Եռանկյունաչափական ֆունկցիաներ

Վիքիպեդիայից՝ ազատ հանրագիտարանից
Եռանկյունաչափական ֆունկցիաների գրաֆիկները.      կոսինուս     կոսինուս      տանգես      կոտանգես      սեկանս      կոսեկանս

Եռանկյունաչափական ֆունկցիաներ, տարրական ֆունկցիաներ, որոնք պատմականորեն առաջացել են ուղղանկյուն եռանկյունների ուսումնասիրման ժամանակ և արտահայտել են եռանկյան էջերի կախվածությունը սուր անկյուններից և ներքնաձիգից։ Այս ֆունկցիաները լայն տարածում են գտել գիտության ամենատարբեր բնագավառներում, ինչի արդյունքում ընդլայնվել է եռանկյունաչափական ֆունկցիաների սահմանումը։ Այժմ արգումենտը կարող է լինել ինչպես կամայական իրական թիվ, այնպես էլ կոմպլեքս թիվ[1]։

Եռանկյունաչափական ֆունկցիաները ուսումնասիրող գիտությունը կոչվում է եռանկյունաչափություն։ Եռանկյունաչափական ֆունկցիաների են համարվում՝

ուղիղ եռանկյունաչափական ֆունկցիաները.
  • սինուս (\sin x)
  • կոսինուս (\cos x)
ածանցյալ եռանկյունաչափական ֆունկցիաները.
  • տանգես (\mathrm{tg}\, x)
  • կոտանգես (\mathrm{ctg}\, x)
այլ եռանկյունաչափական ֆունկցիաները.
  • սեկանս (\sec x)
  • կոսեկանս (\mathrm{cosec}\, x)

Արևմտյան գրականություն մեջ տանգեսը, կոտանգեսը և կոսեկանսը հաճախ նշանակում են \tan x, \cot x, \csc x։
Բացի այս վեց ֆունկցիաներից, գոյություն ունեն նաև հազվադեպ օգտագործվող եռանկյունաչափական որոշ ֆունկցիաներ (վերսինուս և այլն), ինչպես նաև հակառակ եռանկյունաչափական ֆունկցիաներ (արկսինուս, արկկոսինուս և այլն)։

Իրական արգումենտի սինուս և կոսինուս ֆունկցիաները պարբերական, անընդհատ և անվերջ դիֆերենցելի իրական ֆունկցիաներ են[2]։ Մյուս չորս ֆունկցիաներն իրական առանցքի վրա նույնպես իրական են, պարբերական են և անվերջ դիֆերենցելի են որոշման տիրույթում, բայց անընդհատ չեն։ Տանգեսը և սեկանսն ունեն երկրորդ կարգի խզումներ \pm \pi n + \frac{\pi}{2} կետերում, իսկ կոտանգեսը և կոսեկանսը՝ \pm \pi n կետերում։

Բովանդակություն

Անվանումների պատմություն[խմբագրել | խմբագրել կոդը]

    1rightarrow.png Հիմնական հոդված՝ Եռանկյունաչափության պատմություն

«Եռանկյունաչափություն» տերմինը որպես մաթեմատիկական դիսցիպլին ներմուծել է գերմանացի մաթեմատիկոս Պիտիսկուսը իր 1595 թվականին հրապարակված «Եռանկյունաչափություն, կամ համառոտ ու պարզ աշխատություն եռանկյունների լուծման մասին» (լատ.՝ Trigonometria: sive de solutione triangulorum tractatus brevis et perspicuus) գրքում։ 17-րդ դարի վերջում ի հայտ եկան եռանկյունաչափական ֆունկցիաների ժամանակակից անվանումները[3] ։ «Սինուս» եզրույթն առաջին անգամ, մոտավորապես 1145 թվականին օգտագործել է անգլիացի մաթեմատիկոս ու արաբագետ Ռոբերտ Չեստերսկին[4]։ Ռեգիոմոնտանն իր աշխատությունում կոսինուսն անվանել է «լրացման սինուս» (լատ.՝ sinus complementi), քանի որ ~\cos x = \sin(90^\circ - x); նրա հետևորդները 17-րդ դարում այդ անվանումը կրճատեցոին ու դարձրին co-sinus (Էդմունդ Հունթեր)[5], իսկ ավելի ուշ՝ cos (Ուիլիամ Օտրեդ)։ Տանգենսի ու սեկանսի անվանումները 1583 թվականին առաջարկել է դանիացի մաթեմատիկոս Թոմաս Ֆինկը (անգլ.՝ Thomas Fincke)[5], իսկ վերոնշյալ Էդմունդ Գունտերը ներմուծեց կոտանգենսի ու կոսեկանսի անվանումները։ «Եռանկյունաչափական ֆունկցիաներ» եզրույթն առաջին անգամ օգտագործել է Գեորդ Սիմոն Կլյուգելը[6] իր «Անալիտիկ եռանկյունաչափություն» (1770) աշխատությունում[7][8]։

Տանգես և սեկանս տերմիններն առաջին անգամ օգտագործել է դանիացի մաթեմատիկ Տոմաս Ֆինկեն իր «Կլորի երկրաչափություն» գրքում (Geometria rotundi, 1583):

Ներկայացման մեթոդները[խմբագրել | խմբագրել կոդը]

Երկրաչափական մեթոդ[խմբագրել | խմբագրել կոդը]

Նկ. 1 Եռանկյունաչափական ֆունկցիայի որոշումը
Նկ. 2 Եռանկյունաչափական ֆունկցիաներ, R=1

Սովորաբար եռանկյունաչափական ֆունկցիաները ներկայացվում են երկրաչափորեն։ Դիցուք, հարթության վրա մեզ տրված է դեկարտյան կոորդինատական համակարգը, և կառուցված է R շառավղով շրջանագիծ, որի կենտրոնը գտնվում է կոորդինատների O սկզբնակետում[9]։ Չափենք անկյունները որպես աբսցիսների առանցքի դրական ուղղությամբ պտույտներ մինչև OB ճառագայթը։ Ժամացույցի սլաքի հակառակ ուղղությունը համարվում է դրական, իսկ ժամացույցի սլաքինը՝ բացասական։ B կետի աբսցիսը նշանակենք x_B, իսկ օրդինատը նշանակենք y_B (տես Նկ. 1)։

  • Սինուս կոչվում է հետևյալ հարաբերությունը՝ \sin \alpha=\frac{y_B}{R}:
  • Կոսինուս կոչվում հետևյալ հարաբերությունը՝ \cos \alpha=\frac{x_B}{R}:
  • Տանգեսը որոշվում է՝ \operatorname{tg} \alpha=\frac{\sin\alpha}{\cos\alpha}=\frac{y_B}{x_B}:
  • Կոտանգեսը որոշվում է՝ \operatorname{ctg} \alpha=\frac{\cos\alpha}{\sin\alpha}=\frac{x_B}{y_B}:
  • Սեկանսը որոշվում է՝ \sec \alpha=\frac{1}{\cos\alpha}=\frac{R}{x_B}:
  • Կոսեկանսը որոշվում է՝ \operatorname{cosec} \alpha=\frac{1}{\sin\alpha}=\frac{R}{y_B}:

Ակնհայտ է, որ եռանկյունաչափական ֆունկցիայի արժեքը կախված չէ շրջանագծի R շառավղի մեծությունից, համաձայն նման պատկերների հատկությունների։ Հաճախ այդ շառավղի արժեքը ընդունում են հավաար միավոր հատվածի մեծությանը։ Այս դեպքում սինուսի արժեքը ուղղակի հավասար է y_B օրդինատին, իսկ կոսինուսը՝ x_B աբսցիսը։ Նկար 2-ում ցույց է տրված միավոր շառավիղ ունեցող եռանկյունաչափական ֆունկցիաների արժեքները։
Եթե \alpha-ն իրական թիվ է, ապա \alpha-ի սինուսը մաթեմատիկական անալիզում կոչվում է անկյան սինուս, որի ռադիանային մեծությունը հավասար է \alpha-ի, նման ձևով նաև մյուս եռանկյունաչափական ֆունկցիաների համար։

Եռանկյունաչափական ֆունկցիայի որոշումը սուր անկյան մեթոդով[խմբագրել | խմբագրել կոդը]

Նկ. 3 Եռանյունաչափական ֆունկցիայի հաշվում սուր անկյունով

Բոլոր տարրական երկրաչափության դասագրքերում մինչ օրս սուր անկյան եռանկյունաչափական ֆունկցիան հաշվվում է որպես ուղղանկյուն եռանկյան կողմերի հարաբերությունը։ Դիցուք OAB-ն ուղղանկյուն եռանկյուն է \alpha անկյունով (տես Նկ. 3)։ Այդ դեպքում՝

  • \alpha անկյան սինուսը կոչվում է \frac{AB}{OB} հարաբերությունը (դիմացի էջի հարաբերությունը ներքնաձիգին)։
  • \alpha անկյան կոսինուսը կոչվում է \frac{OA}{OB} հարաբերությունը (կից էջի հարաբերությունը ներքնաձիգին)։
  • \alpha անկյան տանգես կոչվում է \frac{AB}{OA} հարաբերությունը (դիմացի էջի հարաբերությունը կից էջին)։
  • \alpha անկյան կոտանգես կոչվում է \frac{OA}{AB} հարաբերությունը (կից էջի հարաբերությունը դիմացի էջին)։
  • \alpha անկյան սեկանս կոչվում է \frac{OB}{OA} հարաբերությունը (ներքնաձիգի հարաբերությունը կից էջին)։
  • \alpha անկյան կոսեկանս կոչվում է \frac{OB}{AB} հարաբերությունը (ներքնաձիգի հարաբերությունը դիմացի էջին)։

Կառուցելով O կենտրոնով կոորդինատային հարթություն (աբցիսների առանցքը OA-ի ուղղությամբ), անհրաժեշտության դեպքում տեղափոխելով (շրջելով) եռանկյունը, այնպես որ այն հայտնվի հարթության առաջին քառորդում, կառուցելով շրջանագիծ ներքնաձիգին հավասար շառավիղով, միանգամից տեսնում ենք, որ ֆունկցիայի այս սահմանումը բերում է նույն արդյունքին ինչ որ նախորդը[10]:

Տվյալ սահմանումն ունի որոշակի մեթոդական առավելություն, քանի որ չի պահանջում կոորդինատային համակարգի օգտագործումը, սակայն ունի նաև թերություն` հնարավոր չէ որոշել եռանկյունաչափական ֆունկցիաները նույնիսկ այն բութ անկյունների համար, որոնք անհրաժեշտ է իմանալ պարզ երկրաչափական խնդիրներ լուծելիս: (տես. Սինուսների թեորեմ, կոսինուսների թեորեմ)

Եռանկյունաչափական ֆունկցիաները 2 \pi ~ (360^\circ) պարբերական են սինուսի, կոսինուսի, սեկանսի և կոսեկանսի դեպքում, և \pi~(180^\circ) պարբերական՝ տանգեսի և կոտանգեսի դեպքում[11]։:

Յուրաքանչյուր անկյան եռանկյունաչափական ֆունկցիա կարելի է բերել սուր անկյան եռանկյունաչափական ֆունկցիայի՝ օգտագործելով նրանց պարբերականություն ու բերման բանաձևերը[12]:

Ֆունկցիաների հետազոտումը մաթեմատիկական անալիզում[խմբագրել | խմբագրել կոդը]

Եռանկյունաչափական ֆունկցիաների սահմանումը որպես դիֆերենցիալ հավասարումների լուծումներ[խմբագրել | խմբագրել կոդը]

Կոսինուս և սինուս ֆունկցիաները կարելի է որոշել որպես

\frac{d^2}{d\varphi^2}R(\varphi) = - R(\varphi),

դիֆերենցիալ հավասարման զույգ (կոսինուս) և կենտ (սինուս) լուծումներ[13]՝ R(0) = 1 (կոսինուսի համար) և R'(0) = 1 (սինուսի համար) լրացուցիչ պայմաններով, այսինքն՝ որպես մեկ փոփոխականի ֆունկցիա, որի երկրորդ ածանցյալը հավասար է հենց ֆունկցիային՝ մինուս նշանով․

\ \left(\cos x\right)''+ = - \cos x,
\ \left(\sin  x\right)'' = - \sin x.

Եռանկյունաչափական ֆունկցիաների սահմանումը որպես ֆունկցիոնալ հավասարումների լուծումներ[խմբագրել | խմբագրել կոդը]

Կոսինուս և սինուս ֆունկցիաները կարելի է որոշել որպես

\left\{
\begin{array}{rcl}
f(x+y)&=&f(x)f(y)-g(x)g(y)\\
g(x+y)&=&g(x)f(y)+f(x)g(y)
\end{array}
\right.

ֆունկցիոնալ հավասարումների համակարգի լուծումներ (f и g համապատասխանաբար)[14]

 f(x)^2 + g(x)^2 = 1,  g(\pi/2) = 1, և  0<g(x)<1  0<x<\pi/2 լրացուցիչ պայմանների դեպքում:

Եռանկյունաչափական ֆունկցիաների որոշումը շարքերի միջոցով[խմբագրել | խմբագրել կոդը]

Օգտագործելով երկրաչափությունն ու սահմանների հատկությունները՝ կարելի է ապացուցել, որ սինուսի ածանցյալը հավասար է կոսինուսի, իսկ կոսինուսի ածանցյալը հավասար է մինուս սինուսի: Այդ ժամանակ կարելի է օգտվել Թեյլորի շարքերի տեսությունից՝ սինուսն ու կոսինուսը ներկայացնել աստիճանային շարքերի տեսքով.

\sin x=x-\frac{x^3}{3!}+\frac{x^5}{5!}-\frac{x^7}{7!}+\frac{x^9}{9!}-\cdots = \sum_{n=0}^\infty\frac{(-1)^nx^{2n+1}}{(2n+1)!},
\cos x=1-\frac{x^2}{2!}+\frac{x^4}{4!}-\frac{x^6}{6!}+\frac{x^8}{8!}-\cdots = \sum_{n=0}^\infty\frac{(-1)^nx^{2n}}{(2n)!}.

Օգտվելով այս բանաձևերից և \operatorname{tg}\,x=\frac{\sin x}{\cos x}, \operatorname{ctg}\,x=\frac{\cos x}{\sin x}, \sec x=\frac{1}{\cos x} и \operatorname{cosec}\,x=\frac{1}{\sin x}, հավասարումներից, կարելի է գտնել նաև մյուս եռանկյունաչափական ֆունկցիաների վերլուծությունը շարքի տեսքով.

{\operatorname{tg}\,x=x+\frac{1}{3}\,x^3 + \frac{2}{15}\,x^5 + \frac{17}{315}\,x^7 + \frac{62}{2835}\,x^9 + \cdots = \sum_{n=1}^\infty\frac{2^{2n}(2^{2n}-1)|B_{2n}|}{(2n)!}x^{2n-1} \quad \left(-\frac{\pi}{2}<x<\frac{\pi}{2}\right),}
{\operatorname{ctg}\,x = \frac{1}{x} - \frac{x}{3} - \frac{x^3}{45} - \frac{2x^5}{945} - \frac{x^7}{4725} - \cdots = \frac{1}{x} - \sum_{n=1}^\infty \frac{2^{2n}|B_{2n}|}{(2n)!}\,x^{2n-1} \quad \left(-\pi < x < \pi\right),}
{\sec x=1+\frac{1}{2}\,x^2+\frac{5}{24}\,x^4+\frac{61}{720}\,x^6+\frac{277}{8064}\,x^8+\cdots = \sum_{n=0}^\infty\frac{|E_{n}|}{(2n)!}\,x^{2n}, \quad \left(-\frac{\pi}{2} < x < \frac{\pi}{2}\right),}
\operatorname{cosec} x = \frac{1}{x} + \frac{1}{6}\,x + \frac{7}{360}\,x^3 + \frac{31}{15120}\,x^5 + \frac{127}{604800}\,x^7 + \cdots = \frac{1}{x} + \sum_{n=1}^\infty \frac{2(2^{2n-1}-1) |B_{2n}|}{(2n)!}\,x^{2n-1} \quad \left(-\pi < x < \pi\right),


Ածանցյալներ և ինտեգրալներ[խմբագրել | խմբագրել կոդը]

Բոլոր եռանկյունաչափական ֆունկցիաները անընդհատ և անսահմանափակ ածանցելի են որոշման ամբողջ տիրույթում:

( \sin x )' = \cos x \,,
( \cos x )' = -\sin x \,,
( \mathop{\operatorname{tg}}\, x )' = \frac{1}{\cos ^2 x},
( \mathop{\operatorname{ctg}}\, x )' = -\frac{1}{\sin ^2 x},
( \sec x)' = \frac{\sin x}{\cos ^2 x},
( \operatorname{cosec}~x)' = -\frac{\cos x}{\sin ^2 x}.


Եռանկյունաչափական ֆունկցիաների ինտեգրալները որոշման տիրույթում արտահայտվում են տարրական ֆունկցիաների միջոցով հետևյալ կերպ.

\int\sin x\, dx = -\cos x + C \,,
\int\cos x\, dx = \sin x + C \,,
\int\mathop{\operatorname{tg}}\, x\, dx = -\ln \left| \cos x\right| + C \,,
\int\mathop{\operatorname{ctg}}\, x\, dx = \ln \left| \sin x \right| + C \,,
\int\sec x\, dx=\ln \left| \operatorname{tg} \, \left( \frac {\pi}{4}+\frac{x}{2}\right) \right|+ C \,,
\int \operatorname{cosec}~ x\, dx=\ln \left| \operatorname{tg} \, \frac{x}{2} \right|+ C.


Եռանկյունաչափական ֆունկցիաների հատկություններ[խմբագրել | խմբագրել կոդը]

Պարզագույն նույնություններ[խմբագրել | խմբագրել կոդը]

Քանի որ միավոր շրջանագծի վրա գտնվող կետի սինուսը[15] և կոսինուսը հանդիսանում են համապատասխանաբար \alpha անկյան օրդինատը և աբսցիսը, հետևաբար, համաձայն Պյութագորասի թեորեմի ունենք՝

\sin^2 \alpha + \cos^2 \alpha = 1.\,

Այս արտահայտությունը կոչվում է հիմնական եռանկյունաչափական նույնություն։ Բաժանելով այս հավասարման աջ և ձախ մասերը սինուսի և կոսինուսի քառակուսիների վրա` արդյունքում կստանանք

 1 + \mathop{\mathrm{tg}}\,^2 \alpha = \frac{1}{ \cos^2 \alpha},\,
 1 + \mathop{\mathrm{ctg}}\,^2 \alpha = \frac{1}{ \sin^2 \alpha},\,
 \mathop{\mathrm{tg}}\,\alpha  \cdot \mathop{\mathrm{ctg}}\,\alpha=1:

Զույգություն[խմբագրել | խմբագրել կոդը]

Կոսինուս և սեկանս ֆունկցիաները զույգ են, իսկ մյուս ֆունկցիաները՝ կենտ, այսինքն՝

 \sin \left( - \alpha \right)  =  - \sin \alpha \,,
 \cos \left( - \alpha \right)  =  \cos \alpha \,,
 \mathop{\mathrm{tg}}\, \left( - \alpha \right)  = - \mathop{\mathrm{tg}}\, \alpha \,,
 \mathop{\mathrm{ctg}}\, \left( - \alpha \right)  = - \mathop{\mathrm{ctg}}\, \alpha \,,
 \sec \left( - \alpha \right)  =  \sec \alpha \,,
 \mathop{\mathrm{cosec}}\, \left( - \alpha \right)  = - \mathop{\mathrm{cosec}}\, \alpha \,:

Անընդհատություն[խմբագրել | խմբագրել կոդը]

Սինուսը և կոսինուսը անընդհատ ֆունկցիա են։ Մյուս ֆունկցիաները անընդհատ չեն։ Տանգեսի և սեկանսի խզման կետերն են \pm90^\circ,\;\pm270^\circ,\;\pm450^\circ,\;\dots, իսկ կոտանգեսի և կոսեկանսի խզման կետերն են 0^\circ,\;\pm180^\circ,\;\pm360^\circ,\;\dots.:

Պարբերականություն[խմբագրել | խմբագրել կոդը]

 y = \mathop{\mathrm{sin}}\, x ,\quad y = \mathop{\mathrm{cos}}\, x ,\quad y = \mathop{\mathrm{sec}}\, x ,\quad y = \mathop{\mathrm{cosec}}\, x  ֆունկցիաները պարբերական են 2\pi պարբերությամբ, իսկ  y = \mathop{\mathrm{tg}} \,x և  y = \mathop{\mathrm{ctg}} \,x ֆունկցիաները՝ \pi պարբերությամբ[16]։

Բերման բանաձևեր[խմբագրել | խմբագրել կոդը]

Բերման բանաձևեր են կոչվում հետևյալ տեսքի բանաձևերը`

 f ( n \pi + \alpha )  = \pm  f (\alpha),\,
 f ( n \pi - \alpha )  = \pm  f (\alpha),\,
 f \left(  \frac{(2n+1) \pi}{2} + \alpha\right)  = \pm  g (\alpha),\,
 f \left(  \frac{(2n+1) \pi}{2} - \alpha\right)  = \pm  g (\alpha).\,

Այստեղ f` ցանկացած եռանկյունաչափական ֆունկցիա, g` նրան համապատասխան կոֆունկցիա (այսինքն սինուսի համար կոսինուս, կոսինուսի համար սինուս, տանգեսի համար կոտանգես, կոտանգեսի համար տանգես, սեկանսի համար կոսեկանս, կոսեկանսի համար սեկանս), n` ամբողջ թիվ է: Ստացված ֆունկցիայի դիմաց դրվում է այն նշանը, որը ընդունում է ելման ֆունկցիան տրված կոորդիանատային հարթության քարորդում, այն պայմանով, որ α անկյունը միշտ սուր է, օրինակ.

 \cos \left(  \frac{ \pi}{2} - \alpha \right)  =   \sin \alpha\,, նույնն է ինչ`  \cos \left( 90^\circ - \alpha \right)  =   \sin \alpha\,.
\beta\, \frac{\pi}{2} + \alpha \pi + \alpha\, \frac{3\,\pi}{2} + \alpha \frac{\pi}{2} - \alpha \pi - \alpha\, \frac{3\,\pi}{2} - \alpha 2\,\pi - \alpha
\sin\beta\, \cos\alpha\, -\sin\alpha\, -\cos\alpha\, \cos\alpha\, \sin\alpha\, -\cos\alpha\, -\sin\alpha\,
\cos\beta\, -\sin\alpha\, -\cos\alpha\, \sin\alpha\, \sin\alpha\, -\cos\alpha\, -\sin\alpha\, \cos\alpha\,
\operatorname{tg}\,\beta -\operatorname{ctg}\,\alpha \operatorname{tg}\,\alpha -\operatorname{ctg}\,\alpha \operatorname{ctg}\,\alpha -\operatorname{tg}\,\alpha \operatorname{ctg}\,\alpha -\operatorname{tg}\,\alpha
\operatorname{ctg}\,\beta -\operatorname{tg}\,\alpha \operatorname{ctg}\,\alpha -\operatorname{tg}\,\alpha \operatorname{tg}\,\alpha -\operatorname{ctg}\,\alpha \operatorname{tg}\,\alpha -\operatorname{ctg}\,\alpha

Գումարի բանաձևեր[խմբագրել | խմբագրել կոդը]

Երկու անկյունների գումարի և տարբերության եռանկյունաչափական ֆունկցիաների արժեքները՝

 \sin\left( \alpha \pm \beta \right)= \sin\alpha \, \cos\beta \pm \cos\alpha \, \sin\beta,
 \cos\left( \alpha \pm \beta \right)= \cos\alpha \, \cos\beta \mp \sin\alpha \, \sin\beta,
 \operatorname{tg}\left( \alpha \pm \beta \right) = \frac{\operatorname{tg}\,\alpha \pm \operatorname{tg}\,\beta}{1 \mp \operatorname{tg}\,\alpha \, \operatorname{tg}\,\beta},
 \operatorname{ctg}\left( \alpha \pm \beta \right) = \frac{\operatorname{ctg}\,\alpha\,\operatorname{ctg}\,\beta \mp 1}{\operatorname{ctg}\,\beta \pm \operatorname{ctg}\,\alpha}:

Նույն ձևով երեք անկյունների գումարի բանաձևերը ունեն այսպիսի տեսք՝

\sin \left( \alpha + \beta + \gamma \right) = \sin \alpha \cos \beta \cos \gamma + \cos \alpha \sin \beta \cos \gamma + \cos \alpha \cos \beta \sin \gamma - \sin \alpha \sin \beta \sin \gamma,
\cos \left( \alpha + \beta + \gamma \right) = \cos \alpha \cos \beta \cos \gamma - \sin \alpha \sin \beta \cos \gamma - \sin \alpha \cos \beta \sin \gamma - \cos \alpha \sin \beta \sin \gamma:

Բանաձևեր բազմապատիկ անկյունների համար[խմբագրել | խմբագրել կոդը]

Կրկնակի անկյան բանաձևերը՝

\sin 2\alpha = 2 \sin \alpha \cos \alpha = \frac{2\,\operatorname{tg}\,\alpha }{1 + \operatorname{tg}^2\alpha} = \frac{2\,\operatorname{ctg}\,\alpha }{1 + \operatorname{ctg}^2\alpha} = \frac{2}{\operatorname{tg}\,\alpha + \operatorname{ctg}\,\alpha},
\cos 2\alpha = \cos^2 \alpha\,-\,\sin^2 \alpha = 2 \cos^2 \alpha\,-\,1 = 1\,-\,2 \sin^2 \alpha = \frac{1 - \operatorname{tg}^2 \alpha}{1 + \operatorname{tg}^2\alpha} = \frac{\operatorname{ctg}^2 \alpha - 1}{\operatorname{ctg}^2\alpha + 1} = \frac{\operatorname{ctg}\,\alpha - \operatorname{tg}\,\alpha}{\operatorname{ctg}\,\alpha + \operatorname{tg}\,\alpha},
\operatorname{tg}\,2 \alpha = \frac{2\,\operatorname{tg}\,\alpha}{1 - \operatorname{tg}^2\alpha} = \frac{2\,\operatorname{ctg}\,\alpha}{\operatorname{ctg}^2\alpha - 1} = \frac{2}{\operatorname{ctg}\,\alpha - \operatorname{tg}\,\alpha},
\operatorname{ctg}\,2 \alpha = \frac{\operatorname{ctg}^2 \alpha - 1}{2\,\operatorname{ctg}\,\alpha} = \frac{\operatorname{ctg}\,\alpha - \operatorname{tg}\,\alpha}{2}:

Եռակի անկյան բանաձևերը՝

\sin\,3\alpha=3\sin\alpha - 4\sin^3\alpha,
\cos\,3\alpha=4\cos^3\alpha -3\cos\alpha,
\operatorname{tg}\,3\alpha=\frac{3\,\operatorname{tg}\,\alpha - \operatorname{tg}^3\,\alpha}{1 - 3\,\operatorname{tg}^2\,\alpha},
\operatorname{ctg}\,3\alpha=\frac{\operatorname{ctg}^3\,\alpha - 3\,\operatorname{ctg}\,\alpha}{3\,\operatorname{ctg}^2\,\alpha - 1}:

Այլ բանաձևեր բազմապատիկ անկյունների համար.

\sin\,4\alpha=\cos\alpha \left(4\sin\alpha - 8\sin^3\alpha\right),
\cos\,4\alpha=8\cos^4\alpha - 8\cos^2\alpha + 1,
\operatorname{tg}\,4\alpha=\frac{4\,\operatorname{tg}\,\alpha - 4\,\operatorname{tg}^3\,\alpha}{1 - 6\,\operatorname{tg}^2\,\alpha + \operatorname{tg}^4\,\alpha},
\operatorname{ctg}\,4\alpha=\frac{\operatorname{ctg}^4\,\alpha - 6\,\operatorname{ctg}^2\,\alpha + 1}{4\,\operatorname{ctg}^3\,\alpha - 4\,\operatorname{ctg}\,\alpha},
\sin\,5\alpha=16\sin^5\alpha-20\sin^3\alpha +5\sin\alpha,
\cos\,5\alpha=16\cos^5\alpha-20\cos^3\alpha +5\cos\alpha,
\operatorname{tg}\,5\alpha=\operatorname{tg}\alpha\frac{\operatorname{tg}^4\alpha-10\operatorname{tg}^2\alpha+5}{5\operatorname{tg}^4\alpha-10\operatorname{tg}^2\alpha+1},
\operatorname{ctg}\,5\alpha=\operatorname{ctg}\alpha\frac{\operatorname{ctg}^4\alpha-10\operatorname{ctg}^2\alpha+5}{5\operatorname{ctg}^4\alpha-10\operatorname{ctg}^2\alpha+1},
 \sin (n\alpha)=2^{n-1}\prod^{n-1}_{k=0}\sin\left( \alpha+\frac{\pi k}{n}\right) հետևում է Գաուսի բանաձևից:

Մուվրի բանաձևից կարելի է ստանալ բազմապատիկ անկյունների արտահայտման հետևյալ ընդհանուր տեսքը.

\sin(n\alpha)=\sum_{k=0}^{[(n-1)/2]}(-1)^k\binom{n}{2k+1}\cos^{n-2k-1}\alpha\,\sin^{2k+1}\alpha,
\cos(n\alpha)=\sum_{k=0}^{[n/2]}(-1)^k\binom{n}{2k}\cos^{n-2k}\alpha\,\sin^{2k}\alpha,
\mathrm{tg}(n\alpha)=\frac{\sin(n\alpha)}{\cos(n\alpha)}=\dfrac{\displaystyle{\sum\limits_{k=0}^{[(n-1)/2]}(-1)^k\binom{n}{2k+1}\mathrm{tg}^{2k+1}\alpha}}{\displaystyle{\sum\limits_{k=0}^{[n/2]}(-1)^k\binom{n}{2k}\mathrm{tg}^{2k}\alpha}},
\mathrm{ctg}(n\alpha)=\frac{\cos(n\alpha)}{\sin(n\alpha)}=\dfrac{\displaystyle{\sum\limits_{k=0}^{[n/2]}(-1)^k\binom{n}{2k}\mathrm{ctg}^{n-2k}\alpha}}{\displaystyle{\sum\limits_{k=0}^{[(n-1)/2]}(-1)^k\binom{n}{2k+1}\mathrm{ctg}^{n-2k-1}\alpha}},

որտեղ [n]` n թվի ամբողջ մաս, \binom{n}{k}` երկանդամային գործակից:

Կես անկյան բանաձևեր`

\sin\frac{\alpha}{2}=\sqrt{\frac{1-\cos\alpha}{2}},\quad 0 \leqslant \alpha \leqslant 2\pi,
\cos\frac{\alpha}{2}=\sqrt{\frac{1+\cos\alpha}{2}},\quad -\pi \leqslant \alpha \leqslant \pi,
\operatorname{tg}\,\frac{\alpha}{2}=\frac{1-\cos\alpha}{\sin\alpha}=\frac{\sin\alpha}{1+\cos\alpha},
\operatorname{ctg}\,\frac{\alpha}{2}=\frac{\sin\alpha}{1-\cos\alpha}=\frac{1+\cos\alpha}{\sin\alpha},
\operatorname{tg}\,\frac{\alpha}{2}=\sqrt{\frac{1-\cos\alpha}{1+\cos\alpha}},\quad 0 \leqslant \alpha < \pi,
\operatorname{ctg}\,\frac{\alpha}{2}=\sqrt{\frac{1+\cos\alpha}{1-\cos\alpha}},\quad 0 < \alpha \leqslant \pi.

Արտադրյալի բանաձևեր[խմբագրել | խմբագրել կոդը]

Բանաձևեր երկու անկյունների արտադրյալների համար.

\sin\alpha \sin\beta = \frac{\cos(\alpha-\beta) - \cos(\alpha+\beta)}{2},
\sin\alpha \cos\beta = \frac{\sin(\alpha-\beta) + \sin(\alpha+\beta)}{2},
\cos\alpha \cos\beta = \frac{\cos(\alpha-\beta) + \cos(\alpha+\beta)}{2},
\operatorname{tg}\,\alpha\,\operatorname{tg}\,\beta = \frac{\cos(\alpha-\beta) - \cos(\alpha+\beta)}{\cos(\alpha-\beta) + \cos(\alpha+\beta)},
\operatorname{tg}\,\alpha\,\operatorname{ctg}\,\beta = \frac{\sin(\alpha-\beta) + \sin(\alpha+\beta)}{\sin(\alpha+\beta) -\sin(\alpha-\beta)},
\operatorname{ctg}\,\alpha\,\operatorname{ctg}\,\beta = \frac{\cos(\alpha-\beta) + \cos(\alpha+\beta)}{\cos(\alpha-\beta) - \cos(\alpha+\beta)}.

Նպատատիպ բանաձևեր երեք անկյունների սինուսների և կոսինուսների արտադրյալների համար.

\sin\alpha \sin\beta \sin\gamma = \frac{\sin(\alpha+\beta-\gamma) + \sin(\beta+\gamma-\alpha) + \sin(\alpha-\beta+\gamma) - \sin(\alpha+\beta+\gamma)}{4},
\sin\alpha \sin\beta \cos\gamma = \frac{-\cos(\alpha+\beta-\gamma) + \cos(\beta+\gamma-\alpha) + \cos(\alpha-\beta+\gamma) - \cos(\alpha+\beta+\gamma)}{4},
\sin\alpha \cos\beta \cos\gamma = \frac{\sin(\alpha+\beta-\gamma) - \sin(\beta+\gamma-\alpha) + \sin(\alpha-\beta+\gamma) - \sin(\alpha+\beta+\gamma)}{4},
\cos\alpha \cos\beta \cos\gamma = \frac{\cos(\alpha+\beta-\gamma) + \cos(\beta+\gamma-\alpha) + \cos(\alpha-\beta+\gamma) + \cos(\alpha+\beta+\gamma)}{4}.

Աստիճանների բանաձևեր[խմբագրել | խմբագրել կոդը]

\sin^2\alpha = \frac{1 - \cos 2\,\alpha}{2} = \frac{\operatorname{tg}^2\,\alpha}{1 + \operatorname{tg}^2\,\alpha}
\operatorname{tg}^2\,\alpha = \frac{1 - \cos 2\,\alpha}{1 + \cos 2\,\alpha} = \frac{\operatorname{sin}^2\,\alpha}{1 - \operatorname{sin}^2\,\alpha},
\cos^2\alpha = \frac{1 + \cos 2\,\alpha}{2} = \frac{\operatorname{ctg}^2\,\alpha}{1 + \operatorname{ctg}^2\,\alpha}, \operatorname{ctg}^2\,\alpha = \frac{1 + \cos 2\,\alpha}{1 - \cos 2\,\alpha}, = \frac{\operatorname{cos}^2\,\alpha}{1 - \operatorname{cos}^2\,\alpha},
\sin^3\alpha = \frac{3\sin\alpha - \sin 3\,\alpha}{4}, \operatorname{tg}^3\,\alpha = \frac{3\sin\alpha - \sin 3\,\alpha}{3\cos\alpha + \cos 3\,\alpha},
\cos^3\alpha = \frac{3\cos\alpha + \cos 3\,\alpha}{4}, \operatorname{ctg}^3\,\alpha = \frac{3\cos\alpha + \cos 3\,\alpha}{3\sin\alpha - \sin 3\,\alpha},
\sin^4\alpha = \frac{\cos 4\alpha - 4\cos 2\,\alpha + 3}{8}, \operatorname{tg}^4\,\alpha = \frac{\cos 4\alpha - 4\cos 2\,\alpha + 3}{\cos 4\alpha + 4\cos 2\,\alpha + 3},
\cos^4\alpha = \frac{\cos 4\alpha + 4\cos 2\,\alpha + 3}{8}, \operatorname{ctg}^4\,\alpha = \frac{\cos 4\alpha + 4\cos 2\,\alpha + 3}{\cos 4\alpha - 4\cos 2\,\alpha + 3}.

Գումարի բանաձևեր[խմբագրել | խմբագրել կոդը]

Ֆունկցիաների գումարի բանաձևերը՝

 \sin \alpha \pm \sin \beta = 2 \sin \frac{\alpha \pm \beta}{2} \cos \frac{\alpha \mp \beta}{2},
 \cos \alpha + \cos \beta = 2 \cos \frac{\alpha+\beta}{2} \cos \frac{\alpha-\beta}{2},
 \cos \alpha - \cos \beta = - 2 \sin \frac{\alpha+\beta}{2} \sin \frac{\alpha-\beta}{2},
 \operatorname{tg} \alpha \pm \operatorname{tg} \beta = \frac{\sin (\alpha \pm \beta)}{\cos \alpha \cos \beta},
 \operatorname{ctg} \alpha \pm \operatorname{ctg} \beta = \frac{\sin (\beta \pm \alpha)}{\sin \alpha \sin \beta}
 1 \pm \sin {2 \alpha} = (\sin \alpha \pm \cos \alpha)^2 :

Գոյություն ունի ներկայացում.

A \sin \alpha + B \cos \alpha = \sqrt{A^2 + B^2}\;\sin( \alpha + \phi ),

որտեղ \phi անկյունը ստացվում է հետևյալ հարաբերությունից.

\sin \phi =  \frac{B}{\sqrt{A^2 + B^2}}, \quad \cos \phi =  \frac{A}{\sqrt{A^2 + B^2}}:

Եռանկյունաչափական ֆունկցիաների արտահայտումը տանգեսով[խմբագրել | խմբագրել կոդը]

Յուրաքանչյուր եռանկյունաչափական ֆունկցիա կարելի է ներկայացնել կես անկյան տանգեսի միջոցով.

\sin x = \frac{\sin x}{1} = \frac{2\sin \frac{x}{2}\cos \frac{x}{2}}{\sin^2 \frac{x}{2} + \cos^2 \frac{x}{2}} =\frac{2\operatorname{tg} \frac{x}{2}}{1 + \operatorname{tg}^2 \frac{x}{2}}

\cos x = \frac{\cos x}{1} = \frac{\cos^2 \frac{x}{2} - \sin^2 \frac{x}{2}}{\cos^2 \frac{x}{2} + \sin^2 \frac{x}{2}} =\frac{1 - \operatorname{tg}^2 \frac{x}{2}}{1 + \operatorname{tg}^2 \frac{x}{2}}

\operatorname{tg}~x = \frac{\sin x}{\cos x} = \frac{2\operatorname{tg} \frac{x}{2}}{1 - \operatorname{tg}^2 \frac{x}{2}}

\operatorname{ctg}~x = \frac{\cos x}{\sin x} = \frac{1 - \operatorname{tg}^2 \frac{x}{2}}{2\operatorname{tg} \frac{x}{2}}

\sec x = \frac{1}{\cos x} = \frac{1 + \operatorname{tg}^2 \frac{x}{2}}{1 - \operatorname{tg}^2 \frac{x}{2}}

\operatorname{cosec}~x = \frac{1}{\sin x} = \frac{1 + \operatorname{tg}^2 \frac{x}{2}} {2\operatorname{tg} \frac{x}{2}}

Եռնակյունաչափական ֆունկցիաներ կոմպլեքս արգումենտով[խմբագրել | խմբագրել կոդը]

Սահմանում[խմբագրել | խմբագրել կոդը]

Էյլերի բանաձև ՝  e^{i \vartheta} = \cos\vartheta + i\sin\vartheta \,:

Հնարավորություն է տալիս որոշել եռանկյունաչափական ֆունկցիան կոմպլեքս արգումենտով աստիճանի միջոցով (շարքերի օգնությամբ) կամ նրանց իրական անալոգների անալիտիկ շարունակությամբ՝

\sin z = \sum_{n=0}^\infty \frac{(-1)^{n}}{(2n+1)!}z^{2n+1} = \frac{e^{i z} - e^{-i z}}{2i}\, = \frac{\operatorname{sh}  i z }{i},
\cos z = \sum_{n=0}^\infty \frac{(-1)^{n}}{(2n)!}z^{2n} = \frac{e^{i z} + e^{-i z}}{2}\, = \operatorname{ch} i z,
\operatorname{tg}\, z = \frac{\sin z}{\cos z} = \frac{e^{i z} - e^{-i z}}{i(e^{i z} + e^{-i z})},
\operatorname{ctg}\, z = \frac{\cos z}{\sin z} = \frac{i(e^{i z} + e^{-i z})}{e^{i z} - e^{-i z}},
\sec z = \frac{1}{\cos z} = \frac{2}{e^{i z} + e^{-i z}},
\operatorname{cosec}\, z = \frac{1}{\sin z} = \frac{2i}{e^{i z} - e^{-i z}},\, որտեղ i^2=-1:\,

Համապատասխանաբար, իրական x-ի համար.

\cos x = \operatorname{Re}(e^{i x}), \,
\sin x = \operatorname{Im}(e^{i x}) : \,

Կոմպլեքս սինուսը և կոսինուսը սերտ փոխկապակցված են հիպերբոլական ֆունկցիաների հետ.

\sin (x + iy) = \sin x\, \operatorname{ch}\, y + i \cos x\, \operatorname{sh}\, y,\,
\cos (x + iy) = \cos x\, \operatorname{ch}\, y - i \sin x\, \operatorname{sh}\, y :\,

Թվարկված եռանկյունաչափական ֆունկցիաների հատկությունները հիմնականում պահպանվում են նաև կոմպեքսի դեպքում։ Որոշ լրացուցիչ հատկություններ՝

  • կոմպլեքս սինուսը և կոսինուսը, ի տարբերություն իրականների, կարող են ընդունել որքան հնարավոր է շատ մոդուլով արժեքներ,
  • կոմպլեքս սինուսի և կոսինուսի բոլոր զրոները գտնվում են իրական առանցքի վրա։

Կոմպլեքս գրաֆիկներ[խմբագրել | խմբագրել կոդը]

Հետևյալ գրաֆիկներում պատկերված է կոմպլեքս հարթություն, իսկ ֆունկցիաների արժեքները առանձնացված են գույներով: Պայծառությունն արտացոլում է բացարձակ արժեքը (սև` զրո): Գույնը փոխվում է համաձայն քարտեզի:

Եռանկյունաչափական ֆունկցիաները կոմպլեքս հարթության վրա
Complex sin.jpg
Complex cos.jpg
Complex tan.jpg
Complex Cot.jpg
Complex Sec.jpg
Complex Csc.jpg

\sin\, z\,

\cos\, z\,

\operatorname{tg}\, z\,

\operatorname{ctg}\, z\,

\sec\, z\,

\operatorname{cosec}\, z\,


Եռանկյունաչափական ֆունկցիաների արժեքները որոշ անկյունների համար[խմբագրել | խմբագրել կոդը]

Սինուս, կոսինուս, տանգես, կոտանգես, սեկանս և կոսեկանսի արժեքները որոշ անկյուների համար բերված են աղյուսակում ({\infty}\,\! - նշանակում է, որ ֆունկցիան նշված կետում որոշված չէ, իսկ նրա շրջակայքում ձգտում է անվերջության)։

Նկ. 4 Կոսինուսի և սինուսի արժեքները շրջանագծի վրա
Եռանկյունաչափական ֆունկցիաների արժեքները որոշ անկյունների համար /Աղյուսակ 1/
 \alpha \,\! 0°(0 ռադ) 30° (\pi/6) 45° (\pi/4) 60° (\pi/3) 90° (\pi/2) 180° (\pi) 270° (3\pi/2) 360° (2\pi)
 \sin \alpha \,\! {0} \,\!  \frac{1}{2}\,\!  \frac{\sqrt{2}}{2}\,\!  \frac{ \sqrt{3}}{2}\,\! {1}\,\! {0}\,\! {-1}\,\! {0}\,\!
 \cos \alpha \,\! {1} \,\!   \frac{ \sqrt{3}}{2}\,\!  \frac{\sqrt{2}}{2}\,\!  \frac{1}{2}\,\! {0}\,\! {-1}\,\! {0}\,\! {1}\,\!
 \mathop{\mathrm{tg}}\, \alpha \,\! {0} \,\!  \frac{\sqrt{3}}{3}\,\!  {1}\,\!   \sqrt{3}\,\! {\infty}\,\! {0}\,\! {\infty}\,\! {0}\,\!
 \mathop{\mathrm{ctg}}\, \alpha \,\! {\infty}\,\!   \sqrt{3}\,\! {1} \,\!  \frac{\sqrt{3}}{3}\,\!  {0}\,\! {\infty}\,\! {0}\,\! {\infty}\,\!
 \sec \alpha \,\! {1} \,\!   \frac{2 \sqrt{3}}{3}\,\!   \sqrt{2}\,\!  {2}\,\! {\infty}\,\! {-1}\,\! {\infty}\,\!  {1}\,\!
 \operatorname{cosec}\, \alpha \,\! {\infty}\,\!  {2}\,\!   \sqrt{2}\,\!  \frac{2 \sqrt{3}}{3}\,\! {1}\,\! {\infty}\,\! {-1}\,\! {\infty}\,\!


Եռանկյունաչափական ֆունկցիաների արժեքները ոչ ստանդարտ անկյունների համար[խմբագրել | խմբագրել կոդը]

Եռանկյունաչափական ֆունկցիաների արժեքները ոչստանդարտ անկյունների համար /Աղյուսակ 2/
\alpha\, \frac{2\pi}{3} = 120^\circ \frac{3\pi}{4} = 135^\circ \frac{5\pi}{6} = 150^\circ \frac{7\pi}{6} = 210^\circ \frac{5\pi}{4} = 225^\circ \frac{4\pi}{3} = 240^\circ \frac{5\pi}{3} = 300^\circ \frac{7\pi}{4} = 315^\circ \frac{11\pi}{6} = 330^\circ
\sin \alpha\, \frac{\sqrt{3}}{2} \frac{\sqrt{2}}{2} \frac{1}{2} -\frac{1}{2} -\frac{\sqrt{2}}{2} -\frac{\sqrt{3}}{2} -\frac{\sqrt{3}}{2} -\frac{\sqrt{2}}{2} -\frac{1}{2}
\cos \alpha\, -\frac{1}{2} -\frac{\sqrt{2}}{2} -\frac{\sqrt{3}}{2} -\frac{\sqrt{3}}{2} -\frac{\sqrt{2}}{2} -\frac{1}{2} \frac{1}{2} \frac{\sqrt{2}}{2} \frac{\sqrt{3}}{2}
\operatorname{tg}\,\alpha -\sqrt{3} {-1}\,\! -\frac{\sqrt{3}}{3} \frac{\sqrt{3}}{3} {1}\,\! \sqrt{3} -\sqrt{3} {-1}\,\! -\frac{\sqrt{3}}{3}
\operatorname{ctg}\,\alpha -\frac{\sqrt{3}}{3} {-1}\,\! -\sqrt{3} \sqrt{3} {1}\,\! \frac{\sqrt{3}}{3} -\frac{\sqrt{3}}{3} {-1}\,\! -\sqrt{3}
Եռանկյունաչափական ֆունկցիաների արժեքները ոչ ստանդարտ անկյունների համար /Աղյուսակ 3/
\alpha\, \frac{\pi}{12} = 15^\circ \frac{\pi}{10} = 18^\circ \frac{\pi}{8} = 22{{,}}5^\circ \frac{\pi}{5} = 36^\circ \frac{3\,\pi}{10} = 54^\circ \frac{3\,\pi}{8} = 67{{,}}5^\circ \frac{2\,\pi}{5} = 72^\circ \frac{5\,\pi}{12} = 75^\circ
\sin \alpha\, \frac{\sqrt{3}-1}{2\,\sqrt{2}} \frac{\sqrt{5}-1}{4} \frac{\sqrt{2-\sqrt{2}}}{2} \frac{\sqrt{5-\sqrt{5}}}{2\,\sqrt{2}} \frac{\sqrt{5}+1}{4} \frac{\sqrt{2+\sqrt{2}}}{2} \frac{\sqrt{5+\sqrt{5}}}{2\,\sqrt{2}} \frac{\sqrt{3}+1}{2\,\sqrt{2}}
\cos \alpha\, \frac{\sqrt{3}+1}{2\,\sqrt{2}} \frac{\sqrt{5+\sqrt{5}}}{2\,\sqrt{2}} \frac{\sqrt{2+\sqrt{2}}}{2} \frac{\sqrt{5}+1}{4} \frac{\sqrt{5-\sqrt{5}}}{2\,\sqrt{2}} \frac{\sqrt{2-\sqrt{2}}}{2} \frac{\sqrt{5}-1}{4} \frac{\sqrt{3}-1}{2\,\sqrt{2}}
\operatorname{tg}\,\alpha 2-\sqrt{3} \sqrt{1-\frac{2}{\sqrt{5}}} \sqrt{2}-1 \sqrt{5-2\,\sqrt{5}} \sqrt{1+\frac{2}{\sqrt{5}}} \sqrt{2}+1 \sqrt{5+2\,\sqrt{5}} 2 + \sqrt{3}
\operatorname{ctg}\,\alpha 2 + \sqrt{3} \sqrt{5+2\,\sqrt{5}} \sqrt{2}+1 \sqrt{1+\frac{2}{\sqrt{5}}} \sqrt{5-2\,\sqrt{5}} \sqrt{2}-1 \sqrt{1-\frac{2}{\sqrt{5}}} 2-\sqrt{3}

Տես նաև[խմբագրել | խմբագրել կոդը]

Գրականություն[խմբագրել | խմբագրել կոդը]

  • Бермант А. Ф. Люстерник Л. А. Тригонометрия. — М.: Наука, 1967.
  • «Советская Энциклопедия», 1977. — Т. 26. — с. 204-206.
  • Бронштейн И. Н., Семендяев К. А. Прямолинейная тригонометрия // Справочник по математике. — Изд. 7-е, стереотипное. — М.: Государственное издательство технико-теоретической литературы, 1967. — С. 179—184.
  • Выгодский, Марк Яковлевич Справочник по элементарной математике. — М.: Наука, 1978.
    • Переиздание: М.: АСТ, 2006, ISBN 5-17-009554-6, www.alleng.ru/d/math/math42.htm, 509 стр.
  • Двайт Г. Б. {{{заглавие}}}.
  • Кожеуров П. А. Тригонометрия. — М.: Физматгиз, 1963.
  • Маркушевич А. И. Замечательь=Тригонометрические функции|заглавие=Таблицы интегралов и другие математические формулы|издание=4-е изд|место=М.|издательство=Наука|год=1973|страные синусы. — М.: Наука, 1974.
  • Математическая энциклопедия / Гл. ред. И.М. Виноградов. — М.: «Советская Энциклопедия», 1984. — Т. 5. — с. 436.
  • Тригонометрические функции // Энциклопедический словарь юного математика/ Ред. коллегия, Гнеденко Б.В. (гл. ред.), Савин А.П. и др. — М.: Педагогика, 1985 (1989). — С. 299–301–305. — 352 с., ил. ISBN 5-7155-0218-7 (стр. 342, 343 — таблицы тригонометрических функций 0°–90°, в т.ч. в радианах)
  • Тригонометрические функции // Справочник по математике (для ср. уч. заведений)/ Цыпкин А.Г., под ред. Степанова С.А. — 3-е изд. — М.: Наука, Гл. редакция физ.-мат. литературы, 1983. — С. 240–258. — 480 с.

Ծանոթագրություններ[խմբագրել | խմբագրել կոդը]

  1. Выгодский М. Я. Справочник по элементарной математике. — М.: Наука, 1978. — С. 266-268..
  2. «Solving SSS Triangles»։ Maths is Fun։ Արխիվացված օրիգինալից-ից 2012-09-30-ին։ Վերցված է 23 Jule 2012 
  3. Степанов Н. Н. §42. Формулы «аналогии Непера» // Сферическая тригонометрия. — М.—Л.: ОГИЗ, 1948. — С. 87-90. — 154 с.
  4. История математики в Средние века, 1961, էջ 156-158.
  5. 5,0 5,1 Глейзер Г. И., 1982, էջ 79, 84.
  6. Вилейтнер Г., 1960, էջ 341-343.
  7. Хайрер Э., Ваннер Г Математический анализ в свете его истории. — М.: Научный мир, 2008. — С. 42. — 396 с. — ISBN 978-5-89176-485-9
  8. История математики, том I, 1970, с. 199-201.
  9. «Solving Triangles»։ Maths is Fun։ Վերցված է 23 Jule 2012 
  10. Ван дер Варден Пробуждающаяся наука. Математика древнего Египта, Вавилона и Греции. — М.: Наука, 1959. — С. 366. — 456 с.
  11. van der Waerden, Bartel Leendert. Geometry and Algebra in Ancient Civilizations. — Springer, 1983. — ISBN 3-540-12159-5
  12. Berggren, J. Lennart (2007). «Mathematics in Medieval Islam». The Mathematics of Egypt, Mesopotamia, China, India, and Islam: A Sourcebook. Princeton University Press. էջ 518. ISBN 9780691114859. 
  13. «Solving SSA Triangles»։ Maths is Fun։ Արխիվացված օրիգինալից-ից 2012-09-30-ին։ Վերցված է 24 Jule 2012) 
  14. Ильин В.А., Позняк Э.Г. Основы математического анализа. Ч. 1. — Москва: Наука, 1998. — ISBN 5-02-015231-5
  15. «Solving ASA Triangles»։ Maths is Fun։ Արխիվացված օրիգինալից-ից 2012-09-30-ին։ Վերցված է 24 Jule 2012 
  16. Berggren, J. Lennart (2007). «Mathematics in Medieval Islam». The Mathematics of Egypt, Mesopotamia, China, India, and Islam: A Sourcebook. Princeton University Press. էջ 518. ISBN 9780691114859. 

Արտաքին հղումներ[խմբագրել | խմբագրել կոդը]