Ցուցչային ֆունկցիա

Վիքիպեդիայից՝ ազատ հանրագիտարանից
Jump to navigation Jump to search

Ցուցչային ֆունկցիա, տեսքի մաթեմատիկական ֆունկցիա է, որտեղ -ն կոչվում է ցուցչի հիմք, իսկ -ը՝ ցուցչի աստիճան։

Հատուկ առանձնացվում է այն դեպքը, երբ որպես աստիճանի հիմք հանդես է գալիս թիվը։ Այդպիսի ֆունկցիան կոչվում է էքսպոնենտային (իրական կամ կոմպլեքս)։

Իրական ֆունկցիա[խմբագրել | խմբագրել կոդը]

Ցուցչային ֆունկցիայի սահմանումը[խմբագրել | խմբագրել կոդը]

Դիցուք -ն ոչբացասական իրական թիվ է, իսկ -ը ռացիոնալ թիվ՝։ Այդ դեպքում -ը որոշվում է հետևյալ կանոններով՝

  • Եթե , ապա ։
  • Եթե և , ապա ։
  • -ի արժեքը որոշված չէ։
  • Եթե և , ապա։
  • -ի արժեքը , -ի դեպքում որոշված չէ։

Ցանկացած իրական ցուցչի դեպքում -ը կարելի է որոշել որպես հաջորդականության սահման, որտեղ -ին ձգտող ռացիոնալ թիվ է։ Էքսպոնենտայի համար գոյություն ունեն նաև այլ սահմանում սահմանի օգնությամբ, օրինակ՝

։

Հատկություններ[խմբագրել | խմբագրել կոդը]

Ցուցչային ֆունկցիայի գրաֆիկը

Օգտագործելով բնական լոգարիթմի ֆունկցիան, կարելի է ցուցչային ֆունկցիան արտահայտել կամայական դրական հիմքով էքսպոնենտայի միջոցով՝

։

Այս կապը հնարավորություն է տալիս սահմանափակվել էքսպոնենտայի հատկության ուսումնասիրմամբ։ Անալիտիկ հատկություններ՝

.

Մասնավորապես՝

Շարքի վերածում՝

Ասիմպտոտիկա[խմբագրել | խմբագրել կոդը]

Ցուցչային ֆունկցիան աճում է դեպի անվերջություն ցանկացած աստիճանային ֆունկցիայից արագ՝

Աճի արագ տեմպը կարող է նկարագրվել, օրինակ, թղթերը միմյանց վրա դնելու խնդրի օրինակով։

Կոմպլեքս ֆունկցիա[խմբագրել | խմբագրել կոդը]

Կոմպլեքս հարթության վրա էքսպոնենտայի ընդլայնման համար որոշենք այն նույն շարքի օգնությամբ, փոխարինելով իրական արգումենտը կոմպլեքսով՝

Այդ ֆունկցիան ունի նույն հիմնական հանրահաշվական և անալիտիկ հատկությունները, ինչ որ իրականը։շարքում առանձնացնելով իրական մասը կեղծից, մենք ստանում ենք հանրահայտ Էյլերի բանաձևը՝

Այսպիսով, կոմպլեքս էքսպոնենտան պարբերական է կեղծ առանցքի շուրջ։ Ցուցչային ֆունկցիան կամայական կոմպլեքս հիմքով և աստիճանի ցուցչով հեշտ է հաշվել կոմպլեքս էքսպոնենտայի և կոմպլեքս լոգարիթմի օգնությամբ։

Օրինակ՝ , քանի որ (լոգարիթմի հիմնական արժեքը), վերջապես ստանում ենք՝

։

Տես նաև[խմբագրել | խմբագրել կոդը]

Գրականություն[խմբագրել | խմբագրել կոդը]

  • Фихтенгольц Г. М. Курс дифференциального и интегрального исчисления, тома I, II. — М.։ ФИЗМАТЛИТ, 2001. — ISBN 5-9221-0156-0, 5-9221-0155-2.