Վեկտորական արտադրյալ

Վեկտորական արտադրյալ

Վեկտորական արտադրյալ կամ երկրաչափական արտադրյալ, էվկլիդեսյան եռաչափ տարածության մեջ երկու վեկտորների արտադրյալ։ Իրենից ներկայացնում է այդ երկու վեկտորներին ուղղահայաց վեկտոր, որը երկարությունը հավասար է նախնական վեկտորներով կազմված զուգահեռագծի մակերեսին, իսկ ուղղությունը որոշվում է նկարում տրված ձևով։ Եթե վեկտորներից գոնե մեկը զրոյական է (հավասար է զրոյի), ապա արտադրյալը նույնպես հավասար է զրոյի։

Երկու վեկտորների արտադրյալը հաշվելու համար, պիտի նախապես տալ տարածական կողմնորոշում։ Նախապես որոշել, թե վեկտորների եռյակներից որն է աջ, և որը ձախ, իսկ կոորդինատային համակարգը նշելու կարիք չկա, քանի որ դրանից արդյունքը կախված չէ։

Ի տարբերություն սկալյար արտադրյալի վեկտորական արտադրյալի արդյունքում ստացվում է վեկտոր։

Օգտագործվում է մի շարք տեխնիկական և ֆիզիկական հաշվարկներում։ Օրինակ․ իմպուլսի մոմենտը կամ Լորենցի ուժը գրառվում են վեկտորական արտադրյալի միջոցով։

Պատմություն

Վեկտորական արտադրյալը, սկալյար արտադրյալի հետ միասին, ներմուծվել է Համիլտոնի կողմից 1846 թվականին, քվատերնիոնների հաշվարկների հետ կապված։ Երկու քվատերնիոնների սկալյար արտադրյալը հավասար է զրոյի։

Սահմանում

${\vec {a}}$ վեկտրի և ${\vec {b}}$ վեկտրի վեկտորական արտադրյալ կոչվում է ${\vec {c}}$վեկտորը, որը բավարարաում է հետևյալ պայմաններին։

• ${\vec {c}}$ վեկտրի երկարությունը հավասար է ${\vec {a}}$ և ${\vec {b}}$ վեկտորների երկարությունների և նրանցով կազմված անկյան սինուսի արտադրյալին (այսինքն, նրանցով կառուցված զուգահեռագծի մակերեսին)։
• ${\vec {c}}$վեկտորը ուղղահայաց է ${\vec {a}}$ և ${\vec {b}}$վեկտորներից յուրաքանչյուրին։
• ${\vec {c}}$-ն այնպես է ուղղված, որ ${\vec {a}},{\vec {b}},{\vec {c}}$ եռյակը հանդիսանում է աջ եռյակ^[⇨].

Նշանակվում է․

${\vec {c}}=[{\vec {a}}{\vec {b}}]=[{\vec {a}},\;{\vec {b}}]={\vec {a}}\times {\vec {b}}={\vec {a}}\wedge {\vec {b}}.$

Աջ և ձախ վեկտորական եռյակները էվկլիդեսյան եռաչափ տարածությունում

Վեկտորների ուղղության որոշումը աջ ձեռքի կանոնով.

Դիտարկենք գծայնորեն իրարից անկախ, ${\vec {a}},{\vec {b}},{\vec {c}}$ վեկտորների եռյակը էվկլիդռսյան եռաչափ տարածությունում։ Կողմնորոշված տարածությունում դրանք լինելու են կամ աջ, կամ ձախ կողմնորոշման։

Երկրաչափական սահմանում

Տեղափոխենք վեկտորներն այնպես, որ նրանց սկզբնական կետերը համընկնեն։ Կարգավորված ${\vec {a}},{\vec {b}},{\vec {c}}$ եռյակը կոչվելու է աջ, եթե սկսած ${\vec {c}}$վեկտրի վերջից, ամենակարճ ${\vec {a}}$-ից ${\vec {b}}$պտույտը դիտորդին երևում է ժամսլաքին հակառակ ուղղությամբ։ Եթե ամենկրճ պտույտը երևում է ժամսլաքի ուղղությամբ,եռյակը կոչվում է ձախ։

Ձեռքի օգնությամբ որոշում

Եռյակը կարելի է որոշել նաև մարդու աջ ձեռքով, որտեղից էլ առաջացել է (աջ ձեռքի կանոն) արտահայտությունը։ Նկարի մեջ ${\vec {a}}$, ${\vec {b}}$, ${\vec {a}}\times {\vec {b}}$ եռյակը հանդիսանում է աջ եռյակ։

Հանրանաշվական որոշում

Պետք է կազմել մատրից, որի առաջին տողը կազմված է ${\vec {a}}$ վեկտորի կոորդինտներից, երկրորդը՝ ${\vec {b}}$ վեկտորի և երրորդը՝ ${\vec {c}}$վեկտորի կոորդինատներից։ Այնուհետև, որոշիչի նշանից կախված, կարելի է կատարել հետևյալ հետևությունները։

• Եթե որոշիչը դրական է, ապա եռյակն ունի կոորդինատային համակարգի ունեցած կողմնորոշումը։
• Եթե որոշիչը բացասական է, ապա եռյակը հակառակ է ուղղված կոորդինատային համակարգի ուղղությանը
• Եթե որոշիչը հավասար է զրոյի,ապա վեկտորները գծայնորեն կախման մեջ են։

Հատկություններ

Վեկտորական արտադրյալի երկրաչափական հատկություններ

Նկ․1 Զուգահեռագծի մակերեսը հավասար է վեկտորների արտադրյալի մոդուլին։

Նկ․2 Զուգահեռանիստի ծավալը հավասար է երկու վեկտորների վեկտորական արտադևյալի և երրեդի սկալյալ արտադրյալին։

• Զուգահեռագծի $S$ մակերեսը հավասար է նույն սկիզբն ունեցող $[{\vec {a}},\;{\vec {b}}]$վեկտորների վեկտորական արտադրյալի մոդուլին։ (տես. Նկ․1)
• Եթե ${\vec {e}}$ միավոր վեկտորըընտրված է այնպես, որ ${\vec {a}},{\vec {b}},{\vec {e}}$ եռյակը աջ է, իսկ $S$-ը զուգահեռագծի մակերեսն է, ապա վեկտորական արտադրյալի համար ճիշտ է հետևյալ արտահայտությունը

$[{\vec {a}},\;{\vec {b}}]=S\cdot {\vec {e}}.$

• Եթե ${\vec {c}}$-ն կամայական վեկտոր է, $\pi$-ն կամայական հարթություն, որը պարունկում է այդ վեկտորը, ${\vec {g}}$-ն միավոր վեկտոր է, օրթոգոնալ է $\pi$հարթության նկատմամբ, և ${\vec {e}},{\vec {c}},{\vec {g}}$եռյակը աջ է, ապա $\pi$ հարթության վրա գտնվող ցանկացած ${\vec {a}}$ վեկտորի համար ճիշտ է հետևյալ արատահայտությունը։

$[{\vec {a}},\;{\vec {c}}]=\mathrm {Pr} _{\vec {e}}{\vec {a}}\cdot |{\vec {c}}|\cdot {\vec {g}}.$

• Վեկտորական և սկալյար արտադրյալների օգնությամբ կարելի է հաշվել նույն սկիզբն ունեցող վեկտորներով կազմված զուգահեռանիստի ծավալը (տես նկ․ 2)։ Այդպիսի արտադրյալը կոչվում է վեկտորների խառը արտադրյալ։

$V=|\langle {\vec {a}},\;[{\vec {b}},\;{\vec {c}}]\rangle |.$

Դա կարելի է անել երկու եղանակով։

$V=\langle [{\vec {a}},\;{\vec {b}}],\;{\vec {c}}\rangle =\langle {\vec {a}},\;[{\vec {b}},\;{\vec {c}}]\rangle .$

Վեկտորական արտադրյալի հանրահաշվական հատկություններ

Նեկայացման ձև	Նկարագրություն
$[{\vec {a}},\;{\vec {b}}]=-[{\vec {b}},{\vec {a}}]$	Տեղափոխելի չէ։
$[\alpha \cdot {\vec {a}},\;{\vec {b}}]=[{\vec {a}},\;\alpha \cdot {\vec {b}}]=\alpha \cdot [{\vec {a}},\;{\vec {b}}]$	Զուգորդականություն սկալյարով բազմապատկելիս։
$[{\vec {a}}+{\vec {b}},\;{\vec {c}}]=[{\vec {a}},\;{\vec {c}}]+[{\vec {b}},\;{\vec {c}}]$	Բաշխականություն վեկտրով բազմապատկելիս։
$[[{\vec {a}},\;{\vec {b}}],\;{\vec {c}}]+[[{\vec {b}},\;{\vec {c}}],\;{\vec {a}}]+[[{\vec {c}},{\vec {a}}],\;{\vec {b}}]=0$	Յակոբիի նույնություն։
$[{\vec {a}},\;{\vec {a}}]={\vec {0}}$	Նույն վեկտրի ինքն իր հետ վեկտորական արտադրյալը։
$[{\vec {a}},\;[{\vec {b}},\;{\vec {c}}]]={\vec {b}}\cdot \langle {\vec {a}},\;{\vec {c}}\rangle -{\vec {c}}\cdot \langle {\vec {a}},\;{\vec {b}}\rangle$	Լագրանժի նույնություն։
$|[{\vec {a}},\,{\vec {b}}]|^{2}+\langle {\vec {a}},\,{\vec {b}}\rangle ^{2}=|{\vec {a}}|^{2}\cdot |{\vec {b}}|^{2}$	Մուլտիպլիկատիվության մասնավոր դեպք։
$\langle [{\vec {a}},\,{\vec {b}}],\,{\vec {c}}\rangle =\langle {\vec {a}},\,[{\vec {b}},\,{\vec {c}}]\rangle$	Արդյունքը կոչվում է վեկտորների խառը արտադրյալ։

Տես նաև

Վեկտորների արտադրյալ

• Վեկտորների սկալյար արտադրյալ
• Վեկտորների խառը արտադրյալ (միայն $\mathbb {R} ^{3}$-ում)
• Կրկնակի արտադրյալ (վեկտորական-վեկտորական միայն $\mathbb {R} ^{3}$-ում)

Այլ

• Ռոտոր
• Դիվերգենց

Գրականություն

• 1. Кочин Н.Е. Векторное исчисление и начала тензорного исчисления. АН СССР: Изд-во «НАУКА», М. 1965.

Արտաքին հղումներ

• Многомерное векторное произведение
• Векторное произведение и его свойства. Примеры решения задач
• В. И. Гервидс (10.03.2011)։ «Правое и левое вращение» (flash)։ НИЯУ МИФИ։ Վերցված է 2011-05-03