Ֆրակտալ

Վիքիպեդիայից՝ ազատ հանրագիտարանից
Jump to navigation Jump to search
Մանդելբրոտի բազմությունը ֆրակտալի դասական օրինակ է[1][2][3]
Ռմանեսկո տեսակի (Brassica oleracea) կաղամբի գլխի ֆրակտալ ձևը

Ֆրակտալ (լատ.՝ fractus - մանրացված, կոտրված), բազմություն, որն ունի ինքնանմանության հատկություն (օբյեկտ, որը ճշգրիտ կամ մոտավորապես համապատասխանում է ինքն իր մի մասին, այսինքն՝ ամբողջը ունի նույն ձևը, ինչ մեկ կամ մի քանի մաս): Մաթեմատիկայում ֆրակտալը նշանակում է էվկլիդեսյան տարածության կետերի բազմություն, որոնք ունեն կոտորակային մետրական չափականություն (Մինկովսկու կամ Հաուսդորֆի իմաստով) կամ տոպոլոգիականից տարբերվող մետրական ​​չափականություն[4], այդ պատճառով դրանք պետք է տարբերվեն այլ երկրաչափական պատկերներից, որոնք սահմանափակված են սահմանափակ թվով կապերով: Ինքնանման պատկերները, որոնք կրկնվում են վերջավոր թվով արտահայտվող անգամ, կոչվում են նախաֆրակտալներ:

Արտասովոր հատկություններով ինքնանման բազմությունների առաջին օրինակները հայտնվել են 19-րդ դարում՝ չդիֆերենցվող անընդհատ ֆունկցիաների ուսումնասիրության արդյունքում (օրինակ՝ Բոլցանոյի ֆունկցիան, Վեյերշտրասի ֆունկցիան, Կանտորի բազմությունը)[5]: «Ֆրակտալ» տերմինը ներմուծել է Բենուա Մանդելբրոտը 1975 թվականին։ Այն լայն տարածում է գտել 1977 թվականին Մանդելբրոտի «Բնության ֆրակտալ երկրաչափություն» գրքի հրատարակումով: Ֆրակտալները հատկապես մեծ ժողովրդականություն են արժանացել համակարգչային տեխնոլոգիաների զարգացման շնորհիվ, ինչը հնարավորություն է տվել արդյունավետորեն պատկերել այս կառույցները:

«Ֆրակտալ» բառը օգտագործվում է ոչ միայն որպես մաթեմատիկական տերմին: Ֆրակտալ կարող է կոչվել այն առարկան, որն ունի հետևյալ հատկություններից առնվազն մեկը.

  • Այն բոլոր մասշտաբներում ունի ոչ տրիվիալ կառուցվածք: Դրանով այն տարբերվում է կանոնավոր պատկերներից (օրինակ՝ շրջան, էլիպս, հարթ ֆունկցիայի գրաֆիկ)։ Եթե շատ մեծ մասշտաբով դիտեք սովորական ձևի փոքր հատվածը, ապա դա կարծես ուղիղ գծի հատված է: Ֆրակտալի համար մասշտաբի բարձրացումը չի հանգեցնում կառուցվածքի պարզեցման, այսինքն՝ բոլոր մասշտաբների վրա կարելի է տեսնել հավասարապես բարդ պատկեր:
  • Այն ինքնանման կամ մոտավորապես ինքնանման է։
  • Այն ունի կոտորակային մետրական չափականություն կամ տոպոլոգիականից տարբերվող մետրական ​​չափականություն։

Բնության շատ օբյեկտներ ունեն ֆրակտալ հատկություններ, օրինակ՝ ծովափ, ամպեր, ծառի սաղարթ, ձյան փաթիլներ, արյան շրջանառության համակարգ, ալվեոլներ: Սակայն ֆրակտալները չեն սահմանափակվում միայն երկրաչափական նախշերով, այլ կարող են վերաբերել նաև ժամանակի ընթացքում կատարվող գործընթացներին[6][7][8][9][10][11]։ Տարբեր աստիճանի ինքնանմանություն ունեցող ֆրակտալ նախշեր ներկայացվել կամ ուսումնասիրվել են պատկերների, կառուցվածքների և հնչյունների մեջ[12] և գտնվել բնության մեջ[13][14][15][16][17], տեխնոլոգիայի բնագավառում[18][19][20][21][22], արվեստում[23][24], ճարտարապետության[25] և իրավունքի[26] բնագավառներում։ Ֆրակտալները հատուկ նշանակություն ունեն քաոսի տեսության ոլորտում, քանի որ քաոսային գործընթացների մեծամասնության գրաֆիկները ֆրակտալներ են[27]։

Օրինակներ[խմբագրել | խմբագրել կոդը]

Արտասովոր հատկություններով ինքնանման բազմություններ մաթեմատիկայում[խմբագրել | խմբագրել կոդը]

19-րդ դարի վերջից սկսած՝ մաթեմատիկայում հայտնվում են դասական վերլուծության տեսանկյունից պաթոլոգիական հատկություններ ունեցող ինքնանման առարկաների օրինակներ: Դրանց թվին կարելի է դասել.

  • Կանտորի հավաքածուն ոչ մի տեղ խիտ կենտ կատարյալ բազմություն է: Ընթացակարգը փոփոխելով՝ կարելի է ստանալ նաև ոչ մի տեղ խիտ դրական երկարության բազմություն,
  • Սերպինսկու եռանկյունին («սփռոց») և Սերպինսկու գորգ, Կանտորի բազմության անալոգները հարթության վրա,
  • Մենգերի սպունգ[6], Կանտորի բազմության անալոգը եռաչափ տարածության մեջ,
  • Ոչ մի տեղ չդիֆերենցվող անընդհատ ֆունցկաների՝ Վայերշտրասի և Վան դեր Վարդենի օրինակները,
  • Կոխի կոր, անսահման երկարության ոչ ինքնահատվող շարունակական կոր, որը չունի շոշափող ոչ մի կետում,
  • Պեանոյի կոր, շարունակական կոր, որն անցնում է խորանարդի բոլոր կետերով,
  • Բրոունյան մասնիկի հետագիծը նույնպես 1 հավանականությամբ ոչ մի կետում չի դիֆերենցվում: Նրա Հաուսդորֆի չափը հավասար է երկուսի։

Ֆրակտալ կորեր ստանալու ռեկուրսիվ ընթացակարգ[խմբագրել | խմբագրել կոդը]

Կոխի կորի կառուցումը

Գոյություն ունի հարթության վրա ֆրակտալ կորերի ստացման պարզ ռեկուրսիվ ընթացակարգ: Որոշենք վերջավոր թվով հանգույցներով կամայական բեկյալ, որը կոչվում է գեներատոր: Հաջորդիվ դրա մեջ յուրաքանչյուր հատվածը փոխարինենք գեներատորով (ավելի ճիշտ՝ գեներատորի նման բեկյալով): Արդյունքում ստացված բեկյալի յուրաքանչյուր հատվածը նորից փոխարինենք գեներատորով: Շարունակելով մինչև անսահմանություն՝ ստանում ենք ֆրակտալ կոր: Աջ կողմում գտնվող նկարում ցույց է տրված Կոխի կորի համար այդ ընթացակարգի առաջին, երկրորդ և չորրորդ քայլերը:

Նման կորերի օրինակներն են.

  • Կոխի կոր (Կոխի փաթիլ),
  • Լևիի կոր,
  • Մինկովսկու կոր,
  • Հիլբերտի կոր,
  • Վիշապի բեկյալ (կոր) (Հարթեր-Հեյթուեյի ֆրակտալ),
  • Պեանոյի կոր,
  • Մյակիշևի կոր։

Նմանատիպ ընթացակարգի կիրառմամբ է ստացվում Պյութագորասի ծառը:

Ֆրակտալները որպես սեղմիչ արտացոլումների անշարժ կետ[խմբագրել | խմբագրել կոդը]

Ինքնանմանության հատկությունը կարող է մաթեմատիկորեն խստորեն արտահայտվել հետևյալ կերպ։ Դիցուք հարթության սեղմիչ արտացոլումներն են։ Դիտարկենք հետևյալ արտացոլումը հարթության բոլոր կոմպակտ (փակ և սահմանափակ) ենթաբազմությունների վրա.

Կարելի է ցույց տալ, որ արտացոլումը սեղմիչ արտացոլում է հաուսդորֆյան մետրիկի հետ կոմպակտների բազմության վրա: Հետևաբար, Բանախի թեորեմի համաձայն, այս արտացոլումն ունի եզակի անշարժ կետ: Այս ֆիքսված կետը կլինի մեր ֆրակտալը:

Վերևում նկարագրված ֆրակտալ կորերի ստացման ռեկուրսիվ ընթացակարգը տվյալ կառուցվածքի մասնավոր դեպքն է։ Դրանում բոլոր արտացոլումները նմանության արտացոլումն են, իսկ -ը՝ գեներատորի հանգույցների թիվը։

Սերպինսկու եռանկյան համար և , , արտացոլումները հեմոտետիաներ են կանոնավր եռանկյան գագաթներում գտնվող կենտրոններվ և 1/2 գործակիցով: Հեշտ է տեսնել, որ Սերպինսկու եռանկյունին անցնում է իրեն արտացոլման դեպքում։

Այն դեպքում, երբ արտացոլումները նմանության վերափոխումներ են գործակիցներով, ֆրակտալի չափականությունը (որոշ լրացուցիչ տեխնիկական պայմաններում) կարող է հաշվարկվել որպես հավասարման լուծում։ Այսպիսով, Սերպինսկու եռանկյան համար ստանում ենք՝ ։

Ըստ նույն Բանախի թեորեմի՝ սկսելով ցանկացած կոմպակտ բազմությունից և դրա նկատմամբ կիրառելով արտացոլման իտերացիաները, կստանանք մեր ֆրակտալին մոտ (Հաուսդորֆի մետրիկայի իմաստով) կոմպակտների հաջորդականություն։

Ֆրակտալները կոմպլեքս դինամիկայում[խմբագրել | խմբագրել կոդը]

Ժյուլիայի բազմություն
Ժյուլիայի մեկ այլ բազմություն

Ֆրակտալները բնական կերպով առաջանում են ոչ գծային դինամիկ համակարգերի ուսումնասիրության ժամանակ։ Առավել ուսումնասիրվել է այն դեպքը, երբ դինամիկ համակարգը սահմանվում է բազմանդամի կամ հոլոմորֆիկ ֆունկցիայի իտերացիաներով կոմպլեքս բեկյալով հարթության վրա։ Այս ոլորտում առաջին հետազոտությունները վերաբերում են 20-րդ դարի սկզբին և կապված են Ֆաթուի և Ժուլիայի անունների հետ:

Դիցուք բազմանդամ է, -ը՝ կոմպլեքս թիվ։ Դիտարկենք հետևյալ հաջորդականությունը.

Մեզ հետաքրքրում է այս հաջորդականության փոփոխությունը, երբ n-ը ձգտում է անսահմանության: Այս հաջորդականությունը կարող է.

  • ձգտել անսահմանության,
  • ձգտել վերջնական սահմանին,
  • ցույց տալ ցիկլային վարք որոշակի սահմաններում, օրինակ՝
  • վարվել քաոսային կերպով, այսինքն՝ չցուցավերել վարքի նշված 3 տեսակներից որևէ մեկ։

-ի արժեքների բազմությունը, որոնց համար հաջորդականությունը ցույց է տալիս վարքի մեկ կոնկրետ տեսակ, ինչպես նաև կետերի բազմության երկատում տարբեր տիպերի միջև, հաճախ ունեն ֆրակտալ հատկություններ:

Այսպես, Ժուլիայի բազմությունը երկատման կետերի բազմության է բազմանդամի համար (կամ այլ նման ֆունկցիայի), այսինքն՝ - ի այն արժեքները, որոնց համար հաջորդականության վարքը կարող է կտրուկ փոխվել –ի կամայական փոքր փոփոխությունների դեպքում:

Ֆրակտալ ազմության ստացման մեկ այլ տարբերակ է պարամետրի ներմուծումը բազմանդամում և պարամետրի այն արժեքների բազմության դիտարկումը, որոնց դեպքում հաջորդականությունը ցույց է տալիս որոշակի վարք ֆիքսված դեպքում։ Այսպես, Մանդելբրոտի բազմությունը բոլոր այն բազմություն է, որոնց դեպքում -ի և -ի համար չի ձգտում անսահմանության։

Այս տեսակի ևս մեկ հայտնի օրինակ է Նյուտոնի լողավազանները:

Տարածված է գեղեցիկ գրաֆիկական պատկերների ստեղծումը, որը հիմնված է կոմպլեքս դինամիկայի վրա՝ հարթության կետերը գունավորելու միջոցով՝ կախված համապատասխան դինամիկ համակարգերի վարքից: Օրինակ, Մանդելբրոտի բազմութքյան լրացման համար կարելի է գունավորել կետերը՝ կախված -ի անսահմանության ձգտման արագությունից (որը սահմանվում է, օրինակ, ամենափոքր համարը, որի դեպքում կգերազանցի ֆիքսված մեծությանը):

Բիոմորֆները ֆրակտալներ են, որոնք կառուցված են բարդ դինամիկայի հիման վրա և նման են կենդանի օրգանիզմների:

Ստոխաստիկ ֆրակտալներ[խմբագրել | խմբագրել կոդը]

Պատահական ձևով կառուցված ֆրակտալ Ժյուլիայի բազմության հիման վրա

Բնական օբյեկտները հաճախ ունենում են ֆրակտալ ձև: Դրանց մոդելավորման համար կարող են օգտագործվել ստոխաստիկ (պատահական) ֆրակտալները: Ստոխաստիկ ֆրակտալների օրինակներ.

  • Բրոունյան շարժման հետագիծը հարթության վրա և տարածության մեջ,
  • Բրոունյան շարժման հետագծի սահմանը հարթության վրա։ 2001 թվականին Լոուլերը, Շրամը և Վերները ապացուցել են Մանդելբրոտի ենթադրությունն այն մասին, որ դրա չափականությունը 4/3 է։
  • Շրամ-Լյովներիի էվոլյուցիաները Կոնֆորմ արտապատկերվող ֆրակտալ կորեր են, որոնք ծագում են Վիճակագրական մեխանիկայի կրիտիկական երկչափական մոդելներում, օրինակ՝ Իզինգի մոդելում և պերկոլյացիայում:
  • Տարբեր տեսակների պատահական ֆրակտալներ, այսինքն՝ ռեկուրսիվ ընթացակարգի միջոցով ստացված ֆրակտալներ, որտեղ ամեն քայլափոխի մտցվում է պատահական պարամետր։ Պլազման նման ֆրակտալի օգտագործման օրինակ է համակարգչային գրաֆիկայում:

Բնական օբյեկտներ, որոնք ունեն ֆրակտալ հատկություններ[խմբագրել | խմբագրել կոդը]

Շնչափողի և բրոնխների տեսքն առջևից

Բնական օբյեկտները (քվազիֆրակտալները) իդեալական վերացական ֆրակտալներից տարբերվում են ոչ լիարժեքությամբ և կառուցվածքի կրկնության անճշտությամբ։ Բնության մեջ հանդիպող ֆրակտալանման կառույցների մեծ մասը (ամպերի սահմանները, ափերի գիծը, ծառերը, բույսերի տերևները, մարջանները) քվազիֆրակտալներ են, քանի որ որոշ փոքր մասշտաբում ֆրակտալ կառուցվածքը անհետանում է: Բնական կառույցները չեն կարող լինել իդեալական ֆրակտալներ կենդանի բջիջների չափսերի սահմանափակումների և մոլեկուլների չափերի պատճառով:

Կիրառություն[խմբագրել | խմբագրել կոդը]

Արվեստ[խմբագրել | խմբագրել կոդը]

1999 թվականից ավելի քան 10 գիտական խմբեր իրականացրել են ֆրակտալ վերլուծություն Ջեքսոն Փոլոքի (1912-1956) ավելի քան 50 գեղանկարների վերաբերյալ, որոնք ստեղծվել են ներկն ուղղակիորեն հորիզոնական կտավների վրա լցնելով[38][39][40][41][42][43][44][45][46][47][48][49][50]։ Կոգնիտիվ նեյրոկենսաբանները ցույց են տվել, որ Փոլոքի ֆրակտալները նույնքան են նվազեցնում սթրեսը դիտորդների մոտ, որքան համակարգչի կողմից ստեղծված ֆրակտալներն ու բնության ֆրակտալները[51]։

Բնական գիտություններ[խմբագրել | խմբագրել կոդը]

Ֆիզիկայում ֆրակտալները բնականորեն ձևավորվում են ոչ գծային գործընթացների մոդելավորման ժամանակ, ինչպիսիք են հեղուկի մրրկային հոսքը, դիֆուզիոն-ադսորբման բարդ գործընթացները, կրակը, ամպերը և այլն: Ֆրակտալներն օգտագործվում է ծակոտկեն նյութերի մոդելավորման մեջ, օրինակ՝ նավթաքիմիական նյութերում: Կենսաբանության մեջ դրանք օգտագործվում են պոպուլյացիաների մոդելավորելու և ներքին օրգանների համակարգերը (արյունատար անոթների համակարգը) նկարագրելու համար: Կոխի կորի ստեղծումուց հետո առաջարկվել է այն օգտագործել ափագծի երկարությունը հաշվարկելու համար:

Ռադիոտեխնիկա[խմբագրել | խմբագրել կոդը]

Ֆրակտալ ալեհավաքներ[խմբագրել | խմբագրել կոդը]

Ֆրակտալ երկրաչափության օգտագործումը ալեհավաքների նախագծման ժամանակ առաջին անգամ կիրառվել է ամերիկացի ինժեներ Նաթան Քոենի կողմից, որն այն ժամանակ ապրում էր Բոստոնի կենտրոնում, որտեղ արգելված էր արտաքին ալեհավաքների տեղադրումը շենքի վրա: Նաթանն ալյումինե փայլաթիթեղից կտրել է Կոխի կորի տեսքով կազմվածքը և այն փակցրել թղթի վրա, այնուհետև միացրել ռադիոընդունիչին:

Քոենը հիմնել է իր սեփական ընկերությունը և սկսել իր ալեհավաքների սերիական թողարկումը։ Այդ ժամանակներից ի վեր ֆրակտալ ալեհավաքները տեսությունը շարունակում է ինտենսիվորեն զարգանալ[52][53] [54]։ Նման ալեհավաքների առավելությունն այն է, որ դրանք բազմաբնույթ են և համեմատաբար լայնաշերտ:

Ինֆորմատիկա[խմբագրել | խմբագրել կոդը]

Պատկերի սեղմում[խմբագրել | խմբագրել կոդը]

Ֆրակտալ ծառ

Գոյություն ունեն ֆրակտալների միջոցով պատկերի սեղմման ալգորիթմներ։ Դրանք հիմնված են այն գաղափարի վրա, որ պատկերի փոխարեն կարելի է պահպանել սեղմող արտացոլումը, որի համար այդ պատկերը (կամ դրան մոտ պատկեր) անշարժ կետ է։ Այս ալգորիթմի տարբերակներից մեկն օգտագործվել է[55] Microsoft ընկերության կողմից իր հանրագիտարանը հրատարակելիս, սակայն այդ ալգորիթմները մեծ տարածում չեն ստացել:

Համակարգչային գրաֆիկա[խմբագրել | խմբագրել կոդը]

Ֆրակտալ ծառ

Ֆրակտալները լայնորեն կիրառվում են համակարգչային գրաֆիկայում բնական օբյեկտների պատկերներ կառուցելու համար, ինչպիսիք են ծառերը, թփերը, լեռնային լանդշաֆտները, ծովերի մակերևույթները և այլն: Կան բազմաթիվ ծրագրեր, որոնք ծառայում են Ֆրակտալ պատկերների գեներացման համար։

Ապակենտրոնացված ցանցեր[խմբագրել | խմբագրել կոդը]

Netsukuku ցանցում IP հասցեների նշանակման համակարգն օգտագործում է տեղեկատվության ֆրակտալ սեղմման սկզբունքը ցանցի հանգույցների մասին տեղեկատվության կոմպակտ պահպանման համար: Netsukuku ցանցի յուրաքանչյուր հանգույց պահպանում է միայն 4 ԿԲ տեղեկատվություն հարևան հանգույցների կարգավիճակի մասին, միևնույն ժամանակ, ցանկացած նոր հանգույց միանում է ընդհանուր ցանցին առանց IP-հասցեների բաշխման կենտրոնական կարգավորման անհրաժեշտության, ինչը, օրինակ, բնորոշ է ինտերնետին: Այսպիսով, տեղեկատվության ֆրակտալ սեղմման սկզբունքը երաշխավորում է ամբողջովին ապակենտրոնացված, և, հետևաբար, ամբողջ ցանցի առավել կայուն աշխատանքը։

Նկարներ[խմբագրել | խմբագրել կոդը]

Ծանոթագրություններ[խմբագրել | խմբագրել կոդը]

  1. Mandelbrot Benoît B. (1983)։ The fractal geometry of nature։ Macmillan։ ISBN 978-0-7167-1186-5 
  2. Falconer Kenneth (2003)։ Fractal Geometry: Mathematical Foundations and Applications։ John Wiley & Sons։ xxv։ ISBN 978-0-470-84862-3 
  3. Briggs John (1992)։ Fractals:The Patterns of Chaos։ London: Thames and Hudson։ էջ 148։ ISBN 978-0-500-27693-8 
  4. Mandelbrot Benoît B. (2004)։ Fractals and Chaos։ Berlin: Springer։ էջ 38։ ISBN 978-0-387-20158-0։ «A fractal set is one for which the fractal (Hausdorff-Besicovitch) dimension strictly exceeds the topological dimension» 
  5. Segal S. L. (June 1978)։ «Riemann's example of a continuous 'nondifferentiable' function continued»։ The Mathematical Intelligencer 1 (2): 81–82։ doi:10.1007/BF03023065 
  6. 6,0 6,1 Gouyet Jean-François (1996)։ Physics and fractal structures։ Paris/New York: Masson Springer։ ISBN 978-0-387-94153-0 
  7. Vicsek Tamás (1992)։ Fractal growth phenomena։ Singapore/New Jersey: World Scientific։ էջեր 31; 139–146։ ISBN 978-981-02-0668-0 
  8. Peters Edgar (1996)։ Chaos and order in the capital markets : a new view of cycles, prices, and market volatility։ New York: Wiley։ ISBN 978-0-471-13938-6 
  9. Krapivsky P. L., Ben-Naim E. (1994)։ «Multiscaling in Stochastic Fractals»։ Physics Letters A 196 (3–4): 168։ Bibcode:1994PhLA..196..168K։ doi:10.1016/0375-9601(94)91220-3 
  10. Hassan M. K., Rodgers G. J. (1995)։ «Models of fragmentation and stochastic fractals»։ Physics Letters A 208 (1–2): 95։ Bibcode:1995PhLA..208...95H։ doi:10.1016/0375-9601(95)00727-k 
  11. Hassan M. K., Pavel N. I., Pandit R. K., Kurths J. (2014)։ «Dyadic Cantor set and its kinetic and stochastic counterpart»։ Chaos, Solitons & Fractals 60: 31–39։ Bibcode:2014CSF....60...31H։ arXiv:1401.0249։ doi:10.1016/j.chaos.2013.12.010 
  12. Brothers Harlan J. (2007)։ «Structural Scaling in Bach's Cello Suite No. 3»։ Fractals 15 (1): 89–95։ doi:10.1142/S0218348X0700337X 
  13. Tan Can Ozan, Cohen Michael A., Eckberg Dwain L., Taylor J. Andrew (2009)։ «Fractal properties of human heart period variability: Physiological and methodological implications»։ The Journal of Physiology 587 (15): 3929–41։ PMC 2746620։ PMID 19528254։ doi:10.1113/jphysiol.2009.169219 
  14. Buldyrev Sergey V., Goldberger Ary L., Havlin Shlomo, Peng Chung-Kang, Stanley H. Eugene (1995)։ «Fractals in Biology and Medicine: From DNA to the Heartbeat»։ in Bunde Armin, Havlin Shlomo։ Fractals in Science։ Springer 
  15. Liu Jing Z., Zhang Lu D., Yue Guang H. (2003)։ «Fractal Dimension in Human Cerebellum Measured by Magnetic Resonance Imaging»։ Biophysical Journal 85 (6): 4041–4046։ Bibcode:2003BpJ....85.4041L։ PMC 1303704։ PMID 14645092։ doi:10.1016/S0006-3495(03)74817-6 
  16. Karperien Audrey L., Jelinek Herbert F., Buchan Alastair M. (2008)։ «Box-Counting Analysis of Microglia Form in Schizophrenia, Alzheimer's Disease and Affective Disorder»։ Fractals 16 (2): 103։ doi:10.1142/S0218348X08003880 
  17. Jelinek Herbert F., Karperien Audrey, Cornforth David, Cesar Roberto, Leandro Jorge de Jesus Gomes (2002)։ «MicroMod-an L-systems approach to neural modelling»։ in Sarker, Ruhul։ Workshop proceedings: the Sixth Australia-Japan Joint Workshop on Intelligent and Evolutionary Systems, University House, ANU։ University of New South Wales։ ISBN 9780731705054։ OCLC 224846454։ Վերցված է February 3, 2012։ «Event location: Canberra, Australia» 
  18. Hu Shougeng, Cheng Qiuming, Wang Le, Xie Shuyun (2012)։ «Multifractal characterization of urban residential land price in space and time»։ Applied Geography 34: 161–170։ doi:10.1016/j.apgeog.2011.10.016 
  19. Karperien Audrey, Jelinek Herbert F., Leandro Jorge de Jesus Gomes, Soares João V. B., Cesar Jr Roberto M., Luckie Alan (2008)։ «Automated detection of proliferative retinopathy in clinical practice»։ Clinical Ophthalmology (Auckland, N.Z.) 2 (1): 109–122։ PMC 2698675։ PMID 19668394։ doi:10.2147/OPTH.S1579 
  20. Losa Gabriele A., Nonnenmacher Theo F. (2005)։ Fractals in biology and medicine։ Springer։ ISBN 978-3-7643-7172-2 
  21. Vannucchi Paola, Leoni Lorenzo (2007)։ «Structural characterization of the Costa Rica décollement: Evidence for seismically-induced fluid pulsing»։ Earth and Planetary Science Letters 262 (3–4): 413։ Bibcode:2007E&PSL.262..413V։ doi:10.1016/j.epsl.2007.07.056 
  22. Sornette Didier (2004)։ Critical phenomena in natural sciences: chaos, fractals, selforganization, and disorder: concepts and tools։ Springer։ էջեր 128–140։ ISBN 978-3-540-40754-6 
  23. Wallace David Foster (August 4, 2006)։ «Bookworm on KCRW»։ Kcrw.com։ Վերցված է October 17, 2010 
  24. Eglash Ron (1999)։ «African Fractals: Modern Computing and Indigenous Design»։ New Brunswick: Rutgers University Press։ Արխիվացված է օրիգինալից January 3, 2018-ին։ Վերցված է October 17, 2010 
  25. Ostwald, Michael J., and Vaughan, Josephine (2016) The Fractal Dimension of Architecture. Birhauser, Basel. doi:10.1007/978-3-319-32426-5.
  26. Baranger Michael։ «Chaos, Complexity, and Entropy: A physics talk for non-physicists» 
  27. Lovejoy Shaun (1982)։ «Area-perimeter relation for rain and cloud areas»։ Science 216 (4542): 185–187։ Bibcode:1982Sci...216..185L։ PMID 17736252։ doi:10.1126/science.216.4542.185 
  28. Sadegh Sanaz (2017)։ «Plasma Membrane is Compartmentalized by a Self-Similar Cortical Actin Meshwork»։ Physical Review X 7 (1): 011031։ Bibcode:2017PhRvX...7a1031S։ PMC 5500227 ։ PMID 28690919։ arXiv:1702.03997։ doi:10.1103/PhysRevX.7.011031 
  29. Enright Matthew B., Leitner David M. (January 27, 2005)։ «Mass fractal dimension and the compactness of proteins»։ Physical Review E 71 (1): 011912։ Bibcode:2005PhRvE..71a1912E։ PMID 15697635։ doi:10.1103/PhysRevE.71.011912 
  30. Meyer Yves, Roques Sylvie (1993)։ Progress in wavelet analysis and applications: proceedings of the International Conference "Wavelets and Applications", Toulouse, France – June 1992։ Atlantica Séguier Frontières։ էջ 25։ ISBN 978-2-86332-130-0։ Վերցված է February 5, 2011 
  31. Carbone Alessandra, Gromov Mikhael, Prusinkiewicz Przemyslaw (2000)։ Pattern formation in biology, vision and dynamics։ World Scientific։ էջ 78։ ISBN 978-981-02-3792-9 
  32. Vannucchi Paola, Leoni Lorenzo (2007)։ «Structural characterization of the Costa Rica décollement: Evidence for seismically-induced fluid pulsing»։ Earth and Planetary Science Letters 262 (3–4): 413։ Bibcode:2007E&PSL.262..413V։ doi:10.1016/j.epsl.2007.07.056 
  33. Sornette Didier (2004)։ Critical phenomena in natural sciences: chaos, fractals, selforganization, and disorder: concepts and tools։ Springer։ էջեր 128–140։ ISBN 978-3-540-40754-6 
  34. Addison Paul S. (1997)։ Fractals and chaos: an illustrated course։ CRC Press։ էջեր 44–46։ ISBN 978-0-7503-0400-9։ Վերցված է February 5, 2011 
  35. Takayasu H. (1990)։ Fractals in the physical sciences։ Manchester: Manchester University Press։ էջ 36։ ISBN 9780719034343 
  36. Jun Li, Ostoja-Starzewski Martin (April 1, 2015)։ «Edges of Saturn's Rings are Fractal»։ SpringerPlus։ 4,158: 158։ PMC 4392038։ PMID 25883885։ doi:10.1186/s40064-015-0926-6 
  37. Taylor R. P. (1999)։ «Fractal Analysis of Pollock's Drip Paintings»։ Nature 399 (6735): 422։ Bibcode:1999Natur.399..422T։ doi:10.1038/20833 
  38. Mureika J. R., Dyer C. C., Cupchik G. C. (2005)։ «Multifractal Structure in Nonrepresentational Art»։ Physical Review E 72 (4): 046101–1–15։ Bibcode:2005PhRvE..72d6101M։ PMID 16383462։ arXiv:physics/0506063։ doi:10.1103/PhysRevE.72.046101 
  39. Redies C., Hasenstein J., Denzler J. (2007)։ «Fractal-Like Image Statistics in Visual Art: Similarity to Natural Scenes»։ Spatial Vision 21 (1): 137–148։ PMID 18073055։ doi:10.1163/156856807782753921 
  40. Lee S., Olsen S., Gooch B. (2007)։ «Simulating and Analyzing Jackson Pollock's Paintings»։ Journal of Mathematics and the Arts 1 (2): 73–83։ doi:10.1080/17513470701451253 
  41. Alvarez-Ramirez J., Ibarra-Valdez C., Rodriguez E., Dagdug L. (2008)։ «1/f-Noise Structure in Pollock's Drip Paintings»։ Physica A 387 (1): 281–295։ Bibcode:2008PhyA..387..281A։ doi:10.1016/j.physa.2007.08.047 
  42. Graham D. J., Field D. J. (2008)։ «Variations in Intensity for Representative and Abstract Art, and for Art from Eastern and Western Hemispheres»։ Perception 37 (9): 1341–1352։ PMID 18986061։ doi:10.1068/p5971 
  43. Alvarez-Ramirez J., Echeverria J. C., Rodriguez E. (2008)։ «Performance of a high-dimensional R/S method for Hurst exponent estimation»։ Physica A 387 (26): 6452–6462։ Bibcode:2008PhyA..387.6452A։ doi:10.1016/j.physa.2008.08.014 
  44. Coddington J., Elton J., Rockmore D., Wang Y. (2008)։ «Multifractal Analysis and Authentication of Jackson Pollock Paintings»։ Proceedings of SPIE 6810 (68100F): 1–12։ Bibcode:2008SPIE.6810E..0FC։ doi:10.1117/12.765015 
  45. Al-Ayyoub M., Irfan M. T., Stork D. G. (2009)։ «Boosting Multi-Feature Visual Texture Classifiers for the Authentification of Jackson Pollock's Drip Paintings»։ SPIE Proceedings on Computer Vision and Image Analysis of Art II։ Computer Vision and Image Analysis of Art II 7869 (78690H): 78690H։ Bibcode:2011SPIE.7869E..0HA։ doi:10.1117/12.873142 
  46. Mureika J. R., Taylor R. P. (2013)։ «The Abstract Expressionists and Les Automatistes: multi-fractal depth?»։ Signal Processing 93 (3): 573։ doi:10.1016/j.sigpro.2012.05.002 
  47. Taylor R. P. (2005)։ «Authenticating Pollock Paintings Using Fractal Geometry»։ Pattern Recognition Letters 28 (6): 695–702։ doi:10.1016/j.patrec.2006.08.012 
  48. Jones-Smith K. (2006)։ «Fractal Analysis: Revisiting Pollock's Paintings»։ Nature 444 (7119): E9–10։ Bibcode:2006Natur.444E...9J։ PMID 17136047։ doi:10.1038/nature05398 
  49. Taylor R. P. (2006)։ «Fractal Analysis: Revisiting Pollock's Paintings (Reply)»։ Nature 444 (7119): E10–11։ Bibcode:2006Natur.444E..10T։ doi:10.1038/nature05399 
  50. Taylor R. P., Spehar B., Van Donkelaar P., Hagerhall C. M. (2011)։ «Perceptual and Physiological Responses to Jackson Pollock's Fractals»։ Frontiers in Human Neuroscience 5: 1–13։ PMC 3124832։ PMID 21734876։ doi:10.3389/fnhum.2011.00060 
  51. Вишневский В. М., Ляхов А. И., Портной С. Л., Шахнович И. В. Широкополосные беспроводные сети передачи информации. — М.: Техносфера. — 2005.- C. 498—569
  52. Крупенин С. В. Фрактальные излучающие структуры и аналоговая модель фрактального импеданса. Дис. канд. физ.-мат. наук : 01.04.03, 01.04.04 / [Место защиты: Моск. гос. ун-т им. М. В. Ломоносова. Физ. фак.].- Москва, 2009.- 157 с.
  53. Бабичев Д. А. Разработка и исследование микрополосковой антенны на основе фрактального подхода. Дис. канд. техн. наук: - 05.12.07. [Место защиты: С.-Петерб. гос. электротехн. ун-т (ЛЭТИ)]. - Санкт-Петербург, 2016. - 104 с. [1]
  54. Фрактальное сжатие изображений на Computerworld Россия

Գրականություն[խմբագրել | խմբագրել կոդը]

  • А. А. Кириллов Повесть о двух фракталах. — Летняя школа «Современная математика». — Дубна, 2007.
  • Мандельброт Б. Фрактальная геометрия природы. — М.: «Институт компьютерных исследований», 2002.
  • Пайтген Х.-О., Рихтер П. Х. Красота фракталов. Образы комплексных динамических систем. — М.: «Мир», 1993.
  • Федер Е. Фракталы. — М: «Мир», 1991.
  • Абачиев С. К. О треугольнике Паскаля, простых делителях и фрактальных структурах // В мире науки, 1989, № 9.
  • Фоменко А. Т. Наглядная геометрия и топология. — М.: изд-во МГУ, 1993.
  • Цицин Ф. А. Фрактальная вселенная // «Дельфис» — № 11(3) — 1997.
  • Фракталы в физике. Труды 6-го международного симпозиума по фракталам в физике, 1985. — М.: «Мир», 1988.
  • Маврикиди Ф. И. Фракталы: постигая взаимосвязанный мир // «Дельфис» — № 23(3) — 2000.
  • Шредер М. Фракталы, хаос, степенные законы. Миниатюры из бесконечного рая. — Ижевск: «РХД», 2001.
  • Кроновер Р. М. Фракталы и хаос в динамических системах. Основы теории.
  • Мандельброт Бенуа, Ричард Л. Хадсон (Не)послушные рынки: фрактальная революция в финансах = The Misbehavior of Markets. — М.: «Вильямс», 2006. — 400 с. — ISBN 5-8459-0922-8
  • Красивая жизнь комплексных чисел // Hard’n’Soft, № 9, 2002. Стр. 90.
  • М. Г. Иванов, «Размер и размерность» // «Потенциал», август 2006.
  • Маврикиди Ф. И. Фрактальная математика и природа перемен // «Дельфис» — № 54(2) — 2008.
  • Липов А. Н. Фракталы. Памяти Бенуа Мандельброта // Философия и культура № 9 (33) 2010. № 8. С. 39-54.

Արտաքին հղումներ[խմբագրել | խմբագրել կոդը]