Թվաբանական պրոգրեսիա

Վիքիպեդիայից՝ ազատ հանրագիտարանից

Թվաբանական պրոգրեսիան թվային հաջորդականություն է, որն ունի հետևյալ տեսքը՝

a_1,\  a_1+d,\  a_1+2d,\   \ldots,\   a_1+(n-1)d, \ \ldots,

այսինքն այնպիսի հաջորդականություն է, որի յուրաքանչյուր անդամը (բացի առաջինից) ստացվում է նախորդ անդամին միևնույն d թիվը գումարելով՝

a_n=a_{n-1} + d \quad

Ցանկացած (n-րդ) անդամը որոշվում է ընդհանուր անդամի բանաձևով՝

a_n=a_1 + (n-1)d

Թվաբանական պրոգրեսիան մոնոտոն է, այսինքն աճում է d>0 դեպքում և նվազում d<0 դեպքում։

Թվաբանական պրոգրեսիայի n-րդ անդամի բանաձևը՝

a_n=a_1+(n-1)d, որտեղ a_1-ն առաջին անդամն է, իսկ d-ն՝ նրա տարբերությունը:

Առաջին n անդամների գումարը[խմբագրել]

Թվաբանական պրոգրեսիայի առաջին n անդամների գումարը S_n=a_1+a_2+ \ldots + a_n կարելի է որոշել հետևյալ բանաձևով՝

S_n=\frac{a_1+a_n}2 \cdot n , որտեղ a_1-ը — պրոգրեսիայի առաջին անդամն է, a_n-ը — n-րդ անդամը, n-ը — գումարման ենթակա անդամների քանակը.
S_n=\frac{2a_1+(n-1)d}2 \cdot n , որտեղ a_1-ը — առաջին անդամն է, d-ն — պրոգրեսիայի տարբերությունը, n — գումարման ենթակա անդամների քանակը.

Ապացույց.

Գրառենք տվյալ գումարը երկու եղանակով։ S_n=a_1+a_2+a_3+ \ldots +a_{n-2}+a_{n-1}+a_n

S_n=a_n+a_{n-1}+a_{n-2}+ \ldots +a_3+a_2+a_1 - նույն գումարը հակառակ կարգով.

Այժմ գումարենք երկու հավասարություններն իրար (աջ մասում նույն ուղղահայացի տակ գտնվող գումարելիները հաջորդաբար իրար գումարելով)՝

2S_n=(a_1+a_n)+(a_2+a_{n-1})+(a_3+a_{n-2})+ \ldots +(a_{n-2}+a_3)+(a_{n-1}+a_2)+(a_n+a_1)

Ստացված բոլոր գումարելիներն իրար հավասար են՝ a_i+a_{n-i+1}, i=1,2,\ldots,n

Օգտվելով ընդհանուր անդամի բանաձևից կստանանք՝

a_i+a_{n-i+1}=a_1+(i-1)d+a_1+(n-i+1-1)d=2a_1+(n-1)d, i=1,2,\ldots,n

որտեղ յուրաքանչյուր անդամ անկախ հերթականությունից հավասար է 2a_1+(n-1)d։ Մասնավորապես, a_1+a_n=2a_1+(n-1)d։

Քանի որ ընդհանուր անդամների քանակն է n, ուրեմն

2S_n=(a_1+a_n)\cdot n \Rightarrow S_n=\frac{a_1+a_n}2 \cdot n

Տես նաև[խմբագրել]

Հղումներ[խմբագրել]