Գծային հանրահաշիվ

Վիքիպեդիայից՝ ազատ հանրագիտարանից
Jump to navigation Jump to search
Եռաչափ Էվկլիդյան տարածությանմեջ հարթությունները ներկայացնում են գծային հավասարումների լուծումները և դրանց հատումը ընդհանուր լուծումների բազմությունը։ Այս դեպքում այն մի կետ է։

Գծային հանրահաշիվ, մաթեմատիկայի ճյուղ, որ վերաբերում է գծային հավասարումների, ինչպիսիք են

գծային ֆունկցիաները, ինչպիսիք են

և դրանց ներկայացումը մատրիցաների և վեկտորական տարածության միջոցով։[1][2][3]

Գծային հանրահաշիվը կենտրոնական տեղ է գրավում մաթեմատիկայի համարյա բոլոր ճյուղերում։ Օրինակ, գծային հանրահաշիվը հիմնարար է երկրաչափության ժամանակակից ձևակերպումներում, ներառյալ հիմնական օբյեկտների, ինչպիսիք են ուղիղները, հարթությունները և պտույտները, սահմանումները։ Բացի այդ ֆունկցիոնալ անալիզը հիմնականում կարող է դիտարկվել որպես գծային հանրահաշվի կիրառություն ֆունկցիաների տարածությունների նկատմամբ։ Գծային հանրահաշիվը նաև օգտագործվում է բազմաթիվ գիտական և ճարտարագիտական բնագավառներում, քանի որ այն հնարավորություն է տալիս մոդելավորել շատ բնական երևույթներ և այդ մոդելների օգնությամբ արդյունավետ հաշվարկներ իրականացնել։ Ոչ գծային համակարգերի համար, որոնք հնարավոր չէ մոդելավորել գծային հանրահաշվի օգնությամբ, գծային հանրահաշիվը հաճախ օգտագործվում է որպես առաջին կարգի մոտարկում։

Պատմություն[խմբագրել | խմբագրել կոդը]

Միաժամանակյա գծային հավասարումների լուծման եղանակը, որն այժմ կոչվում է Գաուսյան մեթոդ, առկա է չինական Մաթեմատիկայի ինը գրքեր մաթեմատիկական տեքստում։ Դրա օգտագործումը ներկայացված է տասնութ խնդիրներում, երկուսից հինգ հավասարումներով։ [4]

Գծային հավասարումների համակարգերը Եվրոպայում հայտնվեցին 1637 թվականին Ռենե Դեկարտի կողմից երկրաչափության մեջ կոորդինատների ներմուծմամբ։ Փաստորեն, այս նոր երկրաչափության մեջ, որ սկսեց կոչվել Քարտեզյան, ուղիղներն ու հարթությունները ներկայացվում են գծային հավասարումներով և դրանց հատումները հաշվելը բերվում է գծային հավասարումների համակարգի լուծման։

Գծային համակարգերի լուծման առաջին համակարգված մեթոդները օգտագործում էին դետերմինանտներ, որ 1693 թվականին առաջինը դիտարկել էր Լայբնիցը։ 1750 թվականին Գաբրիել Կրամերը դրանք օգտագործեց գծային հավասարումների բացահայտ լուծումները ստանալու համար, որն այժմ կոչվում է Կրամերի կանոն։ Հետագայում, Գաուսը նկարագրեց բացառման մեթոդը, որը նախապես թվարկված էր որպես առաջընթաց գեոդեզիայում։[5]

1844 թվականին Հերման Գրասմանը հրատարակեց իր "Ընդլայնման տեսությունը", որը ներառում էր հիմնարար նոր թեմաներ, որոնք այժմ միավորվում են գծային հանրահաշիվ անվան տակ։ 1848 թվականին Ջեյմս Ջոզեֆ Սիլվեստերը առաջարկեց matrix մատրիցա տերմինը, որը լատիներենից թարգմանվում է արգանդ։

Կոմպլեքս հարթության գաղափարներով գծային հանրահաշիվը զարգացում ապրեց։ Օրինակ, ℂ-ի թվերը w և z երկու թվերի տարբերությունը wz, և ուղղի հատվածը նույն երկարությունը և ուղղությունն ունեն։ Սեգմենտները համարժեք են։ Քվատերնիոնների քառաչափ ℍ համակարգը սկիզբ է առել 1843 թվականին: Վեկտոր տերմինը առաջադրվել է որպես v = x i + y j + z k ներկայացնում է կետ տարածության մեջ։ pq քվատերիոնային տարբերությունը ստեղծում է -ին համարժեք սեգմենտ։ Այլ հիպերկոմպլեքս թվային համակարգեր նույնպես որպես հիմք օգտագործում են գծային տարածության գաղափարը։

Արթուր Քելին 1856 թվականին առաջադրեց մատրիցաների բազմապատկումը և մատրիցաների ինվերսիան, որով հնարավոր դարձավ ընդհանուր գծային խմբի ստեղծումը։ Խմբի ներկայացման մեխանիզմը հասանելի դարձավ կոմպլեքս և հիպեր կոմպլեքս թվերի նկարագրության համար։ Կարևորն է, որ Քելին մատրիցան նշանակել էր մեկ տառով, դրանով մատրիցան դիտարկելով որպես ամբողջական օբյեկտ։ Նա նաև գիտակցել էր մատրիցաների և դետերմինանտների կապը և գրել․ "Մատրիցաների տեսության մասին շատ բան կարելի է ասել, որը ըստ ինձ պետք է հետևի դետերմինանտների տեսությանը"։[5]

ԲենջամինՊիրսը հրապարակեց իր Գծային ասոցիատիվ հանրահաշիվ աշխատությունը (1872), իսկ նրա որդին՝ Չարլզ Սանդերս Պիրսը, հետագայում զարգացրեց այն։[6]

Հեռագրական կապը պահանջում էր բացատրական համակարգ և 1873 թվականի Էլեկտրականության և մագնետիզմի ձեռնարկը սահմանել էր ուժերի դաշտի տեսությունը և ներկայացնելու համար պահանջվող դիֆերենցիալ երկրաչափությունը։ Գծային հանրահաշիվը հարթ դիֆերենցիալ երկրաչափություն է և օգտագործվում է բազմազանություններին հարող տարածքներում։ Տարածություն-ժամանակ սիմետրիաները արտահայտված են Լորենցի ձևափոխություններով, և գծային հանրահաշվի պատմության մեծ մասը Լորենցի ձևափոխությունների պատմությունն է։

Վեկտորական տարածության ժամանակակից և ավելի ճշգրիտ առաջին սահմանումը տվել է Պեանոն 1888 թվականին։[5] 1900 թվականին ի հայտ եկավ վերջավոր չափանի վեկտորական տարածության գծային ձևափոխությունների տեսությունը։ Գծային հանրահաշիվն իր ժամանակակից տեսքը ստացել է քսաներորդ դարի առաջին կեսում, երբ շատ նախորդ դարերի շատ գաղափարներ և մեթոդներ ընդհանրացվեցին որպես աբստրակտ հանրահաշիվ։ Կոմպյուտերների զարգացումը տարավ Գաուսյան բացառման և մատրիցաների տարանջատման արդյունավետ ալգորիթմների հետազոտությանը, և գծային հանրահաշիվը դարձավ մոդելավորման և նմանակման էական գործիք։[5]

Վեկտորական տարածություն[խմբագրել | խմբագրել կոդը]

Մինչ 19-րդ դարը գծային հանրահաշիվը ներկայացվում էր գծային հավասարումների և մատրիցաների համակարգի միջոցով։ Ժամանակակից մաթեմատիկայում վեկտորական տարածությունների միջոցով ներկայացումն ավելի նախընտրելի է, քանի որ այն ավելի սինթետիկ է, ավելի ընդհանուր (չի սահմանափակվում վերջավոր չափանի դեպքով), և կոնցեպտուալ ավելի պարզ է, թեև ավելի աբստրակտ։

F դաշտի վրա (հաճախ իրական թվերի դաշտ) վեկտորական տարածությունը, դա երկու բինար գործողություններով հագեցած V բազմությունն է, որ բավարարում է հետևյալ աքսիոմներին։ V-ի տարրերը կոչվում են վեկտորներ, իսկ F-ի տարրերը կոչվում են սկալյարներ։ Առաջին, վեկտորների գումարման գործողությունը, կամայական երկու վեկտորների v և w գումարման արդյունքում ստանում ենք երրորդ v + w վեկտորը։ Երկրորդ, սկալյար արտադրյալ գործողությունը, կամայական սկալյարի a սկալյարի և կամայական v վեկտորի համար արդյունքում ստանում ենք նոր վեկտոր av։ Աքսիոմները, որոնց պետք է բավարարեն գումարման և սկալյարով բազմապատկման գործողությունները, հետևյալն են (ստորև բերված ցանկում u, v և w կամայական վեկտորներ են V-ից, իսկ a և b կամայական սկալյարներ F դաշտից։[7]

Աքսիոմ Արժեք
Գումարման ասոցիատիվություն u + (v + w) = (u + v) + w
Գումարման կոմուտատիվություն u + v = v + u
Գումարման չեզոքություն There exists an element in V վեկտորական տարածության մեջ գոյություն ունի 0 տարր, զրո վեկտոր (կամ պարզապես զրո), որ կամայական v-ի համար V-ից v + 0 = v։
Գումարման հակադարձ տարր V-ի կամայական v վեկտորի համար, գոյություն ունի v վեկտոր V-ում, որ կոչվում է vհակադարձ, այնպես որ v + (−v) = 0
Սկալյարով բազմապատկման բաշխելիությունը վեկտորներ գումարի նկատմամբ  a(u + v) = au + av
Սկալյարների գումարը վեկտորով բազմապատկման բաշխելիությունը (a + b)v = av + bv
Սկալյարով բազմապատկման համատեղելիությունը դաշտում բազմապատկման հետ a(bv) = (ab)v [nb 1]
սկալյար բազմապատկման նույնական տարր 1v = v, որտեղ 1-ով նշանակվում է F-ի բազմապատկման միավորը։


Այս հոդվածի կամ նրա բաժնի որոշակի հատվածի սկզբնական կամ ներկայիս տարբերակը վերցված է Քրիեյթիվ Քոմմոնս Նշում–Համանման տարածում 3.0 (Creative Commons BY-SA 3.0) ազատ թույլատրագրով թողարկված Հայկական սովետական հանրագիտարանից  (հ․ 3, էջ 105 CC-BY-SA-icon-80x15.png
  1. Banerjee, Sudipto; Roy, Anindya (2014), Linear Algebra and Matrix Analysis for Statistics, Texts in Statistical Science (1st տպ.), Chapman and Hall/CRC, ISBN 978-1420095388 
  2. Strang, Gilbert (July 19, 2005), Linear Algebra and Its Applications (4th տպ.), Brooks Cole, ISBN 978-0-03-010567-8 
  3. Weisstein Eric։ «Linear Algebra»։ From MathWorld--A Wolfram Web Resource.։ Wolfram։ Վերցված է 16 April 2012 
  4. Hart Roger (2010)։ The Chinese Roots of Linear Algebra։ JHU Press 
  5. 5,0 5,1 5,2 5,3 Vitulli Marie։ «A Brief History of Linear Algebra and Matrix Theory»։ Department of Mathematics։ University of Oregon։ Արխիվացված օրիգինալից-ից 2012-09-10-ին։ Վերցված է 2014-07-08 
  6. Benjamin Peirce (1872) Linear Associative Algebra, lithograph, new edition with corrections, notes, and an added 1875 paper by Peirce, plus notes by his son Charles Sanders Peirce, published in the American Journal of Mathematics v. 4, 1881, Johns Hopkins University, pp. 221–226, Google Eprint and as an extract, D. Van Nostrand, 1882, Google Eprint.
  7. Կաղապար:Harvard citations


Քաղվածելու սխալ՝ <ref> tags exist for a group named "nb", but no corresponding <references group="nb"/> tag was found, or a closing </ref> is missing