Կոսինուսների թեորեմ

Վիքիպեդիայից՝ ազատ հանրագիտարանից
Եռանկյուն

Կոսինուսների թեորեմը կապ է հաստատում եռանկյան կողմերի երկարությունների և երկու կողմերի միջև ընկած անկյան կոսինուսի միջև։

Թեորմի ձևակերպումը.

Եռանկյան ցանկացած կողմի քառակուսին հավասար է մյուս երկու կողմերի քառակուսիների գումարին՝ հանած այդ կողմերի և նրանցով կազմված անկյան կոսինուսի կրկնապատիկ արտադրյալը՝
։

Այն հանդիսանում է Պյութագորասի թեորեմի ընդհանրացված տարբերակը։ Երբ γ անկյունը ուղիղ է (90° կամ π/2 ռադիան), կոսինուսների թեորեմը վերածվում է Պյութագորասի թեորեմին.

Եռանկյան տարբեր կողմերի միջև ընկած անկյունները ընտրելիս՝ այն կստանա հետևյալ տեսքը.

։

Ապացույց եռանկյունաչափական մեթոդով[խմբագրել | խմբագրել կոդը]

Նկար 1

c կողմին ուղղահայաց տարեք (Նկար 1). այդ դեպքում

Երկու կողմերը բազմապատկելով c-ով՝, կստանաք

Մյուս ուղղահայացները տանելով՝ կստանաք

Վերջին երկու հավասարությունները գումարելով՝ կստանաք

Առաջին հավասարումը երկրորդ հավասարումից հանելով՝ կստանանք

,

որը կարելի է պարզեցնել հետևյալ տեսքի.

Այս ապացուցման հարմարությունը կայանում է նրանում, որ կարիք չկա առանձին դիտարկել սուր և բութ γ անկյան դեպքերը։

Ապացույց վեկտորների օգտագործմամբ[խմբագրել | խմբագրել կոդը]

Թեորեմը կարելի է ապացուցել՝ օգտվելով վեկտորների գումարման կանոնից և վեկտորների սկալյար արտադրյալի բանաձևից

։
Նկար 2 — Վեկտորական եռանկյուն

Նկար 2-ից երևում է, որ

։

Հաշվի առնելով դա՝

։

Այսպիսով, ստացանք

որը համարժեք է կոսինուսների թեորեմիհավասարմանը։