Աստիճանային ֆունկցիա

Աստիճանային ֆունկցիա, $-y=x^{a}$ տեսքի ֆունկցիա է, որտեղ $a$ (աստիճանի ցուցիչ) որոշակի իրական թիվ է։

Հաճախ աստիճանային են համարվում նաև տեսքի $y=kx^{a}$ֆունկցիաները, որտեղ $k$-ն որոշակի մասշտաբային արտադրիչ է։ Գոյություն ունի նաև աստիճանային ֆունկցիայի կոմպլեքս ընդհանրացումը։ Պրակտիկայում աստիճանի ցուցիչը գրեթե միշտ հանդիսանում է ամբողջ կամ ռացիոնալ թիվ։

Իրական ֆունկցիա

Որոշման տիրույթը

Եթե ցուցչի աստիճանը ամբողջ թիվ է, ապա կարելի է դիտարկել աստիճանային ֆունկցիան ամբողջ թվային առանցքի վրա (բացառությամբ, հնարավոր է, զրո)։ Ընդհանուր դեպքում աստիճանային ֆունկցիան որոշված է $x>0$-ի դեպքում։ Եթե $a>0$,ապա ֆունկցիան որոշված է նաև $x=0$դեպքի համար, այլապես զրոն հանդիսանում է իր հատուկ կետը։

Ռացիոնալ աստիճանային ցուցիչ

• Աստիճանային ֆունկցիաները $n$ բնական ցուցչի դեպքում անվանում են $n$-րդ աստիճանի պարաբոլաներ։$a=1$ դեպքում ստացվում է ֆունկցիան, որը կոչվում է ուղիղ համեմատական կախվածություն։
• $y=x^{-n}$ տեսքի ֆունկցիայի գրաֆիկը, որտեղ $n$-ը բնական թիվ է, անվանում են $n$-րդ աստիճանի հիպերբոլա։$a=-1$դեպքում ստացվում է ${\frac {k}{x}}$ ֆունկցիան, որը կոչվում է հակադարձ համեմատական կախվածություն։
• Եթե $a={\frac {1}{n}}$, ապա ֆունկցիան հանդիսանում է $n$-րդ աստիճանի թվաբանական արմատ։

Օրինակ, Կեպլերի երրորդ օրենքից հետևում է, որ արևի շուրջ մոլորակի պտտման $T$ պարբերությունը կախված է իր ուղեծրի $A$ մեծ կիսաառանցքից հետևյալ հարաբերությամբ՝ $T=kA^{\frac {3}{2}}$(կիսախորանարդ պարաբոլա)։

• 
  n-րդ աստիճանի պարաբոլաներ։      $n=0$      $n=1$      $n=2$      $n=3$      $n=4$      $n=5$
• 
  n-րդ աստիճանի հիպերբոլաներ։     $n=-1$      $n=-2$      $n=-3$

Հատկություններ

• Ֆունկցիան անընդհատ և անսահմանափակ դիֆերենցելի է բոլոր կետերում, որոնց շրջակայքում նա որոշված է։ Զրոն, ընդհանրապես ասած, հանդիսանում է հատուկ կետ։ Օրինակ, $y={\sqrt {x}}$ ֆունկցիան որոշված է զրոյում և նրա աջ շրջակայքում, բայց նրա ածանցյալը՝$y={\frac {1}{2{\sqrt {x}}}}$ , զրո կետում որոշված չէ։
• $(0;\infty )$ միջակայքում ֆունկցիան մոնոտոն աճում է $a>0$-ի դեպքում և մոնոտոն նվազում է $a<0$-ի դեպքում։ Ֆունկցիայի արժեքը այս միջակայքում դրական է։
• Ֆունկցիայի ածանցյալը հավասար է. $(x^{a})'=ax^{a-1}$
• Անորոշ ինտեգրալն է .

ա) եթե $a\neq -1$, ապա $\int x^{a}dx={\frac {x^{a+1}}{a+1}}+C$,

բ) եթե $a=-1$ ստանում ենք. $\int {\frac {1}{x}}dx=\ln |x|+C$։

Կոմպլեքս ֆունկցիա

$z$ կոմպլեքս փոփոխականի աստիճանային ֆունկցիան, ընդհանրապես ասած, որոշվում է հետևյալ բանաձևով՝ $y=z^{c}=e^{c\cdot \ln(z)}:$

Այստեղ $c$ աստիճանի ցուցիչը որոշակի կոմպլեքս թիվ է։ Ֆունկցիայի արժեքը, որը համապատասխանում է լոգարիթմի գլխավոր արժեքին, անվանում են աստիճանի գլխավոր արժեք։ Օրինակ,$i^{i}$-ի արժեքը հավասար է $e^{-(4k+1)^{\frac {\pi }{2}}}$ որտեղ $k$-ն կամայական ամբողջ է, իսկ նրա գլխավոր արժեքն է $e^{i\ln(i)}=e^{-{\frac {\pi }{2}}}$։

Ֆունկցիայի կոմպլեքս աստիճանը բավականին տարբերվում է իր իրական անալոգից։ Կոմպլեքս լոգարիթմի բազմարժեքության արդյունքում նա, ընդհանրապես ասած, նույնպես կարող է ընդունել անսահման շատ արժեքներ։ Սակայն երկու պրակտիկորեն կարևոր դեպքերը դիտարկվում են առանձին։

1. Բնական ցուցչի դեպքում ֆունկցիայի աստիճանը միարժեք է և $n$-շերտանի։
2. Եթե աստիճանի ցուցիչը դրական ռացիոնալ թիվ է, այսինքն ${\frac {p}{q}}$ տեսքի կոտորակ (անկրճատելի), $y$ ֆունկցիան կնդունի $q$ տարբեր արժեքներ։

Տես նաև

• Լոգարիթմ
• Բազմանդամ
• Աստիճանի բարձրացում

Արտաքին հղումներ

• Степенная функция.

Այս հոդվածի կամ նրա բաժնի որոշակի հատվածի սկզբնական կամ ներկայիս տարբերակը վերցված է Քրիեյթիվ Քոմմոնս Նշում–Համանման տարածում 3.0 (Creative Commons BY-SA 3.0) ազատ թույլատրագրով թողարկված Հայկական սովետական հանրագիտարանից  (հ․ 1, էջ 576)։