Զուգահեռագիծ

Վիքիպեդիայից՝ ազատ հանրագիտարանից
Զուգահեռագիծ

Զուգահեռագիծ է կոչվում այն քառանկյունը, որի հանդիպակաց կողմերը զույգ առ զույգ զուգահեռ են, այսինքն, հանդիպակաց կողմերը գտնվում են զուգահեռ ուղիղների վրա։ Զուգահեռագծի մասնավոր օրինակներ են ուղղանկյունը,քառակուսին և շեղանկյունը։

Զուգահեռագծի հիմնական հատկությունները[խմբագրել]

  • Զուգահեռագծի հանդիպակաց կողմերը հավասար են։
  • ։ \left|AB\right| = \left|CD\right|, \left|AD\right| = \left|BC\right|.

Ապացույց։ AB || CD => < ABD = < BDC, հետևում է խաչադիր անկյունների հավասարությունից AD || BC => < ADB = < DBC, DB-ն ընդհանուր է ուրեմն ABD և BCD եռանկյունները հավասար են։ Դրանից հետևում է, որ AD - ն հավասար է BC - ին և AB -ն հավասար է BC -ին։

  • Զուգահեռագծի հանդիպակաց անկյունները հավասար են։
  • ։ \angle A = \angle C, \angle B = \angle D.
  • Զուգահեռագծի անկյունագծերը հատվում են և հատման կետում կիսվում են։
  • ։ \left|AE\right| = \left|EC\right|, \left|BE\right| = \left|ED\right|.

Ապացույց՝ BC = AD ըստ առաջին հատկության, <ADE = < EBC, < ECB = < EAD (խաչադիր անկյուններ) => եռանկյուններ AED -ն և BEC - ն հավասար են, ուրեմն AE = EC, DE = EB։

  • Զուգահեռագծի կողմին առընթեր անկյունների գումարը 180° է ։
  • ։ \angle A + \angle B = 180^o , \angle B + \angle C = 180^o , \angle C + \angle D = 180^o , \angle A + \angle D = 180^o .
  • Զուգահեռագծի ցանկացած անկյունագիծ այն բաժանում է 2 հավասար եռանկյունների։
  • ։ \Delta ABC = \Delta ADC , \Delta ABD = \Delta BDC.
  • Զուգահեռագծի անկյունագծերի հատման կետը հանդիսանում է զուգահեռագիծի սիմետրիայի կենտրոնը։
  • Զուգահեռագծի անկյունների գումարը հավասար է 360°։
  • Զուգահեռագծի անկյունագծերի քառակուսիների գումարը հավասար է բոլոր կողմերի քառակուսիների գումարին։
   AC=d_1 , BD=d_2 , AD=BC=a , AB=DC=b.
d_1^2+d_2^2 = 2(a^2 + b^2).

Զուգահեռագծի հայտանիշները[խմբագրել]

ABCD քառանկյունը զուգահեռագիծ է, եթե կատարվում է հետևյալ պայմաններից որևէ մեկը՝

  • Հանդիպակաց կողմերը զույգ առ զույգ հավասար են.
  • ։ \left|AB\right| = \left|CD\right|, \left|AD\right| = \left|BC\right|.
  • Հանդիպակաց անկյունները զույգ առ զույգ հավասար են.
  • ։ \angle A = \angle C, \angle B = \angle D.
  • Անկյունագծերը հատման կետում կիսվում են.
  • ։ \left|AE\right| = \left|EC\right|, \left|BE\right| = \left|ED\right|.
  • Կողմին առընթեր անկյունների գումարը 180° է.
  • ։ \angle A + \angle B = 180^o , \angle B + \angle C = 180^o , \angle C + \angle D = 180^o , \angle A + \angle D = 180^o .
  • Հանդիպակաց կողմերը իրար զուգահեռ են և հավասար.
  • ։ AB = CD, AB \parallel CD.

Ապացույց։ < EAD = < ECB, < EDA = < EBC => Եռանկյուն AED -ն հավասար է եռակյուն BEC => AE = EC, BE = DE, < AEB = < CED (< AED = < BEC, հակադիր անկյունների հավասարությունից, իսկ <AED -ն և <BEA -ն կից են) => եռանկյուն AEB = եռանկյուն DEC։ Դրանից հետևում է, որ AB -ն զուգահեռ է DC -ին։ Ուրեմն ABCD -ն զուգահեռագիծ է։

  • Ուռուցիկ քառանկյան հանդիպակաց կողմերի միջնակետերի միջև հեռավորությունների գումարը հավասար է նրա կիսապարագծին.
  • Զուգահեռագծի անկյունագծերի քառակուսիների գումարը հավասար է կողմերի քառակուսիների կրկնապատիկների գումարին.
  • ։ ~AC^2+BD^2 = 2AB^2+2BC^2

Զուգահեռագծի մակերեսը[խմբագրել]

S = a \times h, որտեղ a-ն կողմն է, h-ը`այդ կողմին տարված բարձրությունը:
S = a \times b \times \sin \alpha, որտեղ a-ն և b-ն կողմերն են, իսկ \alpha - ն a և b կողմերի կազմած անկյունն է:
S = \frac{1}{2} AC \times BD \times \sin \angle AOB :

Զուգահեռագծի պարագիծը[խմբագրել]

P = 2 \times (a + b), որտեղ a-ն և b-ն զուգահեռագծի կողմերն են: