Ֆունկցիայի որոշման տիրույթ

Որոշման տիրույթ, բազմություն, որով տրված է ֆունկցիան։ Ֆունկցիան պետք է որոշված լինի այդ բազմության յուրաքանչյուր կետում։

Սահմանում

Եթե ֆունկցիան տրված է $X$ բազմության վրա, և $X$ բազմությանը համապատասխանում է մեկ այլ բազմություն, ապա այս դեպքում $X$բազմությանը անվանում են ֆունկցիայի որոշման տիրույթ կամ որոշման տիրույթ։

$X$ բազմությանն անվանում են $f$ ֆունկցիայի որոշման տիրույթ և նշանակում $D(f)$ կամ $\mathrm {dom} \,f$ ( անգլ.՝ domain — «բազմություն»)։

$f$ ֆունկցիայի որոշման տիրույթը նշելու համար ընդունված է նաև հետևյալ գրելաձևը՝ $f\colon X\to Y$։ Սա նշանակում է, որ $D(f)=\mathrm {X}$ և $f$–ն արժեքներ է ընդունում $Y$ բազմությունից։

Երբեմն հաշվի են առնվում նաև ֆունկցիայի ենթաբազմության վրա սահմանված կանոնները։ Հաճախ այդ կանոնը տրվում է ինչ–որ արտահայտությամբ, որը ցույց է տալիս, թե ինչ գործողություններ պետք է կատարել $x$ թվով $f(x)$ ստանալու համար։

Օրինակներ

Թվային ֆունկցիաները որոշման տիրույթում ամենավառ օրինակներն են։ Չափը և ֆունկցիոնալությունը նույնպես հանդիսանում են որոշման տիրույթի կարևորագույն և բաղկացուցիչ մաս։

Թվային ֆունկցիա

Ընդունված է, որ $X$ թվային բազմությունում որոշված է $f$ թվային ֆունկցիան, եթե այն $X$ բազմության ամեն մի թվի համապատասխանեցնում է որևէ $y$ թիվ՝ $y=f(x)$։

Թվային ֆունկցիաներ. այս ֆունկցիաները բաժանվում են երկու խմբի․

• Իրական փոփոխականի՝ իրական արժեք ունեցող ֆունկցիաներ, որը տրվում է հետևյալ բանաձևով $f\colon \mathbb {R} \to \mathbb {R}$,
• ինչպես նաև կոմպլեքս փոփոխականի ֆունկցիան, որը ունի հետևյալ տեսքը՝ $f\colon \mathbb {C} \to \mathbb {C}$,

որտեղ $\mathbb {R}$–ը իրական թվերի բազմությունն է, իսկ $\mathbb {C}$–ն կոմպլեքս թվերի բազմությունն է։

Գծային ֆունկցիա

$f(x)=x$ ֆունկցիայի որոշման տիրույթը համընկնում է $\mathbb {R}$ կամ $\mathbb {C}$բազմության հետ։

Հիպերբոլ

$f(x)=1/x$ ֆունկցիայի որոշման տիրույթը իրական թվերի բազմությունն է առանց զրոյի՝ $D(f)=\mathbb {R} \setminus \{0\}$ $\mathrm {dom} \,f=\mathbb {C} \setminus \{0\}$,

քանի որ, կամայական արգումենտի դեպքում ֆունկցիայի արժեքների բազմությունում բացառվում է զրո արժեքը՝ կոտորակի հայտարարը զրո արժեք չի կարող ընդհունել։

Ռացիոնալ՝ կոտորակային ֆունկցիաներ

Այս ֆունկցիան ունի հետևյալ տեսքը․

$f(x)={\frac {a_{0}+a_{1}x+\dots +a_{m}x^{m}}{b_{0}+b_{1}x+\dots +b_{n}x^{n}}}$

Այն իրենից ներկայացնում է իրական ուղիղ կամ կոմպլեքս հարթություն բացառած վերջավոր քանակի այն կետերը, որոնք $b_{0}+b_{1}x+\dots +b_{n}x^{n}=0$ հավասարման լուծումներն են։

Այդ կետերը անվանում են $f$ ֆունկցիայի բևեռներ։

Օրինակ՝ $f(x)={\frac {2x}{x^{2}-4}}$ ֆունկցիան որոշված է բոլոր այն կետերում, որտեղ հայտարարը հավասար չէ զրոյի՝ $x^{2}-4\neq 0$։ Հետևաբար ֆունկցիայի որոշման տիրույթը կլինի՝ $D(f)=\mathbb {R} \setminus \{\pm 2\}$ կամ կարող ենք գրել հետևյալ տեսքով՝ $D(f)=(-\varpropto ;-2)\cup (-2;2)\cup (2;+\varpropto )$։

Չափ

Եթե ֆունկցիայի որոշման տիրույթի յուրաքանչյուր կետ ինչ–որ բազմություն է, օրինակ՝ տրված բազմության ենթաբազմությունը, ապա ասում են՝ տրված է բազմության ֆունկցիան։

Չափը ֆունկցիայի այնպիսի օրինակ է, որում որոշման տիրույթ է հանդիսանում տրված բազմության ենթաբազմությունների ինչ որ համախումբ, որը կարող է ներկայանալ օրինակ՝ որպես բազմությունների օղակ կամ կիսաօղակ։

Օրինակ՝ որոշյալ ինտեգրալը ներկայանում է ֆունկցիայի կողմնորոշված տարածություն։

Ֆունկցիոնալ

Թող $\mathbb {F} =\{f\mid f\colon X\to \mathbb {R} \}$ լինի $X$ բազմությունից $\mathbb {R}$ բազմության վրա տրված ֆունկցիա։ Այդ դեպքում սահմանենք $F\colon \mathbb {F} \to \mathbb {R}$ ֆունկկցիա։ Նման ֆունկցիաներին անվանում են ֆունկցիոնալ։

Եթե, օրինակ, $x_{0}\in ~X$ նշված կետի համար ֆունկցիան որոշված է, ապա կարելի է որոշել $F(f)=f(x_{0})$ ֆունկցիան, որը տրված կետում ունի նույն իմաստը, ինչ–որ $f$ ֆունկցիան $x_{0}$ կետում։

Տես նաև

• Ֆունկցիայի արժեքների տիրույթ

Գրականություն

• Функция, математический энциклопедический словарь. — Гл. ред. Ю. В. Прохоров. — М.: «Большая российская энциклопедия», 1995.
• Клейн Ф. Общее понятие функции. В кн.: Элементарная математика с точки зрения высшей. Т.1. М.-Л., 1933
• И. А. Лавров, Л. Л. Максимова. Часть I. Теория множеств // Задачи по теории множеств, математической логике и теории алгоритмов. — 3-е изд.. — М.: Физматлит, 1995. — С. 13 — 21. — 256 с. — ISBN 5-02-014844-X
• А. Н. Колмогоров, С. В. Фомин. Глава 1.. Элементы теории множеств // Элементы теории функций и функционального анализа. — 3-е изд.. — М.: Наука, 1972. — С. 14 — 18. — 256 с.
• Дж. Л. Келли Глава 0. Предварительные сведения // Общая топология. — 2-е изд.. — М.: Наука, 1981. — С. 19 — 27. — 423 с.
• В. А. Зорич Глава I. Некоторые общематематические понятия и обозначения. § 3. Функция // Математический анализ, часть I. — М.: Наука, 1981. — С. 23 — 36. — 544 с.
• Г. Е. Шилов Глава 2. Элементы теории множеств. § 2.8. Общее понятие функции. График // Математический анализ (функции одного переменного). — М.: Наука, 1969. — С. 65 — 69. — 528 с.