Հանրահաշվական տոպոլոգիա

Հանրահաշվական տոպոլոգիա, մաթեմատիկայի բնագավառ, որտեղ հանրահաշվական հասկացությունների և մեթոդների օգնությամբ ուսումնասիրվում են երկրաչափական պատկերների այնպիսի հատկություններ, որոնք անփոփոխ են մնում հոմոտոպիաների (անընդհատ դեֆորմացիաների) ժամանակ։

Հոմոտոպիան հանրահաշվական տոպոլոգիայի հիմնական հասկացություններից է և սահմանվում է հետևյալ կերպ՝ $f,g:X\rightarrow Y$ անընդհատ արտապատկերումները, որտեղ $X$-ը և $Y$-ը տոպոլոգիական տարածություններ են, կոչվում են միմյանց (ազատ) հոմոտոպ, եթե գոյություն ունի $t\in [0,1]$ պարամետրից կախված $h_{t}:X\rightarrow Y$ անընդհատ արտապատկերումների այնպիսի ընտանիք, որ $h_{0}=f,h_{1}=g,$ և $F(x,t)=h_{t}(x)$ բանաձևով որոշվող $F:X\times [0,1]\rightarrow Y$ արտապատկերումը անընդհատ է։

Օրինակ՝ եթե $X$-ը կամայական տարածություն է, իսկ $Y\subset R^{n}$-ը՝ ուռուցիկ բազմություն, ապա յուրաքանչյուր երկու $f,g:X\rightarrow Y$ արտապատկերումներ իրար հոմոտոպ են՝ $h(t)=(1-t)\cdot f(x)+t\cdot g(x)$։ Յուրաքանչյուր այդպիսի $h_{t}$ ընտանիք (ինչպես նաև համապատասխան $F$ արտապատկերումը) կոչվում է $f$-ը $g$-ի տանող հոմոտոպիական անընդհատ դեֆորմացիա։

Հանրահաշվական տոպոլոգիան ուսումնասիրում է տոպոլոգիական տարածությունների և անընդհատ արտապատկերումների հետևյալ հիմնական տիպերը՝

• պոլիէդրները (սիմպլեքսային, վանդակային),
• բազմաձևությունները (տոպոլոգիական, ողորկ, անալիտիկ),
• շերտավորումները (վեկտորական, գլխավոր, ողորկ),
• անընդհատ, ողորկ անալիտիկ ներդրումները, ընկղմումները։

Հանրահաշվական տոպոլոգիայի հիմնական պրոբլեմներից են՝

• բազմաձևությունների դասակարգումը հոմեոմորֆիզմի տարբեր ձևերի նկատմամբ,
• անընդհատ արտապատկերումների հոմոտոպիական դասակարգումը,
• պոլիէդրների և բազմաձևությունների դասակարգումը հոմոտոպիական համարժեքության նկատմամբ. $X$ և $Y$ տարածությունները կոչվում են հոմոտոպորեն համարժեք, եթե գոյություն ունեն այնպիսի $f:X\rightarrow Y$ և $g:X\rightarrow Y$ անընդհատ արտապատկերումներ, որ $g\circ f$ և $f\circ g$-ն համապատասխանաբար հոմոտոպ են $1_{x}$, $1_{y}$ նույնական արտապատկերումներին։

Հանրահաշվական տոպոլոգիայի ամենազարգացած բաժինը, որն ունի բազմաթիվ կարևոր կիրառություններ մաթեմատիկայի տարբեր բնագավառներում, հոմոլոգիաների տեսությունն է։ Հանրահաշվական տոպոլոգիայի կարևոր բաժիններից է հոմոտոպիաների տեսությունը, որի հիմնական հասկացություններից մեկը $X$ տարածության $\pi _{n}(X,x_{0})$ $n$-չափանի հոմոտոպիական խումբն է: $\pi _{1}(X,x_{0})$ խումբը նաև կոչվում է Պուանկարեի խումբ։

Տես նաև

• Կոմբինատորային տոպոլոգիա

Այս հոդվածի կամ նրա բաժնի որոշակի հատվածի սկզբնական կամ ներկայիս տարբերակը վերցված է Քրիեյթիվ Քոմմոնս Նշում–Համանման տարածում 3.0 (Creative Commons BY-SA 3.0) ազատ թույլատրագրով թողարկված Հայկական սովետական հանրագիտարանից  (հ․ 6, էջ 226)։