Հիպերբոլ

Սահմանում

Հիպերբոլ կոչվում է հարթության այն կետերի երկրաչափական տեղը, որոնց հեռավորությունների տարբերության մոդուլը տրված երկու $F_{1}$ և $F_{2}$ կետերից (որոնք կոչվում են հիպերբոլի ֆոկուսներ կամ կիզակետեր) հաստատուն է՝ ‎|‎ P $F_{1}$ - P$F_{2}$ | =2a, a>0===

‎

$F_{1}$ $F_{2}$ հատվածի երկարությունը, որը կնշանակենք 2c-ով, կոչվում է ֆոկուսային հեռավորություն, իսկ $F_{1}$ $F_{2}$-ի միջնակետը՝ հիպերբոլի կենտրոն։ Հարթության վրա ուղղանկյուն կորդինատային համակարգն ընտրենք այնպես, որ Ox առանցքն անցնի $F_{1}$ և $F_{2}$ կետերով, իսկ Oy առանցքը՝ $F_{1}$ $F_{2}$-ի միջնակետով (դիտել նկարը)։ Այդ դեպքում $F_{1}$ և $F_{2}$ կետերի կոորդինատները համապատասխանաբար կլինեն (-c;0) և (c;0)։ Դիցուք M(x;y)-ը հիպերբոլի կամայական կետ է. ըստ պարաբոլի սահմանման՝

‎|‎ P $F_{1}$ - P$F_{2}$ | =2a

կամ

P$F_{1}$ - P$F_{2}$= ± 2a

Օգտվելով երկու կետերի հեռավորության բանաձևից՝ ստանում ենք՝

${\sqrt {(x+c)^{2}+y^{2}}}$ - ${\sqrt {(x-c)^{2}+y^{2}}}$= ± 2a (1)

Սա էլ հենց հանդիսանում է հիպերբոլի հավասարումը ընտրված կոորդինատային համակարգում։ Երկրորդ գումարելին տանենք հավասարման աջ մաս և երկու կողմը բարձրացնենք քառակուսի,

$(x+c)^{2}+y^{2}=4a^{2}$ ± 4a${\sqrt {(x-c)^{2}+y^{2}}}$$+(x-c)^{2}+y^{2}$

Պարզ ձևափոխություններից հոտո ստանում ենք `

$(c^{2}-a^{2})x^{2}-a^{2}y^{2}=a^{2}(c^{2}-a^{2})$

Քանի որ ( ըստ եռանկյան անահավասարության ) c>a, ապա $c^{2}-a^{2}>0$:Նշանակելով $b^{2}=c^{2}-a^{2}$, կստանանք

$b^{2}x^{2}-a^{2}y^{2}=a^{2}b^{2}$

Կամ

${\frac {x^{2}}{a^{2}}}-{\frac {y^{2}}{b^{2}}}=1$, (2) 

որը կոչվում է հիպերբոլի կանոնական հավասարում։Ինչպես և էլիպսի դեպքում, կարելի է ցույց տալ, որ ճիշտ է նաև հակառակ պնդումը (2)-ին բավարարող ցանկացած M(x;y) կետ բավարարում է նաև (1)-ին։ Ox առանցքը կոչվում է հիպերբոլի իրական առանցք Oy-ը` կեղծ առանցք։ 2a-ն և 2b-ն կոչվում են հիպերբոլի իրական և կեղծ առանցքների երկարություններ։ w = ${\frac {c}{a}}$ -ն (որտեղ՝ w=ε) կոչվում է հիպորբոլի էքսցենտրիսիտետ։ Էլիպսի և հիպերբոլի համար x = - ${\frac {a}{w}}$ (որտեղ՝ w=ε) և x = ${\frac {a}{w}}$ (որտեղ՝ w=ε) ուղիղնեռը կոչվում են դիրեկտրիստներ։