Վեկտորական արտադրյալ

Վիքիպեդիայից՝ ազատ հանրագիտարանից
Jump to navigation Jump to search
Վեկտորական արտադրյալ

Վեկտորական արտադրյալ կամ երկրաչափական արտադրյալ, էվկլիդեսյան եռաչափ տարածության մեջ երկու վեկտորների արտադրյալ։ Իրենից ներկայացնում է այդ երկու վեկտորներին ուղղահայաց վեկտոր, որը երկարությունը հավասար է նախնական վեկտորներով կազմված զուգահեռագծի մակերեսին, իսկ ուղղությունը որոշվում է նկարում տրված ձևով։ Եթե վեկտորներից գոնե մեկը զրոյական է (հավասար է զրոյի), ապա արտադրյալը նույնպես հավասար է զրոյի։

Երկու վեկտորների արտադրյալը հաշվելու համար, պիտի նախապես տալ տարածական կողմնորոշում։ Նախապես որոշել, թե վեկտորների եռյակներից որն է աջ, և որը ձախ, իսկ կոորդինատային համակարգը նշելու կարիք չկա, քանի որ դրանից արդյունքը կախված չէ։

Ի տարբերություն սկալյար արտադրյալի վեկտորական արտադրյալի արդյունքում ստացվում է վեկտոր։

Օգտագործվում է մի շարք տեխնիկական և ֆիզիկական հաշվարկներում։ Օրինակ․ իմպուլսի մոմենտը կամ Լորենցի ուժը գրառվում են վեկտորական արտադրյալի միջոցով։

Պատմություն[խմբագրել | խմբագրել կոդը]

Վեկտորական արտադրյալը, սկալյար արտադրյալի հետ միասին, ներմուծվել է Համիլտոնի կողմից 1846 թվականին[1], քվատերնիոնների հաշվարկների հետ կապված։ Երկու քվատերնիոնների սկալյար արտադրյալը հավասար է զրոյի[2]։

Սահմանում[խմբագրել | խմբագրել կոդը]

վեկտրի և վեկտրի վեկտորական արտադրյալ կոչվում է վեկտորը, որը բավարարաում է հետևյալ պայմաններին։

  • վեկտրի երկարությունը հավասար է և վեկտորների երկարությունների և նրանցով կազմված անկյան սինուսի արտադրյալին (այսինքն, նրանցով կառուցված զուգահեռագծի մակերեսին)։
  • վեկտորը ուղղահայաց է և վեկտորներից յուրաքանչյուրին։
  • -ն այնպես է ուղղված, որ եռյակը հանդիսանում է աջ եռյակ[⇨].

Նշանակվում է․

Աջ և ձախ վեկտորական եռյակները էվկլիդեսյան եռաչափ տարածությունում[խմբագրել | խմբագրել կոդը]

Վեկտորների ուղղության որոշումը աջ ձեռքի կանոնով.

Դիտարկենք գծայնորեն իրարից անկախ, վեկտորների եռյակը էվկլիդռսյան եռաչափ տարածությունում։ Կողմնորոշված տարածությունում դրանք լինելու են կամ աջ, կամ ձախ կողմնորոշման։

Երկրաչափական սահմանում[խմբագրել | խմբագրել կոդը]

Տեղափոխենք վեկտորներն այնպես, որ նրանց սկզբնական կետերը համընկնեն։ Կարգավորված եռյակը կոչվելու է աջ, եթե սկսած վեկտրի վերջից, ամենակարճ -ից պտույտը դիտորդին երևում է ժամսլաքին հակառակ ուղղությամբ։ Եթե ամենկրճ պտույտը երևում է ժամսլաքի ուղղությամբ,եռյակը կոչվում է ձախ։

Ձեռքի օգնությամբ որոշում[խմբագրել | խմբագրել կոդը]

Եռյակը կարելի է որոշել նաև մարդու աջ ձեռքով, որտեղից էլ առաջացել է (աջ ձեռքի կանոն) արտահայտությունը։ Նկարի մեջ , , եռյակը հանդիսանում է աջ եռյակ։

Հանրանաշվական որոշում[խմբագրել | խմբագրել կոդը]

Պետք է կազմել մատրից, որի առաջին տողը կազմված է վեկտորի կոորդինտներից, երկրորդը՝ վեկտորի և երրորդը՝ վեկտորի կոորդինատներից։ Այնուհետև, որոշիչի նշանից կախված, կարելի է կատարել հետևյալ հետևությունները։

  • Եթե որոշիչը դրական է, ապա եռյակն ունի կոորդինատային համակարգի ունեցած կողմնորոշումը։
  • Եթե որոշիչը բացասական է, ապա եռյակը հակառակ է ուղղված կոորդինատային համակարգի ուղղությանը
  • Եթե որոշիչը հավասար է զրոյի,ապա վեկտորները գծայնորեն կախման մեջ են։

Հատկություններ[խմբագրել | խմբագրել կոդը]

Վեկտորական արտադրյալի երկրաչափական հատկություններ[խմբագրել | խմբագրել կոդը]

Նկ․1 Զուգահեռագծի մակերեսը հավասար է վեկտորների արտադրյալի մոդուլին։
Նկ․2 Զուգահեռանիստի ծավալը հավասար է երկու վեկտորների վեկտորական արտադևյալի և երրեդի սկալյալ արտադրյալին։
  • Զուգահեռագծի մակերեսը հավասար է նույն սկիզբն ունեցող վեկտորների վեկտորական արտադրյալի մոդուլին։ (տես. Նկ․1)
  • Եթե միավոր վեկտորըընտրված է այնպես,որ եռյակը աջ է, իսկ -ը զուգահեռագծի մակերեսն է, ապա վեկտորական արտադրյալի համար ճիշտ է հետևյալ արտահայտությունը
  • Եթե -ն կամայական վեկտոր է, -ն կամայական հարթություն, որը պարունկում է այդ վեկտորը, -ն միավոր վեկտոր է, օրթոգոնալ է հարթության նկատմամբ, և եռյակը աջ է, ապա հարթության վրա գտնվող ցանկացած վեկտորի համար ճիշտ է հետևյալ արատահայտությունը։

Դա կարելի է անել երկու եղանակով։

Վեկտորական արտադրյալի հանրահաշվական հատկություններ[խմբագրել | խմբագրել կոդը]

Նեկայացման ձև Նկարագրություն
Տեղափոխելի չէ։
Զուգորդականություն սկալյարով բազմապատկելիս։
Բաշխականություն վեկտրով բազմապատկելիս։
Յակոբիի նույնություն։
Նույն վեկտրի ինքն իր հետ վեկտորական արտադրյալը։
Լագրանժի նույնություն։
Մուլտիպլիկատիվության մասնավոր դեպք։
Արդյունքը կոչվում է վեկտորների խառը արտադրյալ։

Տես նաև[խմբագրել | խմբագրել կոդը]

Վեկտորների արտադրյալ

  • Վեկտորների սկալյար արտադրյալ
  • Վեկտորների խառը արտադրյալ (միայն -ում)
  • Կրկնակի արտադրյալ (վեկտորական-վեկտորական միայն -ում)

Այլ

Ծանոթագրություն[խմբագրել | խմբագրել կոդը]

  1. Crowe M. J. A History of Vector Analysis – The Evolution of the Idea of a Vectorial System. — Courier Dover Publications, 1994. — С. 32. — 270 с. — ISBN 0486679101
  2. Hamilton W. R. On Quaternions; or on a New System of Imaginaries in Algebra // Philosophical Magazine. 3rd Series. —London, 1846. — Т. 29. — С. 30.

Գրականություն[խմբագրել | խմբագրել կոդը]

    1. Кочин Н.Е. Векторное исчисление и начала тензорного исчисления. АН СССР: Изд-во «НАУКА», М. 1965.

Արտաքին հղումներ[խմբագրել | խմբագրել կոդը]