Պյութագորասի թեորեմ

Պյութագորասի թեորեմը՝
ուղիղ անկյանը կից a և b կողմերի վրա կառուցված քառակուսիների մակերեսների գումարը հավասար է c ներքնաձիգի վրա կառուցված քառակուսու մակերեսին։

Պյութագորասի թեորեմը ցույց է տալիս ուղղանկյուն եռանկյան կողմերի հարաբերակցությունը։
Թեորեմը ձևակերպվում է հետևյալ կերպ՝ Ուղղանկյուն եռանկյան ներքնաձիգի քառակուսին հավասար է էջերի քառակուսիների գումարին։ Ներքնաձիգը ուղիղ անկյան դիմացի կողմն է, էջերը՝ ուղիղ անկյան կից կողմերը։

Պյութագորասի թեորեմը կարող է գրառվել հավասարման տեսքով, որը ցույց է տալիս եռանկյան $a,b$ էջերի և $c$ ներքնաձիգի միջև եղած կապը՝

$A^{2}+B^{2}=C^{2}$

Այս հավասարմանը հաճախ ասում են Պյութագորասի հավասարում։
Պյութագորասի թեորեմը հույն մաթեմատիկոս Պյութագորասի (մ.թ.ա. 570 թ. - մ.թ.ա. 495 թ.) անունով է, ում վերագրվում է նրա հայտնագործումը և ապացուցումը։

Պյութագորասի թեորեմն ունի բազմաթիվ ապացույցներ՝ ավելի շատ, քան որևէ այլ թեորեմ։

Ապացույցներ

Նման եռանկյունների մեթոդ

80px‎

Դիցուք ABC եռանկյան համար

$|AB|=a,|AC|=b,|BC|=c\,$

ստացանք

${\frac {a}{c}}={\frac {|BD|}{a}};{\frac {b}{c}}={\frac {|CD|}{b}}.$

ինչը համարժեք է

$a^{2}=c\cdot |BD|;b^{2}=c\cdot |CD|.\,$

Գումարելով կստանանք

$a^{2}+b^{2}=c\cdot \left(|BD|+|CD|\right)=c^{2}.$

կամ

$a^{2}+b^{2}=c^{2}\,$, ինչը և պահանջվում էր ապացուցել։

Պյութագորասի ընդհանրացված թեորեմ

Կոսինուսների թեորեմը երբեմն անվանում են Պյութագորասի ընդհանրացված թեորեմ։ Այս անվանումը պայմանավորված է նրանով, որ կոսինուսների թեորեմը իր մեջ ներառում է նաև Պյութագորասի թեորեմը՝ որպես մասնավոր դեպք։ Իրոք, եթե $ABC$ եռանկյան $A$ անկյունը ուղիղ է, ապա $cosA=cos90^{\circ }=0$: Կոսինուսների թեորեմով կստացվի՝ $a^{2}=b^{2}+c^{2}-2bccos90^{\circ }$, որտեղից էլ $a^{2}=b^{2}+c^{2}$:

Օգտվելով թեորեմից՝ կարելի է պարզել նաև եռանկյան տեսակը՝ սուրանկյուն, ուղղանկյուն կամ բութանկյուն։ Մասնավորապես, եթե

1. $a^{2}=b^{2}+c^{2}$, ապա եռանկյունը ուղղանկյուն է,
2. $a^{2}<b^{2}+c^{2}$, ապա եռանկյունը սուրանկյուն է,
3. $a^{2}>b^{2}+c^{2}$, ապա եռանկյունը բութանկյուն է։ Ընդ որում $a>b,a>c$:

Վերադասավորումներով ապացույց

Պյութագորասի թեորեմի ապացույցի տարբերակ` վերադասավորումների միջոցով։ Գոյություն ունեն Պյութագորասի թեորեմի բազմաթիվ ապացույցներ, որոնց ժամանակ օգտագործվում է ուղղանկյուն եռանկյունու կողմերի վրա կառուցված քառակուսիների բաժանումը մասերի և այդ մասերի վերադասավորումներով մյուսների ստացումը՝ մեծ քառակուսուց երկու փոքրերի կամ հակառակը։ Այստեղ բերված է այդ ապացույցներից մեկը։ Վերևի երկու քառակուսիները, որոնք կառուցված են ուղղանկյուն եռանկյան երկու էջերի վրա, կապույտ և կանաչ գույների երանգներով բաժանված են մասերի։ Այդ մասերը վերադասավորելով՝ ստացվում է ներքնաձիգի վրա կառուցված ներքևի քառակուսին։ Սա ցույց է տալիս, որ մեծ քառակուսու մակերեսը հավասար է երկու փոքրերի մակերեսների գումարին։ Ճիշտ է նաև հակառակը՝ ներքևի մեծ քառակուսու մասերը կարելի է տեղավորել վերևի երկու քառակուսիների մեջ։ Պյութագորասի թվեր Պյութագորասի հավասարմանը բավարարող բնական թվերի եռյակին ասում են Պյութագորասյան թվեր։ Այսինքն՝ դրանք այն երեք թվերի խմբերն են, որոնցից երկուսի քառակուսիների գումարը հավասար է երրորդի քառակուսուն։ Մեզ ամենահայտնի եռյակն է 3, 4 և 5 թվերի շարքը, քանի որ՝ $3^{2}+4^{2}=5^{2}$։ Դրան հաջորդող եռյակներն են՝ 5, 12, 13; 8, 15, 17; 7, 24, 25; 20, 21, 29; 21, 28, 35; 12, 35, 37; 9, 40, 41.... Ծանոթագրություններ Արտաքին հղումներ Մեդիա ֆայլեր Վիքիպահեստ նախագծում կարող եք այս նյութի վերաբերյալ հավելյալ պատկերազարդում գտնել Պյութագորասի թեորեմ կատեգորիայում։ Pythagorean Theorem (more than 70 proofs from cut-the-knot) Այս հոդվածի կամ նրա բաժնի որոշակի հատվածի սկզբնական կամ ներկայիս տարբերակը վերցված է Քրիեյթիվ Քոմմոնս Նշում–Համանման տարածում 3.0 (Creative Commons BY-SA 3.0) ազատ թույլատրագրով թողարկված Հայկական սովետական հանրագիտարանից  (հ․ 9, էջ 340)։