Անկյուն

Վիքիպեդիայից՝ ազատ հանրագիտարանից
Jump to navigation Jump to search

Անկյուն, երկրաչափական պատկեր, որը կազմվում է մի կետից (անկյան գագաթ) դուրս եկող երկու ճառագայթներով (անկյան կողմեր)[1]։

Ընդհանուր տեղեկություն[խմբագրել | խմբագրել կոդը]

Երկու (BA и ВС) ճառագայթներ,ընդհանուր B գագաթից դուրս եկող, հարթության վրա ձևավորում են երկու տիրույթ, որոնք հանդիսանում են երկու հարթ անկյունների ներքին տիրույթները։

Անկյան երկու կողմերը պարունակող հարթությունը անկյունով բաժանվում է երկու մասերի[2]։ Այդ մասերից յուրաքանչյուրը, անկյան կողմերի հետ միավորած կոչվում է հարթ անկյուն(կամ պարզապես անկյուն, եթե դա տարընթերցում չի առաջացնում)։ Հարթ անկյուններից մեկին ասում են ներքին (հիմնականում փոքր անկյունը), իսկ մյուսին՝ արտաքին։ Հարթ անկյան կետերը, որոնք չեն պատկանում իր կողմերին, ձևավորում են հարթ անկյան ներքին տիրույթը։

Հարթ անկյան մեկ այլ, հավասարազոր սահմանում է հետևյալը. հարթության մասը, որը հանդիսանում է տրված կետից (անկյան գագաթներ) դուրս եկող ճառագայթների և այդ հարթությունում պառկած ինչ-որ ուղղի (որը կոչվում է տրված հարթ անկյունը ձգող ուղիղ) հատողների միավորումը։

Հաճախ, հակիրճության համար, անկյուն անվանում են նաև անկյան չափը, այսինքն անկյան մեծության որոշող թիվը։

Բացի ավելի հաճախ հանդիպող հարթ անկյուններից, որպես անկյուն կարող են դիտարկվեն նաև առավել ընդհանուր օբյեկտներ՝ պատկերներ,առաջացած հատվող աղեղներով, կիսահարթություններով և այլ պատկերներով ինչպես էվկլիդյան, այնպես էլ տարբեր չափի մետրիկական տարածությունների ուրիշ տիպի երկրաչափությունում։

Անկյան նշումը[խմբագրել | խմբագրել կոդը]

«∠», անկյան նշանակումը երկրաչափությունում։
Isosceles-triangle-tikz.svg

Անկյան նշանակման համար գոյություն ունի միջազգային սիմվոլը, որը 1634 թվականին առաջարկել է ֆրանսիացի մաթեմատիկ Պյեր Էրիգոնը։

Մաթեմատիկական արտահայտություններում անկյունները հիմնականում նշանակում են հունարեն տառերով՝ α, β, γ, θ, φ և այլն։ Որպես կանոն տվյալ նշանակումը օգտագործվում է նաև գծագրության մեջ, անկյան ներքին տիրույթը հստակեցնելու համար։ Որպեսզի π նշանը օգտագործելուց խնդիրներ չառաջանան պի թվի հետ, ապա անկյուն նշանակելուց π նշանը չեն օգտագործում։ Մարմնային անկյունները նշանակելու համար (տե՛ս ներքևում) հաճախ օգտագործում են ω և Ω տառերը[3]։

Անկյունը նաև նշանակում են 3 կետերի տառերով, օրինակ ։ Այսպիսի գրառման մեջ —ն գագաթն է, իսկ և -ն՝ կետեր տարբեր կողմերի վրա։

Ավելի քիչ տարածված է անկյան երկու կողմերով նշանակությունը։ Օրինակ, այստեղ ենթադրվում է, որ նկատի է ունեցվում եռանկյան α ներքին անկյունը, որը պետք էր նշանակել ։

Այսպիսով, աջ կողմի նկարի վրա γ, և նշանակումները միևնույն անկյունն են նշանագրում։

Երբեմն, անկյունները նշելու համար օգտագործում են (a, b, c, …) լատինական տառերն ու թվերը։

Գծագրությունների վրա անկյունները նշանակվում են երկակի կամ եռակի աղեղիկներով, որոնք անցնում են անկյան ներքին տիրույթվ, անկյան գագաթի կենտրոնով։Անկյունների հավասարությունը կարող է նշանակվել միանման աղեղիկների կրկնությամբ կամ աղեղիկների վրա նույն քանակությամբ շտրիխներով։

Անկյան չափ[խմբագրել | խմբագրել կոդը]

Անկյան չափը,որը թույլ է տալիս համեմատել հարթ անկյունները,կարող է ներմուծվել հետևյալ կերպ։ Երկու հարթ անկյուններ կոչվում են հավասար (կամ կոնգրուենտ), եթե նրանք կարող են համատեղվել այնպես, որ համընկնեն իրենց գագաթները և երկու կողմերը։ Հարթության վրա ցանկացած ճառագայթից տրված ուղղությամբ կարելի է տեղադրել միակ անկյուն՝ հավասար տրվածին։ Եթե մի անկյունը ամբողջությամբ կարող է տեղադրվել մեկ այլ անկյան ներսում այնպես, որ այդ անկյունների գագաթները և մի կողմերը համընկնեն, ապա առաջին անկյունը փոքր է երկրորդից։ Կից անվանենք երկու անկյուն, տեղադրված այնպես, որ մեկի կողմը համընկնում է մյուսի կողմի հետ (իսկ նշանակում է , համընկնում են նաև գագաթները), բայց իրենց ներքին տիրույթները չեն հատվում։ Երկու կից անկյունների չհամընկնող կողմերով կազմված անկյունը անվանենք այդ անկյունների գումար։ Յուրաքանչյուր անկյան կարելի է համապատասխանության մեջ դնել թիվ (անկյան չափ) այնպես, որ

  • հավասար անկյուններին համապատասխանում է հավասար անկյունային չափ,
  • փոքր անկյանը համապատասխանում է փոքր անկյունային չափ,
  • անկյունը, որի կողմերը համընկնում են (զրոյական անկյուն), անկյունային չափը հավասար է զրոյի (նույնը ճշմարիտ է նաև զուգահեռ ուղիղների միջև անկյան համար),
  • յուրաքանչյուր ոչ զրոյական անկյուն ունի զրոյից մեծ որոշակի անկյունային չափ,
  • (ադիտիվություն) անկյան անկյունային չափը հավասար է այն անկյունների գումարին, որոնց նա տրոհվում է իր կողմերի միջով անցնող ցանկացած ճառագայթով։

Նշանակումների որոշ համակարգերում, եթե անհրաժեշտություն կա տարբերել անկյունը և իր չափը, անկյան համար (երկրաչափական պատկերի) օգտագործվում է նշանակումը, իսկ այդ անկյան չափի մեծության համար՝ նշանակումը։

θ անկյան չափը ռադիաններով հավասար է իրեն ձգող s աղեղի երկարության հարաբերությանը իր r շառավղին։

Անկյունը չափում են ՝

Առավել տարածված աստճանային չափն է աստիճան, րոպե, վայրկյան, որի մեջ որպես 1° ընդունվում է փռված անկյան 1/180 (տե՛ս ներքևում), մեկ րոպեն՝ , և մեկ վայրկյանը՝ ։ Աստճանային չափը կիառվում է էլեմենտար երկրաչափությունում (գծագրություններում անկյան չափումը փոխադիրչով), գեոդեզիայում քարտեզով և տեղանքում(տեղանքում անկյունների չափման համար օգտագործում են բավականին ճշգրիտ սարք՝ ունիվերսալ անկյունաչափոց)[4]։

1 ռադիան անկյուն

Անկյան ռադիանային չափը ձգող աղեղի s երկարության հարաբերությունն է իր r շառավղին(համակարգային)։ Ռադիանային չափը կիրառվում է մաթեմատիկական անալիզում (օրինակ, որպես եռանկյունաչափական ֆունկցիայի թվային արգումենտ և հակադարձ արկֆունկցիաների թվային արժեքների(աղյուսակային և գրաֆիկական) որոշման դեպքում, հարթաչափությունում և մեխանիկայում (կետի կամ առանցքի շուրջը պտույտ կատարելիս) և այլն)[5]։ Պտույտ,անկյունը ձգող աղեղի (այսինքն, ամբողջությամբ անկյան ներսում գտնվող անկյան գագաթի կենտրոնով շրջանագծի աղեղի, որի ծայրերը գտնվում են անկյան կողմերի վրա) s երկարության հարաբերությունն է շրջանագծի L երկարությանը։ Անկյունների չափման Գրադային չափը օգտագործման համար առաջարկվել է հնուց եկող ժամանակներից, այժմ գրեթե ոչ մի տեղ չի օգտագործվում,քանի որ չկարողացավ դուրս մղել առավել տարածված վաթսունական աստիճանը։ Անկյունների չափումը աստճանային չափով գալիս է հին Բաբելոնից, որտեղ օգտագործվում էր հաշվման վաթսունական համակարգը, որի հետքերը մեզ մոտ պահպանվել են ժամանակի և անկյունների բաժանման մեջ[6]։ 1 պտույտը = 2π ռադիաններով = 360° = 400 գրադներով։ ՄՄՀ-ում անկյան չափման հիմնական միավորը հանդիսանում է ռադիանը։

Ծովային տերմինալոգիայում անկյունները չափվում են ծովայի ռումբերով՝ կողմնացույցի հատվածամասերով, 1 ռումբը հավասար է կողմնացույցի ամբողջ շրջանագծի (360 աստիճան) 132, այսինքն 11,25 աստիճան, կամ 11°15′։ Աստղագիտության մեջ ուղիղ ծագման անկյունը և ժամային անկյունը հասարակածային կոորդինատային համակարգում չափվում են ժամերով, րոպեներով և վայրկյաններով (կազմելով համապատասխանաբար լրիվ շրջանագծի 124, 11440 և 186400), դա կապված է Երկրի առանցքային պտույտի անկյունային արագությունից , կազմելով մոտավորապես 1 պտույտ 24 ժամում[Ն 1]։ Այսպիսով, մեկ ժամ(րոպե, վայրկյան) ժամանակամիջոցում երկնային սֆերան «պտտվում է» մոտավորապես 1 ժամ(րոպե, վայրկյան) անկյունային չափով։ Մնացած անկյունային մեծությունները աստղագիտության մեջ արտահայտվում են հիմնականում աղեղի աստճաններով, րոպեներով և վայրկյաններով։ Սխալից խուսափելու համար կարելի է նշել, որ ուղիղ ծագման մեկ վայրկյանը (րոպեն) հավասար է աղեղի 15 վայրկյանին (րոպեին)։

Հրետանագիտության և զենքային գործի մեջ կիրառվում են նաև հազարերրորդականները և ռազմական անկյունաչափի բաժանումները։

Որոշ համատեքստերում, այնպիսիք ինչպես բևեռային կոորդինատներում կետի նույնականացումը կամ օբյեկտի կողմնորոշման նկարագրելը երկու չափումներում իր բազային կողմնորոշվածության նկատմամբ, ամբողջ թվով պտույտներով տարբերվող անկյունները, փաստորոն հանդիսանում են էկվիվալենտ[7]։ Օրինակ, այդպիսի դեպքերում կարելի է էկվիվալենտ համարել 15° և 360015° (= 15° + 360°×1000) անկյունները։ Ուրիշ համատեքստերում, այնպիսիք ինչպես կետի նույնականացումը զսպանակաձև կորի վրա կամ օբյեկտի ամբողջական պտույտների նկարագրությունը երկու չափումներում իր բազային կողմնորոշվածության նկատմամբ, ոչ զրոյական ամբողջ թվով ամբողջ պտույտներով տարբերվող անկյունները էկվիվալենտ չեն։

Որոշ հարթ անկյուններ ունեն հատուկ անուններ։ Բացի վերը նշված չափման միավորներից (ռադիան, ռումբ, աստիճան և այլն), իրենց թվին են դասվում.

Անկյան նշանակումը ճանապարհի թեքության ճանապարհային նշանի վրա։

Երբեմն անկյունները (օրինակ, մակերևույթի թեքության անկյունը) չափում են ոչ հենց անկյունային չափով, այլ իր տանգենսով (կամ սինուսով), այսինքն թեք հարթության բարձրության հարաբերությամբ իր անցած ճանապարհի հորիզոնական պրոյեկցիային(կամ հենց այդ ճանապարհին)։ Փոքր անկյուններով թեքության սովորական դեպքի համար այդ հարաբերությունը մոտավորապես հավասար է ռադիաններով արտահայտված անկյան(tg α ≈ sin α ≈ α, α < 0,1 դեպքում տարբերությունը այդ մեծությունների միջև 1% է)։ Այդ դեպքում հարաբերությունը հիմնականում արտահայտվում է տոկոսներով կամ պրոմիլներով։ Օրինակ, ճանապարհի 10 % թեքությունը նշանակում է, որ ճանապարհի յուրաքանչյուր 100 մետրում (հորիզոնական պրոյեկցիան) ճանապարհը բարձրանում է 10մ, հորիզոնի նկատմամբ անկյունը հավասար է arctg(10/100) ≈ 5,71° ≈ 0,1 ռադիան։ Անկյունների նմանատիպ չափումը խիստ ասած չի հանդիսանում անկյունային չափ, քանի որ օժտված չի ադիտիվությոան հատկություններով(տե՛ս վերևում)։ Տե՛ս նաև՝ մոտարկում փոքր անկյունների համար[en].

Անկյունների հաշման ուղղություն[խմբագրել | խմբագրել կոդը]

Սլաքով ցուց է տրված անկյունների հաշվման ուղությունը

Մաթեմատիկայում և ֆիզիկայում սովորաբար անկյունների հաշվման դրական ուղղություն է համարվում ժամսլաքին հակառակ ուղղությունը։ Սովորաբար անկյունը սկսում են չափել այն ճառագայթից, որի սկիզբը համընկնում է կոորդինատական համակարգի (ԿՀ) կենտրոնի հետ, իսկ ուղղությունը համընկնում է աբցիսների առանցքի դրական ուղղության հետ ( բևեռային ԿՀ-ում,գլանային ԿՀ-ում, գնդաձև ԿՀ-ում, եռանկյունաչափական շրջանագծի ԿՀ-ում և այլնում)։ Աշխարհագրությունում և գեոդեզիայում անկյունների հաշվման սկիզբ ըստ ազիմուտի ընդունված է «դեպի հյուսիս» ուղղությունը, անկյունը հաշվվում է ժամսլաքի ուղղությամբ։ Այսպիսով, «դեպի արևելք» ուղղությունը համապատասխանում է ազիմուտյան 90° անկյանը, «դեպի հարավ» — 180°, «դեպի արևմուտք» — 270°։ Հրետանագիտության մեջ նախընտրում են բևեռային առանցքի ուղղույունը «на հարավ» և համապատասխան բևեռային անկյունը նույնպես ազիմուտ են անվանում («դեպի արևմուտք ուղղությունը» համապատասխանում է ազիմուտյան 90° անկյանը)։

1rightarrow.png  Տե՛ս նաև Եռանկյունաչափական շրջանագիծ 

Անկյունների տեսակներ[խմբագրել | խմբագրել կոդը]

Կախված անկյան մեծությունից կոչվում են հետևյալ կերպ

  • Զրոյական անկյուն (0°), զրոյական անկյան կողմերը համընկնում են, նրա ներքին տիրույթը դատարկ բազմությունն է։
  • Սուր անկյուն (0°-ից մինչև 90°, չներառած սահմանային արժեքները)։
  • Ուղիղ անկյուն (90°),ուղիղ անկյան կողմերը միմյանց փոխուղղահայաց են։
  • Բութ անկյուն (90°-ից մինչև 180°, չներառած սահմանային արժեքները)։
  • Շեղ անկյուն (ցանկացած 0°, 90°, 180° կամ 270° ոչ հավասար անկյուն)։
  • Փռված անկյուն (180°), փռված անկյան կողմերը հանդիսանում են մեկ ուղու երկու կիսաուղիղներ, այսինքն կա երկու ճառագայթ՝ ուղղված հակառակ ուղղություններով։
  • Ուռուցիկ անկյուն(0°-ից մինչև 180° ներառյալ)։
  • Ոչ ուռուցիկ անկյուն (180°-ից մինչև 360°, չներառած սահմանային արժեքները)։
  • Լրիվ կամ ամբողջ անկյուն (360°) — տես պտույտ (չափման միավոր).
1rightarrow.png  Տե՛ս նաև Կենտրոնական անկյուն 

Կիսորդ[խմբագրել | խմբագրել կոդը]

Անկյան կիսորդ (լատ.՝ bi- «երկակի» և sectio «կտրում» բառերից) կոչվում է անկյան գագաթից դուրս եկող և իր ներքին տիրույթով անցնող ճառագայթը, որը իր կողմերի հետ ձևավորում է երկու հավասար անկյուն[8]։ Կիսորդի ցանկացած կետի հեռավորությունը անկյան կողմերից միևնույնն է(և հակառակը, անկյան ներքին տիրույթի ցանկացած կետ, որը հավասարահեռ է անկյան կողմերից, ընկած է կիսորդի վրա)։

Հարթ անկյուններ[խմբագրել | խմբագրել կոդը]

Հարթ անկյուն տերմինը օգտագործվում է որպես անկյուն(սահմանվել է հոդվածի սկզբում) տերմիմինի հոմանիշ, հարթ անկյուն օգտագործվելիք տերմինից տարբերելու համար (այդ թվում երկնիստ, եռանիստ կամ բազմանիստ անկյունների համար)։ Հարթ անկյունների հատկությունների տակ ոչ հաճախ հասկանում են անկյունների մեծությունների հարաբերություն(կից,լրացնող,հարակից,հակադիր - տես ներքևում) այն դեպքում, երբ անկյունները ընկած են մի հարթության մեջ ( հարթաչափության համար դա ինքնին ենթադրվում է, սակայն տարածաչափության համար ճշտումն անհրաժեշտ է, այլապես սկզբում թվարկված հարաբերությունները տեղի չունեն, իսկ իրենք՝ անկյունները, եթե չեն պատկանում միևնյուն հարթությանը, չեն կոչվում կից կամ հարակից (հակադիրները ավտոմատ կերպով միշտ են ընկած մի հարթության մեջ))։

Հակադիր և հարակից անկյուններ[խմբագրել | խմբագրել կոդը]

  • Հակադիր անկյունները երկու անկյուններ են, որոնք ձևավորվում են երկու ուղիղների հատումից, այդ անկյունները չունեն ընդհանուր կողմեր։Այլ խոսքերով, երկու անկյուններ կոչվում են հակադիր, եթե մի անկյան կողմերը հանդիսանում են մյուս անկյան կողմերի շարունակությունները։ Իրենց հիմնական հատկությունն այն է, որ հակադիր անկյունները հավասար են։
  • Հարակից անկյունները երկու անկյուններ են, որոնք ունեն ընդհանուր կողմ և գագաթ, բայց մի հարթության վրա ընկած երկու չհատվող ներքին տիրույթներ։ Հարակից անկյունների արտաքին (ոչ ընդհանուր) կողմերով կազմված անկյան մեծությունը հավասար է հենց հարակից անկյունների մեծությունների գումարին (նկարի մեջ α + β)։

Հարակից անկյունների մասնավոր դեպքեր։

  • Եթե հարակից անկյունները հավասար են, ապա նրանց ընդհանուր կողմը կիսորդն է։
  • Կից անկյունները  ընդհանուր գագաթով երկու անկյուններ են, որոնց մի կողմը ընդհանուր է, իսկ մյուս կողմերը ընկած են մի ուղղի վրա (չեն համընկնում)։ Կից անկյունների գումարը հավասար է 180°։
  • Փոխադարձաբար կապված անկյունները երկու անկյուններ են, որոնք ունեն ընդհանուր գագաթ և երկու կողմեր, բայց տարբերվող ընդհանուր տիրույթներ. այդպիսի անկյունների միավորումը իրենից ներկայացնում է ամբողջ հարթությունը, իսկ որպես հարակից անկյուններ նրանք իրար հետ կազմում են լրիվ անկյուն, նրանց մեծությունների գումարը 360°։

(Հակա)զուգահեռ կողմերով հարթ անկյուններ[խմբագրել | խմբագրել կոդը]

Զուգահեռ կողմերով անկյուններ։

Անկյունները, որոնց կողմերը զույգ առ զույգ զուգահեռ են և համուղված (կամ զույգ առ զույգ զուգահեռ են և հակուղված են), միմյանց հավասար են։ Անկյունների զույգը, որոնց կողմերի մի զույգը զուգահեռ են և համուղված միմյանց, իսկ կողմերի երկրորդ զույգը զուգահեռ են և հակուղված,մեծությամբ գումարով կազմում են փռված անկյուն, այն է՝ 180° (տես նկարը), քանի որ զուգահեռ տեղափոխմամբ իրենց կարող ենք վերածել կից անկյունների (համուղված կողմերը «սոսնձելով»)։

Փոխադարձ ուղղահայաց կողմերով անկյուններ[խմբագրել | խմբագրել կոդը]

  • Փոխադարձ ուղղահայաց կողմերով երկու անկյուններ հավասար են, եթե նրանք երկուսն էլ սուր են կամ բութ։

Եռանկյան արտաքին անկյուն[խմբագրել | խմբագրել կոդը]

  • Թեորեմ եռանկյան արտաքին անկյան մասին։ Եռանկյան արտաքին անկյունը հավասար է եռանկյան արտաքին անկյանը ոչ կից մյուս երկու անկյունների գումարին։

Բազմանկյան անկյուններ[խմբագրել | խմբագրել կոդը]


Կամայական n-անկյուն բազմանկյան առանց ինքնահատման αi ներքին անկյունների գումարը հավասար է

Այսպիսով,

  • եռանկյան ներքին անկյունների գումարը հավասար է 180°,
  • քառանկյանը՝ 360°,
  • հնգանկյանը՝ 540° և այլն։

Հետևություն[խմբագրել | խմբագրել կոդը]

Ներքին անկյուն անվանենք βi (ուշադրություն, սա արտաքին անկյան ոչ սովորական սահմանումն է) անկյունը, որը ներքին αi անկյունը լրացնում է մինչև լրիվ անկյուն. βi = 360° − αi։

Կամայական n-անկյուն բազմանկյան առանց ինքնահատման արտաքին անկյունների գումարը հավասար է

Կենտրոնական և ներգծյալ անկյուն[խմբագրել | խմբագրել կոդը]

Շրջանագծի ցանկացած կոնկրետ աղեղի կարելի է համադրել միակ կենտրոնական և անսահման բազմությամբ ներգծյալ անկյուններ։

  • Կենտրոնական անկյունը շրջանագծի կենտոնով գագաթով անկյուն է։ Կենտրոնական անկյան մեծությունը հավասար է այդ անկյան կողմերի մեջ պարփակված աղեղի աստճանային չափին։
  • Ներգծյալ անկյունը անկյուն է, որի գագաթը ընկած է շրջանագծի վրա, իսկ կողմերը հատում են այդ շրջանագիծը։ Ներգծյալ անկյան մեծությունը հավասար է իր կողմերով սահմանափակված աղեղի աստճանանային չափի կեսին։ Միևնույն աղեղի վրա հենված բոլոր ներգծյալ անկյունները հավասար են։
θ ներգծյալ անկյունը հավասար է նույն աղեղի (վարդագույն գույնի) վրա հենված կետտրոնական անկյան 2θ մեծության կեսին։ Այսինքն θ անկյունը շրջանագծի վրա վերցրած (կանաչ և կապույտ անկյունները)գագաթից գագաթ չի փոխում իր մեծությունը։ Շրջանագծի մյուս կողմից ներգծած անկյան արտաքին անկյունը ունի միևնույն θ մեծությունը (շականակագույն)

Ներգծյալ անկյան մեծությունը հավասար է շրջանագծի նույն աղեղի վրա հենված կենտրոնական անկյան կեսին(տե՛ս նկարը)։

Տարբերակներ և ընդհանրացումներ[խմբագրել | խմբագրել կոդը]

և ուղղիղների միջև (նշանակենք։ ) կողմնորոշված անկյան մեծություն անվանում են այն անկյան մեծությունը, որի վրա պետք է ժամսլաքի հակառակ ուղղությամբ պտտել ուղիղն այպես, որ նա դառնա զուգահեռ ուղղին։ Դրա հետ մեկտեղ, n·180° (n — ամբողջ թիվ) վրա տարբերվող անկյունները համարվում են հավասար։ Հարկավոր է նշել,որ և ուղիղների միջև կողմնորոշված անկյունը հավասար չէ և ուղիղների միջև կողմնորոշված անկյանը(նրանք գումարային կազմում են 180°, որը ըստ մեր պայմանավորվածության նույնն է թե 0°)։ Կողմնորոշված անկյունները օժտված են հետևյալ հատկություններով. ա)

բ)

գ) մի ուղղի վար չնկած, միևնույն շրջանագծին պատկանող կետեր են միայն այն դեպքում, երբ

Պրակտիկ խնդիրների շարքը բերում է անկյունների նպատակահարմար դիտարկումը որպես պատկեր, որը ստացվում է О կետի (որից դուրս է գալիս ճառագայթը) շուրջը մինչև տրված դիրք ֆիքսված ճառագայթի պտտումից։ Այդ դեպքում անկյունը հանդիսանում է ճառագայթի պտույտի չափը։ Նման սահմանումը թույլ է տալիս ընդհանրացնել անկյան հասկացությունը, ընդլայնելով իր սահմանումը ամբողջ թվային ուղղի վրա, ներմուծվում են 360° մեծ անկյուններ։ Կախված պտույտի ուղղությունից տարբերում են դրական և բացասական անկյուններ։ Եռանկյունաչափության մեջ նման դիտարկումը թույլ է տալիս եռանկյունաչափական ֆունկցիաները ուսումնասիրել արգումենտի ցանկացած արժեքի դեպքում։

Անկյան հասկացությունը ընդհանրացվում է տարածաչափությունում մարմնային անկյունը դիտարկելիս։

Մարմնային անկյուն[խմբագրել | խմբագրել կոդը]

Հարթ անկյան ընդհանրացումը տարածաչափության մեջ հանդիսանում է մարմնային անկյունը՝ տարածության մաս, որը հանդիսանում է մի կետից դուրս եկող (անկյան գագաթներ)և ինչ-որ մակերևույթ (որը կոչվում է տվյալ հարթ անկյունը ձգող մակերևույթ)հատող բոլոր ճառագայթների միավորումը։

Մարմնային անկյունները չափվում են ստեռադիաններով(ՄՀ-ում հիմնական միավորներից մեկը), ինչպես նաև ոչ համակարգային միավորներով՝ ամբողջական գնդի մասերով(այսինքն 4π ստեռադիան կազմող ամբողջական հարթ անկյամբ)։

Մարմնային անկյուններ մասնավորապես հանդիսանում են հետևյալ երկրաչափական մարմինները.

  • Երկնիստ անկյուն՝ երկու հատվող հարթություններով սահմանափակված տարածության չափ,
  • Եռանիստ անկյուն՝ երեք հատվող հարթություններով սահմանափակված տարածության չափ,
  • Բազմանիստ անկյուն՝ մի կետում հատվող մի քանի հարթություններով սահմանափակված տարածության մաս։

Երկնիստ անկյունը կարող է բնութագրվել ինչպես գծային անկյուն (իրեն ձևավորող հարթությունների միջև անկյուն), այնպես էլ մարմնային անկյուն(որպես գագաթ կարող է ընտրված լինել իր կողի՝ իր նիստերի հատման ուղղի, վրա գտնվող ցանկացած կետ)։Եթե երկնիստ անկյան գծային անկյունը (ռադիաններով) հավասար է φ, ապա իր մարմնական անկյունը(ստեռադիաններով) հավասար է 2φ։

Կորերի միջև անկյուն[խմբագրել | խմբագրել կոդը]

Կորերի միջև Р կետում անկյունը որոշվում է որպես Р կետում հատվող А и В շոշոփողների միջև անկյուն։

Ինչպես հարթաչափությունում, այնպես էլ տարածաչափությունում, ինչպես նաև ուրիշ երկրաչափությունների շարքում կարելի է սահմանել հարթ կորերի միջև անկյուն հատման կետում. ըստ սահմանման իր մեծությունը հավասար է կորերի հատման կետում շոշոփողների կազմած անկյան մեծությանը։

Անկյուն և սկալյար արտադրյալ[խմբագրել | խմբագրել կոդը]

Անկյան հասկացությունը կարելի է սահմանել կամայական բնույթի գծային տարածությունների համար(այդ թվում նաև կամայական անսահման չափողականությամբ), որոնց վրա աքսիոմատիկորեն ներմուծված է տարածության և երկու էլեմենտների դրական սահմանված սկալյար արտադրյալը։ Սկալյար արտադրյալը թույլ է տալիս սահմանել նաև այսպես կոչված տարրի նորմը (երկարությունը) ինչպես տարրի ինքն իր հետ արտադրյալից քառակուսի արմատ Սկալյար արտադրյալի աքսիոմներից հետևում է Կոշի-Բունյակովսկու անհավասարությունը (Կոշի-Շվարցի) սկալյար արտադրյալի համար՝ որտեղից հետևում է, որ մեծությունը ընդունում է -1 -ից մինչև 1 արժեքներ, ընդ որում սահմանային արժեքները ընդունում են այն և միայն այն դեպքում, երբ տարրերը կոլենյար համեմատական են միմյանց (երկրաչափորեն ասած՝ նրանց ուղղությունները համընկնում են կամ հակուղված են)[9]։ Դա թույլ է տալիս հարաբերությունը բացատրել ինչպես и տարրերի միջև անկյան կոսինուս։ Մասնավորապես, տարրերը կոչվում են օրթոգոնալ, եթե արտադրյալը (կամ անկյան կոսինուսը) հավասար է զրոյի։

Մասնավորապես, կարելի է ներմուծել որոշակի ինտերվալի վրա անընդհատ ֆունկցիաների միջև անկյան գաղափարը, եթե ներմուծենք սկալյար արտադրյալը,այդ դեպքում ֆունկցիաների նորմերը որոշվում են ինչպես Այդ դեպքում անկյան կոսինուսը որոշվում է ստանդարտ ձևով՝ որպես ֆունկցիաների սկալյար արտադրյալի հարաբերությունը իրենց նորմերին։ Ֆունկցիաները կարելի է անվանել նաև օրթոգոնալ, եթե նրանց սկալյար արտադրյալը (իրենց արտադրյալի ինտեգրալը) հավասար է զրոյի։

Ռիմանյան երկրաչափությունում կարելի է անալոգ ձևով մետրիկական թենզորի օգնությամբ սահմանել շոշոփող վեկտորների միջև անկյունը։ և շոշափող վեկտորների սկալյար արտադրյալը թենզորային գրառմամբ ունի հետևյալ տեսքը՝ համապատասխանաբար վեկտորների նորմերը՝ և Այդ պատճառով անկյան կոսինուսը կորոշվի նշված սկալյար արտադրյալի հարաբերությամբ վեկտորների նորմերին ստանդարտ բանաձևով՝

Անկյուն մետրիկական տարածությունում[խմբագրել | խմբագրել կոդը]

Գոյություն ունի նաև աշխատանքների շարք, որոնցում ներմուծվում է մետրիկական տարածության տարրերի միջև անկյան գաղափարը։

Թող   լինի մետրիկական տարածություն, իսկ ՝ այդ տարածության տարրեր։

Կ.Մենգերը ներմուծել է և գագաթների միջև կետում գագաթով անկայն հասկացությունը որպես ոչ բացասական թիվ, որը բավարարում է երեք աքսիոմների.

  • այն և միայն այն դեպքում, երբ
  • այն և միայն այն դեպքում, երբ

1932 թվականին Վիլսոնը որպես անկյուն դիտարկեց

Դժվար չէ տեսնել, որ ներմուծված արտահայտությունը միշտ իմաստ ունի և բավարարում է Մենգերի երեք աքսիոմներին։

Բացի այդ, Վիլսոնի անկյունը օժտված է այն հատկությամբ, որ էվկլիդյան տարածությունում էվկլիդյան տարածության իմաստով նա էկվիվալենտ է և միջև անկյանը։

Անկյան չափում[խմբագրել | խմբագրել կոդը]

    1rightarrow.png Հիմնական հոդված՝ Անկյունների չափման միջոցներ

Անկյունների կառուցման և չափման ամենից շատ տարածված գործիքներից մեկը հանդիսանում է փոխադրիչը (ինչպես նաև քանոնը, տես ներքևում), որպես կանոն, այն օգտագործվում է որոշակի մեծության անկյան կառուցման համար։ Անկյունների շատ թե քիչ ճշգրիտ չափման համար մշակված են շատ գործիքներ.

Երկու օբյեկտների միջև անկյունային հեռավորւթյուն (կամ պարզապես անկյուն) դիտողի համար կոչվում է անկյան չափը, որի գագաթում գտնվում է դիտողը, իսկ օբյեկտները ընկած են կողքերում։ Երկու հեռավոր առարկաների միջև անկյան կոպիտ գնահատականի համար կարելի է օգտագործել ձեռքի դաստակը։ 1 աստիճան (1°) անկյունային հեռավորությամբ բացած ձեռքի հեռավորությանը համապատասխանում է ճկույթի լայնությունը (ներքևում տես նաև միջնամատի անկյունային լայնությունը բացված ձեռքի հեռավորության վրա կազմում է մոտավորապես 2°), 10 աստիճան անկյանը՝ հորիզոնական դիրքում սեխմած բռունցքի լայնությունը(կամ ափի լայնությունը), 20 աստիճան անկյանը (կամ մոտավորապես 15°÷17°÷20°)՝ բացած բութ մատի և ցուցամատի ծայրերի միջև հեռավորությունը (թիզ), իսկ ճկույթի ծայրից մինչև բութ մատի ծայրը անկյունային հեռավորությունը հավասար է մոտավորապես ուղիղ անկյան քառորդին։ Սա միջինացված տվյալներ են։ Խորհուրդ է տրվում դրանք ճշգրտել ձեր սեփական ձեռքի համար։

Անկյունների չափման համար տարբեր մեթոդներն ու գործիքները բնութագրվում են անկյունային թույլտվությամբ,այսինքն մինիմալ անկյունով, որը կարող է չափվել տվյալ մեթոդի օգնությամբ։ Ամենալավ անկյունային թույլտվությամբ օժտված են տարբեր ինտերֆերոմետրիկական մեթոդներ, որոնք թույլ են տալիս որոշ դեպքերում չափել անկյուններ աղեղի մի քանի միկրովայրկյաններով (~10−11 ռադիան)։

Պրակտիկ եռանկյունաչափական չափումների օրինակներ[խմբագրել | խմբագրել կոդը]

Խնդիրների լուծում պարզ մեթոդով

Ինչպե՞ս չափել անկյուն (օրինակ, քարտեզի վրա) եռանկյունների կողմերի օգնությամբ (օրինակ, ինժեներական/եռանկյունաչափական հաշվիչի բացակայության ժամանակ (և աղյուսակների) և համակարգչի բացակայությամբ (Microsoft Excel) cos չափման համար) և ձեռքի տակ գտնվող միջոցներով՝ միլիմետրային բաժանումով քանոնով։ Անկյան կողմերի վրա առանձնացրեք 60 մմ հատվածներ և ծայրակետերը միացրեք ուղիղ գծով։ Այդ գծի երկարությունը միլիմետրերով ցույց անկյան մոտավոր մեծությունը աստիճաններով։ Այդ եղանակով կարելի է բավականին ճշգրտությամբ չափել մինչև 60° սուր անկյուններ։ Եթե անկյունը մեծ է 60°-ից, չափում են իր լրացումը մինչև 90°, 180, 270° կամ 360°։ Մինչև 90° կամ 270° իր լրացումը չափելու համար անկյան գագաթից եռանկյան միջոցով կառուցվում է ուղղահայաց իր կողմերից մեկին (հավասարակողմ եռանկյան մեջ՝ միջնագիծը կիսորդ է և բարձրություն

Ինչպե՞ս չափել անկյունը քանոնով (տեղանքում վիզուալ կողմնորոշման դեպքում... և անկյունը համեմատել քարտեզով,տես 1 կետ)։ Միլիմետրային բաժանումներով քանոնը տեղավորեք ձեր առջև՝ աչքերից 57 սմ հեռավորության վրա (60 սմ-ից ոչ ավել)։ Այդ դեպքում 1 սմ-ի հավասար բաժանումը կհամապատասխանի 1° անկյան սևեռացումը։ Այդ մեթոդի ճշգրտության մեջ դուք հեշտությամբ կհամոզվեք, եթե հիշում եք կենտրոնական անկյան աղեղը 1° -ում կազմում է մոտավորապես շառավղի 1/57 մասը։ Անկյունների չափման ճշգրտությունը քանոնի օգնությամբ(ինչպես նաև մատերի օգնությամբ, տե՛ս ներքևում) կախված է աչքերից անհրաժեշտ հեռավորության վրա քանոնի (կամ մատների) դիրքի ճիշտ ընտրությունից։ Դրանում կարելի է հեշտությամբ վարժվել թելի օգնությամբ, որի երկարությունը համապատասխանում է աչքերից մինչև բացված ձեռքի մատներ։

Ինչպե՞ս կարելի է չափել և առանց անկյունաչափային գործիքների կիրառմամբ տեղանքում տեղադրել անկյուններ ։ Հնարավորինս պարզ դա կարելի է անել չափելիք անկյունը համեմատելով ուղղի հետ։ Ուղիղ անկյուն դուք կարող եք տեղադրել ձեռքերի ուղղություններով, որոնցից մեկը բացած է ուսի ուղղությամբ, իսկ երկրորդը բարձրացրած բութ մատով ուղված է այնպես, որ աջ ձեռքի մատը լինի աջ աչքի առաջ(համապատասխանաբար ձախ ձեռքի մատը՝ ձախ աչքի առաջ)։ Ուղիղ անկյունը կարելի է աչքաչափով բաժանել երկու կամ երեք հավասար մասերի, որոնցից յուրաքանչյուրը կհամապատասխանի 45° կամ 30° աստիճանի։
Անկյունների փոքր մեծությունները տեղանքում կարելի է տեղադրել կամ չափել հետևյալ ձևով։ Առաջին հերթին քանոնով չափեք ձեր ձեռքի երեք կպցրած մատների լայնությունը՝ ցուցամատի, միջնամատի և մատանեմատի։ Եթե այն ձեր մոտ հավասար կլինի 6 սմ, ապա 60 սմ ձգած ձեռքի դեպքում նրանց վրա սևեռացված անկյունը մոտավորապես կկազմի 6°։ Հետևաբար յուրաքանչյուր այդ երեք մատի վրա սևեռված անկյուն հավասար կլինի 2°։ Իսկ, եթե այդ մատների հաստությունը ձեր մոտ կստացվի օրինակ 5սմ, ապա որպեսզի սևեռացվող անկյունները լինեն հենց այդպիսին, ձեռքը պետք է բացել 50 սմ։

Ձգած ձեռքի դեպքում ուղիղ անկյան տակ բացած բութ մատի և ցուցամատի սևեռած անկյունը մոտավորապես կազմում է 15°։ Ինչպե՞ս դա ստուգել և ճշտել։ Նախ և առաջ տեղանքում նկատեք կողմնորոշիչ և նրանից տեղադրեք 90° անկյուն։ Դա կարելի է անել նախորդ խնդրում նկարագրված ձևով։ Հետո կողմնորոշչից տեղադրել վեց 15° անկյուն՝ ուղիղ անկյան տակ բացած բութ մատի և ցուցամատի սևեռած անկյուն։ Վերջին անկյան տեղադրումը պետք է կազմի տեղանքում ուղիղ անկյուն։ Եթե դա ճշգրիտ չի ստացվել, պետք է տեղադրումը կրկնել ձգած ձեռքը աչքերից փոքր-ինչ մոտ կամ հեռու պահելով (60 սմ կարգի)։ Հենց դրանով դուք կորոշեք հեռավորությունը, որի վրա պետք է ձգել ձեռքը 15° անկյուն տեղադրելու համար[10]։

Անկյունները կարելի է հաշվել նաև տարբեր հաշվողական սարքերի և հարմարանքների օգնությամբ՝ եռանկյունաչափության միջոցով հաշվարկային քանոնի վրա, ինժեներական հաշվիչով(այդ թվում (Windows) հաշվիչ), Microsoft Excel աղյուսակի ֆունցիաների օգնությամբ (1) cos, (2) այնուհետև arccos, և (3) ֆունկցիաներով փոխարինել նաև ռադիանները աստիճանների (°) (ԱՀ-ի առկայության դեպքում, գոյություն ունի տրված կողմերով եռանկյունների անկյունների on-line հաշվում)։ Գոյություն ունի հատուկ եռանկյունաչափական աղյուսակներ՝ sin, cos, ինչպես նաև arccos, arcsin, ընդ որում վերջինները կարող են լինել (այդ թվում և ամենից հաճախ) աստիճանների վերահաշվարկով։

Անալիտիկ երկրաչափությունում կոորդինատային հարթությունում ուղիղների միջև անկյունը տրվում է օրինակ հետևյալ հավասարումով.

(տե՛ս գծային ֆունկցիաներ,տե՛ս նաև՝ Անկյուն և սկալյար արտադրյալ

Նշումներ[խմբագրել | խմբագրել կոդը]

  1. В действительности истинный период обращения Земли относительно неподвижных звёзд примерно на 4 минуты короче, чем 24 часа, см. звёздное время.

Տես նաև[խմբագրել | խմբագրել կոդը]

Ծանոթագրություններ[խմբագրել | խմբագրել կոդը]

  1. Угол // Математическая энциклопедия (в 5 томах). — М.: Советская Энциклопедия, 1985. — Т. 5.
  2. «Плоскость (математика)»։ Математика (ռուսերեն)։ Վերցված է 2018-02-07 
  3. Коган И.Ш.։ «Энергодинамическая система физических величин и понятий» 
  4. «ГЕОДЕЗИЯ | Энциклопедия Кругосвет»։ www.krugosvet.ru (ռուսերեն)։ Վերցված է 2018-02-07 
  5. «Математический анализ»։ Математика (ռուսերեն)։ Վերցված է 2018-02-07 
  6. «Древний Вавилон»։ diletant.media (ռուսերեն)։ Վերցված է 2018-02-07 
  7. «Полярная система координат: основные понятия и примеры»։ function-x.ru։ Վերցված է 2018-02-07 
  8. «Биссектриса. Подробная теория с примерами.»։ youclever.org (անգլերեն)։ Վերցված է 2018-02-07 
  9. «Неравенство Коши-Буняковского и его доказательство»։ SolverBook (ru-RU)։ Վերցված է 2018-02-07 
  10. Куприн А. М. На местности и по карте. — М. Недра, 1982. — 112 с.

Գրականություն[խմբագրել | խմբագրել կոդը]