Ցուցչային ֆունկցիա

Ցուցչային ֆունկցիա, $f(x)=a^{x}$ տեսքի մաթեմատիկական ֆունկցիա է, որտեղ $a$ -ն կոչվում է ցուցչի հիմք, իսկ $x$ -ը՝ ցուցչի աստիճան։

Իրական դեպքում ցուցչի $a$ հիմքը որոշակի ոչբացասական իրական թիվ է, իսկ ֆունկցիայի արգումենտը հանդիսանում է իրական ցուցչի աստիճան։
Կոմպլեքս ֆունկցիաների տեսությունում դիտարկվում է առավել ընդհանուր դեպք, երբ արգումենտը և աստիճանի ցուցիչը կարող են լինել կամայական կոմպլեքս թիվ։
Առավել ընդհանուր տեսքով՝ $u^{v}$ , մտցվել է Լեյբնիցի կողմից 1695 թվականին։

Հատուկ առանձնացվում է այն դեպքը, երբ որպես աստիճանի հիմք հանդես է գալիս $e$ թիվը։ Այդպիսի ֆունկցիան կոչվում է էքսպոնենտային (իրական կամ կոմպլեքս)։

Իրական ֆունկցիա[խմբագրել | խմբագրել կոդը]

Ցուցչային ֆունկցիայի սահմանումը[խմբագրել | խմբագրել կոդը]

Դիցուք $a$ -ն ոչբացասական իրական թիվ է, իսկ $x$ -ը ռացիոնալ թիվ՝ ${\frac {m}{n}}$ ։ Այդ դեպքում $a^{x}$ -ը որոշվում է հետևյալ կանոններով՝

Եթե $x>0$ , ապա $a^{x}={\sqrt[{n}]{a^{m}}}$ ։
Եթե $x=0$ և $a\neq 0$ , ապա $a^{x}=1$ ։
$0^{0}$ -ի արժեքը որոշված չէ։
Եթե $x<0$ և $a>0$ , ապա $a^{x}={\frac {1}{a^{|x|}}}$ ։
$a^{x}$ -ի արժեքը $x<0$ , $a=0$ -ի դեպքում որոշված չէ։

Ցանկացած $x$ իրական ցուցչի դեպքում $a^{x}$ -ը կարելի է որոշել որպես $a^{r_{n}}$ հաջորդականության սահման, որտեղ $r_{n}$ -ը $x$ -ին ձգտող ռացիոնալ թիվ է։ Էքսպոնենտայի համար գոյություն ունեն նաև այլ սահմանում սահմանի օգնությամբ, օրինակ՝

$e^{x}=\lim _{n\rightarrow \infty }\left(1+{\frac {x}{n}}\right)^{n}$ ։

Հատկություններ[խմբագրել | խմբագրել կոդը]

$a^{0}=1$
$a^{x+y}=a^{x}\cdot a^{y}$
$(a^{x})^{y}=a^{xy}$
$(ab)^{x}=a^{x}b^{x}$

Օգտագործելով $\ln x$ բնական լոգարիթմի ֆունկցիան, կարելի է ցուցչային ֆունկցիան արտահայտել կամայական դրական հիմքով էքսպոնենտայի միջոցով՝

$a^{x}=e^{x\cdot \ln a}$ ։

Այս կապը հնարավորություն է տալիս սահմանափակվել էքսպոնենտայի հատկության ուսումնասիրմամբ։ Անալիտիկ հատկություններ՝

${\frac {d}{dx}}a^{x}=(\ln a)a^{x}$ .

Մասնավորապես՝

${\frac {d}{dx}}e^{x}=e^{x}$

Ապացույց

I. Ապացուցենք, որ ${\frac {d}{dx}}e^{x}=e^{x}$

$\lim _{\triangle x\rightarrow 0}{\frac {e^{x+\triangle x}-e^{x}}{\triangle x}}=\lim _{\triangle x\rightarrow 0}{\frac {e^{x}\cdot (e^{\triangle x}-1)}{\triangle x}}=e^{x}\cdot \lim _{\triangle x\rightarrow 0}{\frac {e^{\triangle x}-1}{\triangle x}}=e^{x}\cdot 1=e^{x}$

Ինչ որ պահանջվում էր ապացուցելու։

II. Ապացուցենք, որ $\lim {\triangle x\rightarrow 0}{\frac {e^{\triangle x}-1}{\triangle x}}=1$ : Դիցուք $e^{\triangle x}-1=u$ , այդ դեպքում $e^{\triangle x}=u+1\Rightarrow \triangle x=\ln(u+1)$ : Եթե $\triangle x\rightarrow 0$ , ապա $u=e^{\triangle x}-1\rightarrow 0$ ,

$\lim _{\triangle x\rightarrow 0}{\frac {e^{\triangle x}-1)}{\triangle x}}=\lim _{u\rightarrow 0}{\frac {u}{\ln(u+1)}}=\lim _{u\rightarrow 0}{\frac {1}{{\frac {1}{u}}\ln(u+1)}}=\lim _{u\rightarrow 0}{\frac {1}{\ln(u+1)^{\frac {1}{u}}}}={\frac {\lim _{u\rightarrow 0}\cdot 1}{\lim _{u\rightarrow 0}}}\ln(u+1)^{\frac {1}{u}}={\frac {1}{\ln \lim _{u\rightarrow 0}(u+1)^{\frac {1}{u}}}}={\frac {1}{\ln e}}=1$

III. ${\frac {d}{dx}}a^{x}={\frac {d}{dx}}(e^{\ln a})^{x}={\frac {d}{dx}}e^{x\cdot \ln a}=e^{x\ln a}\cdot \ln a=a^{x}\cdot \ln a$

Ինչ որ պահանջվում էր ապացուցելու։

Շարքի վերածում՝ $e^{x}=\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {x^{n}}{n!}}=1+x+{\frac {x^{2}}{2!}}+{\frac {x^{3}}{3!}}+{\frac {x^{4}}{4!}}+...$

Ասիմպտոտիկա[խմբագրել | խմբագրել կոդը]

Ցուցչային ֆունկցիան աճում է դեպի անվերջություն ցանկացած աստիճանային ֆունկցիայից արագ՝

$\lim _{x\rightarrow \infty }{\frac {x^{n}}{a^{x}}}=0$

Աճի արագ տեմպը կարող է նկարագրվել, օրինակ, թղթերը միմյանց վրա դնելու խնդրի օրինակով։

Կոմպլեքս ֆունկցիա[խմբագրել | խմբագրել կոդը]

Կոմպլեքս հարթության վրա էքսպոնենտայի ընդլայնման համար որոշենք այն նույն շարքի օգնությամբ, փոխարինելով իրական արգումենտը կոմպլեքսով՝

$e^{z}=\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {z^{n}}{n!}}=1+z+{\frac {z^{2}}{2!}}+{\frac {z^{3}}{3!}}+{\frac {z^{4}}{4!}}+...$

Այդ ֆունկցիան ունի նույն հիմնական հանրահաշվական և անալիտիկ հատկությունները, ինչ որ իրականը։ $e^{ix}$ շարքում առանձնացնելով իրական մասը կեղծից, մենք ստանում ենք հանրահայտ Էյլերի բանաձևը՝

$e^{ix}=\cos x+i\sin x$

Այսպիսով, կոմպլեքս էքսպոնենտան պարբերական է կեղծ առանցքի շուրջ։ Ցուցչային ֆունկցիան կամայական կոմպլեքս հիմքով և աստիճանի ցուցչով հեշտ է հաշվել կոմպլեքս էքսպոնենտայի և կոմպլեքս լոգարիթմի օգնությամբ։

Օրինակ՝ $i^{i}=e^{i\ln(i)}$ , քանի որ $\ln(i)=i{\frac {\pi }{2}}$ (լոգարիթմի հիմնական արժեքը), վերջապես ստանում ենք՝