Կատեգորիաների տեսություն

Վիքիպեդիայից՝ ազատ հանրագիտարանից
Jump to navigation Jump to search
Natural transformation.svg

Կատեգորիաների տեսություն, արդի մաթեմատիկայի վերացական բաժիններից. մաթեմատիկական օբյեկտներն ուսումնասիրում է դրանց կառուցվածքի հետ համաձայնեցված արտապատկերումների հետ։ Շնորհիվ իր համահյուսող և միասնականացնող դերի կատեգորիաների տեսությունը բազմությունների տեսության հետ կազմում է արդի մաթեմատիկայի հիմքը։

Կատեգորիաների տեսության ուսումնասիրության առարկան, ընդհանուր առմամբ, կատեգորիաներն ու ֆունկտորներն են։ Կատեգորիայի հասկացությունը կազմվում է երեք մասից.

  1. կատեգորիայի օբյեկտների համախմբություն,
  2. յուրաքանչյուր օբյեկտների համար տրված մորֆիզմների բազմություն (որի տարրերը նշանակվում են ),
  3. մորֆիզմների արտադրյալ կամ համադրություն, որը մորֆիզմների յուրաքանչյուր և զույգին համապատասխանեցնում է մորֆիզմ։

Կատեգորիայի մորֆիզմները և դրանց արտադրյալը պետք է բավարարեն հետևյալ պայմաններին.
ա. ցանկացած մորֆիզմների եռյակի համար՝ (արտադրյալի զուգորդականություն),
բ. կամայական օբյեկտի համար գոյություն ունի այնպիսի մորֆիզմ, որ ինչպիսիք էլ լինեն և մորֆիզմները՝ և (միավոր մորֆիզմի գոյություն),
գ. և բազմությունները չունեն ընդհանուր տարր, եթե կամ ։

Կատեգորիաների երկու տարրական օրինակ.

  1. օբյեկտներ համարենք հարթության բոլոր եռանկյունների բազմությունը, կամայական եռանկյունների համար ՝ -ին տանող բոլոր հոմոտետիաների բազմությունը, իսկ մորֆիզմների համադրություն՝ հոմոտետիաների արտադրյալը։
  2. Օբյեկտներ համարենք հարթության բոլոր շրջանագծերը, -ն՝ շրջանագիծը շրջանագծին տանող հոմոտետիաների բազմությունը, իսկ մորֆիզմների համադրություն՝ հոմոտետիաների արտադրյալը (այս օրինակներում և բազմությունների հավասար հոմոտետիաները համարվում են տարբեր մորֆիզմներ, եթե կամ ։
Commutative diagram for morphism.svg

Դիցուք ունենք երկու կատեգորիա՝ Ա և Բ։ Ասում են, որ տրված է կովարիանտ (կոնտրավարիանտ) ֆունկտոր Ա-ից Բ, եթե Ա-ի յուրաքանչյուր օբյեկտին համապատասխանեցված է Բ-ի որոշակի օբյեկտ և Ա-ի յուրաքանչյուր մորֆիզմին՝ Բ-ի [համապատասխանաբար ] մորֆիզմը, ընդ որում բավարարվում են հետևյալ պայմանները,
ա. մորֆիզմների համադրության պատկերը համընկնում է մորֆիզմների պատկերների համադրության հետ, այսինքն՝ ցանկացած և մորֆիզմների համար [համապատասխանաբար ],
բ. յուրաքանչյուր միավոր մորֆիզմի պատկերը միավոր մորֆիզմ է՝ ։ Օրինակ, եռանկյանը համապատասխանեցնելով նրան ներգծված շրջանագիծ, իսկ եռանկյունների հոմոտետիային՝ ներգծյալ շրջանագծերի համապատասխան հոմոտետիան, կստանանք ֆունկտոր վերը նշված օրինակների առաջին կատեգորիայից երկրորդի մեջ։

Կատեգորիաների տեսության դերն ու նշանակությունը մաթեմատիկայում որոշվում է նրանով, որ այնպիսի հիմնական մաթեմատիկական հասկացություններ, ինչպիսիք են բազմությունները և նրանց արտապատկերումները, խմբերը և նրանց հոմոմորֆիզմները, տոպոլոգիական տարածություններն ու նրանց հոմոմորֆիզմները են, կազմում են կատեգորիա, ընդ որում կատեգորիաների տեսությունը հնարավորություն է տալիս մասնավոր տիպի կատեգորիաներն ուսումնասիրող գիտությունների սահմաններում ծագած հասկացություններին նայել նոր, ավելի ընդհանուր տեսանկյունից։ Կատեգորիա հասկացությունը սահմանել են Էյլենբերգն ու Մակլեյնը (1945)։ Կատեգորիաների տեսության զարգացումը 50-ական թվականներին գլխավոր առմամբ կապված էր հոմոլոգիաների տեսության և հանրահաշվական տոպոլոգիայի բուռն զարգացման հետ։ Ներկայումս կատեգորիաների տեսությունը մաթեմատիկայի արագ զարգացող ճյուղերից է և հետզհետե վերածվում է ինքնուրույն գիտության։

Այս հոդվածի կամ նրա բաժնի որոշակի հատվածի սկզբնական կամ ներկայիս տարբերակը վերցված է Քրիեյթիվ Քոմմոնս Նշում–Համանման տարածում 3.0 (Creative Commons BY-SA 3.0) ազատ թույլատրագրով թողարկված Հայկական սովետական հանրագիտարանից  (հ․ 5, էջ 288 CC BY-SA icon 80x15.png