Արմատ (մաթեմատիկա)

Վիքիպեդիայից՝ ազատ հանրագիտարանից
Jump to navigation Jump to search
HS Disambig.svg Անվան այլ կիրառումների համար տես՝ Արմատ (այլ կիրառումներ)
Nuvola apps edu mathematics blue-p.svg

-րդ աստիճանի արմատ թվից[1] կոչվում է այն թիվը, որոնց համար գոյություն ունի հետևյալ առնչությունը՝ , որտեղ -ը հանդիսանում է ցանկացած բնական թիվ և անվանվում է աստիճանի ցուցիչ (կամ արմատի աստիճան). այն կարող է ամենաքիչը ընդունել 2 արժեք, քանի որ դեպքում ստացվում է նույն թիվը։

Նշանակում. , աջ մասի նշանը (արմատի նշան) կոչվում է արմատական։ թիվը (արմատատակ արտահայտություն) հաճախ կարող է լինել իրական և կոմպլեքս թիվ:

Օրինակներ իրական թվերի բազմության վրա.

  • որովհետև
  • որովհետև
  • որովհետև

Ինչպես երևում է առաջին օրինակից, իրական թվով արմատը կարող է ունենալ երկու արդյունք (դրական և բացասական), որը դժվարեցնում է արմատների հետ աշխատանքը։ Որպեսզի ապահովենք թվաբանական արմատի եզակիությունը, ցուցիչը պետք է ընդունի դրական արժեքներ։ Դրա օրինակ է թիվը։

Սահմանում և առնչակից հասկացություններ[խմբագրել | խմբագրել կոդը]

Բացի վերը նշվածից, կարող ենք տալ արմատի սահմանման ևս երկու եղանակ[2].

  • -րդ աստիճանի արմատը թվից, որոշվում է հավարման բանաձևով (նշենք, որ լուծումը կարող է լինել մի քանի թիվ)
  • -րդ աստիճանի արմատ թվից կարող է լինել բազմանդամի արմատը, այսինքն մի արժեք, որի դեպքում նշված բազմանդամը կնդունի զրո արժեք։

հաշվարկման այսպիսի գործողությունը կոչվում է « աստիճանի հանում» թվից։ Սա մեկն է այն երկու գործողություններից, որոնք առնչվում են արմատի տեղադրման հետ[3], մասնավորապես թվի և աստիճանի միջև գոյություն ունի հետևյալ առնչությունը՝ : Երկրորդ գործողությունը դա լոգարիթմականն է, որի մեջ մտնում է հայտնի հիմքը և արդյունքը։

Երկրորդ և երրորդ աստիճանի արմատները առավել հաճախ են օգտագործվում և հետևաբար ունեն բնորոշ անուններ[3].

  • Քառակուսի արմատ. Այս դեպքում, եթե արմատանշանի վրա բնական թիվը բացակայում է, հետևաբար դա 2 թիվն է, իսկ «արմատ» տերմինը՝ առանց աստիճանի, պետք է հասկանալ քառակուսային արմատը։ Երկրաչափորեն կարող է բնութագրել քառակուսու կողի երկարությունը, որի մակերեսը հավասար է :
  • Խորանարդ արմատ. Երկրաչափորեն բնութագրում է բազմանիստ խորանարդի կողի երկարությունը, որի ծավալը հավասար է -ի։

Արմատներ իրական թվից[խմբագրել | խմբագրել կոդը]

-րդ աստիճանի արմատը իրական թվի, հակում ունի ընդունելու զույգ արժեքներ, իսկ թիվը ընդունում է 0-ից 2 իրական արժեքները։

Ընդհանուր հատկություններ[խմբագրել | խմբագրել կոդը]

  • Կենտ աստիճանի արմատը դրական թվից՝ դրական թիվ է, և հստակ սահմանվում է այսպես։
,   որտեղ       - կենտ
Օրինակ,
  • Կենտ աստիճանի արմատը բացասական թվից՝ բացասական թիվ է, և հստակ սահմանվում է այսպես։
,   որտեղ       - կենտ
Օրինակ,
  • Զույգ աստիճանի արմատը դրական թվից ունի երկու արժեք՝ տարբեր նշաններով, սակայն մոդուլով հավասար։
,   որտեղ       - զույգ
Օրինակ,
  • Իրական թվերի բազմության վրա զույգ աստիճանի արմատ բացասական թվից գոյություն չունի, քանի որ և՛ բացասական, և՛ դրական թվերի արտադրյալը դրական թիվ է։ Այդպիսի բան կարող է տեղի ունենալ միայն կոմպլեքս թվերի դեպքում։
   գոյություն չունի, եթե       - զույգ
  • Ցանկացած բնական աստիճանի արմատը զրո թվից՝ զրո է։
   որտեղ   
Թվաբանական քառակուսային արմատի ֆունկցիայի գրաֆիկը

Թվաբանական արմատ[խմբագրել | խմբագրել կոդը]

Զույգ աստիճանի արմատները, այսպես ասած միանշանակ չեն, և դա խնդիր է ստեղծում արմատները օգտագործման ժամանակ։ Հետևաբար գոյություն ունի այս հասկացության կարևոր սահմանափակում[4]:

-րդ աստիճանի թվաբանական արմատը ոչ բացասական, իրական թվից, դա այն ոչ բացասական թիվն է, որի դեպքում տեղի ունի առնչությունը։ Ի դեպ թվաբանական արմատը ունի գրության նույն նշանը։

Այսպիսով թվաբանական արմատը ի տարբերություն նախորդի (հանրահաշվական[5]), հանդես է գալիս ոչ բացասական իրական թվերի համար և այն միշտ գոյություն ունի՝ միարժեք[6] և ոչ բացասական։ Օրինակ, թվի քառակուսի արմատը ունի երկու արժեք՝ և , մինչդեռ թվաբանականի արժեքը հանդիսանում է առաջինը։

Քանի որ թվաբանական և հանրահաշվական ունեն գրության նույն ձևը, ապա այս հոդվածում թվաբանական արմատը կնշվի կապույտ, իսկ հանրահաշվականը՝ սև:

Հանրահաշվական հատկություններ[խմբագրել | խմբագրել կոդը]

  • Արմատի և աստիճանի[7] կապը՝ կենտ թվերի դեպքում.    , զույգերի դեպքում :    
  • Եթե , ապա

Արմատը տարբեր արմատների արտադրյալի արդյունք է.

Բաժանման դեպքում նույնպես.

Այս հավասարումը սահմանում է կոտորակային աստիճանը[8]:

Արմատի արժեքը չի փոխվում, եթե ցուցիչը և աստիճանը բաժանվում են իրենց ընդհանուր բաժանարարի վրա.

  • * Օրինակ։
  • *

Կենտ արմատների համար նշենք մեկ այլ լրացուցիչ հատկություն.

Արմատի և կոտորակային արմատի բարձրացում[խմբագրել | խմբագրել կոդը]

Արմատի բարձրացման հիմնական գործողութոյւնը բնական թվերի միմյանցով բազմապատկումն է. : Հաջորդ քայլը ընդգրկում է լայն սահմաններ, այդ թվում նաև բացասական թվեր.

Հանրահաշվական արմատը կարող ենք առանձնացնել ցանկացած տեսքի կոտորակային արմատների[8].

   

կոտորակի համարիչը կարող է լինել մեկ նշան։ Այս հատկութոյւնները օգտագործվում են միայն բնական աստիճանի դեպքում։

Այս սահմանումը նշանակում է, որ արմատը և դրա հակադիրը ունեն նույն հանրահաշվական էությունը։ Մասնավորապես.

Բացասական թվերով ռացիոնալ արմատը կարող է հանգեցնել սխալների, քանի որ հանրահաշվական արմատը երկարժեք է, իսկ այն սահմանափակվում է ոչ բացասական թվերով։ Հնարավոր սխալի օրինակ.

Արմատային ֆունկցիա[խմբագրել | խմբագրել կոդը]

Եթե հաշվի առնենք, որ արմատային արտահայտությունը ունի փոփոխական, ապա մենք կստանանք -й степени: աստիճանի արմատով ֆունկցիա։ Այս ֆունկցիան մտնում է հանրահաշվական ֆունկցիաների շարքը։ Ցանկացած արմատային ֆունկցիայի գրաֆիկ սկսվում է կոորդինատային համակարգի սկզբնակետից և անցնում է կետով։

Ինչպես վերը նշվեց զույգ աստիճանի արմատի դեպքում արմատը թվաբանական է և հետևաբար արգումենտը ոչ բացասական է։ Արմատային ֆունկցիան կենտ աստիճանների դեպքում միարժեք է և այն գոյություն ունի իրական թվերի բազմության վրա։

Արմատային ֆունկցիայի տեսակ Սահման Արժեքների սահման Այլ հատկություններ
Զույգ արմատ Ուռուցիկ ֆունկցիա՝ ողջ տիրույթի վրա
Կենտ արմատ Կենտ ֆունկցիա

Ցանկացած արմատային ֆունկցիա իր ամբողջ տիրույթի վրա աճում է։ Դրա դիֆֆերենցիալը անսահմանափակ է, բացի կոորդինատների սկզբնակետից, որտեղ ածանցյալը դառնում է անվերջ[9] [10]: Ածանցյալը սահմանվում է հետևյալ բանաձևով[11].

   : Մասնավորապես,   :

Ֆունկցիան անսահմանորեն ինտեգրվում է թվային ողջ տրիույթի վրա։ Անորոշ ինտեգրալը որոշվում է հետևյալ բանաձևով.

   : Մասնավորապես,      , որտեղ    - կամայական հաստատուն է:

Սահմանային հարաբերություններ[խմբագրել | խմբագրել կոդը]

Այստեղ մի քանի օգտակար սահմանափակումներ պարունակող արմատներ են[13]:

Արմատի գործնական հաշվարկներ[խմբագրել | խմբագրել կոդը]

Քառակուսային և խորանարդային արմատները կիրառվում են տարբեր հաշվիչ սարքերում. օրինակ, Windows օպերացիոն համակարգի հաշվիչը ունի «շինարարական» ռեժիմի կոճակ։ Ձեռքով հաշվարկների ժամանակ մենք կարող ենք օգտվել ավելի արագ մեթոդից՝ «n-րդ աստիճանի արմատը գտնելու ալգորիթմ»-ից։

Եթե աստիճանը մեծ է երեքից, աապ կարող ենք օգտագործել հետևյալ լոգարիթմական նույնությունը.

Սրանից հետևում է, որ արմատը գտնելու համար, պետք է գտնենք արմատատակ արտահայտության լոգարիթմը, առանձնացնենք աստիճանը արմատից և գտնենք դրա հակալոգարիթմը:

Արմատ կոմպլեքս թվից[խմբագրել | խմբագրել կոդը]

Կոմպեքս թվերի հետ արմատային գործողությունները պատմաբանները «նույնականացրել» են բացասական թվից քառակուսի արմատ հանելուն։ Քանի որ հետագայում պարզ դարձավ, որ կոմպեքս թվերը ունեն հանրահաշվական և անալիտիկ հատկություններ. չնայած, որ արմատ հանելու գործողությունը միշտ հնարավոր է՝ թեև միանշանակ։

Գտնելու մեթոդներ[խմբագրել | խմբագրել կոդը]

Գրենք կոմպլեքս թիվը տրիգոնոմետրիկ տեսքով.

.

-րդ աստիճանի արմատը թվից հաշվվում է Մուավրի բանաձևով (տրիգոնոմետրիկ տեսք)[14]:

Երկրորդ և երրորդ միավորների արմատները

կամ ցուցչային տեսքով.

աստիճանի արմատը ունի մի շարք ոչ զրոյական արժեքներ, որոնք միմյանցից տարբեր են։ Արմատի արժեքը, որը ստացվում է դեպքում, կոչվում է գլխավոր։

Արմատի բոլոր արժեքները գտնվում են միևնույն շրջանային հարթության վրա՝ շառավղով։ Արմատները այս շրջանի վրա բաժանվում են հավասար մասերի։

Օրինակներ[խմբագրել | խմբագրել կոդը]

Գտնենք : Հետո բանաձևով ստացվում է.

դեպքում ստացվում է առաջին արմատը՝ , դեպքում ստացվում է երկրորդ արմատը՝

Այլ օրինակ. գտնենք : Ներկայացվող արմատական արտահայտությունը տրիգոնոմետրիկ ձևով.

Մուավրի բանաձևով ստացվում է.

Արդյունքում ստացվում է չորս արմատ[15].

Պատասխանը կարող ենք գրել համախմբված տեսքով.

Կոմպլեքս արմատի ֆունկցիան[խմբագրել | խմբագրել կոդը]

Քառակուսի աստիճանի արմատը կոմպլեքս թվից տրվում է նույնությամբ։

Տարբերակներ և ընդհանրացումներ[խմբագրել | խմբագրել կոդը]

-րդ աստիճանի արմատը թվից սահմանվում է հավասարումով, և այն միշտ կարող ենք օգտագործել, որտեղ այս հավասարումը իմաստ ունի։ Շատ հաճախ դրանք համարում են հանրահաշվական օղակների ընդհանրացումներ։ Առավել լավ ուսումնասիրված են քառակուսային արմատները։

Եթե օղակը ունի անբաժանելի տիրույթ, այդ դեպքում քառակուսի արմատի արժեքները կարող են լինել կա՛մ երկու հատ, կա՛մ մեկ։ Ամեն դեպքում եթե ունի երկու արմատներ, հետևաբար , որտեղից էլ , այսինքն զրո բաժանարարի բացակայության արդյունք, : Ամեն դեպքում, եթե օղակը ունի զրո կամ նա փոխարինվող է, ապա արմատը կարող է ունենալ ցանկացած արժեք։

Հիպերկոմպլեքս թվերի համար կան նմանություններ կոմպլեքս թվերի հետ, բայց կան նաև զգալի տարբերություններ։ Հիպերկոմպլեքս թվերը սովորաբար ունենում են երկու արժեք, բայց եթե արմատատակ արտահայտությունը բացասական, իրական թիվ է՝ ունի անսահման արժեքներ։ Օրինակ, թվի քառակուսի արմատը առաջացնում է եռաչափ ոլորտ և սահմանվում է հետևյալ բանաձևով[16].

Քառակուսային մատրիցի օղակի համար ապացուցված է, որ եթե մատրիցը դրական է, ապա դրանից գոյություն ունի քառակուսի արմատ և դա միակն է։ Արմատի այլ տիպի մատրիցները կարող են ունենալ անթիվ արժեքներ (այդ թվում մեկ)։

Քառակուսի արմատները գրառվում են նաև ֆունկցիաների[17], օպերատորների[18] և այլ մաթեմատիկական օբյեկտների տեսքով։

Պատմություն[խմբագրել | խմբագրել կոդը]

Զարգացման հասկացություններ[խմբագրել | խմբագրել կոդը]

Բաբելոնական աղյուսակ (մոտավորապես մ. թ. ա. 1800-1600 թվականներ) հաշվարկման օրինակ

Առաջին անգամ քառակուսի արմատը հիշատակվել է բաբելոնական մաթեմատիկայի մեջ (հին Եգիպտոսում այս մասին ձեռքբերումներ հայտնի չէին)։ Այդ խնդիրներից էր[19].

  • Պյութագորասի թեորեմի միջոցով կարողացել են գտնել ուղղակնյուն եռանկյան մյուս կողմը, եթե հայտնի են մնացած երկուսը։
  • Գտնելով քառակուսու կողմի երկարությունը կարողանում էին որոշել նրա զբաղեցրած մակերեսը։
  • Քառակուսային հավասարումների լուծումը։

Բաբելոնցի մաթեմատիկոսները (մ. թ. ա. 2-րդ հազարամյակ) մշակել են քառակուսի արմատ հանելու հատուկ եղանակ։ գտնելու համար կատարում էին նախնական մոտարկում մինչև նրան ամենամոտ բնական թիվը (ներքևի սահմանից)։ Ներկայացվում է արմատական արտահայտությունը. , ստացվում է , ապա կիրառվում է Նյուտոնի մեթոդը[20].

Այս մեթոդով հաշվարկները բավականին արագ են ստացվում։ Օրնակ, -ի համար, և մենք ստանում ենք մոտավորապես հաջորդականությունը.

Բոլոր արժեքբերը ճիշտ են, բացի վերջինից։

Անալոգիական խնդիրներ և մեթոդներ հանդիպում ենք հին չինական «Մաթեմատիկան ինը գրքերի մեջ»[21]: Հին հույները կատարել են կարևոր հայտնագործություն. իռացիոնալ թիվ է։ Մանրամասն ուսումնասիրություններ է իրականացրել Տետետ Աթենացին (մ .թ. ա. 4-րդ դար) և բացահայտել է, որ եթե արմատը բնական թվից դուրս չի գալիս ամբողջությամբ, ապա դրա արժեքը իռացիոնալ է[22]:

Հույները ձևակերպել են խորանարդի կրկնապատկման խնդիրը, որի համար պետք է օգտագործել ընդամենը քանոն և կարկին: Սակայն խնդիրը չէր լուծվում։ Թվաբանական ալգորիթմների առանձնացումը քառակուսի արմատից հրապարակել են Հերոնը («Մատրիկա» թեզի մեջ, մ. թ. ա. 1-ին դարում) և հնդկացի մաթեմատիկոս Արիաբխատա առաջինը (5-րդ դար)[23]:

Ցանկացած աստիճանի արմատի հանման գործողության ալգորիթմը ցանկացած թվից զարգացրել են հնդկացի և իսլամիստ մաթեմատիկոսները, որոնք դրանք բարելավել են միջնադարյան Եվրոպայում: Նիկոլայ Օրեմը (14-րդ դար) առաջինն է մեկնաբանել[24] -րդ աստիճանի արմատի տեղադրումը տեսքով։

Կարդանոյի բանաձևի բացահայտումից հետո (15-րդ դար), մաթեմատիկայի ասպարեզում հայտնաբերվեցին ոչ իրական թվերը, որոնք օգտագործվում էին բացասական թվերից քառակուսի արմատ հանելու ժամանակ[25]: Բարդ թվերի հետ աշխատելու հիմնական տեխնիկան 16-րդ դարում հայտնաբերել է Ռաֆայել Բոմբելին, որը նույնպես շարունակեց արմատների հաշվման օրիգինալ տարբերակը (շղթայական կոտորակների միջոցով)։ Մուավրի բանաձևի բացահայտումը հայտնաբերեց, որ ցանկացած աստիճանի արմատը կոմպլեքս թվիցմիշտ գոյություն ունի և այն չի հանգեցնում նոր թվերի տեսակի առաջացման[26]:

Կոմպլեքս արմատները ցանկացած թվից հիմնովին ուսումնասիրվել է 19-րդ դարում՝ Կարլ Գաուսի կողմից, չնայած նրան, որ առաջին քայլերը վերագրվում են Լեոնարդ Էյլերին[27]: Սա շատ կարևոր ապացույցն է այն բանի, որ ոչ բոլոր մաթեմատիկական թվերն են ստացվում չորս գործողությունների և արմատահանման գործողության միջոցով[28]:

Ստուգաբանություն և ծագման խորհրդանիշներ[խմբագրել | խմբագրել կոդը]

Արմատ տերմինը ունեցել է բավականին երկար և բարդ պատմություն։ Քառակուսի արմատ հասկացությունը հին հույները մտածել են խիստ երկրաչափորեն. ինչպես գտնել քառակուսու կողմը եթե հայտնի է մակերեսը։ «Ճանապարհ» հունական բառը սանսկրիտ լեզվով թարգմանումից վերածվեց «ջորի» բառին։ «Ջորի» բառը ուներ նաև «արմատ» բառի նշանակությունը, որը հնդկերենից արաբերեն թարգմանելիս ստացվում էր «ջիզր» տերմինը, որը նշանակում է բույսի արմատ։ Հետագայում «radix» բառը թարգմանվեց լատիներենից արաբերեն, իսկ հետո անցավ ռուսական տերմինաբանության մեջ («արմատ», «ռադիկալ»)[29]:

Հետագայում որոշ մաթեմատիկոսներ (օրինակ Ջերոլամո Կարդանոն) քառակուսային արմատը[30] նշանակել են Rx նշանակումով, «radix» բառի կրճատումից։ Արմատի ներկայիս նշանը առաջին անգամ առաջարկել է գերմանացի մաթեմատիկոս Քրիստոֆ Ռուդոլֆը` դպրոցում, 1525 թվականին[31]: Դա ունի «radix» բառի առաջին տառի խորհրդանիշը։ Բայց սկզբում առաջին արմատատակ արտահայտությունը բացակայում էր. այմ հետագայում ներկայացրեց Ռենե Դեկարտը, այլ նպատակների համար, բայց այդ հատկությունը շուտով միացվեց արմատի նշանին։

Աստիճանի ցուցիչը արմատի նշանի վրա առաջարկել է Ջոն Վալլիսը և Իսահակ Նյուտոնը իր «Ընդհանուր թվաբանություն» գրքում (18-րդ դար)[32]

Տես նաև[խմբագրել | խմբագրել կոդը]

Գրականություն[խմբագրել | խմբագրել կոդը]

  • Выгодский М. Я. Справочник по элементарной математике. - изд. 25-е. - М.: Наука, 1978. - ISBN 5-17-009554-6.
  • История математики, в трёх томах / Под редакцией А. П. Юшкевича. - М.: Наука, 1970-1972.
  • Корн Г., Корн Т. Справочник по математике (для научных работников и инженеров). - М.: Наука, 1973. - 720 с.
  • Мордкович А. Г. Алгебра и начала анализа. Учебник для 10-11 классов, часть 1. - изд. 4-е. - М.: Мнемозина, 2003. - 376 с.
  • Свешников А. Г., Тихонов А. Н. Теория функций комплексной переменной. - М.: Наука, 1967. - 304 с.
  • Фихтенгольц Г. М. Курс дифференциального и интегрального исчисления. - изд. 6-е. - М.: Наука, 1966. - 680 с.

Ծանոթագրություններ[խմբագրել | խմբագրել կոդը]

  1. Корень // Математическая энциклопедия (в 5 томах). — М.: Советская Энциклопедия, 1982. — Т. 3.
  2. Մարկ Սկանավի. Տարրական մաթեմատիկա п.1.11, стр.49.
  3. 3,0 3,1 Выгодский М. Я. Справочник по элементарной математике, 1978, էջ 64.
  4. Арифметический корень // Математическая энциклопедия (в 5 томах). — М.: Советская Энциклопедия, 1982. — Т. 1.
  5. Алгебраический (многозначный) корень в источниках часто называют просто корнем.
  6. Фихтенгольц Г. М. Курс дифференциального и интегрального исчисления, 1966, մեկնաբանություն՝ Т. I, С. 35-36.
  7. Алгебра и начала анализа. Учебник для 10-11 классов, под ред. А. Н. Колмогорова. М.: Просвещение, 2002, С. 209.
  8. 8,0 8,1 Выгодский М. Я. Справочник по элементарной математике, 1978, էջ 183.
  9. Фихтенгольц Г. М. Курс дифференциального и интегрального исчисления, 1966, մեկնաբանություն՝ Т. I, С. 194, 198.
  10. Мордкович А. Г., 2003, էջ 236-238.
  11. Фихтенгольц Г. М. Курс дифференциального и интегрального исчисления, 1966, մեկնաբանություն՝ Т. I, С. 215.
  12. [[#cite_ref-Фихтенгольц_Г._М._Курс_дифференциального_и_интегрального_исчисления—1966—Т._I,_С._233,_частный_случай_для_'"`UNIQ--math-0000006F-QINU`"'.—_12-0|↑]] Фихтенгольц Г. М. Курс дифференциального и интегрального исчисления, 1966, մեկնաբանություն՝ Т. I, С. 233, частный случай для .
  13. Фихтенгольц Г. М. Курс дифференциального и интегрального исчисления, 1966, մեկնաբանություն՝ Том I, стр. 67, 131-132, 164, 166-167.
  14. Корн Г., Корн Т. Справочник по математике, 1973, էջ 36-37.
  15. Зайцев В. В., Рыжков В. В., Сканави М. И. Элементарная математика. Повторительный курс. — издание третье, стереотипное. — М.: Наука, 1976. — С. 68. — 591 с.
  16. Porteous, Ian R. Clifford Algebras and the Classical Groups. Cambridge, 1995, page 60.
  17. См., например: Ершов Л. В., Райхмист Р. Б. Построение графиков функций. М.: Просвещение, 1984, или: Каплан И. А. Практические занятия по высшей математике. Харьков: Изд-во ХГУ, 1966.
  18. См., например: Хатсон В., Пим Дж. Приложения функционального анализа и теории операторов. М.: Мир, 1983, или: Халмош П. Гильбертово пространство в задачах. М.: Мир, 1970.
  19. История математики, 1970-1972, մեկնաբանություն՝ Том I, С. 42-46.
  20. История математики, 1970-1972, մեկնաբանություն՝ Том I, С. 47.
  21. История математики, 1970-1972, մեկնաբանություն՝ Том I, С. 169-171.
  22. Башмакова И. Г. Становление алгебры (из истории математических идей). — М.: Знание, 1979. — С. 23.. — (Новое в жизни, науке, технике. Математика, кибернетика, № 9).
  23. Abhishek Parakh. Ariabhata's root extraction methods // Indian Journal of History of Science. — 2007. — В. 42.2. — С. 149-161.
  24. История математики, 1970-1972, մեկնաբանություն՝ Том I, С. 275-276.
  25. История математики, 1970-1972, մեկնաբանություն՝ Том I, С. 296-298.
  26. История математики, 1970-1972, մեկնաբանություն՝ Том III, С. 56-59.
  27. История математики, 1970-1972, մեկնաբանություն՝ Том III, С. 62.
  28. Колмогоров А. Н., Юшкевич А. П. (ред.). Математика XIX века. Математическая логика, алгебра, теория чисел, теория вероятностей. — М.: Наука, 1978. — Т. I. — С. 58-66..
  29. История математики, 1970-1972, մեկնաբանություն՝ Том I, С. 185.
  30. Никифоровский В. А. Из истории алгебры XVI-XVII вв. — М.: Наука, 1979. — С. 81. — 208 с. — (История науки и техники).
  31. Знаки математические // Математическая энциклопедия. — М.: Советская Энциклопедия, 1982. — Т. 2.
  32. Александрова Н. В. История математических терминов, понятий, обозначений: Словарь-справочник, изд. 3-е. — СПб.: ЛКИ, 2008. — С. 82. — 248 с. — ISBN 978-5-382-00839-4