Եռանկյունաչափություն

Վիքիպեդիայից՝ ազատ հանրագիտարանից
Jump to navigation Jump to search

Եռանկյունաչափություն (հունարեն՝ τρίγωνον (եռանկյուն) և հունարեն՝ μέτρεο (չափում եմ), այսինքն, եռանկյան չափումները), մաթեմատիկայի բաժին, որում ուսումնասիրվում են եռանկյունաչափական ֆունկցիաներն ու դրանց կիրառումը երկրաչափությունում[1]։ Այս տերմինն առաջին անգամ ի հայտ է եկել 1595 թվականին, որպես գերմանացի մաթեմատիկոս Բարտոլոմեուս Պիտիկսուսի (1561—1613) գրքի վերնագիր, իսկ ինքը գիտությունը, դեռևս հին ժամանակներում օգտագործվել է աստղագիտական, ճարտարապետական, գեոդեզիական (գիտություն, որն ուսումնասիրում է Երկիր մոլորակի ձևն ու չափերը) չափումների ժամանակ։

Եռանկյունաչափական հաշվարկներն օգտագործվում են երկրաչափության, ֆիզիկայի, ինժեներական գործի փաստացի բոլոր բաժիններում։ Հատկապես մեծ նշանակություն ունի տրիանգուլյացիայի տեխնիկան, որը հնարավորություն է տալիս աստղագիտության մեջ չափել ոչ հեռու գտնվող աստղերի հեռավորությունը ուղեցույցների միջև, վերահսկել արբանյակների ճիշտ տեղորոշումը։ Ինչպես նաև, ուշագրավ է եռանկյունաչափության կիրառումը այնպիսի բնագավառներում, ինչպիսիք են երաժշտության տեսություն, ակուստիկա, օպտիկա, ֆինանսական շուկաների անալիզ, էկեկտրոնիկա, հավանականության տեսություն, վիճակագրություն, կենսաբանություն, բժշկություն (ներառյալ ուլտրաձայնային հետազոտությունը (ՈւՁՀ) և համակարգչային տոմոգրաֆիան), դեղագործություն, քիմիա, թվերի տեսություն, (և, որպես հետևանք, կրիպտոգրաֆիա), սեյսմոլոգիա, օդերևութաբանություն, օվկիանոսագիտություն, քարտեզագիտություն, էլեկտրոնային տեխնիկա, մեքենաշինություն, համակարգչային գրաֆիկա, բյուրեղագիտություն։

Պատմություն[խմբագրել | խմբագրել կոդը]

Առաջին եռանկյունաչափական աղյուսակները ստեղծվել են Հիպարքոսի կողմից, ով այժմ առավել հայտնի է, որպես «եռանկյունաչափության հայրը»[2]

Շումերյան աստղագետները ուսումնասիրել են անկյան չափումը, շրջանները 360 աստիճանների բաժանելով։[3] Նրանք, հետագայում նաև բաբելոնացիները ուսումնասիրել են նման եռանկյունների կողմերի հարաբերակցությունը և հայտնաբերել այդ հարաբերակցության որոշ հատկություններ, սակայն այն՝ եռանկյունների կողմերն ու անկյունները գտնելու համակարգված մեթոդի չվերածեցին։ Հին նուբիացիները նմանատիպ մեթոդ էին օգտագործում։[4]

Մ․թ․ա․ 3-րդ դարում հույն մաթեմատիկոսները՝ Էվկլիդես, Արքիմեդես, և այլոք ուսումնասիրում էին շրջանների լարերի և ներգծված անկյունների հատկությունները և ժամանակակից եռանկյունաչափական բանաձևերին համարժեք թեորեմներ ապացուցեցին, չնայած դրանք ներկայացրել էին ավելի շուտ երկրաչափորեն, քան հանրահաշվորեն։ Մ․թ․ա․ 140 թվականին Հիպարքոսը (Նիկիայից, Փոքր Ասիա) լարերի առաջին աղյուսակն է ներկայացրել, ժամանակակից եռանկյունաչափական աղյուսակների անալոգը և դրանք օգտագործել է եռանկյունաչափական խնդիրներ և գնդային եռանկյունաչափության խնդիրներ լուծելու համար։[5] Մ.թ.ա. 2-րդ դարում, հունա-եգիպտական աստղագետ Պտղոմեոսը (Ալեքսանդրիայից, Եգիպտոս) իր առաջին գրքի 11-րդ գլխում կառուցեց եռանկյունաչափական մանրամասն աղյուսակներ։[6] Պտղոմեոսն իր եռանհյունաչափական ֆունկցիաները սահմանելու համար օգտագործում է լարի երկարությունը, որոնք քիչ ենտարբերվում սինուսից, որ օգտագործում ենք այսօր։[7] Մինչ ավելի մանրամասն աղյուսակների ստեղծումը դարեր անցան, իսկ Պտղոմեոսի տրակտատը հետագա 1200 տարիներին շարունակում էր օգտագործվել աստղագիտական եռանկյունաչափական հաշվարկներում միջին դարերի Բյուզանդիայում, արաբամուսուլմանական, և, հետագայում նաև Եվրոպական աշխարհում։

Սինուսի ժամանակակից ընկալումը առաջին անգամ հաստատվել է Surya Siddhanta-ում, իսկ դրա հատկությունները հետագայում փաստագրվել են 5-րդ դարում հնդիկ մաթեմատիկոս և աստղագետ Արյաբհատայի կողմից։[8] Այս հունական և հնդկական աշծատանքները թարգմանվել և զարգացվել են միջնադարյան մուսուլման մաթեմատիկոսների կողմից։ Արդեն 10-րդ դարում մուսուլման մաթեմատիկոսները օգտագործում էին բոլոր վեց եռանկյունաչափական ֆունկցիաները, դրանց արժեքների աղյուսակներ էին կազմում և կիրառում գնդաձև երկրաչափության խնդիրներում։[9][10] Պարսիկ էրուդիտ Նասր ալ-Դին Թուսին նկարագրվում էր որպես եռանկյունաչափության, որպես առանձին մաթեմատիկական ճյուղի, ստեղծող։[11][12][13] Նասր ալ-Դին Թուսին առաջինն էր, որ եռանկյունաչափությունը դիտարկեց որպես աստղագիտությունից անկախ մաթեմատիկական բնագավառ և նա ջնդձև եռանկյունաչափությունը զարգացրեց ներկայիս ձևաչափին։[14] Նա գնդաձև եռանկյունաչափության մեջ թվարկել էր ուղղանկյուն եռանկյան վեց տարբեր դեպքեր և իր On the Sector Figure աշխատանքում սահմանեց հարթ և գնդաձև եռանկյունների օրենքը, գնդաձև եռանկյունների համար հայտնաբերեց տանգենսների օրենքը և երկու օրենքի համար էլ ապացույց ապահովեց։[15] Եռանկյունաչափական ֆունկցիաների և մեթոդների վերաբերյալ գիտելիքը Արևմտյան Եվրոպա հասավ Պտղոմեոսի հունական Ալմագեստի լատիներեն թարգմանությունների, ինչպես նաև պարսկական և արաբ աստղագետների՝ Ալ Բաթանիի և Նասիր ալ-Դին ալ-Թուսիի աշխատանքների միջոցով:[16] Եռանկյունաչափությանը նվիրված ամենավաղ աշխատանքներից մեկը, որ կատարվել էր Հյուսիսային Եվրոպայի մաթեմատիկոսների կողմից, դա 15-րդ դարի գերմանացի մաթեմատիկոս Ռեգիոմոնտանուսի Տրիանգուլիս աշխատությունն է։ Ռեգիոմոնտանուսին Ալմագեստի պատճենը տրամադրել է և աշխատանքներում խրախուսել բյուզանդական հույն գիտնական կարդինալ Բասիլիոս Բեսարիոնը։[17] Միևնույն ժամանակ, Ալմագեստի հունարենից լատիներեն մեկ այլ թարգմանություն ավարտեց Գեորգը Տրապիզոնից։[18] 16-րդ դարում եռանկյունաչափությունը դեռևս քիչ էր հայտնի Հյուսիսային Եվրոպայում, որ Նիկոլայ Կոպեռնիկոսը իր գրքի երկու գլուխ նվիրեց եռանկյունաչափական հասկացությունները բացատրելու համար։

Նավիգացիայի պահանջների և մեծ աշխարհագրական տարածքների ճշգրիտ քարտեզագրման անհրաժեշտությունից ելնելով, եռանկյունաչափությունը վերաճեց մաթեմատիկայի հիմնական ճյուղի։[19] Bartholomaeus Pitiscus was the first to use the word, publishing his Trigonometria in 1595.[20] Գեմմա Ֆրիսիուսը առաջինը նկարագրեց տրիանգուլյացիայի մեթոդը, որը մինչ այժմ օգտագործվում է գեոդեզիայում։ Իսկ Լեոնարդ Էյլերը կոմպլեքս թվերն ամբողջությամբ մտցրեց եռանկյունաչափության մեջ։ Շոտլանդացի մաթեմատիկոսներ Ջեյմս Գրեգորիի 17-րդ դարում և Քոլին ՄաքԼորինի 18-րդ դար, աշխատանքներն ազդեցություն ունեցան եռանկյունաչափական շարքերի զարգացման վրա։[21] Also in the 18-րդ դարում Բրուք Թեյլորը սահմանեց Թեյլորի հիմնական շարքը։[22] Հին հունական մաթեմատիկոսները շրջանագծի աղեղը հաշվելու համար օգտագործում էին լարերի մեթոդը։ Շրջանագծի կենտրոնից լարին տարված ուղղահայցը երկու հավասար մասի է բաժանում աղեղն ու նրան հենված լարը։

Եռանկյունաչափական հարաբերություններ[խմբագրել | խմբագրել կոդը]

Այս ուղղանկյուն եռանկյան մեջ: sin A = a/c; cos A = b/c; tan A = a/b.

Եռանկյունաչափական ֆունկցիաները դրանք ուղղանկյան կողմերի միջև հարաբերություններն են։ Այս հարաբերությունները ներկայացվում են A հայտի անկյան հետևյալ եռանկյունաչափական ֆունկցիաներով, որտեղ a, b և c-ն վերաբերում են նկարում ներկայացված եռանկյան կողմերի երկարություններն են․

  • Սինուս ֆունկցիա (sin), սահմանվում է որպես անկյան դիմացի կողմի հարաբերությունը ներքնաձիգին։
  • Կոսինուս ֆունկցիան (cos), սահմանվում է որպես անկյան կից կողմի հարաբերությունը ներքնաձիգին։
  • Տանգենս ֆունկցիան(tan), սահմանվում է որպես անկյան դիմացի կողմի հարաբերությունը կից կողմին։

Քանի որ միևնույն A սուր անկյամբ երկու ուղղանկյուն եռանկյուն նման են,[23], ուստի եռանկյունաչափական ֆունկցիաները կախված են միայն A անկյունից։

Այս ֆունկցիաների մուլտիպլիկատիվ ինվերսիաները համապատասխանաբար կոչվում են cosecant (csc), secant (sec), և cotangent (cot)․

Փաստացի, կամայական եռանկյան վերաբերյալ հարցերին այս ֆունկցիաների միջոցով հնարավոր է պատասխանել, օգտվելով սինուսի և կոսինուսի օրենքներից։։[24] Այս օրենքների օգնությամբ հնարավոր է հաշվել անհայտ անկյունները և կողմերը, եթե տրված են երկու կողմը և նրանց միջև ընկած անկյունը, երկու անկյունը և նրանց ընդանուր կողմը կամ երբ տրված են եռանկյան երեք կողմերը։

Միավոր շրջան և եռանկյունաչափական ընդհանուր արժեքներ[խմբագրել | խմբագրել կոդը]

Նկար 1a – θ անկյան սինուսը և կոսինուսը, որոշված միավոր շրջանի օգնությամբ։

Եռանկյունաչափական ֆունկցիաները կարող են ներկայացվել նաև միավոր շրջանի օգնությամբ, որն իրենից ներկայացնում է 1 շառավղով շրջան, կենտրոնը կոորդինատային հարթության սկզբնակետում։[25] In this setting, the terminal side of an angle A placed in standard position will intersect the unit circle in a point (x,y), where and .[25] This representation allows for the calculation of commonly found trigonometric values, such as those in the following table:[26]

Ֆունկցիա 0
սինուս 0 1 0
կոսինուս 1 0 -1
Տանգենս 0 անորոշ 0
սեկանս 1 undefined -1
կոսեկանս անորոշ 1 անորոշ
կոտանգենս uանորոշ 0 uանորոշ

Իրական կամ կոմպլեքս փոփոխականների եռանկյունաչափական ֆունկցիաներ[խմբագրել | խմբագրել կոդը]

Միավոր շրջանն օգտագործելով եռանկյունաչափական ֆունկցիաների սահմանումները հնարավոր է ընդլայնել ընդհուպ մինչև բոլոր դրական և բացասական արգումենտների վրա[27] (տես եռանկյունաչափական ֆունկցիա

Եռանկյունաչափական ֆունկցիաների գրաֆիկները[խմբագրել | խմբագրել կոդը]

Հետևյալ աղյուսակը ամփոփում է եռանկյունաչափական վեց հիմնական ֆունկցիաների գրաֆիկների հատկությունները․[28][29]

Ֆունկցիա Ժամանակահատված Տիրույթ Միջակայք Գրաֆիկ
սինուս Sine one period.svg
կոսինուս Cosine one period.svg
տանգենս Tangent-plot.svg
սեկանս Secant.svg
կոսեկանս Cosecant.svg
կոտանգենս Cotangent.svg

Հակադարձ եռանկյունաչափական ֆունկցիաներ[խմբագրել | խմբագրել կոդը]

Քանի որ վեց եռանկյունաչափական ֆունկցիաները պարբերական են, նրանք ինյեկտիվ (կամ, 1-ը 1-ին) չեն, ուստի և հակադարձելի չեն։ Այնուամենայնիվ սահմանափակելով եռանկյունաչափական ֆունկցիայի տիրույթը, այն կարելի է դարձնել հակադարձելի։[30]:48ff Հակադարձ եռանկյունաչափական ֆունկցիաների անունները, իրենց տիրույթների և միջակայքերի հետ մեկտեղ տրված է հետևյալ աղյուսակում․[30]:48ff[31]:521ff

Անվանում Ընդունված նշանակում Սահմանում x-ի տիրույթը իրական արդյունքի համար Հիմնական արժեքի միջակայք
(ռադիան)
Հիմնական արժեքի միջակայք
(աստիճան)
արկսինուս y = arcsin(x) x = sin(y) −1 ≤ x ≤ 1 2y2 −90° ≤ y ≤ 90°
արկկոսինուս y = arccos(x) x = cos(y) −1 ≤ x ≤ 1 0 ≤ y 0° ≤ y ≤ 180°
արկտանգենս y = arctan(x) x = tan(y) բոլոր իրական թվեր 2 < y < 2 −90° < y < 90°
արկկոտանգենս y = arccot(x) x = cot(y) բոլոր իրական թվեր 0 < y < 0° < y < 180°
արկսեկանս y = arcsec(x) x = sec(y) x ≤ −1 or 1 ≤ x 0 ≤ y < 2 or 2 < y 0° ≤ y < 90° or 90° < y ≤ 180°
արկկոսեկանս y = arccsc(x) x = csc(y) x ≤ −1 or 1 ≤ x 2y < 0 or 0 < y2 −90° ≤ y < 0° or 0° < y ≤ 90°

Աստիճանական շարքերի ներկայացում[խմբագրել | խմբագրել կոդը]

Երբ եռանկյունաչափական հարաբերությունները դիտարկվում են որպես իրական փոփոխականի ֆունկցիաներ, դրանք կարող են ներկայացվել անվերջ շարքի օգնությամբ։ Օրինակ սինուսը և կոսինուսը հետևյալ կերպ են ներկայացվում․[32]

Այս կերպ եռանկյունաչափական ֆունկցիաները կարող են սահանվել կոմպլեքս թվերի համար։[33] Ընդլայնելով որպես իրական կամ կոմպլեքս փոփոխականների ֆունկցիաներ, կոմպլեքս էքսպոնենցիալի համար տեղի կունենա Էյլերի բանաձևը․

Հատկապես օգտակար է այս էքսպոնենցիալ ֆունկցիան գրված եռանկյունաչափական ֆունկցիաների տերմիններով։[34][35]

Եռանկյունաչափական ֆունկցիաների հաշվարկ[խմբագրել | խմբագրել կոդը]

Եռանկյունաչափական ֆունկցիաները մաթեմատիկական աղյուսակների կիրառման ամենավաղ օրինակներից են։[36] Այդ աղյուսակները ներառված էին մաթեմատիկական դասագրքերում և ուսանողներին սովորեցնում էին ինչպես գտնել արժեքները և ինչպես ինտերպոլյացիայի միջոցով ավելի ճշգրիտ արժեքներ ստանալ։[37] [Եռանկյունաչափական քանոն]]ը հատուկ բաժանումներ ունի եռանկյունաչափական ֆունկցիաների համար։[38]

Գիտական հաշվիչը հիմնական եռանկյունաչափական ֆունկցիաների (sin, cos, tan, և երբեմն Էյլերի բանաձևի և դրանց հակադարձ ֆունկցիաների) հաշվարկի համար կոճակներ ունի։[39] Շատերը թույլ են տալիս անկյան չափման մեթոդի ընտրություն․ աստիճան, ռադիան, երբեմն և գրադիենտ։ Շատ ծրագրավորման լեզուներ ապահովում են գրադարաններ, որոնք ներառում են եռանկյունաչափական ֆունկցիաներ։[40] Անհատական կոմպյութերի միկրոպրոցեսային չիպերում այլ ֆունկցիաների հետ մեկտեղ ներդրված են նաև եռանկյունաչափական ֆունկցիաները։[41]

Կիրառություններ[խմբագրել | խմբագրել կոդը]

Աստղագիտություն[խմբագրել | խմբագրել կոդը]

Դարեր շարունակ գնդաձև եռանկյունաչափությունն օգտագործվել է արևի, լուսնի և աստղերի դիրքերը որոշելու համար ,[42] խավարումները կանխագուշակելու և մոլորակների ուղեծրերը նկարագրելու համար:[43]

Մեր ժամանակներում, տրիանգուլյացիայի տեխնիկան օգտագործվում է աստղագիտության մեջ՝ մոտակա աստղերից հեռավորությունը չափելու համար,[44] Ինչպես նաև արբանյակային նավիգացիայի համակարգերում։[10]

Նավիգացիա[խմբագրել | խմբագրել կոդը]

[Սեքստանտներն օգտագործվում են չափելու արևի կամ աստղերի անկյունը հորիզոնի նկատմամբ։ Այսպիսի չափումների օգնությամբ, օգտագործելով եռանկյունաչափություն և նավի ժամացույցը կարելի է որաշել նավի դիրքը։

Պատմականորեն եռանկյունաչափությունն օգտագործվում էր առագաստանավերի տեղակայման լայնություններն ու երկայնությունները որոշելու, նավարկման պլանավորման և դրա ընթացքում հեռավորությունները հաշվելու համար։[45]

Եռանկյունաչափությունը շարունակվում է օգտագործվել նավիգացիայում այնպիսի միջոցներով Global Positioning System և արհեստական ինտելեկտով ավտոնոմ տրանսպորտային միջոցների համար։[46]

Գեոդեզիա[խմբագրել | խմբագրել կոդը]

Գեոդեզիայում եռանկյունաչափությունն օգտագործվում է երկարության, մակերեսի և օբյեկտների միջև հարաբերական անկյունները հաշվելու համար։[47]

Ավելի լայն մասշտաբով, եռանկյունաչափությունը օգտագործվում է աշխարհագրության մեջ, կողմնորոշիչ նշանների միջև հեռավորությունները չափելու համար։[48]

Պարբերական ֆունկցիաներ[խմբագրել | խմբագրել կոդը]

Function ֆունկցիան (կարմիրով) տարբեր ամպլիտուդների և հարմոնիկ հաճախությունների վեց սինուսոիդների գումար է։ Նրանց գումարումը կոչվում է Ֆուրիեի շարքեր։ Ֆուրիեի ձևափոխությունը (կապույտով), որը արտապատկերում է ամպլիտուդը հաճախությունից կախված, 6 հաճախականություն է դուրս բերում (կենտ հարմոնիկայով) և (1/odd number) դրանց կենտ ամլիտուդով

Սինուս և կոսինուս ֆունկցիաները հիմնարար են պարբերական ֆունկցիաների տեսության համար,[49] ինչպիսիք են ձայնը և լույսը նկարագրող ալիքները: Ֆուրիեն բացահայտեց որ յուրաքանչյուր անընդհատ ֆունկցիա, պարբերական ֆունկցիա կարող է ներկայացվել եռանկյունաչափական ֆունկցիաների անվերջ գումարի տեսքով։

Նույնիսկ պարբերական ֆունկցիաները կարող են ներկայացվել որպես սինուսների և կոսինուսների ինտեգրալ, Ֆուրիեի ձևափոխության միջոցով։ Սա կիրառություն ունի շատ ոլորտներում, ներառյալ քվանտային մեխանիկայում[50] և կապի ոլորտում[51]։

Օպտիկա և Ձայնագիտություն[խմբագրել | խմբագրել կոդը]

Եռանկյունաչափությունն օգտակար է շատ ֆիզիկական գիտություններում,[52] ներառյալ ձայնագիտությունը,[53] և օպտիկան[53]։ Այս ոլորտներում նրանք օգտագործվում են նկարագրելու ձայնային և լուսային ալիքները, ինչպես նաև լուծելու սահմանային փոխանցման հետ կապված խնդիրները։[54]

Այլ կիրառություններ[խմբագրել | խմբագրել կոդը]

Եռանկյունաչափություն կամ եռանկյունաչափական ֆունկցիաներ օգտագործող այլ ոլորտներ են երաժշտության տեսություն,[55] գեոդեզիա, սինթեզատոր,[56] ճարտարապետություն,[57] էլեկտրոնիկա,[55] կենսաբանություն,[58] բժշկական վիզուալիզացիա (CT scans և ուլտրաձայն),[59] քիմիա,[60] թվերի տեսություն (և հետևաբար կրիպտոլոգիա),[61] սեյսմոլոգիա,[53] օդերևութաբանություն,[62] օվկիանոսագիտություն,[63] պատկերի սեղմում,[64] հնչյունաբանություն,[65] տնտեսագիտություն,[66] էլեկտրական ճարտարագիտություն, մեխանիկական ճարտարագիտություն, քաղաքացիական շինարարություն,[55] համակարգչային գրաֆիկա,[67] քարտեզագրություն,[55] Բյուրեղագիտություն[68] և խաղերի մշակում։[67]

Նույնություններ[խմբագրել | խմբագրել կոդը]

a,b,c կողմերով եռանկյուն և համապատասխանաբար A,B,C հանդիպակաց անկյուններ

Եռանկյունաչափությունը հիշարճան է իր բազմաթիվ նույնություններով՝ հավասարումներով, որոնք ճիշտ են բոլոր հնարավոր մուտքերի համար։[69]

Միայն անկյուններ պարունակող նույնությունները հայտնի են որպես եռանկյունաչափական նույնություններ. մյուս հավասարումները, որ վերաբերում են տրված եռանկյան թե կողմերին և թե անկյուններին, հայտնի են որպես եռանկյան նույնություններ,[70]։

Եռանկյան նույնություններ[խմբագրել | խմբագրել կոդը]

Հետևյալ նույնություններում A, B և C եռանկյան անկյուններն են, իսկ a, b և c անկյունների հանդիպակած կողմերի երկարություններն են։ (ինչպես ցույց է տրված դիագրամում)։[71]

Սինուսների օրենք[խմբագրել | խմբագրել կոդը]

Կամայական եռանկյան համար սինուսի օրենքը պնդում է:[72]

որտեղ եռանկյան մակերեսն է և R-ը եռանկյան արտագծծյալ շրջանագծի շառավիղը։

Կոսինուսի օրենք[խմբագրել | խմբագրել կոդը]

Կոսինուսի օրենքը (հայտնի որպես կոսինուսի բանաձև) Պյութագորասի թեորեմի ընդլայնումն է կամայական եռանկյունների համար։[72]

կամ համարժեք․

Տանգենսների օրենք[խմբագրել | խմբագրել կոդը]

Տանգենսների օրենքը, որ մշակվել էր Ֆրանսուա Վիետի կողմից, կոսինուսների օրենքի այլընտրանքն է, երբ պետք է գտնել եռանկյան անհայտ կողմը, ապահովելով պարզ հաշվարկներ եռանկյունաչափական աղյուսակներ օգտագործելիս։[73] Այն ներկայացվում է․

Մակերես[խմբագրել | խմբագրել կոդը]

Տրված է եռանկյան երկու կողմերը՝ a և b և դրանց միջև ընկած C անկյունը, եռանկյան մակերեսը ներկայացվում է որպես երկու կողմերի և դրանց միջև ընկած անկյան սինուսի արտադրյալ։[72]

Հերոնի բանաձևը եռանկյան մակերեսը հաշվելու մեկ այլ եղանակ է։ Եթե եռանյունը ունի This formula states that if a triangle has sides of lengths a, b և c երկարությամբ կողմեր, և պարագիծը

ապա եռանկյան մակերեսը հավասար է․[74]

,

որտեղ R-ը եռանկյան արտագծյալ շրջանագծի շառավիղն է։


Եռանկյունաչափական նույնություններ[խմբագրել | խմբագրել կոդը]

Պյութագորյան նույնություններ[խմբագրել | խմբագրել կոդը]

Հետևյալ եռանկյունաչափական նույնությունները վերաբերում են Պյութագորասի թեորեմին և տեղի ունեն ցանկացած արժեքի համար․[75]

Էյլերի բանաձևը[խմբագրել | խմբագրել կոդը]

Էյլերի բանաձևը պնդում է , հետևում է անալիտիկ նույնությունը սինուսի, կոսինուսի և տանգենսի արտահայտված e և i կեղծ միավորի տերմիններով։

Այլ եռանկյաունաչափական նույնություններ[խմբագրել | խմբագրել կոդը]

Այլ եռանկյունաչափական նույնությունների թվում են անկյան կիսորդի, անկյունների գումարի և տարբերության, գումարի արտադրյալի նույնությունները։[23]

Ծանոթագրություններ[խմբագրել | խմբագրել կոդը]

  1. Սովետական հանրագիտարանային բառարան. Մ.: Սովետական հանրագիտարան, 1982.
  2. Boyer (1991)։ «Greek Trigonometry and Mensuration»։ ։ էջ 162 
  3. Aaboe, Asger (2001). Episodes from the Early History of Astronomy. New York: Springer. 0-387-95136-9
  4. Otto Neugebauer (1975)։ A history of ancient mathematical astronomy. 1։ Springer-Verlag։ էջ 744։ ISBN 978-3-540-06995-9 
  5. Thurston, pp. 235–236.
  6. Toomer, G. (1998), Ptolemy's Almagest, Princeton University Press, ISBN 978-0-691-00260-6 
  7. Thurston, pp. 239–243.
  8. Boyer p. 215
  9. Gingerich, Owen. "Islamic astronomy." Scientific American 254.4 (1986): 74-83
  10. 10,0 10,1 Michael Willers (13 February 2018)։ Armchair Algebra: Everything You Need to Know From Integers To Equations։ Book Sales։ էջ 37։ ISBN 978-0-7858-3595-0 
  11. «Al-Tusi_Nasir biography»։ MacTutor History of Mathematics archive։ Վերցված է 2018-08-05։ «One of al-Tusi's most important mathematical contributions was the creation of trigonometry as a mathematical discipline in its own right rather than as just a tool for astronomical applications. In Treatise on the quadrilateral al-Tusi gave the first extant exposition of the whole system of plane and spherical trigonometry. This work is really the first in history on trigonometry as an independent branch of pure mathematics and the first in which all six cases for a right-angled spherical triangle are set forth.» 
  12. «the cambridge history of science»։ October 2013 
  13. electricpulp.com։ «ṬUSI, NAṢIR-AL-DIN i. Biography – Encyclopaedia Iranica»։ www.iranicaonline.org (անգլերեն)։ Վերցված է 2018-08-05։ «His major contribution in mathematics (Nasr, 1996, pp. 208-214) is said to be in trigonometry, which for the first time was compiled by him as a new discipline in its own right. Spherical trigonometry also owes its development to his efforts, and this includes the concept of the six fundamental formulas for the solution of spherical right-angled triangles.» 
  14. «trigonometry»։ Encyclopædia Britannica։ Վերցված է 2008-07-21 
  15. Berggren J. Lennart (2007)։ «Mathematics in Medieval Islam»։ The Mathematics of Egypt, Mesopotamia, China, India, and Islam: A Sourcebook։ Princeton University Press։ էջ 518։ ISBN 978-0-691-11485-9 
  16. Boyer pp. 237, 274
  17. «Regiomontanus biography»։ History.mcs.st-and.ac.uk։ Վերցված է 2017-03-08 
  18. N.G. Wilson (1992). From Byzantium to Italy. Greek Studies in the Italian Renaissance, London. 0-7156-2418-0
  19. Grattan-Guinness Ivor (1997)։ The Rainbow of Mathematics: A History of the Mathematical Sciences։ W.W. Norton։ ISBN 978-0-393-32030-5 
  20. Robert E. Krebs (2004)։ Groundbreaking Scientific Experiments, Inventions, and Discoveries of the Middle Ages and the Renaissance։ Greenwood Publishing Group։ էջ 153։ ISBN 978-0-313-32433-8 
  21. William Bragg Ewald (2007). From Kant to Hilbert: a source book in the foundations of mathematics. Oxford University Press US. p. 93. 0-19-850535-3
  22. Kelly Dempski (2002). Focus on Curves and Surfaces. p. 29. 1-59200-007-X
  23. 23,0 23,1 James Stewart, Lothar Redlin, Saleem Watson (16 January 2015)։ Algebra and Trigonometry։ Cengage Learning։ էջ 448։ ISBN 978-1-305-53703-3 
  24. Krystle Rose Forseth, Christopher Burger, Michelle Rose Gilman, Deborah J. Rumsey (7 April 2008)։ Pre-Calculus For Dummies։ John Wiley & Sons։ էջ 218։ ISBN 978-0-470-16984-1 
  25. 25,0 25,1 David Cohen, Lee B. Theodore, David Sklar (17 July 2009)։ Precalculus: A Problems-Oriented Approach, Enhanced Edition։ Cengage Learning։ ISBN 978-1-4390-4460-5 
  26. W. Michael Kelley (2002)։ The Complete Idiot's Guide to Calculus։ Alpha Books։ էջ 45։ ISBN 978-0-02-864365-6 
  27. Jenny Olive (18 September 2003)։ Maths: A Student's Survival Guide: A Self-Help Workbook for Science and Engineering Students։ Cambridge University Press։ էջ 175։ ISBN 978-0-521-01707-7 
  28. Mary P Attenborough (30 June 2003)։ Mathematics for Electrical Engineering and Computing։ Elsevier։ էջ 418։ ISBN 978-0-08-047340-6 
  29. Ron Larson, Bruce H. Edwards (10 November 2008)։ Calculus of a Single Variable։ Cengage Learning։ էջ 21։ ISBN 978-0-547-20998-2 
  30. 30,0 30,1 Elizabeth G. Bremigan, Ralph J. Bremigan, John D. Lorch (2011)։ Mathematics for Secondary School Teachers։ MAA։ ISBN 978-0-88385-773-1 
  31. Martin Brokate, Pammy Manchanda, Abul Hasan Siddiqi (3 August 2019)։ Calculus for Scientists and Engineers։ Springer։ ISBN 9789811384646 
  32. Serge Lang (14 March 2013)։ Complex Analysis։ Springer։ էջ 63։ ISBN 978-3-642-59273-7 
  33. Silvia Maria Alessio (9 December 2015)։ Digital Signal Processing and Spectral Analysis for Scientists: Concepts and Applications։ Springer։ էջ 339։ ISBN 978-3-319-25468-5 
  34. K. RAJA RAJESWARI, B. VISVESVARA RAO (24 March 2014)։ SIGNALS AND SYSTEMS։ PHI Learning։ էջ 263։ ISBN 978-81-203-4941-4 
  35. John Stillwell (23 July 2010)։ Mathematics and Its History։ Springer Science & Business Media։ էջ 313։ ISBN 978-1-4419-6053-5 
  36. Martin Campbell-Kelly, Professor Emeritus of Computer Science Martin Campbell-Kelly, Visiting Fellow Department of Computer Science Mary Croarken, Raymond Flood, Eleanor Robson (2 October 2003)։ The History of Mathematical Tables: From Sumer to Spreadsheets։ OUP Oxford։ ISBN 978-0-19-850841-0 
  37. George S. Donovan, Beverly Beyreuther Gimmestad (1980)։ Trigonometry with calculators։ Prindle, Weber & Schmidt։ ISBN 978-0-87150-284-1 
  38. Ross Raymond Middlemiss (1945)։ Instructions for Post-trig and Mannheim-trig Slide Rules։ Frederick Post Company 
  39. Bonnier Corporation (April 1974)։ Popular Science։ Bonnier Corporation։ էջ 125 
  40. Steven S Skiena, Miguel A. Revilla (18 April 2006)։ Programming Challenges: The Programming Contest Training Manual։ Springer Science & Business Media։ էջ 302։ ISBN 978-0-387-22081-9 
  41. Intel® 64 and IA-32 Architectures Software Developer's Manual Combined Volumes: 1, 2A, 2B, 2C, 3A, 3B and 3C։ Intel։ 2013 
  42. Olinthus Gregory (1816)։ Elements of Plane and Spherical Trigonometry: With Their Applications to Heights and Distances Projections of the Sphere, Dialling, Astronomy, the Solution of Equations, and Geodesic Operations։ Baldwin, Cradock, and Joy 
  43. Neugebauer, Otto. "Mathematical methods in ancient astronomy." Bulletin of the American Mathematical Society 54.11 (1948): 1013-1041.
  44. Michael Seeds, Dana Backman (5 January 2009)։ Astronomy: The Solar System and Beyond։ Cengage Learning։ էջ 254։ ISBN 0-495-56203-3 
  45. John Sabine (1800)։ The Practical Mathematician, Containing Logarithms, Geometry, Trigonometry, Mensuration, Algebra, Navigation, Spherics and Natural Philosophy, Etc։ էջ 1 
  46. Mordechai Ben-Ari, Francesco Mondada (25 October 2017)։ Elements of Robotics։ Springer։ էջ 16։ ISBN 978-3-319-62533-1 
  47. George Roberts Perkins (1853)։ Plane Trigonometry and Its Application to Mensuration and Land Surveying: Accompanied with All the Necessary Logarithmic and Trigonometric Tables։ D. Appleton & Company 
  48. Charles W. J. Withers, Hayden Lorimer (14 December 2015)։ Geographers: Biobibliographical Studies։ A&C Black։ էջ 6։ ISBN 978-1-4411-0785-5 
  49. H. G. ter Morsche, J. C. van den Berg, E. M. van de Vrie (7 August 2003)։ Fourier and Laplace Transforms։ Cambridge University Press։ էջ 61։ ISBN 978-0-521-53441-3 
  50. Bernd Thaller (8 May 2007)։ Visual Quantum Mechanics: Selected Topics with Computer-Generated Animations of Quantum-Mechanical Phenomena։ Springer Science & Business Media։ էջ 15։ ISBN 978-0-387-22770-2 
  51. M. Rahman (2011)։ Applications of Fourier Transforms to Generalized Functions։ WIT Press։ ISBN 978-1-84564-564-9 
  52. Lawrence Bornstein, Basic Systems, Inc (1966)։ Trigonometry for the Physical Sciences։ Appleton-Century-Crofts 
  53. 53,0 53,1 53,2 John J. Schiller, Marie A. Wurster (1988)։ College Algebra and Trigonometry: Basics Through Precalculus։ Scott, Foresman։ ISBN 978-0-673-18393-4 
  54. Dudley H. Towne (5 May 2014)։ Wave Phenomena։ Dover Publications։ ISBN 978-0-486-14515-0 
  55. 55,0 55,1 55,2 55,3 E. Richard Heineman, J. Dalton Tarwater (1 November 1992)։ Plane Trigonometry։ McGraw-Hill։ ISBN 978-0-07-028187-5 
  56. Mark Kahrs, Karlheinz Brandenburg (18 April 2006)։ Applications of Digital Signal Processing to Audio and Acoustics։ Springer Science & Business Media։ էջ 404։ ISBN 978-0-306-47042-4 
  57. Kim Williams, Michael J. Ostwald (9 February 2015)։ Architecture and Mathematics from Antiquity to the Future: Volume I: Antiquity to the 1500s։ Birkhäuser։ էջ 260։ ISBN 978-3-319-00137-1 
  58. Dan Foulder (15 July 2019)։ Essential Skills for GCSE Biology։ Hodder Education։ էջ 78։ ISBN 978-1-5104-6003-4 
  59. Luciano Beolchi, Michael H. Kuhn (1995)։ Medical Imaging: Analysis of Multimodality 2D/3D Images։ IOS Press։ էջ 122։ ISBN 978-90-5199-210-6 
  60. Marcus Frederick Charles Ladd (2014)։ Symmetry of Crystals and Molecules։ Oxford University Press։ էջ 13։ ISBN 978-0-19-967088-8 
  61. Gennady I. Arkhipov, Vladimir N. Chubarikov, Anatoly A. Karatsuba (22 August 2008)։ Trigonometric Sums in Number Theory and Analysis։ Walter de Gruyter։ ISBN 978-3-11-019798-3 
  62. Study Guide for the Course in Meteorological Mathematics: Latest Revision, Feb. 1, 1943։ 1943 
  63. Mary Sears, Daniel Merriman, Woods Hole Oceanographic Institution (1980)։ Oceanography, the past։ Springer-Verlag։ ISBN 978-0-387-90497-9 
  64. «JPEG Standard (JPEG ISO/IEC 10918-1 ITU-T Recommendation T.81)»։ International Telecommunications Union։ 1993։ Վերցված է 6 April 2019 
  65. Kirsten Malmkjaer (4 December 2009)։ The Routledge Linguistics Encyclopedia։ Routledge։ էջ 1։ ISBN 978-1-134-10371-3 
  66. Kamran Dadkhah (11 January 2011)։ Foundations of Mathematical and Computational Economics։ Springer Science & Business Media։ էջ 46։ ISBN 978-3-642-13748-8 
  67. 67,0 67,1 Christopher Griffith (12 November 2012)։ Real-World Flash Game Development: How to Follow Best Practices AND Keep Your Sanity։ CRC Press։ էջ 153։ ISBN 978-1-136-13702-0 
  68. John Joseph Griffin (1841)։ A System of Crystallography, with Its Application to Mineralogy։ R. Griffin։ էջ 119 
  69. Dugopolski (July 2002)։ Trigonometry I/E Sup։ Addison Wesley։ ISBN 978-0-201-78666-8 
  70. V&S EDITORIAL BOARD (6 January 2015)։ CONCISE DICTIONARY OF MATHEMATICS։ V&S Publishers։ էջ 288։ ISBN 978-93-5057-414-0 
  71. Lecture 3 | Quantum Entanglements, Part 1 (Stanford), Leonard Susskind, trigonometry in five minutes, law of sin, cos, euler formula 2006-10-09.
  72. 72,0 72,1 72,2 Cynthia Y. Young (19 January 2010)։ Precalculus։ John Wiley & Sons։ էջ 435։ ISBN 978-0-471-75684-2 
  73. Ron Larson (29 January 2010)։ Trigonometry։ Cengage Learning։ էջ 331։ ISBN 1-4390-4907-6 
  74. Richard N. Aufmann, Vernon C. Barker, Richard D. Nation (5 February 2007)։ College Trigonometry։ Cengage Learning։ էջ 306։ ISBN 0-618-82507-X 
  75. Peterson John C. (2004)։ Technical Mathematics with Calculus (illustrated ed.)։ Cengage Learning։ էջ 856։ ISBN 978-0-7668-6189-3  Extract of page 856