Աստիճանային ֆունկցիա

Վիքիպեդիայից՝ ազատ հանրագիտարանից
Jump to navigation Jump to search

Աստիճանային ֆունկցիա, տեսքի ֆունկցիա է, որտեղ (աստիճանի ցուցիչ) որոշակի իրական թիվ է[1]։

Հաճախ աստիճանային են համարվում նաև տեսքի ֆունկցիաները, որտեղ -ն որոշակի մաշտաբային արտադրիչ է։ Գոյություն ունի նաև աստիճանային ֆունկցիայի կոմպլեքս ընդհանրացումը[2]։ Պրակտիկայում աստիճանի ցուցիչը գրեթե միշտ հանդիսանում է ամբողջ կամ ռացիոնալ թիվ։

Իրական ֆունկցիա[խմբագրել | խմբագրել կոդը]

Որոշման տիրույթը[խմբագրել | խմբագրել կոդը]

Եթե ցուցչի աստիճանը ամբողջ թիվ է, ապա կարելի է դիտարկել աստիճանային ֆունկցիան ամբողջ թվային առանցքի վրա (բացառությամբ, հնարավոր է, զրո)։ Ընդհանուր դեպքում աստիճանային ֆունկցիան որոշված է -ի դեպքում։ Եթե ,ապա ֆունկցիան որոշված է նաև դեպքի համար, այլապես զրոն հանդիսանում է իր հատուկ կետը։

Ռացիոնալ աստիճանային ցուցիչ[խմբագրել | խմբագրել կոդը]

  • Աստիճանային ֆունկցիաները բնական ցուցչի դեպքում անվանում են -րդ աստիճանի պարաբոլաներ։ դեպքում ստացվում է ֆունկցիան, որը կոչվում է ուղիղ համեմատական կախվածություն։
  • տեսքի ֆունկցիայի գրաֆիկը, որտեղ բնական թիվ է, անվանում են -րդ աստիճանի հիպերբոլա։դեպքում ստացվում է ֆունկցիան, որը կոչվում է հակադարձ համեմատական կախվածություն։
  • Եթե , ապա ֆունկցիան հանդիսանում է -րդ աստիճանի թվաբանական արմատ։

Օրինակ, Կեպլերի երրորդ օրենքից հետևում է, որ արևի շուրջ մոլորակի պտտման պարբերությունը կախված է իր ուղեծրի մեծ կիսաառանցքից հետևյալ հարաբերությամբ՝ (կիսախորանարդ պարաբոլա)։

Հատկություններ[խմբագրել | խմբագրել կոդը]

  • Ֆունկցիան անընդհատ և անսահմանափակ դիֆերենցելի է բոլոր կետերում, որոնց շրջակայքում նա որոշված է։ Զրոն, ընդհանրապես ասած, հանդիսանում է հատուկ կետ։ Օրինակ, ֆունկցիան որոշված է զրոյում և նրա աջ շրջակայքում, բայց նրա ածանցյալը՝ , զրո կետում որոշված չէ։
  • միջակայքում ֆունկցիան մոնոտոն աճում է -ի դեպքում և մոնոտոն նվազում է -ի դեպքում։ Ֆունկցիայի արժեքը այս միջակայքում դրական է։
  • Ֆունկցիայի ածանցյալը հավասար է.
  • Անորոշ ինտեգրալն է .

ա) եթե , ապա ,

բ) եթե ստանում ենք. ։

Կոմպլեքս ֆունկցիա[խմբագրել | խմբագրել կոդը]

կոմպլեքս փոփոխականի աստիճանային ֆունկցիան, ընդհանրապես ասած, որոշվում է հետևյալ բանաձևով՝ [3]

Այստեղ աստիճանի ցուցիչը որոշակի կոմպլեքս թիվ է։ Ֆունկցիայի արժեքը, որը համապատասխանում է լոգարիթմի գլխավոր արժեքին, անվանում են աստիճանի գլխավոր արժեք։ Օրինակ,-ի արժեքը հավասար է որտեղ -ն կամայական ամբողջ է, իսկ նրա գլխավոր արժեքն է ։

Ֆունկցիայի կոմպլեքս աստիճանը բավականին տարբերվում է իր իրական անալոգից։ Կոմպլեքս լոգարիթմի բազմարժեքության արդյունքում նա, ընդհանրապես ասած, նույնպես կարող է ընդունել անսահման շատ արժեքներ։ Սակայն երկու պրակտիկորեն կարևոր դեպքերը դիտարկվում են առանձին։

  1. Բնական ցուցչի դեպքում ֆունկցիայի աստիճանը միարժեք է և -շերտանի։
  2. Եթե աստիճանի ցուցիչը դրական ռացիոնալ թիվ է, այսինքն տեսքի կոտորակ (անկրճատելի), ֆունկցիան կնդունի տարբեր արժեքներ։

Տես նաև[խմբագրել | խմբագրել կոդը]

Ծանոթագրություններ[խմբագրել | խմբագրել կոդը]

  1. Фихтенгольц Г. М. Курс дифференциального и интегрального исчисления, 1966, մեկնաբանություն՝ Том I, §48: Важнейшие классы функций.
  2. Выгодский М. Я. Справочник по элементарной математике. М.: Наука,1978. Стр. 312.
  3. Фихтенгольц Г. М. Курс дифференциального и интегрального исчисления, 1966, մեկնաբանություն՝ Том II, стр. 526-527.

Արտաքին հղումներ[խմբագրել | խմբագրել կոդը]