սովետական հանրագիտարանից (հ․ 3, էջ 520 )։
![{\displaystyle \operatorname {tg} {\big [}(2n+1)x{\big ]}=(-1)^{n}\prod \limits _{k=0}^{2n}\operatorname {tg} \left(x+{\frac {\pi k}{2n+1}}\right).}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ac9350c4eb2ccd9ab4805de3dbc37d5ba710932a)
![{\displaystyle \sum \limits _{k=1}^{n}\sin {\big [}(2k-1)x{\big ]}={\frac {\sin ^{2}nx}{\sin x}}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/406902955ce267485d9fd04835e1eefc296a9b13)
![{\displaystyle \sum \limits _{k=1}^{n}\cos {\big [}(2k-1)x{\big ]}={\frac {\sin 2nx}{2\sin x}}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/09ebe4c43a1205e9d2b21f64365f220b27cdd981)
![{\displaystyle {\begin{aligned}&\cos \left({\frac {2\pi }{21}}\right)+\cos \left(2\cdot {\frac {2\pi }{21}}\right)+\cos \left(4\cdot {\frac {2\pi }{21}}\right)\\[10pt]&{}\qquad {}+\cos \left(5\cdot {\frac {2\pi }{21}}\right)+\cos \left(8\cdot {\frac {2\pi }{21}}\right)+\cos \left(10\cdot {\frac {2\pi }{21}}\right)={\frac {1}{2}}.\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/15e07fe52f1162c9c933e28a6bec4fb9f59528e8)
