Հիպերբոլ

Վիքիպեդիայից՝ ազատ հանրագիտարանից

Սահմանում[խմբագրել | խմբագրել կոդը]

Հիպերբոլ կոչվում է հարթության այն կետերի երկրաչափական տեղը, որոնց հեռավորությունների տարբերության մոդուլը տրված երկու և կետերի (որոնք կոչվում են հիպերբոլի ֆոկուսներ) հաստատուն է՝ ‎|‎ P - P | =2a, a>0===

HyperbolaCentralEquation.png

հատվածի երկարությունը, որը կնշանակենք 2c-ով, կոչվում է ֆոկուսային հոռավորություն, իսկ -ի միջնակետը՝ հիպերբոլի կենտրոն։ Հարթության վրա ուղղանկյուն կորդինատային համակարգն ընտրենք այնպես, որ Ox առանցքն անցնի և կետերով, իսկ Oy առանցքը՝ -ի միջնակետով (դիտել նկարը)։ Այդ դեպքում և կետերի կոորդինատները համապատասխանաբար կլինեն (-c;0) և (c;0)։ Դիցուք M(x;y)-ը հիպերբոլի կամայական կետ է. ըստ պարաբոլի սահմանման՝

‎|‎ P  - P | =2a

կամ

P - P= ± 2a

Օգտվելով երկու կետերի հեռավորության բանաձևից՝ ստանում ենք՝

 - = ± 2a (1)

Սա էլ հենց հանդիսանում է հիպերբոլի հավասարումը ընտրված կոորդինատային համակարգում։ Երկրորդ գումարելին տանենք հավասարման աջ մաս և երկու կողմը բարձրացնենք քառակուսի,

 ± 4a

Պարզ ձևափոխություններից հոտո ստանում ենք `


Քանի որ ( ըստ եռանկյան անահավասարության ) c>a, ապա :Նշանակելով , կստանանք


Կամ

, (2) 

որը կոչվում է հիպերբոլի կանոնական հավասարում։Ինչպես և էլիպսի դեպքում , կարելի է ցույց տալ , որ ճիշտ է նաև հակառակ պնդումը (2)-ին բավարարող ցանկացած M(x;y) կետ բավարարում է նաև (1)-ին։ Ox առանցքը կոչվում է հիպերբոլի իրական առանցք Oy-ը` կեղծ առանցք։ 2a-ն և 2b-ն կոչվում են հիպերբոլի իրական և կեղծ առանցքների երկարություններ։ w = -ն (որտեղ՝ w=ε) կոչվում է հիպորբոլի էքսցենտրիսիտետ։ Էլիպսի և հիպերբոլի համար x = - (որտեղ՝ w=ε) և x = (որտեղ՝ w=ε) ուղիղնեռը կոչվում են դիրեկտրիստներ։