Լոգարիթմ

Վիքիպեդիայից՝ ազատ հանրագիտարանից
\log_2 x-ի գրաֆիկը

Լոգարիթմ, (հունարեն՝ λόγος-«բառ»,«հարաբերություն» և ἀριθμός-«թիվ»)[1] b թվի լոգարիթմ a հիմքով, որտեղ a>0, a \neq 1, կոչվում է այն թիվը, որով պետք է աստիճան բարձրացնել a հիմքը b թիվը ստանալու համար։[2]

Այն նշանակում են \log_a b տեսքով և կարդում «լոգարիթմ a հիմքով b»։

Սահմանումից հետևում է, որ x=\log_a b հավասարումը համարժեք է a^x=b հավասարմանը։

Օրինակ \log_2 8=3, քանի որ 2^3=8։

Լոգարիթմի հաշվումը հաճախ անվանում են լոգարիթմում։

a և b թվերը հաճախ իրական թվեր են, սակայն կան նաև կոմպլեքս լոգարիթմներ։

Լոգարիթմները օժտված են յուրահատուկ հատկություններով, որոնք սահմանել են նրա լայն կիրառությունը դժվարին հաշվարկների հնարավոր պարզեցման մեջ[3]։ «Լոգարիթմների աշխարհում» բազմապատկումը փոխարինվում է շատ ավելի հասարակ գումարմամբ, բաժանումը՝ հանմամբ, իսկ աստիճան բարձրացնելը և արմատ հանելը համապատասխանաբար փոխակերպվում են բազմապատկման և բաժանման աստիճանի ցուցիչի վրա։ Պիեր Սիմոն Լապլասը ասել է, որ լոգարիթմների հայտնագործումը՝ «կրճատելով աստղագետի աշխատանքը, կրկնապատկել է նրա կյանքը»[4]։

Լոգարիթմների սահմանումը և նրանց նշանակությունների աղյուսակը (եռանկյունաչափական ֆունկցիաների համար) առաջին անգամ հրապարակել է շոտլանդացի մաթեմատիկոս Ջոն Նեպերը 1614 թվականին։ Լոգարիթմական աղյուսակները, ընդարձակված և ճշգրտված այլ մաթեմատիկոսների կողմից, համատարած օգտագործվում էին գիտական և ճարտարագիտական հաշվարկների համար ավելի քան երեք դար, մինչև հայտնվեցին էլեկտրոնային հաշվիչներն ու համակարգիչները։

Ժամանակի ընթացքում պարզվեց, որ լոգարիթմական ~y=\log_a x ֆունկցիան, անփոխարինելի է նաև մարդկային գործունեության այլ բնագավառների համար՝ դիֆֆերենցիալ հավասարումների լուծման, մեծությունների նշանակությունների դասակարգման (օրինակ՝ հաճախականություն և ձայնի ինտենսիվություն), տարբեր կախույթների ապրոկսիմացիայի, տեղեկության տեսությունների, հավանականության տեսությունների և այլն։ Այս ֆունկցիան պատկանում է տարրականների շարքին, այն հակադարձ համեմատական է տիպային ֆունկցիային։ Ամենից հաճախ օգտագործվում են իրական լոգարիթմները e հիմքով (բնական լոգարիթմ), 10 հիմքով և 2 հիմքով։

Իրական լոգարիթմներ[խմբագրել]

\log_a b արտահայտությունը որոշված է այն և միայն այն դեպքում, երբ b>0, a>0, a \neq 1:

Լայն կիրառություն ունեն հետևյալ տեսքի լոգարիթմները.

  • Բնական. հիմքը հանդիսանում է Էյլերի թիվը (e).
  • Տասնորդական.lg b, հիմքը հանդիսանում է 10-ը.
  • Երկուական.log_2 b, հիմքը հանդիսանում է 2-ը։

Սրանք լայն կիրառություն ունեն օրինակ ինֆորմատիկայում, շատ դիսկրետ մաթեմատիկական բաժանումներում և այլն։

Հատկություններ[խմբագրել]

Հիմնական լոգարիթմական նույնություններ[խմբագրել]

Լոգարիթմի սահմանումից հետևում է հիմնական լոգարիթմական նույնութըունը. a^{\log_a b} =b Ապացուցում։ Եթե \log_a b=\log_a c, ապա a^{log_a b} = a^{log_a c} , որտեղից հետևում է, որ b=c։

Լոգարիթմի միավորը և թիվը

\log_a 1=0;\log_a a=1

Բանաձև Օրինակ
Արտադրյալ  \log_a(x y) = \log_a (x) + \log_a (y) \,  \log_3 (243) = \log_3(9 \cdot 27) = \log_3 (9) + \log_3 (27) =  2 + 3 = 5 \,
Քանորդ \log_a \!\left(\frac x y \right) = \log_a (x) - \log_a (y) \,  \lg \left(\frac{1}{1000}\right) = \lg (1) - \lg (1000) = 0 - 3 = -3
Աստիճան \log_a(x^p) = p \log_a (x) \,  \log_2 (64) = \log_2 (2^6) = 6 \log_2 (2) = 6 \,
Արմատ \log_a \sqrt[p]{x} = \frac {\log_a (x)} p \,  \log_{10} \sqrt{1000} = \frac{1}{2}\log_{10} 1000 = \frac{3}{2} = 1.5

Կա ակնհայտ ընդհանրացում բանաձևերի, որը տրվում է այն դեպքում,երբ թույլատրվում է բացասական արժեքների փոփոխումներ , օրինակ

\log_a |x y| = \log_a |x| + \log_a |y|
\log_a \!\left|\frac x y \right| = \log_a |x| - \log_a |y|

Արտադրյալի լոգարիթմի բանաձևերը հեշտությամբ ընդհանրացվում են կամայական թվով արտադրիչների համար։

 \log_a(x_1 x_2 \dots x_n) = \log_a (x_1) + \log_a (x_2) + \dots + \log_a (x_n)
 \log_a |x_1 x_2 \dots x_n| = \log_a |x_1| + \log_a |x_2| + \dots + \log_a |x_n|

Վերոնշյալ հատկությունները բացատրում են, թե ինչու լոգարիթմների կիրառությունը (մինչև հաշվիչների հայտնագործումը) անչափ հեշտացնում է հաշվարկները։ Օրինակ,x,y բազմանիշ թվերի արտադրյալը լոգարիթմական աղյուսակի օգնությամբ կատարվում է հետևյալ ալգորիթմով՝

  1. լոգարիթմների աղյուսակում գտնում ենք x,y թվերը,
  2. գումարում ենք այդ լոգարիթմները, ստանում ենք (համաձայն առաջին հատկության) x,y արտադրյալի լոգարիթմը,
  3. ըստ արտադրյալի լոգարիթմի աղյուսակներում գտնում ենք հենց արտադրյալը։

Բաժանումը, որն առանց լոգարիթմների օգնությամբ բավականին դժվար է, քան արտադրյալը, կատարվում է նույն ալգորիթմով, միայն լոգարիթմների գումարը փոխարինելով նրանց տարբերությամբ։ Նմանապես, պարզեցվել են աստիճանի բարձրացումը և արմատի հանումը։

Լոգարիթմի հիմքի փոխարինումը[խմբագրել]

\log_a b\, Լոգարիթմը որի հիմքը a-ն է, կարելի է փոխակերպել [5]մեկ այլ c հիմքի լոգարիթմի հետևյալ բանաձով՝

\log_a b = \frac{\log_c b }{\log_c a}

Հետևանք (երբ b=c ) - հիմքի և լոգարիթմվող արտահայտության տեղափոխություն՝

\log_a b = \frac {1}{\log_b a}

\frac{1}{\log_c a} = \log_a c Գործակիցը հիմքի փոխարինման բանաձևում կոչվում է անցման մոդուլ մի հիմքից մյուսին[6].

Անհավասարություն[խմբագրել]

\log_a{b} Լոգարիթմի արժեքը դրական է այն և միայն այն դեպքում, երբ a, b թվերը գտնվում են մեկի միևնույն կողմում (այսինքն կամ երկուսն էլ մեծ են մեկից, կամ երկուսն էլ փոքր են մեկից): Իսկ եթե a-ն և b-ն ընկած են մեկի տարբեր կողմերում, ապա լոգարիթմը բացասական է։


Դրական թվերի համար ցանկացած անհավասարություն կարելի է լոգարիթմել։ Այդ դեպքում եթե լոգարիթմի հիմքը մեծ է մեկից ապա անահավասարության նշանը պահպանվում է, իսկ եթե հիմքը փոքր է մեկից անհավասարության նշանը փոխարինվում է հակառակին։

Այլ հավասարություններ և հատկություններ[խմբագրել]

Եթե լոգարիթմի հիմքը և լոգարիթմվող արտահայտությունը պարունակում են աստիճանի բարձրացման արտահայտություն նրանց համար կարելի է օգտագործել հետևյալ պարզ հավասարությունը՝

{\log_{a^q}{b}}^p = \frac{p}{q}\log_a{b}

Այս հավասարությունը միանգամից ստացվում է, եթե լոգարիթմի ձախ մասում a^q հիմքը փոխարինում ենք a հիքով, վերևում նշված հիմքի փոխարինման բանաձևով։ Հետևանք՝

\log_{a^k} b = \frac {1} {k} \log_a b; \quad  \log_{\sqrt[n]{a}} b = n \log_a b; \quad \log_{a^k} b^k = \log_a b

Եվս մեկ օգտակար հավասարում՝

c^{\log_a b}=b^{\log_a c}

Նրա ապացուցման համար կարելի է տեսնել, որ լոգարիթմի ձախ և աջ մասերը a հիմքով համընկնում են (հավասար են ~\log_a b \cdot \log_a c), համաձայն լոգարիթմական հավասարության հետևում է,որ հավասարության ձախ և աջ մասերը իրար հավասար են։

Լոգարիթմանական ֆունկցիա[խմբագրել]

Հիմնական բնութագրերը[խմբագրել]

Լոգարիթմական ֆունկցիայի գրաֆիկը
Ցուցչային ֆունկցիային հակադարձ լոգարիթմական ֆունկցիա

Եթե դիտարկենք լոգարիթմվող թիվը որպես փոփոխական մենք կստանանք y=\log_a x լոգարիթմական ֆունկցիան։ Այն որոշված է ~a>0;\ a \ne 1; x>0-ի համար։ Արժեքների տիրույթն է՝ E(y)=(-\infty; + \infty )։ Այս կորը հաճախ անվանում են լոգարիթմական։ [7]։ Լոգարիթմի հիմքի փոխարինման բանաձևից երևում է, որ տարբեր հիմքերով լոգարիթմական ֆունկցիայի գրաֆիկը մեծ է մեկից և մեկը մյուսից տարբերվում են միայն y-ի առանցքի նկատմամբ միայն մաշտաբով, իսկ 1-ից փոքր հիմքով գրաֆիկները հանդիսանում են նրանց հայելային արտապատկերումները հորիզոնական առանցքի նկատմամաբ։

Սահմանումից հետևում է, որ լոգարիթմական կապը հանդիսանում է ~y=a^x ցուցչային ֆունկցիայի համար հակադարձ ֆունկցիա, հետևաբար նրանց գրաֆիկները սիմետրիկ են առաջին և երրորդ քարորդների կիսորդի նկատմամբ(տես նկարը):Ինչպես և ցուցչային ֆունկցիան, այնպես էլ լոգարիթմական ֆունկցիան դասվում են տրանսցենդենտ ֆունկցիաների կատեգորիային։

Ֆունկցիան հանդիսանում է խիստ աճող a > 1-ի դեպքում (տես հաջորդ գրաֆիկը) և խիստ նվազող ~0 < a < 1-ի դեպքում։ Ցանկացած լոգարիթմական ֆունկցիայի գրաֆիկը անցնում է (1;0) կետով։ Ֆունկցիան անընդհատ է և անսահամանափակ դիֆերենցվող է իր որոշման ամբողջ տիրույթում։

Օրդինատների առանցքը (x=0) հանդիասնում է ձախ ասիմպտոտիկ ուղղահայաց, քանի որ՝

\lim_{x \to 0+0} \log_a x = - \infty, երբ a > 1;


\lim_{x \to 0+0} \log_a x = + \infty, երբ 0 < a < 1։

Լոգարիթմական ֆունկցիայի ածանցյալը հավասար է՝

\frac {d} {dx} \log_a x = \frac {1} {x \cdot \log_e a} = \frac {1} {x \cdot \ln a}

Հանրահաշվի տեսանկյունից լոգարիթմական ֆունկցիան կատարում է (միակ հնարավոր) մուլտիպլիկտիվ խմբի իզոմորֆիզմ դրական իրական թվերի և ադիտիվ խումբ բոլոր իրական թվերի։ Այլ բառերով, լոգարիթմական ֆունկցիան հանդիսանում է միակ ֆունկցիոնալ հավասարման անընդհատ լուծումը՝

f(xy)=f(x)+f(y)

Ծանոթագրություններ[խմբագրել]

  1. Краткий словарь иностранных слов. М.: Русский язык, 1984.
  2. Выгодский М. Я. Справочник по элементарной математике, 1978
  3. Выгодский М. Я. Справочник по элементарной математике, 1978
  4. Швецов К. И., Бевз Г. П. Справочник по элементарной математике. Арифметика, алгебра. Киев: Наукова Думка, 1966. §40. Исторические сведения о логарифмах и логарифмической линейке.
  5. Корн Г., Корн Т. Справочник по математике, 1973
  6. Элементарная математика, 1976
  7. Логарифмическая функция. // Математическая энциклопедия (в 5 томах). — М.: Советская Энциклопедия, 1982. — Т. 3.