Ֆունկցիա (մաթեմատիկա)

Վիքիպեդիայից՝ ազատ հանրագիտարանից
Jump to navigation Jump to search
Ֆունկցիայի գրաֆիկ
.

Ֆունկցիան մաթեմատիկայում, երկու բազմությունների տարրերի միջև համապատասխանության կանոն է, ըստ որի առաջինի յուրաքանչյուր տարր համապատասխանում է երկրորդ բազմության մեկ և միայն մեկ տարրին։

Ֆունկցիայի մաթեմատիկական հասկացությունն արտահայտում է ինտուիտիվ գաղափար այն մասին, թե ինչպես է մի մեծությունն ամբողջությամբ որոշում մեկ այլ մեծության արժեքը։ Այսպիսով փոփոխականի արժեքը եզակիորեն որոշում է արտահայտության արժեքը, իսկ ամսվա արժեքը որոշում է դրան հաջորդող ամսվա արժեքը։ Ֆունկցիայի «կենցաղային» օրինակ է այն, որ յուրաքանչյուր մարդու կարելի է միանշանակ համապատասխանեցնել նրա կենսաբանական հորը։

Նմանապես, կանխորոշված ​​ալգորիթմը, հաշվի առնելով մուտքային տվյալների արժեքը, որոշում է ելքային տվյալների արժեքը։

Հաճախ «ֆունկցիա» տերմինը հասկացվում է որպես թվային ֆունկցիա, այսինքն՝ ֆունկցիա, որը մի թվին համապատասխանեցնում է մյուսին։ Այս ֆունկցիաները հարմար է ներկայացնել գրաֆիկների տեսքով։

Պատմություն[խմբագրել | խմբագրել կոդը]

«Ֆունկցիա» տերմինը (մի փոքր ավելի նեղ իմաստով) առաջին անգամ օգտագործել է Լայբնիցը (1692 թվական)։ Իր հերթին Յոհան Բեռնուլին Լայբնիցին ուղղված նամակում այս տերմինին ավելի մոտ իմաստ է տվել ժամանակակցին[1][2]։

Սկզբում ֆունկցիա հասկացությունը չէր տարբերվում վերլուծական ներկայացման հասկացությունից։ Հետագայում հայտնվեց ֆունկցիայի սահմանումը, որը տրվել է Էյլերի (1751), այնուհետև Լակրուայի (1806) կողմից, գրեթե ժամանակակից ձևով։ Վերջապես, ֆունկցիայի ընդհանուր սահմանումը (ժամանակակից ձևով, բայց միայն թվային ֆունկցիաների համար) տրվել է Լոբաչևսկու (1834) և Դիրիխլեի (1837) կողմից[3]։

19-րդ դարի վերջում ֆունկցիա հասկացությունը գերազանցել էր թվային համակարգերի շրջանակը։ Սկզբում ֆունկցիա հասկացությունը տարածվեց վեկտորային ֆունկցիաների վրա, Ֆրեգեն շուտով ներկայացրեց տրամաբանական ֆունկցիաները (1879 թվական), իսկ բազմությունների տեսության հայտնվելուց հետո Դեդեկինդը (1887 թվական) և Պեանոն (1911 թվական) ձևակերպեցին ժամանակակից ունիվերսալ սահմանումը[2]։

Ոչ պաշտոնական սահմանում[խմբագրել | խմբագրել կոդը]

Ֆունկցիա, որը չորս ֆիգուրներից յուրաքանչյուրին համադրում է իր գույնը

ֆունկցիան, որը սահմանված է բազմության վրա բազմության արժեքով, տրվում է «կանոնով», որ -ից յուրաքանչյուր x-ի տարրը համապատասխանում է-ում գտնվող տարրին և,ընդ որում, միայն մեկին։

Ընդունված նշաններ՝ , , կրճատ գրում են կամ ուղղակի .

գրաֆիկ անվանում են , որտեղ ուղիղ արտադրյալ։

Ընդհանուր առմամբ, ֆունկցիայի և դրա գրաֆիկի հասկացությունները համարժեք են, և քանի որ վերջինս մաթեմատիկորեն ավելի խիստ է սահմանված, ֆունկցիայի ֆորմալ (բազմությունների տեսության տեսանկյունից) սահմանումը նրա գրաֆիկն է։

ֆունկցիայի համար՝

  • բազմությունը կոչվում է առաջադրանքի բազմություն կամ ֆունկցիայի որոշման տիրույթ, որը նշվում է կամ -ով;
  • բազմությունը կոչվում է ֆունկցիայի միջակայք, որը նշվում է կամ ()-ով;
  • բազմության յուրաքանչյուր տարր կոչվում է անկախ փոփոխական կամ ֆունկցիայի արգումենտ ;
  • կետին համապատասխանող տարրը կոչվում է ֆունկցիայի մասնակի արժեք կետում։

Նշումներ[խմբագրել | խմբագրել կոդը]

  • ֆունկցիան, որի համար , կոչվում է տրված բազմության քարտեզագրում իր մեջ կամ փոխակերպում, մասնավորապես, եթե, ապա խոսվում է նույնական փոխակերպման մասին, որը հաճախ նշվում է ։
  • Եթե օգտագործվում է օպերատոր տերմինը, ապա ասում են, որ օպերատորը գործում է բազմությունից դեպի բազմություն և ավելացվում է նշումը։
  • Եթե ուզում ենք ընդգծել, որ համապատասխանության կանոնը համարվում է հայտնի, ապա ասում ենք, որ բազմության վրա տրված է ֆունկցիա՝ -ից արժեքներ վերցնելով։ Եթե ինչ-որ հավասարման լուծման արդյունքում պետք է գտնել ֆունկցիան, ապա ասում են,որ -ը անհայտ կամ անուղղակի տրված ֆունկցիա է։ Այդ դեպքում ֆունկցիան դեռ համարվում է տրված, թեկուզ անուղղակի։
  • Քանի որ ֆունկցիաների հավասարությունը (իր սահմանումներից որևէ մեկում) ներառում է ոչ միայն բազմությունների տարրերի միջև հմապատասխանության կանոնների համընկնումը, ապա և , որտեղ ֆունկցիաները իրական թվերի բազմություն են, իսկ -ը դրական թվերի բազմություն է, որոնք տարբեր ֆունկցիաներ են։
  • Կա նաև ֆունկցիայի օպերատորի նշում, որը կարելի է գտնել ընդհանուր հանրահաշվում։
  • Չորչի լամբդա հաշվարկն օգտագործում է ֆունկցիայի նշանը։

Ֆունկցիա սահմանելու եղանակներ[խմբագրել | խմբագրել կոդը]

Վերլուծական մեթոդ[խմբագրել | խմբագրել կոդը]

Ֆունկցիան կարելի է սամանել՝ օգտագործելով վերլուծական արտահայտություն (օրինակ՝ բանաձև)։ Այս դեպքում այն նշվում է որպես համապատասխանություն հավասարության տեսքով։

Օրինակներ․

Ֆունկցիա, որը տրվում է մեկ բանաձևով․

Մասամբ տրված ֆունկցիա․

Անուղղակիորեն սահմանված ֆունկցիա․

Գրաֆիկական եղանակ[խմբագրել | խմբագրել կոդը]

գրաֆիկը

Ֆունկցիան կարող է սահմանվել նաև գրաֆիկի միջոցով։ Եթե  — փոփոխականով իրական ֆունկցիա,ապա նրա գրաֆիկը կետերի բազմություն է -աչափ միջակայքում ։ Այս կետերի բազմությունը հաճախ հիպերմակերևույթ է։ Մասնավորապես, երբ ֆունկցիայի գրաֆիկը որոշ դեպքերում կարող է ներկայացվել երկչափ տարածության կորով։

Երեք կամ ավելի արգումենտներով ֆունկցիաների համար նման գրաֆիկական ներկայացումը կիրառելի չէ։ Այնուամենայնիվ, նույնիսկ նման ֆունկցիաները կարելի է ներկայացնել տեսողական կիսաերկրաչափական պատկերով (օրինակ, կետի չորրորդ կոորդինատների յուրաքանչյուր արժեքին տանք որոշակի գույն գրաֆիկի վրա, ինչպես դա տեղի է ունենում կոմպլեքս ֆունկցիաների գրաֆիկներում).

Արժեքների թվարկում[խմբագրել | խմբագրել կոդը]

Վերջավոր բազմության վրա ֆունկցիան կարող է սահմանվել արժեքների աղյուսակով՝ ուղղակիորեն նշելով դրա արժեքները սահմանման տիրույթի յուրաքանչյուր տարրի համար։Այս մեթոդը օգտագործվում է, օրինակ, Բուլյան ֆունկցիաները սահմանելու համար։ Փաստորեն, այս մեթոդը նաև ֆունկցիայի գրաֆիկի սահմանումն է, եթե ֆունկցիայի գրաֆիկը դիտարկենք որպես ձևի կարգավորված զույգերի բազմություն ։

Ընդհանուր հատկություններ[խմբագրել | խմբագրել կոդը]

Բիեկցիա[խմբագրել | խմբագրել կոդը]

Ֆունկցիան, որը միևնույն ժամանակ սուբեկտիվ և օբեկտիվ է, կոչվում է բիեկտիվ կամ փոխադարձ միանշանակ (կարճ՝ բիեկցիա)։

Հակադարձ ֆունկցիա[խմբագրել | խմբագրել կոդը]

Եթե ֆունկցիան բիեկցիա է, ապա գոյություն ունի , որի համար ։

ֆունկցիան այս դեպքում կոչվում է հակադարձ -ի նկատմամբ, բացի այդ, նույնպես բիեկտիվ ֆունկցիա է։

Պարզաբանում

Քանի որ -ը ինեկցիա է, ընդհանուր առմամբ ֆունկցիա է, սյուրեկցիայից իր հերթին հետևում է, որ -ը տրված է -ով։ ֆունկցիան ինյեկտիվ է, քանի որ -ը ֆունկցիա է, և նրա սյուբեկտիվությունը հետևում է նրա սահմանումից։

Ընդհանուր առմամբ, արտապատկերումը, որն ունի հակադարձ, կոչվում է հակադարձ։ Հակադարձելիության հատկությունը միաժամանակ բավարարելն է երկու պայմանների․ և ։

Ֆունկցիայի սահմանափակում և անընդհատություն[խմբագրել | խմբագրել կոդը]

Դիցուք տրված է արտապատկերումը և բազմությունը, որը բազմության խիստ ենթաբազմությունն է։

արտապատկերումը, որը -ի դեպքում ընդունում է նույն արժեքները, ինչ ֆունկցիան, կոչվում է ֆունկցիայի սահմանափակում բազմության վրա։

ֆունկցիայի սահմանափակումը բազմության վրա նշվում է հետևյալ կերպ․ ։

Այս դեպքում սկզբնական ֆունկցիան, ընդհակառակը, կոչվում է ֆունկցիայի շարունակություն բազմություն վրա։

Պատկեր և նախապատկեր[խմբագրել | խմբագրել կոդը]

Պատկեր և նախապատկեր (երբ ցուցադրվում է), կետի արժեքը[խմբագրել | խմբագրել կոդը]

տարրը, որը կապված է տարրի հետ, կոչվում է պատկերի տարր (կետ) (երբ ցուցադրվում է ) կամ -ի ցուցադրման արժեքը կետում։

Եթե ​​վերցնենք ֆունկցիայի տիրույթի ամբողջ ենթաբազմությունը, ապա այս բազմության բոլոր տարրերի պատկերների բազմությունը, այսինքն ( ձևի ֆունկցիայի) տիրույթի ենթաբազմությունը.

կոչվում է բազմության պատկեր՝ ցուցադրման տակ։ Այս բազմությունը երբեմն նշվում է որպես կամ :

Ֆունկցիայի ողջ տիրույթի պատկերը կոչվում է ֆունկցիայի պատկեր կամ, եթե ֆունկցիան ցրված է, սովորաբար կոչվում է ֆունկցիայի տիրույթ։

Եվ հակառակը, ֆունկցիայի միջակայքում վերցնելով ենթաբազմություն, մենք կարող ենք դիտարկել ֆունկցիայի տիրույթի բոլոր տարրերի բազմությունը, որոնց պատկերներն ընկնում են բազմության, այսինքն՝ ձևի բազմության մեջ.

,

որը կոչվում է բազմության (ամբողջական) նախապատկեր (-ը ցուցադրելիս)։

Մասնավորապես, երբ բազմությունը բաղկացած է մեկ տարրից, ասենք, , ապա բազմությունը ունի ավելի պարզ՝ նշում։

Պատկերների և նախապատկերների հատկություններ[խմբագրել | խմբագրել կոդը]

Պատկերների հատկություններ[խմբագրել | խմբագրել կոդը]

Ենթադրենք և ֆունկցիայի որոշման տիրույթի ենթաբազմություններ են։ Այդ դեպքում և բազմությունների նախապատկերները արտապատկերման դեպքում ունեն հետևյալ հատկությունները․

  • ,
  • ։
  • բազմությունների միավորման նախատիպը հավասար է նախապատկերների միավորմանը․ ,
  • Բազմությունների հատման նախատիպը նախապատկերների հատման ենթաբազմություն է. ։

Վերջին երկու հատկությունները կարող են ընդհանրացվել ցանկացած քանակի բազմությունների համար։

Եթե ​​պատկերումը հակադարձելի է, ապա արժեքների տիրույթի յուրաքանչյուր կետի նախատիպը մեկ կետ է, այդ պատճառով շրջուն պատկերումների համար գործում է հետևյալ խիստ հատկությունը հատումների համար.

  • Հատման տիպը հավասար է պատկերների հատմանը. ։

Նախապատկերների հատկություններ[խմբագրել | խմբագրել կոդը]

Ենթադրենք և -ն Y բազմության ենթաբազմություններ է։ Այդ դեպքում և բազմություննորի նախապատկերները պատկերման դեպքում ունեն հետևյալ ակնհայտ հատկությունները․

  • Միավորման հակադարձ պատկերը հավասար է հակադարձ պատկերների միավորմանը. ,
  • Հատման նախապատկերը հավասար է նախապատկերների հատմանը․ ։

Այս հատկությունները կարող են ընդհանրացվել ցանկացած քանակի բազմություննորի համար։

Մոնոտոնություն[խմբագրել | խմբագրել կոդը]

Աճող և նվազող[խմբագրել | խմբագրել կոդը]

Տրված է ֆունկցիան, ապա

  • ֆունկցիան կոչվում է ոչ նվազող կետի նկատմամբ, եթե
  • ֆունկցիան կոչվում է ոչ աճող կետի նկատմամբ, եթե
  • ֆունկցիան կոչվում է աճող կետի նկատմամբ, եթե
  • ֆունկցիան կոչվում է նվազող կետի նկատմամբ, եթե
։

Չաճող և չնվազող ֆունկցիաները կոչվում են (ոչ խիստ) միատոն, մինչդեռ աճող և նվազող ֆունկցիաները կոչվում են խիստ միատոն։ Կամայական ֆունկցիայի համար կարելի է գտնել մոնոտոնության միջակայքեր՝ որոշման տիրույթի ենթաբազմություններ, որոնց վրա ֆունկցիան այս կամ այն կերպ(խստությունը մեծ մասամբ ընտրվում է պայմանականորեն) մոնոտոն է։

Զույգություն[խմբագրել | խմբագրել կոդը]

  • Ֆունկցիա կոչվում է կենտ, եթե տեղի ունի հետևյալ հավասարումը․
Կենտ ֆունկցիայի գրաֆիկը համաչափ է սկզբնակետի նկատմամբ։
  • ֆունկցիան կոչվում է զույգ, եթե տեղի ունի հետևյալ հավասարումը․
Կենտ ֆունկցիայի գրաֆիկը համաչափ է օրդինատների առանցքի նկատմամբ։

Ֆունկցիայի էքստրեմումներ[խմբագրել | խմբագրել կոդը]

Տրված է կետը և , որը ֆունկցիայի համընդհանուր ներքին կետն է։

  • այդ դեպքում կետը կոչվում է մեծագույն արժեք, եթե գոյություն ունի կետի այնպիսի միջակայք, որտեղ՝
    ,
  • կետը կոչվում է փոքրագույն արժեք, եթե գոյություն ունի կետի այնպիսի միջակայք, որտեղ՝
    ։

Պարբերականություն[խմբագրել | խմբագրել կոդը]

ֆունկցիան կոչվում է պարբերական պարբերույթով, եթե ճիշտ է հետևյալ հավասարությունը․

.

Քանի որ պարբերույթով պարբերական ֆունկցիան պարբերական է նաև տիպի պարբերույթներով, ապա -ն ֆունկցիայի նվազագույն պարբերույթն է։

Եթե այդ հավասարությունը ճիշտ չէ ոչ մի դեպքում, ապա ֆունկցիան կոչվում է ոչ պարբերական։

Ֆունկցիաները բազմությունների տեսության մեջ[խմբագրել | խմբագրել կոդը]

Կախված նրանից, թե ինչպիսին է առաջադրման ոլորտի և նշանակումների տարածության բնույթը, տարբերակում են ոլորտների հետևյալ դեպքերը.

  1. վերացական բազմություններ, որոնք առանց որևէ լրացուցիչ կառուցվածքի բազմություններն են,
  2. բազմություններ, որենք օժտված է որոշակի կառուցվածքով։

1-ի դեպքում դիտարկվում են ընդհանուր ձևով արտապատկերումները և լուծվում են ամենատարածված հարցերը, օրինակ՝ բազմությունների համեմատումն ըստ հզորության․ եթե երկու բազմությունների միջև առկա է փոխմիարժեք արտապատկերում (բիեկցիա), ապա այդ բազմությունները կոչվում են էկվիվալենտ կամ համարժեք։ Սա թույլ է տալիս դասակարգել բազմությունները ըստ իրենց հզորության, և դրանցից ամենափոքրը, ըստ մեծացման, հետևյալն են.

  • վերջավոր բազմություններ, այստեղ բազմության հզորությունը համընկնում է տարրերի քանակի հետ,
  • հաշվելի բազմություններ, բնական թվերի բազմությանը համարժեք բազմություններ,
  • կոնտինուումի հզորության բազմություններ (օրինակ, թվային առանցքի հատվածը կամ թվային առանցքը

Այսպիսով, ստացվում են արտապատկերումների հետևյալ տեսակները՝ ըստ սահմանման տիրույթի հզորության.

  • վերջավոր ֆունկցիաներ՝ վերջավոր բազմությունների արտապատկերում,
  • հաջորդականություններ՝ հաշվելի բազմության արտապատկերում կամայական բազմության մեջ,
  • շարունակական ֆունկցիաներ՝ անհաշվելի բազմությունների արտապատկերումը վերջավոր , հաշվելի կամ անհաշվելի բազմությունների մեջ։

2-րդ դեպքում դիտարկման հիմնական առարկան բազմության մեջ տրված կառուցվածքն է (որտեղ բազմության տարրերն օժտված են որոշ լրացուցիչ հատկություններով, որոնք կապում են այդ տարրերը, օրինակ՝ խմբերում, օղակներում, վեկտորական տարածություններում) և այն, ինչ տեղի է ունենում այդ կառուցվածքի հետ արտապատկերման ժամանակ. եթե փոխմիարժեք արտապատկերման դեպքում պահպանվում են տվյալ կառուցվածքի հատկությունները, ապա ասում են, որ երկու կառուցվածքների միջև հաստատվում է իզոմորֆություն։ Այսպիսով, տարբեր բազմությունների մեջ տրված իզոմորֆ կառուցվածքները, ընդհանուր առմամբ, հնարավոր չէ տարբերվել, հետևաբար մաթեմատիկայում ընդունված է ասել, որ տվյալ կառուցվածքը դիտարկվում է «մինչև իզոմորֆիզմի ճշգրտությամբ»։

Գոյություն ունեն բազմաթիվ տարբեր կառուցվածքներ, որոնք կարելի է սահմանել բազմությունների մեջ։ Դրանց թվում են.

  • կարգի կառուցվածք – բազմության տարրերի մասնակի կամ գծային կարգը,
  • հանրահաշվական կառուցվածք – խմբոիդ, կիսախումբ, խումբ, օղակ, մարմին, ամբողջականության ոլորտ կամ դաշտ, որը սահմանված է բազմության տարրերի վրա,
  • մետրիկական տարածության կառուցվածք – բազմության տարրերի համար որոշվում է տարածության ֆունկցիան,
  • Էվկլիդեսյան տարածության կառուցվածք – բազմության տարրերի համար որոշվում է սկալյար արտադրյալը,
  • Տոպոլոգիական տարածության կառուցվածք – բազմության վրա տրվում է «բաց բազմությունների» ամբողջություն (որոնք չեն պարունակում իրենց սահմանը),
  • չափելի տարածության կառուցվածք – բազմության վրա տրվում է սկզբնական բազմության ենթաբազմությունների սիգմա հանրահաշիվը (օրինակ՝ տվյալ սիգմա հանրահաշիվը որպես ֆունկցիայի որոշման տիրույթ նշելով)։

Որոշակի հատկություն ունեցող ֆունկցիաներ կարող են չլինել այն բազմությունների վրա, որոնք չունեն համապատասխան կառուցվածք։ Օրինակ, այնպիսի հատկություն ձևակերպելու համար, ինչպիսին է բազմության վրա սահմանված անընդհատ ֆունկցիան, այդ բազմության վրա անհրաժեշտ է սահմանել տոպոլոգիական կառուցվածք։

Ընդհանրացում[խմբագրել | խմբագրել կոդը]

Մասամբ սահմանված ֆունկցիաներ[խմբագրել | խմբագրել կոդը]

բազմությունից բազմության վրա մասամբ սահմանված ֆունկցիա է կոչվում ֆունկցիան որոշման տիրույթով։

Որոշ հեղինակներ ֆունկցիա ասելով կարող են նկատի ունենալ միայն դրա սահմանափակումը, այնպես որ «սահմանափակ» որոշման տիրույթում ֆունկցիան ամբողջությամբ սահմանված է։ Սա ունի իր առավելությունները, օրինակ՝ հնարավոր է գրառումը, որտեղ , այդ դեպքում նկատի է առնվում՝ ։

Բազմարժեք ֆունկցիաներ[խմբագրել | խմբագրել կոդը]

Արգումենտի տրված արժեքին պետք է համապատասխանի ֆունկցիայի միայն մեկ արժեք, որը կապված է բուն ֆունկցիայի սահմանման հետ։ Բայց, չնայած դրան, հաճախ հնարավոր է հանդիպել այսպես կոչված բազմարժեք ֆունկցիաների։ Իրականում սա միայն այնպիսի ֆունկցիայի հարմար նշանակման ձև է, որի արժեքների տիրույթը ինքնին բազմությունների ընտանիք է։

Դիցուք , որտեղ բազմության ենթաբազմությունների ընտանիքն է։ Այդ դեպքում բազմություն է ցանկացած դեպքում։

Ֆունկցիան միարժեք է, եթե արգումենտի յուրաքանչյուր արժեքի համապատասղանում է ֆունկցիայի մեկ արժեք։ Ֆունկցիան բազմարժեք է, եթե արգումնենտի գոնե մեկ արժեքի համապատասխանում են ֆունկցիայի երկու կամ ավելի արժեքներ[4]։

Ծանոթագրություններ[խմբագրել | խմբագրել կոդը]

  1. В. А. Зорич Глава I. Некоторые общематематические понятия и обозначения. § 3. Функция // Математический анализ. Часть I. — четвертое, исправленное. — М.: МЦНМО, 2002. — С. 13, 22, 25, 31. — 664 с. — ISBN 5-94057-056-9
  2. 2,0 2,1 Колмогоров А. Н., Абрамов А. М., Дудницын Ю. П. Алгебра и начала анализа. Учебник для 10-11 классов средней школы. — М., Просвещение, 1994. — ISBN 5-09-006088-6. — C. 86-87
  3. Г. Е. Шилов Глава 2. Элементы теории множеств. § 2.8. Общее понятие функции. График // Математический анализ (функции одного переменного). — М.: Наука, 1969. — С. 69. — 528 с.
  4. Г. Корн, Т. Корн. Справочник по математике. Для научных работников и инженеров. М., 1973 г. Глава 4. Функции и пределы, дифференциальное и интегральное исчисление. 4.2. Функции. 4.2-2. Функции со специальными свойствами. (а), стр.99.

Գրականություն[խմբագրել | խմբագրել կոդը]

  • Функция. Математический энциклопедический словарь. — Гл. ред. Ю. В. Прохоров. — М.։ «Большая российская энциклопедия», 1995.
  • Клейн Ф. Общее понятие функции. В кн.։ Элементарная математика с точки зрения высшей. Т. 1. М.—Л., 1933.
  • И. А. Лавров, Л. Л. Максимова. Часть I. Теория множеств // Задачи по теории множеств, математической логике и теории алгоритмов. — 3-е изд. — М.։ Физматлит, 1995. — С. 13—21. — 256 с. — ISBN 5-02-014844-X
  • А. Н. Колмогоров, С. В. Фомин. Глава 1. Элементы теории множеств // Элементы теории функций и функционального анализа. — 3-е изд. — М.։ Наука, 1972. — С. 14—18. — 256 с.
  • Дж. Л. Келли. Глава 0. Предварительные сведения // Общая топология. — 2-е изд. — М.։ Наука, 1981. — С. 19—27. — 423 с.
  • В. А. Зорич. Глава I. Некоторые общематематические понятия и обозначения. § 3. Фунция // Математический анализ, часть I. — М.։ Наука, 1981. — С. 23—36. — 544 с.
  • Г. Е. Шилов. Глава 2. Элементы теории множеств. § 2.8. Общее понятие функции. График // Математический анализ (функции одного переменного). — М.։ Наука, 1969. — С. 65—69. — 528 с.
  • А. Н. Колмогоров. «Что такое функция» // «Квант». — М.։ «Наука», 1970. — В. 1. — С. 27—36. — ISSN 0130-2221.
  • Գ․ Մ․ Ֆիխտենգոլց «Մաթեմատիկական անալիզի հիմունքները»Օնլայն հայերեն տարբերակ Archived 2019-01-02 at the Wayback Machine.
  • Bartle Robert (1967)։ The Elements of Real Analysis։ John Wiley & Sons 
  • Bloch Ethan D. (2011)։ Proofs and Fundamentals: A First Course in Abstract Mathematics։ Springer։ ISBN 978-1-4419-7126-5 
  • Cunningham Daniel W. (2016)։ Set theory: A First Course։ Cambridge University Press։ ISBN 978-1-107-12032-7 
  • Gödel Kurt (1940)։ The Consistency of the Continuum Hypothesis։ Princeton University Press։ ISBN 978-0-691-07927-1 
  • Halmos Paul R. (1970)։ Naive Set Theory։ Springer-Verlag։ ISBN 978-0-387-90092-6 
  • Jech Thomas (2003)։ Set theory (Third Millennium ed.)։ Springer-Verlag։ ISBN 978-3-540-44085-7 
  • Spivak Michael (2008)։ Calculus (4th ed.)։ Publish or Perish։ ISBN 978-0-914098-91-1 
  • Anton Howard (1980)։ Calculus with Analytical Geometry։ Wiley։ ISBN 978-0-471-03248-9 
  • Bartle Robert G. (1976)։ The Elements of Real Analysis (2nd ed.)։ Wiley։ ISBN 978-0-471-05464-1 
  • Dubinsky Ed, Harel Guershon (1992)։ The Concept of Function: Aspects of Epistemology and Pedagogy։ Mathematical Association of America։ ISBN 978-0-88385-081-7 
  • Hammack Richard (2009)։ «12. Functions»։ Book of Proof։ Virginia Commonwealth University։ Վերցված է 2012-08-01 
  • Husch Lawrence S. (2001)։ Visual Calculus։ University of Tennessee։ Վերցված է 2007-09-27 
  • Katz Robert (1964)։ Axiomatic Analysis։ D. C. Heath and Company 
  • Kleiner Israel (1989)։ «Evolution of the Function Concept: A Brief Survey»։ The College Mathematics Journal 20 (4): 282–300։ JSTOR 2686848։ doi:10.2307/2686848 
  • Lützen Jesper (2003)։ «Between rigor and applications: Developments in the concept of function in mathematical analysis»։ in Porter Roy։ The Cambridge History of Science: The modern physical and mathematical sciences։ Cambridge University Press։ ISBN 978-0-521-57199-9  An approachable and diverting historical presentation.
  • Malik M. A. (1980)։ «Historical and pedagogical aspects of the definition of function»։ International Journal of Mathematical Education in Science and Technology 11 (4): 489–492։ doi:10.1080/0020739800110404 
  • Reichenbach, Hans (1947) Elements of Symbolic Logic, Dover Publishing Inc., New York, 0-486-24004-5.
  • Ruthing D. (1984)։ «Some definitions of the concept of function from Bernoulli, Joh. to Bourbaki, N.»։ Mathematical Intelligencer 6 (4): 72–77 
  • Thomas George B., Finney Ross L. (1995)։ Calculus and Analytic Geometry (9th ed.)։ Addison-Wesley։ ISBN 978-0-201-53174-9 
Այս հոդվածի կամ նրա բաժնի որոշակի հատվածի սկզբնական կամ ներկայիս տարբերակը վերցված է Քրիեյթիվ Քոմմոնս Նշում–Համանման տարածում 3.0 (Creative Commons BY-SA 3.0) ազատ թույլատրագրով թողարկված Հայկական սովետական հանրագիտարանից։ CC BY-SA icon 80x15.png