Պյութագորասի թեորեմ

Պյութագորասի թեորեմը՝
ուղիղ անկյանը կից a և b կողմերի վրա կառուցված քառակուսիների մակերեսների գումարը հավասար է c ներքնաձիգի վրա կառուցված քառակուսու մակերեսին։

Պյութագորասի թեորեմը ցույց է տալիս ուղղանկյուն եռանկյան կողմերի հարաբերակցությունը։
Թեորեմը ձևակերպվում է հետևյալ կերպ՝ Ուղղանկյուն եռանկյան ներքնաձիգի քառակուսին հավասար է էջերի քառակուսիների գումարին։ Ներքնաձիգը ուղիղ անկյան դիմացի կողմն է, էջերը՝ ուղիղ անկյան կից կողմերը։ Պյութագորասի թեորեմը կարող է գրառվել հավասարման տեսքով, որը ցույց է տալիս եռանկյան a, b էջերի և c ներքնաձիգի միջև եղած կապը՝

a²+b²=c²:

Այս հավասարմանը հաճախ ասում են Պյութագորասի հավասարում։
Պյութագորասի թեորեմը հույն մաթեմատիկոս Պյութագորասի (մ.թ.ա. 570 թ.- մ.թ.ա. 495 թ.) անունով է, ում վերագրվում է նրա հայտնագործումը և ապացուցումը։

Պյութագորասի թեորեմն ունի բազմաթիվ ապացույցներ՝ ավելի շատ, քան որևէ այլ թեորեմ։

Ապացույցներ

Նման եռանկյունների մեթոդ

Դիցուք ABC-ն A ուղիղ անկյունով ուղղանկյուն եռանկյուն է։ A գագաթից տանենք AD բարձրությունը։ ADC և ABC եռանկյունները նման եռանկյուններ են ըստ երկու անկյունների։ Նմանապես BAD եռանկյունը նման է ABC եռանկյանը։ Մտցնենք հետևյալ նշանակումները

$|AB|=a,|AC|=b,|BC|=c\,$

ստացանք

${\frac {a}{c}}={\frac {|BD|}{a}};{\frac {b}{c}}={\frac {|CD|}{b}}.$

ինչը համարժեք է

$a^{2}=c\cdot |BD|;b^{2}=c\cdot |CD|.\,$

Գումարելով կստանանք

$a^{2}+b^{2}=c\cdot \left(|BD|+|CD|\right)=c^{2}.$

կամ

$a^{2}+b^{2}=c^{2}\,$, ինչը և պահանջվում էր ապացուցել։

Պյութագորասի ընդհանրացված թեորեմ

Կոսինուսների թեորեմը երբեմն անվանում են Պյութագորասի ընդհանրացված թեորեմ։ Այս անվանումը պայմանավորված է նրանով, որ կոսինուսների թեորեմը իր մեջ ներառում է նաև Պյութագորասի թեորեմը՝ որպես մասնավոր դեպք։ Իրոք, եթե ABC եռանկյան A անկյունը ուղիղ է, ապա cosA=cos90⁰=0: Կոսինուսների թեորեմով կստացվի՝ a²=b²+c²-2bccos90⁰ , որտեղից էլ a²=b²+c²: Օգտվելով թեորեմից՝ կարելի է պարզել նաև եռանկյան տեսակը՝ սուրանկյուն, ուղղանկյուն կամ բութանկյուն։ Մասնավորապես, եթե

1. a²=b²+c², ապա եռանկյունը ուղղանկյուն է,
2. a² < b²+c² , ապա եռանկյունը սուրանկյուն է,
3. a² > b²+c², ապա եռանկյունը բութանկյուն է։ Ընդ որում a>b, a>c:

Վերադասավորումներով ապացույց

Պյութագորասի թեորեմի ապացույցի տարբերակ` վերադասավորումների միջոցով։ Գոյություն ունեն Պյութագորասի թեորեմի բազմաթիվ ապացույցներ, որոնց ժամանակ օգտագործվում է ուղղանկյուն եռանկյունու կողմերի վրա կառուցված քառակուսիների բաժանումը մասերի և այդ մասերի վերադասավորումներով մյուսների ստացումը՝ մեծ քառակուսուց երկու փոքրերի կամ հակառակը։ Այստեղ բերված է այդ ապացույցներից մեկը։ Վերևի երկու քառակուսիները, որոնք կառուցված են ուղղանկյուն եռանկյան երկու էջերի վրա, կապույտ և կանաչ գույների երանգներով բաժանված են մասերի։ Այդ մասերը վերադասավորելով՝ ստացվում է ներքնաձիգի վրա կառուցված ներքևի քառակուսին։ Սա ցույց է տալիս, որ մեծ քառակուսու մակերեսը հավասար է երկու փոքրերի մակերեսների գումարին։ Ճիշտ է նաև հակառակը՝ ներքևի մեծ քառակուսու մասերը կարելի է տեղավորել վերևի երկու քառակուսիների մեջ։ Պյութագորասի թվեր Պյութագորասի հավասարմանը բավարարող բնական թվերի եռյակին ասում են Պյութագորասի թվեր։ Այսինքն՝ դրանք այն երեք թվերի խմբերն են, որոնցից երկուսի քառակուսիների գումարը հավասար է երրորդի քառակուսուն։ Մեզ ամենահայտնի եռյակն է 3, 4 և 5 թվերի շարքը, քանի որ՝ 32+42=52։ Դրան հաջորդող եռյակներն են՝ 5, 12, 13; 8, 15, 17; 7, 24, 25; 20, 21, 29; 21, 28, 35; 12, 35, 37; 9, 40, 41.... Ծանոթագրություններ Արտաքին հղումներ Pythagorean Theorem (more than 70 proofs from cut-the-knot)