Վեկտորական արտադրյալ

Վեկտորական արտադրյալ կամ երկրաչափական արտադրյալ, էվկլիդեսյան եռաչափ տարածության մեջ երկու վեկտորների արտադրյալ։ Իրենից ներկայացնում է այդ երկու վեկտորներին ուղղահայաց վեկտոր, որը երկարությունը հավասար է նախնական վեկտորներով կազմված զուգահեռագծի մակերեսին, իսկ ուղղությունը որոշվում է նկարում տրված ձևով։ Եթե վեկտորներից գոնե մեկը զրոյական է (հավասար է զրոյի), ապա արտադրյալը նույնպես հավասար է զրոյի։
Երկու վեկտորների արտադրյալը հաշվելու համար, պիտի նախապես տալ տարածական կողմնորոշում։ Նախապես որոշել, թե վեկտորների եռյակներից որն է աջ, և որը ձախ, իսկ կոորդինատային համակարգը նշելու կարիք չկա, քանի որ դրանից արդյունքը կախված չէ։
Ի տարբերություն սկալյար արտադրյալի վեկտորական արտադրյալի արդյունքում ստացվում է վեկտոր։
Օգտագործվում է մի շարք տեխնիկական և ֆիզիկական հաշվարկներում։ Օրինակ․ իմպուլսի մոմենտը կամ Լորենցի ուժը գրառվում են վեկտորական արտադրյալի միջոցով։
Պատմություն
[խմբագրել | խմբագրել կոդը]Վեկտորական արտադրյալը, սկալյար արտադրյալի հետ միասին, ներմուծվել է Համիլտոնի կողմից 1846 թվականին[1], քվատերնիոնների հաշվարկների հետ կապված։ Երկու քվատերնիոնների սկալյար արտադրյալը հավասար է զրոյի[2]։
Սահմանում
[խմբագրել | խմբագրել կոդը]վեկտրի և վեկտրի վեկտորական արտադրյալ կոչվում է վեկտորը, որը բավարարաում է հետևյալ պայմաններին։
- վեկտրի երկարությունը հավասար է և վեկտորների երկարությունների և նրանցով կազմված անկյան սինուսի արտադրյալին (այսինքն, նրանցով կառուցված զուգահեռագծի մակերեսին)։
- վեկտորը ուղղահայաց է և վեկտորներից յուրաքանչյուրին։
- -ն այնպես է ուղղված, որ եռյակը հանդիսանում է աջ եռյակ[⇨].
Նշանակվում է․
Աջ և ձախ վեկտորական եռյակները էվկլիդեսյան եռաչափ տարածությունում
[խմբագրել | խմբագրել կոդը]
Դիտարկենք գծայնորեն իրարից անկախ, վեկտորների եռյակը էվկլիդռսյան եռաչափ տարածությունում։ Կողմնորոշված տարածությունում դրանք լինելու են կամ աջ, կամ ձախ կողմնորոշման։
Երկրաչափական սահմանում
[խմբագրել | խմբագրել կոդը]Տեղափոխենք վեկտորներն այնպես, որ նրանց սկզբնական կետերը համընկնեն։ Կարգավորված եռյակը կոչվելու է աջ, եթե սկսած վեկտրի վերջից, ամենակարճ -ից պտույտը դիտորդին երևում է ժամսլաքին հակառակ ուղղությամբ։ Եթե ամենկրճ պտույտը երևում է ժամսլաքի ուղղությամբ,եռյակը կոչվում է ձախ։
Ձեռքի օգնությամբ որոշում
[խմբագրել | խմբագրել կոդը]Եռյակը կարելի է որոշել նաև մարդու աջ ձեռքով, որտեղից էլ առաջացել է (աջ ձեռքի կանոն) արտահայտությունը։ Նկարի մեջ , , եռյակը հանդիսանում է աջ եռյակ։
Հանրանաշվական որոշում
[խմբագրել | խմբագրել կոդը]Պետք է կազմել մատրից, որի առաջին տողը կազմված է վեկտորի կոորդինտներից, երկրորդը՝ վեկտորի և երրորդը՝ վեկտորի կոորդինատներից։ Այնուհետև, որոշիչի նշանից կախված, կարելի է կատարել հետևյալ հետևությունները։
- Եթե որոշիչը դրական է, ապա եռյակն ունի կոորդինատային համակարգի ունեցած կողմնորոշումը։
- Եթե որոշիչը բացասական է, ապա եռյակը հակառակ է ուղղված կոորդինատային համակարգի ուղղությանը
- Եթե որոշիչը հավասար է զրոյի,ապա վեկտորները գծայնորեն կախման մեջ են։
Հատկություններ
[խմբագրել | խմբագրել կոդը]Վեկտորական արտադրյալի երկրաչափական հատկություններ
[խմբագրել | խմբագրել կոդը]

- Զուգահեռագծի մակերեսը հավասար է նույն սկիզբն ունեցող վեկտորների վեկտորական արտադրյալի մոդուլին։ (տես. Նկ․1)
- Եթե միավոր վեկտորըընտրված է այնպես, որ եռյակը աջ է, իսկ -ը զուգահեռագծի մակերեսն է, ապա վեկտորական արտադրյալի համար ճիշտ է հետևյալ արտահայտությունը
- Եթե -ն կամայական վեկտոր է, -ն կամայական հարթություն, որը պարունկում է այդ վեկտորը, -ն միավոր վեկտոր է, օրթոգոնալ է հարթության նկատմամբ, և եռյակը աջ է, ապա հարթության վրա գտնվող ցանկացած վեկտորի համար ճիշտ է հետևյալ արատահայտությունը։
- Վեկտորական և սկալյար արտադրյալների օգնությամբ կարելի է հաշվել նույն սկիզբն ունեցող վեկտորներով կազմված զուգահեռանիստի ծավալը (տես նկ․ 2)։ Այդպիսի արտադրյալը կոչվում է վեկտորների խառը արտադրյալ։
Դա կարելի է անել երկու եղանակով։
Վեկտորական արտադրյալի հանրահաշվական հատկություններ
[խմբագրել | խմբագրել կոդը]Նեկայացման ձև | Նկարագրություն |
---|---|
Տեղափոխելի չէ։ | |
Զուգորդականություն սկալյարով բազմապատկելիս։ | |
Բաշխականություն վեկտրով բազմապատկելիս։ | |
Յակոբիի նույնություն։ | |
Նույն վեկտրի ինքն իր հետ վեկտորական արտադրյալը։ | |
Լագրանժի նույնություն։ | |
Մուլտիպլիկատիվության մասնավոր դեպք։ | |
Արդյունքը կոչվում է վեկտորների խառը արտադրյալ։ |
Տես նաև
[խմբագրել | խմբագրել կոդը]Վեկտորների արտադրյալ
- Վեկտորների սկալյար արտադրյալ
- Վեկտորների խառը արտադրյալ (միայն -ում)
- Կրկնակի արտադրյալ (վեկտորական-վեկտորական միայն -ում)
Այլ
Ծանոթագրություն
[խմբագրել | խմբագրել կոդը]- ↑ Crowe M. J. A History of Vector Analysis – The Evolution of the Idea of a Vectorial System. — Courier Dover Publications, 1994. — С. 32. — 270 с. — ISBN 0486679101
- ↑ Hamilton W. R. On Quaternions; or on a New System of Imaginaries in Algebra // Philosophical Magazine. 3rd Series. —London, 1846. — Т. 29. — С. 30.
Գրականություն
[խմբագրել | խմբագրել կոդը]- Кочин Н.Е. Векторное исчисление и начала тензорного исчисления. АН СССР: Изд-во «НАУКА», М. 1965.
Արտաքին հղումներ
[խմբագրել | խմբագրել կոդը]- Многомерное векторное произведение Արխիվացված 2015-09-05 Wayback Machine
- Векторное произведение и его свойства. Примеры решения задач
- В. И. Гервидс — Физические демонстрации (10.03.2011). «Правое и левое вращение» (flash). НИЯУ МИФИ. Վերցված է 2011 թ․ մայիսի 3-ին.
![]() | Վիքիպահեստն ունի նյութեր, որոնք վերաբերում են «Վեկտորական արտադրյալ» հոդվածին։ |
|