Սկալյար արտադրյալ

Վիքիպեդիայից՝ ազատ հանրագիտարանից

Սկալյար արտադրյալ (երբեմն՝ ներքին արտադրյալ), գործողություն երկու վեկտորների միջև. արդյունքը թիվ է, (երբ դիտարկվում են վեկտորներ, թվերը հաճախ անվանվում են սկալյարներ) որը կախված չէ կոորդինատային համակարգից և բնութագրում է վեկտոր-արտադրիչների երկարություններն ու անկյունը դրանց միջև: Տրված գործողությանը համապատասխանում է x վեկտորի երկարության բազմապատկումը x վեկտորի վրա y վեկտորի պրոյեկցիայով: Այս գործողությունը սովորաբար դիտարկվում է որպես տեղափոխական և գծային ըստ յուրաքանչյուր արտադրիչի:

Սովորաբար օգտագործվում է հետևյալ նշանակումներից մեկը.

,
,
,

(կամ Դիրակի նշանակումը[1]), որը հաճախ օգտագործվում է քվանտային մեխանիկայում

.

Սովորաբար ենթադրվում է, որ սկալյար արտադրյալը որոշված է դրականորեն, այսինքն՝

բոլոր a-երի համար ().

Հակառակ դեպքում արտադրյալը կոչվում է ինդեֆինիտ կամ անորոշ:

Սահմանում[խմբագրել | խմբագրել կոդը]

վեկտորական տարածությունում կոմպլեքս թվերի (կամ իրական թվերի ) դաշտի նկատմամբ սկալյար արտադրյալ կոչվում է ֆունկցիան, որը որոշված է ցանկացած տարրերի համար և ընդունում է արժեքներ - ում (կամ -ում): Ֆունկցիան բավարարում է հետևյալ պայմաններին.

  1. տարածության ցանկացած երեք և տարրերի և -ի (կամ -ի) ցանկացած թվերի համար ճիշտ է հետևյալ հավասարությունը. ;
  2. ցանկացած և -ի համար ճիշտ է հավասարությունը;
  3. ցանկացած -ի համար ունենք , ընդ որում

միայն դեպքում:

Հանրահաշվական սահմանում[խմբագրել | խմբագրել կոդը]

n-աչափ իրական տարածությունում a = [a1, a2, ..., an] և b = [b1, b2, ..., bn] երկու վեկտորների սկալյար արտադրյալը սահմանվում է ինչպես.[2]

:

Օրինակ, եռաչափ տարածությունում [1, 3, −5] և [4, −2, −1] վեկտորների արտադրյալը կհաշվարկվի այսպես.

a = [a1, a2, ..., an] և b = [b1, b2, ..., bn] կոմպլեքս վեկտորների համար սկալյար արտադրյալը կլինի.

:

Օրինակ,

Երկրաչափական սահմանում[խմբագրել | խմբագրել կոդը]

Օրինակներ[խմբագրել | խմբագրել կոդը]

Հատկություններ[խմբագրել | խմբագրել կոդը]

  • Անկյունը վեկտորների միջև.
  • Վեկտորների կազմած անկյան գնահատումը.
    բանաձևում նշանը որոշվում է միայն անկյան կոսինուսով (նորմաները միշտ դրական են): Այդ պատճառով սկալյար արտադրյալը > 0, եթե վեկտորների կազմած անկյունը սուր է, և < 0, եթե վեկտորների կազմած անկյունը բութ է:
  • վեկտորի պրոյեկցիան միավոր վեկտորով սահմանված ուղղության վրա.
    , քանի որ
  • և վեկտորների օրթոգոնալության (ուղղահայացության) պայմանը.
  • և երկու վեկտորներով կառուցված զուգահեռագծի մակերեսը հավասար է.

Կոշի - Բունյակովսկու անհավասարություն[խմբագրել | խմբագրել կոդը]

Գծային տարածության ցանկացած և էլեմենտների համար տեղի ունի հետևյալ անհավասարությունը [1]

:

Պատմություն[խմբագրել | խմբագրել կոդը]

Սկալյար արտադրյալը ներմուծվել է Ուիլյամ Համիլտոնի կողմից 1846 թվականին[3], վեկտորական արտադրյալի հետ միաժամանակ, կապված քվատերնիոնների հետ, համապատասխանաբար ինչպես երկու այնպիսի քվատերնիոնների արտադրյալի սկալյար և վեկտորական մասեր, որոնց սկալյար մասը հավասար է զրոյի[4]:


Տես նաև[խմբագրել | խմբագրել կոդը]

Ծանոթագրություններ[խմբագրել | խմբագրել կոդը]

  1. Бра и кет
  2. S. Lipschutz, M. Lipson (2009). Linear Algebra (Schaum’s Outlines) (4th տպ.). McGraw Hill. ISBN 978-0-07-154352-1. 
  3. Crowe M. J. A History of Vector Analysis – The Evolution of the Idea of a Vectorial System. — Courier Dover Publications, 1994. — С. 32. — 270 с. — ISBN 0486679101
  4. Hamilton W. R. On Quaternions; or on a New System of Imaginaries in Algebra // Philosophical Magazine. 3rd Series. —London, 1846. — Т. 29. — С. 30.