Լոգարիթմ

Վիքիպեդիայից՝ ազատ հանրագիտարանից
\log_2 x-ի գրաֆիկը

Լոգարիթմ, (հունարեն՝ λόγος-«բառ»,«հարաբերություն» և ἀριθμός-«թիվ»)[1] b թվի լոգարիթմ a հիմքով, որտեղ a>0, a \neq 1, կոչվում է այն թիվը, որով պետք է աստիճան բարձրացնել a հիմքը b թիվը ստանալու համար։[2]

Այն նշանակում են \log_a b տեսքով և կարդում «լոգարիթմ a հիմքով b»։

Սահմանումից հետևում է, որ x=\log_a b հավասարումը համարժեք է a^x=b հավասարմանը։

Օրինակ \log_2 8=3, քանի որ 2^3=8։

Լոգարիթմի հաշվումը հաճախ անվանում են լոգարիթմում։

a և b թվերը հաճախ իրական թվեր են, սակայն կան նաև կոմպլեքս լոգարիթմներ։

Լոգարիթմները օժտված են յուրահատուկ հատկություններով, որոնք սահմանել են նրա լայն կիրառությունը դժվարին հաշվարկների հնարավոր պարզեցման մեջ[3]։ «Լոգարիթմների աշխարհում» բազմապատկումը փոխարինվում է շատ ավելի հասարակ գումարմամբ, բաժանումը՝ հանմամբ, իսկ աստիճան բարձրացնելը և արմատ հանելը համապատասխանաբար փոխակերպվում են բազմապատկման և բաժանման աստիճանի ցուցիչի վրա։ Պիեր Սիմոն Լապլասը ասել է, որ լոգարիթմների հայտնագործումը՝ «կրճատելով աստղագետի աշխատանքը, կրկնապատկել է նրա կյանքը»[4]։

Լոգարիթմների սահմանումը և նրանց նշանակությունների աղյուսակը (եռանկյունաչափական ֆունկցիաների համար) առաջին անգամ հրապարակել է շոտլանդացի մաթեմատիկոս Ջոն Նեպերը 1614 թվականին։ Լոգարիթմական աղյուսակները, ընդարձակված և ճշգրտված այլ մաթեմատիկոսների կողմից, համատարած օգտագործվում էին գիտական և ճարտարագիտական հաշվարկների համար ավելի քան երեք դար, մինչև հայտնվեցին էլեկտրոնային հաշվիչներն ու համակարգիչները։

Ժամանակի ընթացքում պարզվեց, որ լոգարիթմական ~y=\log_a x ֆունկցիան, անփոխարինելի է նաև մարդկային գործունեության այլ բնագավառների համար՝ դիֆֆերենցիալ հավասարումների լուծման, մեծությունների նշանակությունների դասակարգման (օրինակ՝ հաճախականություն և ձայնի ինտենսիվություն), տարբեր կախույթների ապրոկսիմացիայի, տեղեկության տեսությունների, հավանականության տեսությունների և այլն։ Այս ֆունկցիան պատկանում է տարրականների շարքին, այն հակադարձ համեմատական է տիպային ֆունկցիային։ Ամենից հաճախ օգտագործվում են իրական լոգարիթմները e հիմքով (բնական լոգարիթմ), 10 հիմքով և 2 հիմքով։

Իրական լոգարիթմներ[խմբագրել]

\log_a b արտահայտությունը որոշված է այն և միայն այն դեպքում, երբ b>0, a>0, a \neq 1:

Լայն կիրառություն ունեն հետևյալ տեսքի լոգարիթմները.

  • Բնական. հիմքը հանդիսանում է Էյլերի թիվը (e).
  • Տասնորդական.lg b, հիմքը հանդիսանում է 10-ը.
  • Երկուական.log_2 b, հիմքը հանդիսանում է 2-ը։

Սրանք լայն կիրառություն ունեն օրինակ ինֆորմատիկայում, շատ դիսկրետ մաթեմատիկական բաժանումներում և այլն։

Հատկություններ[խմբագրել]

Հիմնական լոգարիթմական նույնություններ[խմբագրել]

Լոգարիթմի սահմանումից հետևում է հիմնական լոգարիթմական նույնութըունը. a^{\log_a b} =b Ապացուցում։ Եթե \log_a b=\log_a c, ապա a^{log_a b} = a^{log_a c} , որտեղից հետևում է, որ b=c։

Լոգարիթմի միավորը և թիվը

\log_a 1=0;\log_a a=1

Բանաձև Օրինակ
Արտադրյալ  \log_a(x y) = \log_a (x) + \log_a (y) \,  \log_3 (243) = \log_3(9 \cdot 27) = \log_3 (9) + \log_3 (27) =  2 + 3 = 5 \,
Քանորդ \log_a \!\left(\frac x y \right) = \log_a (x) - \log_a (y) \,  \lg \left(\frac{1}{1000}\right) = \lg (1) - \lg (1000) = 0 - 3 = -3
Աստիճան \log_a(x^p) = p \log_a (x) \,  \log_2 (64) = \log_2 (2^6) = 6 \log_2 (2) = 6 \,
Արմատ \log_a \sqrt[p]{x} = \frac {\log_a (x)} p \,  \log_{10} \sqrt{1000} = \frac{1}{2}\log_{10} 1000 = \frac{3}{2} = 1.5



Ծանոթագրություններ[խմբագրել]

  1. Краткий словарь иностранных слов. М.: Русский язык, 1984.
  2. Выгодский М. Я. Справочник по элементарной математике, 1978
  3. Выгодский М. Я. Справочник по элементарной математике, 1978
  4. Швецов К. И., Бевз Г. П. Справочник по элементарной математике. Арифметика, алгебра. Киев: Наукова Думка, 1966. §40. Исторические сведения о логарифмах и логарифмической линейке.