Գծային արտապատկերում

Վիքիպեդիայից՝ ազատ հանրագիտարանից
Jump to navigation Jump to search

Գծային արտապատկերում - փաստարկների և արժեքների ավելի ընդհանուր շարքի համար գծային թվային ֆունկցիայի ընդհանրացում (ավելի հստակ՝ ) տեսքի ֆունկցիաներ:

Գծային արտապատկերումը, ի տարբերություն ոչ գծայինի, բավականին լավ ուսումնասիրված է, ինչը հնարավորություն է տալիս այն հաջողությամբ կիրառել ընդհանուր տեսության վրա, քանի որ նրանց հատկությունները կախված չեն մեծություններից:

Գծային օպերատորը (ձևափոխումը) հանդիսանում է իր վրա վեկտորային տարածության գծային արտապատկերման մասնավոր դեպք։[1]

Ֆորմալ սահմանումը[խմբագրել | խմբագրել կոդը]

վեկտորային տարածության գծային արտապատկերումը դաշտի վրա վեկտորային տարածությունում նույն դաշտի համար (գծային օպերատոր -ից ) կոչվում է արտապատկերում՝

,

որը բավարարում է գծային պայմանին[2]՝

,
.

ցանկացած և ։

Եթե և միևնույն վեկտորային տարածություններ են, ապա -ը ոչ թե գծային արտապատկերում է, այլ գծային ձևափոխություն։

Եթե կատարվում է միայն առաջին հատկությունը, այդ դեպքում նման արտապատկերումը կոչվում է ադդիտիվ։

Գծային արտապատկերումների տարածություն[խմբագրել | խմբագրել կոդը]

Եթե հիմնական դաշտից սկալյարների գումարման և բազմապատկման գործողությունները սահմանենք որպես․

ապա -ից բոլոր գծային արտապատկերումների բազմությունն իրենից կներկայացնի վեկտորային տարածություն, որը սովորաբար նշանակվում է -ով։

Սահմանափակ գծային օպերատորներ։ Օպերատորի նորմա։[խմբագրել | խմբագրել կոդը]

Եթե և վեկտորային տարածությունները հանդիսանում եմ տեղագրական տարածություններ, այսինքն, նրանց վրա որոշված են տեղագրություններ, որոնց նկատմամբ այդ տարածությունների գործողությունները անընդհատ են, ապա կարելի է որոշել սահմանափակ օպերատորի հասկացությունը – գծային օպերատորը կոչվում է սահմանափակ, եթե այն սահմանափակ բազմությունը տեղափոխում է սահմանափակին (մասնավորապես, բոլոր անընդհատ օպերատորները սահմանափակ են): Մասնավորապես, նորմավորված տարածություններում բազմությունները սահմանափակ են, եթե նրա յուրաքանչյուր տարի նորման սահանափակ է, հետևաբար, այս դեպքում օպերատորը կոչվում է սահմանափակ, եթե գոյություն ունի թիվ այնպիսի, որ : Կարելի է ցույց տալ, որ նորմավորված տարածությունների դեպքում օպերատորների անընդհատությունը և սահմանափակությունը համարժեք են։ հաստատուններից ամենափոքրը, որը բավարարում է վերևում նշված պայմանին, կոչվում է օպերատորի նորմա

Օպերատորի նորմայի հասկացության ներմուծումը հնարավորություն կտա դիտարկել գծային օպերատորների տարածությունը որպես նորմավորված գծային տարածություն (կարելի է ստուգել համապատասխան ակսիոմների կատարումը ներմուծված նորմայի համար): Եթե տարածությունը բանախովյան է, ապա գծային օպերատորների տարածությունը նույնպես բանախովյան է։

Հակադարձ օպերատոր[խմբագրել | խմբագրել կոդը]

օպերատորը կոչվում է հակադարձ գծային օպերատորին, եթե տեղի ունի․ ։

օպերատորը, որը հակադարձ է գծային օպերատորին, նույնպես հանդիսանում է գծային օպերատոր։ Եթե -ն գծային անընդհատ օպերատոր է, որն արտապատկերում է մի բանախովյան տարածությունը (կամ -տարածություն) մյուսին, ապա հակադարձ օպերատորը նույնպես հանդիսանում է անընդհատ գծային օպերատոր։

Գծային արտապատկերման[խմբագրել | խմբագրել կոդը]

Գծային արտապատկերման – մատրից, որն արտահայտում է գծային արտապատկերում ինչ-որ բազիսում։ Որպեսզի այն ստանանք, անհրաժեշտ է ներազդել արտապատկերմամբ վեկտորների բազիսի վրա և ստացված վեկտորների (բազիսային վեկտորների պատկերներ) կոորդինատները գրել մատրիցի սյուներում։

Արտապատկերման մատրիցը նման է վեկտորի կոորդինատներին։ Այդ դեպքում վեկտորի վրա արտապատկերման գործողությունը հավասարազոր է մատրիցի և նույն բազիսում այդ վեկտորի կոորդինատի սյան արտադրյալին։

Ընտրենք բազիսը։ Դիցուք -ը կամայական վեկտոր է։ Այն կարելի է ներկայացնել հետևյալ բազիսով՝

,

որտեղ վեկտորի կոորդինատն է նշված բազիսում։ Այստեղ, և հետագայում, առաջարկվում է միավորել ըստ համր ինդեկսների։ Դիցուք -ն ցանկացած գծային արտապատկերում է։ Ներազդելով նախորդ հավասարման վրա երկու կողմերից, կստանանք՝

։

վեկտորը նույնպես ներկայացնենք նշված բազիսում, կստանանք՝

,

որտեղ -րդ վեկտորի -րդ կոորդինատը է։ Նախորդ բանաձևում տեղադրելով ընդլայնում, կստանանք՝

։

արտահայտությունը, որն ընդգրկված է փակագծերի մեջ, նունն է, ինչ որ մատրիցի և սյան արտադրյալը։ Այսպիով, մատրիցը սյան հետ բազմապատկելիս արդյունքում կստացվի վեկտորի կոորդինատը, որն առաջանում է վեկտորի վրա օպերատորի գործողության արդյունքում, ինչն էլ պետք էր ստանալ։

(!) Մեկնաբանություն՝ Եթե ստացված մատրիցում տեղերով փոխարինենք մի քանի տողեր և սյուներ, այդ դեպքում, ընդհանրապես ասած, կստանանք արդեն մեկ այլ մատրից, որը համապատասխանում է բազիսային էլեմենտների հավաքածուին։ Այլ խոսքերով, առաջարկվում է խստորեն պահել բազիսային էլեմենտների հաջորդականությունը։

Փոխակերպման օրինակ[խմբագրել | խմբագրել կոդը]

Վեկտորները ներկայացված են որպես 2 x 2 մատրից, ձևավորված միավոր քառակուսու համապատասխան կողմերով, ձևափոխված զուգահեռակողմի։

Որպես օրինակ դիտարկենք հետևյալ տեսքի 2×2 չափի մատրիցը՝

այն կարող է դիտարկվել որպես մատրից ձևափոխված միավոր քառակուսուց (0, 0), (a, b), (a + c, b + d) և (c, d) գագաթներով զուգահեռակողմի։ Զուգահեռակողմը, որը ցույց է տրված աջ կողմում, ստացվում է 'A մատրիցի և ու վեկտոր-սյուների արտադրյալի արդյունքում։ Այս վեկտորները համապատասխանում են միավոր քառակուսու գագաթներին։ Հաջորդ աղյուսակում բերված են 2 × 2 չափի մատրիցի օրինակներ իրական թվերի համար նրանց համապատասխան R2 գծային ձևափոխության։ Կապույտ գույնով նշանակված են ցանցի սկզբնական կոորդինատները, իսկ կանաչով՝ փոխակերպված։ Կոորդինատների (0,0) սկզբնակետը նշված է սև կետով։

Հորիզոնական տեղաշարժ[en] (m=1.25) Հորիզոնական արտապատկերում Սեղմում[en] (r=3/2) Երկրաչափություն (3/2) Պտույտ (π/6R = 30°)
VerticalShear m=1.25.svg Flip map.svg Squeeze r=1.5.svg Scaling by 1.5.svg Rotation by pi over 6.svg

Կարևոր մասնավոր դեպքեր[խմբագրել | խմբագրել կոդը]

  • Գծային տեսք — գծային արտապատկերում, որի համար :
        ։
  • Գծային էնդոֆորմիզմ — գծային արտապատկերում, որի համար (օպերատոր):
        ։
  • Նույնական օպերատոր (միակ օպերատոր)— օպերատոր, որը արտապատկերում է տարածության յուրաքանչյուր էլեմենտ իր վրա։ Այդ օպերատորի նորման հավասար է մեկի (նորմավորված տարածությունների համար)։
  • Զրոյական արտապատկերում — օպերատոր, որը ձևափոխում է -ի յուրաքանչյուր էլեմենտ -ի զրոյական էլեմենտի։
  • Պրոյեկտոր — օպերատոր, որը ենթատարածության վրա համեմատում է յուրաքանչյուր -ին իր պրոյեկցիայի հետ։
  • Համակցված արտապատկերում արտապատկերմանը — -ի վրա արտապատկերում, տրված հարաբերակցությամբ։
  • Ինքնահամակցված օպերատոր — օպերատոր հիլբերտյան տարածության վրա, որը համընկնում է իր համակցված օպերատորի հետ։ Հաճախ այդպիսի օպերատորները անվանում են հիպերմաքսիմալ էրմիտիկ։
  • Էրմիտիկ կամ սիմետրիկ օպերատոր — այնպիսի օպերատոր, որը որոշված է հիլբերտյան ենթատարածության վրա։ որոշման տիրույթի բոլոր զույգերի համար ։ Ամենուրեք որոշված բոլոր օպերատորների համար այդ հատկությունը համընկնում է ինքնահամակցման հետ։
  • Ունիտար օպերատոր — օպերատոր, որի որոշման և արժեքների տիրույթը ամբողջ տարածությունն է, որը պահպանում է սկալյար արտադրյալը։ Մասնավորապես, ունիտար օպերատորը պահպանում է ցանկացած վեկտորի նորման։ Ունիտարին հակադարձ օպերատորը համընկնում է համակցված օպերատորի հետ։ Ունիտար օպերատորի նորման հավասար է 1-ի։ К իրական դաշտի դեպքում ունիտար օպերատորը կոչվում է օրթոգոնալ։

Առնչվող հասկացություններ[խմբագրել | խմբագրել կոդը]

  • Գծային արտապատկերման միջուկ է կոչվում ենթաբազմությունը, որը արտապատկերվում է զրոյի:
Գծային արտապատկերման միջուկը ձևավորում է ենթատարածություն գծային տարածությունում։
  • գծային արտապատկերման պատկեր կոչվում է հետևյալ ենթաբազմությունը՝
    Գծային արտապատկերման պատկերը ձևավորում է ենթատարածություն գծային տարածությունում։
  • [3] ենթաբազմության պատկեր գծային փոխակերպուման նկատմամբ կոչվում է բազմությունը։
  • և գծային տարածությունների ուղիղ արտադրյալի արտապատկերումը գծային տարածքին կոչվում է բիգծային, եթե այն գծային է նրա երկու արգումենտներով։ մեծ թվերի գծային տարածությունների ուղիղ արտադրյալի արտապատկերումը կոչվում է բազմագծային, եթե այն գծային է իր բոլոր արգումենտներով։
  • օպերատորը կոչվում է գծային տարասեռ (կամ աֆինացված), եթե այն ունի այսպիսի տեսք՝
որտեղ գծային օպերատոր է, իսկ -ն՝ վեկտոր։
  • Դիցուկ ։ ենթատարածությունը կոչվում է ինվարիանտ գծային արտապատկերման նկատմամբ, եթե [4]
Ինվարիանտության չափանիշը։ Դիցուկ -ն այնպիսի ենթատարածություն է, որ տրոհվում է ուղիղ գումարին: Այդ դեպքում ինվարիանտ է գծային արտապատկերման նկատմամբ այն և միայն այն դեպքում, երբ , որտեղ պրոյեկտոր ենթատարածության վրա։
  • Ֆակտոր-օպերատորներ[5]։ Դիցուկ -ը գծային օպերատոր է և դիցուկ -ը ինչ-որ ինվարիանտ է այդ ենթաբազմության օպերատորի նկատմամբ։ Ձևավորենք ֆակտոտարածություն ըստ ենթատարածության։ Այդ դեպքում ֆակտոր-օպերատորը կոչվում է օպերատորը, որը կիրառվում է -ի վրա կանոնով, որտեղ -ը ֆակտոտարածության դասից է և պարունակում է -ը։
  • Երկակի տարածությունների մեջ տրված է դեպի հակառակ ուղությունը գնացող երկակի արտապատկերում։

Օրինակներ[խմբագրել | խմբագրել կոդը]

Միատար գծային օպերատորների օրինակներ՝

  • դիֆերենցացման օպերատոր՝ ;
  • ինտեգրման օպերատոր՝ ;
  • որոշակի ֆունկցիայի վրա բազմապատկման օպերատոր՝ ;
  • տրված «կշռով» ինտեգրացման օպերատոր՝ ;
  • կետում ֆունկցիայի արժեքի հաշվման օպերատոր՝ [6];
  • վեկտորի և մատրիցի արտադրյալի օպերատոր՝ ;
  • վեկտորի շրջադարձի օպերատոր։

Ոչ միատարր գծային օպերատորների օրինակներ՝

  • ցանկացած աֆինյան արտապատկերումներ;
  • ;
  • ;
  • ;

որտեղ , և -ն որոշակի ֆունկցիաներ են, իսկ -ն օպերատորի կողմից փոխակերպված ֆունկցիա։

Ծանոթագրություններ[խմբագրել | խմբագրել կոդը]

  1. Э.Б. Винберг Курс алгебры. — МЦНМО, 2013. — С. 234. — 590 с. — ISBN 978-5-4439-0209-8, ББК 22.14
  2. Шилов, 1961, էջ 203
  3. M-ը կարող է չլինել ենթատարածություն։
  4. Կամ: ։
  5. Օգտագործվում է նաև ֆակտորօպերատորներ գրառումը։
  6. Որոշ դեպքերում նշանակվում է -ով։