Երկրաչափություն

Վիքիպեդիայից՝ ազատ հանրագիտարանից
Jump to navigation Jump to search
Դիզարգուսի թեորեմի իլյուստրացիան, որը կարևոր արդյունք է Էվկլիդյան և պրոյեկցիոն երկրաչափությունում։

Երկրաչափությունը (հին հուն․՝ γεωμετρία; geo- «երկիր», -metria «չափումներ») մաթեմատիկայի ճյուղ է, որը ուսումնասիրում է մարմինների մակերևույթը, չափերը, միմյանց նկատմամբ դասավորությունը և տարածության հատկությունները։

Երկրաչափությունը մի շարք վաղ մշակույթներում, միմյանցից անկախ, ծագեց որպես երկարության, մակերեսի և ծավալի հետ գործելու պրակտիկ եղանակ։ Երկրաչափությունը, արևմուտքում ձևավորված ֆորմալ մաթեմատիկական տարրերը սկսեց օգտագործել դեռևս մ․թ․ա․ 6-րդ դարում։[1] Մ․թ․ա․ 3-րդ դարում Էվկլիդեսը իր Տարրեր աշխատությունում երկրաչափությունը դրեց աքսիոմատիկ հիմքերի վրա, որով գործածման ստանդարտներ սահմանեց դարեր ի վեր։[2] Երկրաչափությունը Հնդկաստանում ծագեց անկախ, մ․թ․ա․ 3-րդ դարում, ապահովելով երկրաչափական մարմինների միջև գոյություն ունեցող կանոնների նկարագրությունը։[3] Մահմեդական գիտնականները վերցնելով հույների գաղափարները միջին դարերում դրանք զարգացրեցին։[4] 17-րդ դարի սկզբին Ռենե Դեկարտի և Պիեռ Ֆերմայի կողմից երկրաչափությունը ամուր անալիտիկ հիմքերի վրա դրվեց։ Այդ ժամանակներից ի վեր և մինչ արդի ժամանակները, երկրաչափությունը ընդարձակվել է դեպի ոչ-Էվկլիդեսյան երկրաչափություն և տոպոլոգիական բազմազանություններ, որոնք ընկած են մարդկային փորձի սովորական սահմաններից դուրս։[5]

Չնայած երկրաչափությունը տարիների ընթացքում զգալիորեն զարգացել է, սակայն կան ընդհանուր հասկացություններ, որոնք քիչ թե շատ հիմնարար են երկրաչափության համար։ Դրանցից են կետերը, ուղիղները, հարթությունները, մակերևույթները, անկյունները և կորերը, ինչպես նաև ավելի ընդլայնված հասկացություններ, ինչպիսիք են բազմազանության, տոպոլոգիայի և մետրիկայի հասկացությունները։[6]

Երկրաչափությունը կիրառվում է բազմաթիվ բնագավառներում, ներառյալ արվեստը, ճարտարապետությունը, ֆիզիկան, ինչպես նաև մաթեմատիկայի այլ ճյուղերը։

Ակնարկ[խմբագրել | խմբագրել կոդը]

Ժամանակակից երկրաչափությունը բազմաթիվ ենթաճյուղեր ունի։

Պատմություն[խմբագրել | խմբագրել կոդը]

    1rightarrow.png Հիմնական հոդված՝ Երկրաչափության պատմություն

Երկրաչափության ամենավաղ սկիզբը արձանագրվել է Միջագետքում և Հին Եգիպտոսում մ․թ․ա․ 2-րդ հազարամյակում։[8][9] Վաղ երկրաչափությունը փորձերի միջոցով հայտնաբերված սկզբունքների հավաքածու էր, երկարությունների, անկյունների, մակերեսների և ծավալների վերաբերյալ, որոնք մշակվել են որոշակի գործնական կարիքներ՝ շինարարություն, աստղագիտություն և տարբեր արհեստների բավարարման համար։ Երկրաչափության վաղ տեքստերն են Եգիպտյան Մաթեմատիկական պապիրուսները (մ․թ․ա․ 2000–1800) և Մոսկովյան պապիրուսները (մ․թ․ա․ 1890), Բաբելոնյան մաթեմատիկա, ինչպիսին Պլիմպտոն 322 (1900 BC)։ Օրինակ, Մոսկովյան պապիրուսը ներկայացնում է հատված բուրգի ծավալը կամ հատույթը։[10] Ավելի ուշ (մ․թ․ա․ 350–50) կավե ցուցանակները ներկայացնում էին, որ Բաբելոնյան աստղագետները սեղանի եղանակները կիրառել են Յուպիտերի դիրքը և շարժը ժամանակ-արագություն տարածության մեջ հաշվարկելու համար։ Այս երկրաչափական եղանակները ենթաադրում էին 14-րդ դարի Օքսֆորդի հաշվողներին, ներառյալ միջին արագության թեորեմը։[11] Եգիպտոսից հարավ նուբիացիները ստեղծել էին երկրաչափական համակարգ, ներառյալ արևային ժամացույցի վաղ տարբերակները։[12][13]

Մ․թ․ա․ 7-րդ դարում, հույն մաթեմատիկոս Թալես Միլեթացին երկրաչափությունն օգտագործում էր այնպիսի խնդիրներ լուծելու համար, ինչպիսիք են բուրգի բարձրությունը և նավերի հեռավորությունը ափից հաշվելը։ Նրան է վերագրվում դեդուկտիվ մտահանգման առաջին կիրառությունը երկրաչափության մեջ, Թալեսի թեորեմից չորս հետևանքների դուրս բերման եղանակով։[1] Պյութագորասը հիմնեց Պյութագորյան դպրոցը, որին վերագրվում է Պյութագորի թեորեմի առաջին ապացույցը։,[14][15][16] Եվդոքսը (408–c. 355 մ․թ․ա․) մշակել էր մոտարկման մեթոդ, որի միջոցով հնարավոր եղավ հաշվել կորագիծ մարմինների մակերեսներն ու ծավալները։[17] Մ․թ․ա․ 300 թվականին, Էվկլիդեսը իր Էվկլիդյան տարրեր աշխատությամբ, որ համարվում է բոլոր ժամանակների ամենաազդեցիկ և հաջող դասագիրքը, հեղաշրջում կատարեց երկրաչափության մեջ,[18] մաթեմատիկական խստություն մտցնելով աքսիոմատիկ մեթոդների միջոցով, որը ցայսօր մաթեմատիկայում օգտագործվող ամենավաղ ձևաչափի օրինակն է՝ սահմանում, աքսիոմա, թեորեմ և ապացույց։ Չնայած Տարրերի բովանդակությունը արդեն հայտնի էր, Էվկլիդեսը դրանք ձևակերպեց մեկ միասնական տրամաբանական կառուցվածքում։ [19]Տարրերը Արևմուտքի բոլոր կրթված մարդկանց հայտնի էին մինչև 20-րդ դարի կեսերը և դրա բովանդակությունը դեռևս դասավանդվում է երկրաչափության դասերին։[20] Արքիմեդեսը (c. 287–212 մ․թ․ա․) մոտարկման մեթոդն օգտագործեց պարաբոլայի աղեղից ներքև մարմնի մակերեսը հաշվարկելու համար և տվեց Pi թվի հաշվարկի ճշգրիտ մոտարկումը։[21] Նա նաև ուսումնասիրել է հետագայում իր անվամբ կոչված Արքիմեդեսի պտուտակը և դուրս բերել դրա պտույտների հատույթների ծավալների հաշվարկի բանաձևերը։

Կինը երեխաներին երկրաչափություն է սովորեցնում: XIV դարի սկիզբ

Հնդիկ մաթեմատիկոսները նույնպես բազմաթիվ կարևոր ներդրումներ են կատարել երկրաչափության մեջ։ Սատապաթա Բրահմանան (մ․թ․ա․ 3-րդ դար) ծիսական երկրաչափական շինությունների կառուցվածքների կանոններ է պարունակում, որոնք նման են Սուլբա Սուտրասին։[3] Համաձայն (Hayashi 2005, էջ 363), Սուլբա Սուտրասը պարունակում է Պյութագորյան թեորեմի տառացի նկարագրության աշխարհում ամենավաղ տարբերակը, չնայած դա ավելի վաղ հայտնի էր հին բաբելոնացիներին։ Դրանք պարունակում են Պյութագորյան եռյակների ցուցակը,[22] որոնք Դիոֆանտյան հավասարումների մասնավոր դեպքեր են։[23] Բաշխալի ձեռագրում ներկայացված են մի քանի երկրաչափական խնդիրներ (ներառյալ անկանոն պինդ մարմինների ծավալների վերաբերյալ)։ Ձեռագիրը նաև "օգտագործում է տասնորդական արժեքային համակարգը, կետը որպես զրո։"[24] Արիաբատան իր աստղագիտական աշխատության մեջ ներառել է մակերեսների և ծավալների հաշվարկը։ Բրահմագուպտան 628 թվականին գրել է իր աստղագիտական աշխատանքը։ 12 գլուխ, կազմված 66 հատվածներից, որ ներկայացված էին երկու բաժիններով՝ "հիմնական գործողություններ" (ներառյալ խորանարդ արմատ, կոտորակ, հարաբերակցություն, համամասնություն և փոխարժեք) և "պրակտիկ մաթեմատիկա" (ներառյալ խառնուրդ, մաթեմատիկական հաջորդականություններ, հարթ մարմիններ, աղյուսների դարսում, փայտի փորագրում, փայտանյութի մշակում, հացահատիկի կուտակում)։[25] Վերջին հատվածում, նա ներկայացնում է ներգծված քառանկյունների անկյունագծերի վերաբերյալ իր հայտնի թեորեմը։ Այն նաև պարունակում է ներգծված քառանկյունների մակերեսը (Հերոնի բանաձևի ընդհանրացումը), ինչպես նաև ռացիոնալ եռանկյունների ամբողջական նկարագրությունը (այսինքն ռացիոնալ կողմերով և ռացիոնալ մակերեսներով եռանկյուններ)։[25]

Միջին դարերում, միջնադարյան իսլամի մաթեմատիկոսները ներդրում են ունեցել երկրաչափության զարգացման, հատկապես հանրահաշվական երկրաչափության մեջ։ [26][27] Թաբիտ իբն Քուռան (լատիներենով հայտնի որպես Thebit) (836–901) զբաղվում էր թվաբանական գործողություններով, որոնք կիրառելի էին երկրաչափական մեծությունների նկատմամբ և ներդրում ունեցավ անալիտիկ երկրաչափության զարգացման համար։[4] Օմար Խայամը (1048–1131) խորանարդ հավասարումների համար երկրաչափական լուծումներ գտավ։ [28] Իբն ալ-Հայթամի (Ալհազեն), Օմար Խայամի և Նասիր ալ-Դին ալ-Թուսիի թեորեմները քառանկյունների վերաբերյալ, ներառյալ Լամբերտի քառանկյունը և Սաքերի քառանկյունը, հիպերբոլիկ երկրաչափության վաղ արդյունքներն էին և նրանց ալտերնատիվ պոստուլատների հետ, ինչպիսին Փլեյֆեայի աքսիոմն է, այս աշխատանքները զգալի ազդեցություն ունեցան ոչ-Էվկլիդյան երկրաչափության վրա։[29]

17-րդ դարի սկզբում երկու կարևոր իրադարձություններ տեղի ունեցան։ Առաջինը, Ռենե Դեկարտի (1596–1650) և Պիեռ Ֆերմայի (1601–1665) կողմից անալիտիկ երկրաչափության կամ կոորդինատային համակարգով և հավասարումներով երկրաչափության ստեղծումն էր։ Սա մաթեմատիկական անալիզի և ֆիզիկայի ճշգրիտ քանական գիտության զարգացման անհրաժեշտ նախապայման էր։ Այդ ժամանակշրջանի հաջորդ պրոյեկցիոն երկրաչափության համակարգային հետազոտությունն էր Ժերար Դեսարգի կողմից (1591–1661)։ Պրոեկցիոն երկրաչափությունը առանց չափումների կամ զուգահեռ ուղիղների, ուղղակի կետերի միմյանց նկատմամբ հարաբերության ուսումնասիրություն։

Երկրաչափության 19-րդ դարի երկու իրադարձությունները փոխեցին դրանց ուսումնասիրության նախկին եղանակները։ Դրանք էին ոչ-Էվկլիդյան երկրաչափության հայտնագործումը Նիկոլայ Լոբաչևսկու, Ջենոս Բոլյաիի և Կառլ Գաուսի կողմից և սիմետրիայի ձևակերպումը որպես Ֆելիքս Կլայնի Էրլագեն ծրագրի կենտրոնական քննարկում (որոնք ըննդհանրացրեցին Էվկլիդյան և ոչ-Էվկլիդյան երկրաչափությունները)։ Ժամանակի հիմնական երկրաչափները երկուսն էին, Բեռնարդ Ռիմանը (1826–1866), որ հիմնականում աշխատում էր մաթանալիզի գործիքներով և առաջարկեց Ռիմանի մակերևույթը և Հենրի Պուանկարեն, հանրահաշվական տոպոլոգիայի և դինամիկ համակարգերի երկրաչափական տեսության հիմնադիրը։ Այս խոշոր փոփոխությունների հետևանքով երկրաչափության հայեցակարգում "տարածություն" հասկացությունը դարձավ հարուստ և բազմազան, և տեսությունների բնական նախադրյալները այնքան տարբեր, որքան կոմպլեքս անալիզը և դասական մեխանիկան։

Երկրաչափական կարևոր հասկացություններ[խմբագրել | խմբագրել կոդը]

Ստորև բերված են երկրաչափության ամենակարևոր հասկացություններից մի քանիսը։[6][7]

Աքսիոմներ[խմբագրել | խմբագրել կոդը]

Էվկլիդյան զուգահեռ պոստուլատի պատկեր
1rightarrow.png  Տե՛ս նաև Էվկլիդեսյան երկրաչափություն 

Էվկլիդեսը, իր Տարրեր գրքում, երբևէ գրված ամենաազդեցիկ գրքերից մեկում, երկրաչափության նկատմամբ աբստրակտ մոտեցում է որդեգրում։ Նա կետերի, ուղիղների և հարթությունների սկզբնական կամ ակնհայտ հատկությունների արտահայտման համար առաջարկեց որոշակի աքսիոմներ և պոստուլատներ։ Այդ մարմինների այլ հատկությունները նա դուրս բերեց խիստ մաթեմատիկական մտահանգումների միջոցով։ Երկրաչափության նկատմամբ Էվկլիդյան մոտեցման բնորոշ առանձնահատկությունը դրա խստությունն էր և այն հայտնի դարձավ որպես աքսիոմատիկ կամ սինթետիկ երկրաչափություն։ 19-րդ դարի սկզբում Նիկոլայ Լոբաչևսկու (1792–1856), Ջանոս Բոլվաիի (1802–1860), Կառլ Գաուսի (1777–1855) և այլոց կողմից ոչ-Էվկլիդյան երկրաչափության հայտնագործումը բարձրացրեցին այդ ուղղությունների նկատմամբ հետաքրքրությունը և 20-րդ դարում Դավիդ Հիլբերտը (1862–1943) աքսիոմատիկ հիմնավորումներն օգտագործեց ապահովելու երկրաչափության ժամանակակից հիմքը։

Կետեր[խմբագրել | խմբագրել կոդը]

    1rightarrow.png Հիմնական հոդված՝ Կետ


Էվկլիդյան երկրաչափության մեջ կետերը համարվում են հիմնարար օբյեկտներ։ Դրանք սահմանվել են տարբեր եղանակներով, ներառյալ Էվկլիդեսի սահմանաումը 'այն որ մաս չունի'։[30][31] Երկրաչափության ճյուղերում, ինչպիսիք անալիտիկ երկրաչափությունը, դիֆերենցիալ երկրաչափությունը և տոպոլոգիան, բոլոր օբյեկտները համարվում են կետերից կազմված։ Այնուամենայնիվ, եղել են նաև առանց կետերին անդրադարձի երկրաչափության որոշ հետազոտություններ; [32]

Ուղիղներ[խմբագրել | խմբագրել կոդը]

    1rightarrow.png Հիմնական հոդված՝ Ուղիղ


Էվկլիդեսը ուղիղը նկարագրում էր "անվերջ երկարություն", որը which "իր կետերի նկատմամբ հավասար դիրք ունի"։[30] Ժամանակակից երկրաչափությունում, հաշվի առնելով բազմազան երկրաչափությունների առկայությունը, ուղղի հասկացությունը սերտ կապված է երկրաչափության նկարագրման եղանակից։ Օրինակ, անալիտիկ երկրաչափության մեջ ուղիղը հարթության վրա նկարագրվում է որպես կետերի բազմություն, որոնց կոորդինատները բավարարում են տված գծային հավասարմանը,[33] սակայն ավելի աբստրակտ միջավայրում, ինչպիսին ինցիդենտ երկրաչափությունն է, ուղիղը կարող է լինել անկախ օբյեկտ, անկախ նրա վրայի կետերի բազմությունից։[34] Դիֆերենցիալ երկրաչափության մեջ գեոդեզիկ ուղիղը ուղիղի հասկացության ընդհանրացումն է տարածական կորերի վրա։[35]

Հարթություններ[խմբագրել | խմբագրել կոդը]

    1rightarrow.png Հիմնական հոդված՝ Հարթություն


Հարթությունը հարթ երկչափ մակերևույթ է, որ տարածվում է անվերջ հեռու։[30] Հարթություններն օգտագործվում են երկրաչափության յուրաքանչյուր բնագավառում։ Օրինակ, հարթությունները կարող են ուսումնասիրվել որպես տոպոլոգիական մակերևույթներ, առանց հեռավորությունների և անկյունների առընչության,[36] այն կարող է ուսումնասիրվել որպես աֆինկան տարածություն, որտեղ կարող են ուսումնասիրվել բազմագունությունն ու հարաբերությունները, բայց ոչ հեռավորությունը,[37] այն կարող է ուսումնասիրվել որպես կոմպլեքս հարթություն օգտագործելով կոմպլեքս անալիզի գործիքները,[38] և այլն։

Անկյուններ[խմբագրել | խմբագրել կոդը]

    1rightarrow.png Հիմնական հոդված՝ Անկյուն


Էվկլիդեսը հարթ անկյունը սահմանում է հարթության մեջ որպես երկու իրար հատող ուղիղների միմյանց նկատմամբ թեքումը։[30] Ժամանակակից տերմիններով անկյունը երկու ճառագայթներից, կողմերից կազմված մարմին է միևնույն վերջնակետով, անկյան գագաթով։[39]

Սուր (a), բութ (b), և ուղիղ (c) անկյուններ։ Սուր և բութ անկյունները նաև կոչվում են թեք անկյուններ։

Էվկլիդեսյան երկրաչափության մեջ, անկյունները օգտագործվել են բազմանկյունները և եռանկյուններն ուսումնասիրելու համար, ինչպես նաև հենց իրենց ուսումնասիրության համար։[30] Անկյունների և եռանկյունների կամ միավոր շրջանի անկյունների ուսումնասիրությունը եռանկյունաչափության հիմքն է։[40]

Դիֆերենցիալ երկրաչափության մեջ և մաթանալիզում անկյունները հարթ կորեր կամ տարածական կորերի կամ մակերևույթների միջև կարելի է հաշվարկել ածանցյալի միջոցով։[41][42]

Կորեր[խմբագրել | խմբագրել կոդը]

    1rightarrow.png Հիմնական հոդված՝ Կոր)


Կորը կարող է 1-չափանի օբյեկտ լինել, ինչպես ուղիղը, 2-չափանի տարածության մեջ այն կոչվում է հարթ կոր, իսկ եռաչափ տարածության մեջ՝ տարածական կոր։.[43]

Տոպոլոգիայում կորը սահմանվում է որպես ֆունկցիա իրական թվերի միջակայքից այլ տարածության վրա;[36] Դիֆերենցիալ երկրաչափության մեջ նույն սահմանումն է օգտագործվում, սակայն սահմանվող ֆունկցիան պետք է ածանցելի լինի։[44] Հանրահաշվական երկրաչափությունը ուսումնասիրում է հանրահաշվական կորերը, որոնք սահմանված են որպես հանրահաշվական բազմազանության չափի հանրահաշվական բազմազանություններ։[45]

Մակերևույթներ[խմբագրել | խմբագրել կոդը]

Գունդը մակերևույթ է, որ կարելի է սահմանել ( x = r sin θ cos φ, y = r sin θ sin φ, z = r cos θ) պարամետրերով կամ անուղղակիորեն (x2 + y2 + z2r2 = 0.)

Մակերևույթը երկչափանի օբյեկտ է, ինչպիսին գունդն է կամ պարաբոլոիդը։[46] Դիֆերենցիալ երկրաչափությունում[44] և տոպոլոգիայում,[36] մակերևույթները նկարագրվում են երկչափանի surfaces are described by two-dimensional 'նմուշների', որոնք միավորված են համապատասխանաբար դիֆոմորֆիզմներով կամ հոմոմորֆիզմներով։ Հանրահաշվական երկրաչափության մեջ մակերևույթները նկարագրվում են բազմանդամային հավասարումներով։[45]

Բազմաձևություններ[խմբագրել | խմբագրել կոդը]

    1rightarrow.png Հիմնական հոդված՝ Բազմաձևություն


Բազմաձևությունը կորի և մակերևույթի հասկացության ընդհանրացումն է։ Տոպոլոգիայում բազմաձևությունը տոպոլոգիական տարածություն է, որտեղ յուրաքանչյուր կետ ունի իր շրջակայքը, որը հոմոմորֆ է Էվկլիդյան տարածությանը։[36] Դիֆերենցիալ երկրաչափության մեջ ածանցվող բազմաձևությունը տարածություն է, որտեղ յուրաքանչյուր շրջակայք դիֆեֆորմ է Էվկլիդյան երկրաչափությանը։[44]

Բազմաձևությունները լայնորեն օգտագործվում են ֆիզիկայում, ներառյալ ընդհանուր հարաբերականությունը և լարային տեսությունը։[47]

Տոպոլոգիաներ և չափանիշներ[խմբագրել | խմբագրել կոդը]

    1rightarrow.png Հիմնական հոդված՝ Տոպոլոգիա
Պյութագորասի թեորեմի պատկերային ապացույց (3, 4, 5) եռանկյունների համար, աղբյուր` Չու Պեյ Սուան Չինգ մ.թ.ա.500–200

Տոպոլոգիան բազմության մաթեմատիկական կառուցվածք է, որ ներկայացնում է բազմության տարրերի միմյանց նկատմամբ տարածական հարաբերությունը։[36] Տոպոլոգիաների ամենահայտնի օրինակները մետրիկայից են, որոնք կետերի միջև հեռավորության չափման եղանակներ են։[48] Օրինակ, Էվկլիդյան մետրիկան չափում է երկու կետերի միջև հեռավորությունը Էվկլիդյան հարթության մեջ, մինչդեռ հիպերբոլիկ մետրիկան չափում է հեռավորությունը հիպերբոլիկ հարթության մեջ։ Մետրիկաների այլ կարևոր օրինակներ են հատուկ հարաբերականության տեսության Լորենցի մետրիկան և ընդհանուր հարաբերականության կիսա-Ռիմանյան մետրիկաները։[49]

Կարկինով և քանոնով կառուցվածքներ[խմբագրել | խմբագրել կոդը]

Դասական երկրաչափությունը հատուկ ուշադրություն է դարձնում երկրաչափական մարմինների կառուցմանը, որոնք ներկայացվել են այլ կերպ։ Դասականորեն երկրաչափական կառուցվածքներում թույլատրելի միակ գործիքներն են քանոնն ու կարկինը։ Ինպես նաև յուրաքանչյուր կառուցվածք պետք է ամբողջացվի վերջավոր քայլերում։ Այնուամենայնիվ, միայն այս միջոցներով որոշ խնդիրների լուծումներ գտնել դժվար էր կամ անհնար, և գտնվեցին հանճարեղ կառուցվածքներ պարաբոլների և այլ կորերի․ ինչպես նաև մեխանիկական գործիքների օգտագործմամբ։

Չափ[խմբագրել | խմբագրել կոդը]

    1rightarrow.png Հիմնական հոդված՝ Չափականություն
log4/log3 կոտորակային չափանի և 1 տոպոլոգիական չափանի Կոչի փաթիլ։

Ավանդական երկրաչափությունը թույլատրում է 1 չափը (ուղիղ), 2 (հարթություն) և 3 (մեզ շրջապատող աշխարհը որպես եռաչափ տարածություն), իսկ մաթեմատիկոսները օգտագործում են ավելի բարձր չափականություն շուրջ երկու դար։ Չափը անցել է հետևայ փուլերով, կամայական բնական թիվ n, հնարավոր անվերջ մտցնելով Հիլբերտյան տարածության հասկացությունը և կամայական դրակա իրական թիվ, կոտորակային երկրաչափության մեջ։ Չափականության տեսությունը տեխնիկական բնագավառ է, անվերջ ընդհանուր տոպոլոգիայում, որ քննարկում է սահմանումներ, ինչպես մաթեմատիկական գաղափարներից շատերը, այժմ չափականությունը ավելի որոշակի է, քան ինտուիցիան։ Կապակցված տոպոլոգիական բազմազանությունը ունի լավ սահմանված չափականություն, սա ավելի շուտ տիրույթի ինվարիանտության թեորեմ է, քան ինչ որ ապրիորի։

Չափականության խնդիրը դեռևս կարևորվում է երկրաչափությունում, չնայած դասական հարցերի ամբողջական պատասխանների բացակայությանը։ Տարածության 3 չափը և տարածություն-ժամանակ 4 չափը երկրաչափական տոպոլոգիայի հատուկ դեպքեր են։ 10 կամ 11 չափականությունը կարևոր թվեր են լարերի տեսության մեջ։ Հետազոտությունները կարող են բավարար երկրաչափական պատճառ բերել 10 և 11 փափի կարևորության վերաբերյալ։

Սիմետրիա[խմբագրել | խմբագրել կոդը]

    1rightarrow.png Հիմնական հոդված՝ Սիմետրիա


Հիպերբոլիկ հարթության սալիկապատում

Սիմետրիայի թեման երկրաչափության մեջ այնքան հին է, որքան երկրաչաչափություն գիտությունը ինքնին գոյություն ունի։ Այնպիսի սիմետրիկ ձևերը, ինչպիսիք շրջանները, կանոնավոր բազմանկյունները և կանոնավոր բազմանիստներն են, խորը նշանակություն են ունեցել հին փիլիսոփաների համար և մանրամասն ուսումնասիրվել են Մինչ Էվկլիդյան ժամանակաշրջանը։ Սիմետրիկ նախշերը հանդիպում են բնության մեջ և գեղարվեստորեն ներկայացվում են բազմաթիվ ձևերով, ներառյալ Էշերի գրաֆիկայում։ Այնուամենայնիվ, միայն 19-րդ դարի կեսերին սիմետրիայի միավորող դերը երկրաչափության հիմունքներում գնահատվեց։ Ֆելիքս Կլայնը հայտարարել է, որ շատ ճշգրիտ իմաստով, սիմետրիան, արտահայտված խմբի վերափոխման հասկացության միջոցով, սահմանում է, թե ինչ է երկրաչափությունը։ Դասական Էվկլիդյան երկրաչափության մեջ սիմետրիան ներկայացված է համադրություններով և կոշտ տեղափոխություններով, մինչդեռ պրոյեկցիոն երկրաչափության մեջ նմանատիպ դերը իրականացվում է կոլինացիաներով և երկրաչափական ձևափոխություններով, որոնք ուղիղները վերածում են ուղիղների։ Սակայն Բոլյաիի և Լոբաչևսկու, Ռիմանի, Կլիֆորդի և Կլայնի, և Սոֆուս Լիի նոր երկրաչափություններում Կլայնի գաղափարը 'երկրաչափությունը սահմանել սիմետրիկ խմբերի միջոցով' առավել ազդեցիկ եղավ։ Դիսկրետ և անընդհատ սիմետրիաները կարևոր դեր ունեն երկրաչափության մեջ, առաջինը՝ տոպոլոգիայում և երկրաչափական խմբերի տեսության մեջ, վերջինը Լի տեսության և Ռիմանի երկրաչափության մեջ։

Սիմետրիայի այլ տեսակ է երկակիության սկզբունքը պրոյեկտիվ երկրաչափության մեջ։ Այդ մետա-երևույթը մոտավորապես կարելի է նկարագրել հետևյալ կերպ․ ցանկացած թեորեմում փոխարինելով կետը with հարթությամբ, միանալը with հանդիպելով, վրան with պարունակում է-ով, և դուք կստանաք նույնքան ճշմարիտ թեորեմ։ Երկակիության նմանատիպ և սերտորեն կապված ձև գոյություն ունի վեկտորական տարածության և իր երկակի տարածության մեջ։

Ոչ-Էվկլիդյան երկրաչափություն[խմբագրել | խմբագրել կոդը]

Դիֆերենցիալ երկրաչափությունն օգտագործում է մաթանալիզի գործիքները կորության պրոբլեմներն ուսումնասիրելու համար։

Էվկլիդից սկսած մոտավորապես երկու հազար տարիների ընթացքում, թեև երկրաչափական խնդիրների և դրանց պատասխանների շրջանակի անխուսափելի ընդլայնմանը, տարածություն գաղափարի հիմնական պատկերացումը նույնն է մնացել։ Էմանուել Կանտը պնդում էր, որ գոյություն ունի միայն մեկ բացարձակ երկրաչափություն, ապրիորի ճիշտ է ներքին մտածողությամբ, դա Էվկլիդյան երկրաչափությունն է։[50] Այս գերիշխող տեսակետը շրջվեց ոչ-Էվկլիդյան երկրաչափության հեղափոխական հայտնագործությամբ Բոլյաիի, Լոբաչևսկու և Գաուսի (ով երբեք չհրապարակեց իր տեսությունը) աշխատանքներում։ Նրանք ցույց տվեցին, որ սովորական Էվկլիդյան երկրաչափությունը, երկրաչափության զարգացման միայն մեկ հնարավորություն է։ Երկրաչափություն առարկայի լայն տեսլականը ներկայացրեց Ռիմանը իր 1867 թվականին երդմնակալության դասախոսության ժամանակ Über die Hypothesen, welche der Geometrie zu Grunde liegen (On the hypotheses on which geometry is based),[51] որ հրատարակվեց միայն նրա մահից հետո։ Տարածության Ռիմանի նոր գաղափարը վճռորոշ դեր ունեցավ Այնշտայնի ընդհանուր հարաբերականության տեսության մեջ, իսկ Ռիմանի երկրաչափությունը, որը դիտարկում է շատ ընդհանուր տարածություններ, որոնցում երկարության հասկացություն է սահմանված, ժամանակակից երկրաչափության հենքն է։

Ժամանակակից երկրաչափություն[խմբագրել | խմբագրել կոդը]

Էվկլիդյան երկրաչափություն[խմբագրել | խմբագրել կոդը]

20-րդ դարի երկրաչափության դասախոսություն

Էվկլիդյան երկրաչափությունը դարձել է շատ կապված հաշվարկային երկրաչափության, համակարգչային գրաֆիկայի, ուռուցիկ երկրաչափության, ընդգրկող երկրաչափության, վերջավոր երկրաչափության, դիսկրետ երկրաչաափության և կոմբինատորիկայի որոշ ճյուղերի հետ։ Ուշագրավ է, որ Էվկլիդյան երկրաչափության և Էվկլիդյան խմբերի և Կոքսետերի հետագա աշխատանքները կարելի է տեսնել Կոքսետերի խմբերի և պոլիտոպների տեսություններում։ Երկրաչափական խմբերի տեսությունը ավելի ընդհանուր դիսկրետ խմբերի տեսության ընդլայնված բնագավառ է, որ հիմնված է երկրաչափական մոդելների և հանրահաշվական մեթոդների վրա։

Դիֆերենցիալ երկրաչափություն[խմբագրել | խմբագրել կոդը]

Ի շնորհիվ Այնշտայնի հարաբերականության տեսության, համաձայն որի տիեզերքը կոր է, դիֆերենցիալ երկրաչափության կարևորությունը բարձրացավ մաթեմատիկական ֆիզիկայում։ Ժամանակակից դիֆերենցիալ երկրաչափությունը ներքին է, նշանակում է, այնտեղ դիտարկվող տարածությունները հարթ բազմաձևություններ են, որոնց երկրաչափական կառուցվածքը կառավարվում է Ռիմանի մետրիկայով, որը որոշում է յուրաքանչյուր կետի մոտակայքում ինչպե՞ս են հեռավորությունները չափվում, այլ ոչ թե որոշակի շրջակա հարթ Էվկլիդյան տարածության ապրիորի մասեր։

Տոպոլոգիա և երկրաչափություն[խմբագրել | խմբագրել կոդը]

Եռոտանի հանգույցի հաստացում

Տոպոլոգիայի բնագավառը, որ 20-րդ դարում զանգվածային զարգացում ապրեց, տեխնիկական իմաստով փոխակերպվող երկրաչափության մի տեսակ է, որում փոխակերպումները հոմոմորֆիզմներ են։ Սա հաճախ արտահայտվում է հետևյալ նախադասությամբ․ 'տոպոլոգիան ռեզինե թերթի երկրաչափություն է'։ Ժամանակակից երկրաչափական տոպոլոգիան և դիֆերենցիալ տոպոլոգիան, և որոշակի ենթադասեր, ինչպիսին Մորսի տեսությունն է, մաթեմատիկոսների մեծ մասի կողմից կհամարվեն որպես երկրաչափության մաս։ Հանրահաշվական տոպոլոգիան և ընդհանուր տոպոլոգիան գնացել են իրենց ուղով։‌[փա՞ստ]

Հանրահաշվական երկրաչափություն[խմբագրել | խմբագրել կոդը]

Հինգ աստիճանի Կալաբի բազմազանություն

Հանրահաշվական երկրաչափության բնագավառը Դեկարտյան երկրաչափության ժամանակակից մարմնավորումն է։ 1950-ականների վերջերից մինչ 1970-ականները այն էական հիմնարար զարգացումներ է ապրել, հիմնականում Ժան Պիեռ Սերրեյի և Ալեքսանդր Գրոդենդիկի աշխատանքների շնորհիվ։ Սա հանգեցրեց հանրահաշվական սխեմաների ներդրմանը և հանրահաշվական տոպոլոգիայի մեթոդների կաարևորմանը, ներառյալ տարբեր կոհոմոլոգիական տեսություններ։ Հազարամյակի յոթ խնդիրներից մեկը՝ Հոջի հիպոթեզը հանրահաշվական երկրաչափության խնդիր է։

Ցածր չափանի հանրահաշվական բազմազանությունների՝ 3-չափանի հանրահաշվական կորերի, հանրահաշվական մակերևույթների և հանրահաշվական այլ բազմազանությունների ("հանրահաշվական եռյակներ") ուսումնասիրությունը շատ հեռու գնաց։ Գրոբների հիմնարար տեսությունը և իրական հանրահաշվական երկրաչափությունը ժամանակակից հանրահաշվական երկրաչափության կիրառական ենթաճյուղերից են։ Թվաբանական երկրաչափությունը հանրահաշվական երկրաչափության և թվերի տեսության հետ համատեղվող ակտիվ ճյուղ է։ Հետազոտությունների այլ ուղղություններ են մոդուլի տարածությունը և կոմպլեքս երկրաչափությունը։ Հանրահաշվա-երկրաչափական մեթոդները սովորաբար օգտագործվում են լարերի տեսության և մասնաճյուղերի տեսության մեջ։

Կիրառություններ[խմբագրել | խմբագրել կոդը]

Երկրաչափությունը կիրառվում է բազմաթիվ բնագավառներում, որոնցից մի քանիսը ներկայացված են ստորև։

Արվեստ[խմբագրել | խմբագրել կոդը]

Մաթեմատիկան և արվեստը կապված են տարբեր ձևերով։ Օրինակ, պատկերների տեսությունը ցույց է տալիս, որ երկրաչափությունն ավելին է, քան մարմինների հատկությունների չափերը․ պրոյեկցիոն երկրաչափությունը սկիզբ է առել պատկերից։

Ճարտարապետություն[խմբագրել | խմբագրել կոդը]

Մաթեմատիկան և ճարտարապետությունը կապված են, քանի որ ինչպես մյուս արվեստների ճյուղերում, ճարտարապետները մաթեմատիկան օգտագործում են մի քանի պատճառներով։ Բացի մաթեմատիկայի անհրաժեշտությունից կառույցները նախագծելու համար, ճարտարապետներն օգտագործում են երկրաչափությունը շենքի տարածական ձևը որոշելու համար, սկսած Պյութագորասից մ․թ․ա․ վեցերորդ դար, ներդաշնակ համարվող ձևեր ստեղծել և այդպիսով շենքերը և դրանց շրջակայքը կառուցել ըստ մաթեմատիկական, էսթետիկ և երբեմն նույնիսկ կրոնական սկզբունքների. շինությունները զարդարել մաթեմատիկական առարկաներով՝ մոզաիկայով, և հաշվի առնել շրջակա միջավայրի խնդիրները, ինչպիսին քամու արագության նվազեցումն է բարձրահարկ շենքերի հիմքերի մոտ։

Ֆիզիկա[խմբագրել | խմբագրել կոդը]

    1rightarrow.png Հիմնական հոդված՝ Մաթեմատիկական ֆիզիկա
421բազմանկյուն, ուղղահայաց պրոյեկտված E8 Լի խմբի վրա։ Լի խմբերը մի քանի կիրառություններ ունեն ֆիզիկայում։

Աստղագիտության բնագավառը, հատկապես տիեզերքում աստղերի և մոլորակների դասավորությանը և երկնային մարմինների միմյանց նկատմամբ տեղափոխման նկարագրմանն առընչվող, ծառայել է որպես երկրաչափական պրոբլեմների կարևոր աղբյուր պատմության ընթացքում։

Ժամանակակից երկրաչափությունը շատ կապեր ունի ֆիզիկայի հետ, ինչպես օրինակ, փսևդո-Ռիմանյան երկրաչափության և ընդհանուր հարաբերականության միջև։ Ֆիզիկայի երիտասարդ տեսություններից մեկը, լարերի տեսությունը նույնպես շատ երկրաչափական է։

Մաթեմատիկայի այլ ճյուղեր[խմբագրել | խմբագրել կոդը]

Երկրաչափությունը նաև մեծ ազդեցություն է ունեցել մաթեմատիկայի այլ ճյուղերի վրա։ Օրինակ, կոորդինատների առաջադրումը Դեկարտի կողմից և զուգահեռ հանրահաշվի զարգացումը երկրաչափության նոր փուլ նշանավորեցին, քանի որ երկրաչափական մարմիններն, ինչպիսիք հարթ կորերը այժմ կարող են ներկայացվել անալիտիկ երկրաչափության մեջ, ֆունկցիաների և հավասարումների տեսքով։ Սա առանցքային դեր ունեցավ 17-րդ դարում անվերջ փոքրերի հաշվարկների ի հայտ գալուն։ Երկրաչափության առարկան հետագայում հարստացավ Էյլերի և Գաուսի կողմից երկրաչափական օբյեկտների ներքին կառուցվածքի ուսումնասիրմամբ և բերեց տոպոլոգիայի և դիֆերենցիալ երկրաչափության ստեղծմանը։

Պյութագորասը հայտնաբերել է, որ եռանկյան կողմերը կարող են ունենալ անհամեմատելի երկարություններ։

Կիրառությունների կարևոր ոլորտ է Թվերի տեսությունը։ Հին Հունաստանում Պյութագորականները դիտարկում էին թվերի դերը երկրաչափության մեջ։ Սակայն անհամեմատելի թվերի հայտնագործումը, որ հակասում էր նրանց փիլիսոփայական հայացքներին, նրանց ստիպեց հրաժարվել աբստրակտ թվերից ի օգուտ կոնկրետ երկրաչափական մեծությունների, ինչպիսիք են մարմինների երկարությունը և մակերեսը։ Կիրառությունների կարևոր ոլորտ է Թվերի տեսությունը։ Հին Հունաստանում Պյութագորականները դիտարկում էին թվերի դերը երկրաչափության մեջ։ Սակայն անհամեմատելի թվերի հայտնագործումը, որ հակասում էր նրանց փիլիսոփայական հայացքներին, նրանց ստիպեց հրաժարվել աբստրակտ թվերից ի օգուտ կոնկրետ երկրաչափական մեծությունների, ինչպիսիք են մարմինների երկարությունը և մակերեսը։ 19-րդ դարից սկսած երկրաչափությունն օգտագործվում էր թվերի տեսության խնդիրները լուծելու համար, օրինակ թվերի երկրաչափության կամ վերջերս սխեմաների տեսության միջոցով, որն օգտագործվեց Ֆերմայի վերջին թեորեմի ապացուցման համար։

Չնայած երկրաչափության վիզուալ բնույթն այն դարձնում է ի սկզբանե ավելի հասանելի, քան այլ մաթեմատիկական ուղղությունները, ինչպիսիք են հանրահաշիվը կամ թվերի տեսությունը, երկրաչափական լեզուն նույնպես օգտագործվում է ավանդական Էվկլիդյան սկզբնականից հեռացած համատեքստում (օրինակ, կոտորակայի երկրաչափության և հանրահաշվական երկրաչափության մեջ)։[52]

Անալիտիկ երկրաչափությունը հանրահաշվի մեթոդները կիրառում է երկրաչափական հարցերում, որպես կանոն երկրաչափական կորերին համապատասխանեցնելով հանրահաշվական հավասարումները։ Այս գաղափարները 17-րդ դարում վճռորոշ դեր խաղացին մաթանալիզի զարգացման գործում և բերեցին հարթ կորերի շատ նոր հատկությունների հայտնագործմանը։ Ժամանակակից հանրահաշվական երկրաչափությունը նմանատիպ հարցեր է դիտարկում ավելի աբստրակտ մակարդակում։

Լեոնարդ Էյլերը, in studying problems like the Քյոնիգսբերգի յոթ կամուրջների կարգի խնդիրներ ուսումնասիրելիս դիտարկում էր երկրաչափական մարմինների ամենահիմնարար հատկությունները, հիմնված բացառապես ձևի, անկախ դրանց մետրիկական հատկություններից։ Էյլերը այս նոր ճյուղն անվանեց geometria situs (տեղանքի երկրաչափություն), սակայն այն հայտնի է որպես տոպոլոգիա։ Տոպոլոգիան աճեց երկրաչափությունից, սակայն վերածվեց լայն անկախ ուղղության։ Այն չի տարբերակում օբյեկտները, որոնք անընդհատ կարող են փոխակերպվել մեկը մյուսին։ Այնուամենայնիվ, օբյեկտները կարող են պահպանել որոշ երկրաչափություն, ինչպես [[հիպերբոլիկ հանգույցի] դեպքում:

Ծանոթագրություններ[խմբագրել | խմբագրել կոդը]

  1. 1,0 1,1 (Boyer 1991, "Ionia and the Pythagoreans" p. 43)
  2. Martin J. Turner,Jonathan M. Blackledge,Patrick R. Andrews (1998). Fractal geometry in digital imaging. Academic Press. p. 1. 0-12-703970-8
  3. 3,0 3,1 Staal, Frits (1999), «Greek and Vedic Geometry», Journal of Indian Philosophy 27 (1–2): 105–127, doi:10.1023/A:1004364417713 
  4. 4,0 4,1 Կաղապար:MacTutor Biography
  5. Lamb Evelyn (2015-11-08)։ By Solving the Mysteries of Shape-Shifting Spaces, Mathematician Wins $3-Million Prize։ Scientific American։ Վերցված է 2016-08-29 
  6. 6,0 6,1 Tabak John (2014)։ Geometry: the language of space and form։ Infobase Publishing։ էջ xiv։ ISBN 081604953X 
  7. 7,0 7,1 Schmidt, W., Houang, R., & Cogan, L. (2002). "A coherent curriculum". American Educator, 26(2), 1–18.
  8. J. Friberg, "Methods and traditions of Babylonian mathematics. Plimpton 322, Pythagorean triples, and the Babylonian triangle parameter equations", Historia Mathematica, 8, 1981, pp. 277—318.
  9. Neugebauer Otto (1969) [1957]։ The Exact Sciences in Antiquity (2 ed.)։ Dover Publications։ ISBN 978-0-486-22332-2  Chap. IV "Egyptian Mathematics and Astronomy", pp. 71–96.
  10. (Boyer 1991, "Egypt" p. 19)
  11. Ossendrijver Mathieu (29 Jan 2016)։ «Ancient Babylonian astronomers calculated Jupiter’s position from the area under a time-velocity graph»։ Science 351 (6272): 482–484։ Bibcode:2016Sci...351..482O։ PMID 26823423։ doi:10.1126/science.aad8085։ Վերցված է 29 January 2016 
  12. Depuydt Leo (1 January 1998)։ «Gnomons at Meroë and Early Trigonometry»։ The Journal of Egyptian Archaeology 84: 171–180։ JSTOR 3822211։ doi:10.2307/3822211 
  13. Slayman Andrew (May 27, 1998)։ «Neolithic Skywatchers»։ Archaeology Magazine Archive 
  14. Eves, Howard, An Introduction to the History of Mathematics, Saunders, 1990, 0-03-029558-0.
  15. Kurt Von Fritz (1945)։ «The Discovery of Incommensurability by Hippasus of Metapontum»։ The Annals of Mathematics 
  16. James R. Choike (1980)։ «The Pentagram and the Discovery of an Irrational Number»։ The Two-Year College Mathematics Journal 
  17. (Boyer 1991, "The Age of Plato and Aristotle" p. 92)
  18. (Boyer 1991, "Euclid of Alexandria" p. 119)
  19. (Boyer 1991, "Euclid of Alexandria" p. 104)
  20. Howard Eves, An Introduction to the History of Mathematics, Saunders, 1990, 0-03-029558-0 p. 141: "No work, except The Bible, has been more widely used...."
  21. O'Connor, J.J., Robertson, E.F. (February 1996)։ «A history of calculus»։ University of St Andrews։ Վերցված է 2007-08-07 
  22. Pythagorean triples are triples of integers with the property: . Thus, , , etc.
  23. (Cooke 2005, էջ 198): "The arithmetic content of the Śulva Sūtras consists of rules for finding Pythagorean triples such as (3, 4, 5), (5, 12, 13), (8, 15, 17), and (12, 35, 37). It is not certain what practical use these arithmetic rules had. The best conjecture is that they were part of religious ritual. A Hindu home was required to have three fires burning at three different altars. The three altars were to be of different shapes, but all three were to have the same area. These conditions led to certain "Diophantine" problems, a particular case of which is the generation of Pythagorean triples, so as to make one square integer equal to the sum of two others."
  24. (Hayashi 2005, էջ 371)
  25. 25,0 25,1 (Hayashi 2003, էջեր 121–122)
  26. R. Rashed (1994), The development of Arabic mathematics: between arithmetic and algebra, p. 35 London
  27. Boyer (1991)։ «The Arabic Hegemony»։ A History of Mathematics։ էջեր 241–242։ «Omar Khayyam (c. 1050–1123), the "tent-maker," wrote an Algebra that went beyond that of al-Khwarizmi to include equations of third degree. Like his Arab predecessors, Omar Khayyam provided for quadratic equations both arithmetic and geometric solutions; for general cubic equations, he believed (mistakenly, as the 16th century later showed), arithmetic solutions were impossible; hence he gave only geometric solutions. The scheme of using intersecting conics to solve cubics had been used earlier by Menaechmus, Archimedes, and Alhazan, but Omar Khayyam took the praiseworthy step of generalizing the method to cover all third-degree equations (having positive roots). .. For equations of higher degree than three, Omar Khayyam evidently did not envision similar geometric methods, for space does not contain more than three dimensions, ... One of the most fruitful contributions of Arabic eclecticism was the tendency to close the gap between numerical and geometric algebra. The decisive step in this direction came much later with Descartes, but Omar Khayyam was moving in this direction when he wrote, "Whoever thinks algebra is a trick in obtaining unknowns has thought it in vain. No attention should be paid to the fact that algebra and geometry are different in appearance. Algebras are geometric facts which are proved."» 
  28. Կաղապար:MacTutor Biography
  29. Boris A. Rosenfeld and Adolf P. Youschkevitch (1996), "Geometry", in Roshdi Rashed, ed., Encyclopedia of the History of Arabic Science, Vol. 2, pp. 447–494 [470], Routledge, London and New York:
    Aquote1.png "Three scientists, Ibn al-Haytham, Khayyam, and al-Tusi, had made the most considerable contribution to this branch of geometry whose importance came to be completely recognized only in the 19th century. In essence, their propositions concerning the properties of quadrangles which they considered, assuming that some of the angles of these figures were acute of obtuse, embodied the first few theorems of the hyperbolic and the elliptic geometries. Their other proposals showed that various geometric statements were equivalent to the Euclidean postulate V. It is extremely important that these scholars established the mutual connection between this postulate and the sum of the angles of a triangle and a quadrangle. By their works on the theory of parallel lines Arab mathematicians directly influenced the relevant investigations of their European counterparts. The first European attempt to prove the postulate on parallel lines – made by Witelo, the Polish scientists of the 13th century, while revising Ibn al-Haytham's Book of Optics (Kitab al-Manazir) – was undoubtedly prompted by Arabic sources. The proofs put forward in the 14th century by the Jewish scholar Levi ben Gerson, who lived in southern France, and by the above-mentioned Alfonso from Spain directly border on Ibn al-Haytham's demonstration. Above, we have demonstrated that Pseudo-Tusi's Exposition of Euclid had stimulated both J. Wallis's and G. Saccheri's studies of the theory of parallel lines." Aquote2.png

  30. 30,0 30,1 30,2 30,3 30,4 Euclid's Elements – All thirteen books in one volume, Based on Heath's translation, Green Lion Press 1-888009-18-7.
  31. Clark Bowman L. (Jan 1985)։ «Individuals and Points»։ Notre Dame Journal of Formal Logic 26 (1): 61–75։ doi:10.1305/ndjfl/1093870761։ Վերցված է 29 August 2016 
  32. Gerla, G., 1995, "Pointless Geometries" in Buekenhout, F., Kantor, W. eds., Handbook of incidence geometry: buildings and foundations. North-Holland: 1015–1031.
  33. John Casey (1885) Analytic Geometry of the Point, Line, Circle, and Conic Sections, link from Internet Archive.
  34. Buekenhout, Francis (1995), Handbook of Incidence Geometry: Buildings and Foundations, Elsevier B.V.
  35. «geodesic – definition of geodesic in English from the Oxford dictionary»։ OxfordDictionaries.com։ Վերցված է 2016-01-20 
  36. 36,0 36,1 36,2 36,3 36,4 Munkres, James R. Topology. Vol. 2. Upper Saddle River: Prentice Hall, 2000.
  37. Szmielew, Wanda. 'From affine to Euclidean geometry: An axiomatic approach.' Springer, 1983.
  38. Ahlfors, Lars V. Complex analysis: an introduction to the theory of analytic functions of one complex variable. New York, London (1953).
  39. Կաղապար:SpringerEOM
  40. Gelʹfand, Izrailʹ Moiseevič, and Mark Saul. "Trigonometry." 'Trigonometry'. Birkhäuser Boston, 2001. 1–20.
  41. Stewart, James (2012). Calculus: Early Transcendentals, 7th ed., Brooks Cole Cengage Learning. 978-0-538-49790-9
  42. Jost, Jürgen (2002), Riemannian Geometry and Geometric Analysis, Berlin: Springer-Verlag, ISBN 978-3-540-42627-1 .
  43. Baker, Henry Frederick. Principles of geometry. Vol. 2. CUP Archive, 1954.
  44. 44,0 44,1 44,2 Do Carmo, Manfredo Perdigao, and Manfredo Perdigao Do Carmo. Differential geometry of curves and surfaces. Vol. 2. Englewood Cliffs: Prentice-hall, 1976.
  45. 45,0 45,1 Mumford David (1999)։ The Red Book of Varieties and Schemes Includes the Michigan Lectures on Curves and Their Jacobians (2nd ed.)։ Springer-Verlag։ ISBN 978-3-540-63293-1։ Zbl 0945.14001 
  46. Briggs, William L., and Lyle Cochran Calculus. "Early Transcendentals." 978-0321570567.
  47. Yau, Shing-Tung; Nadis, Steve (2010). The Shape of Inner Space: String Theory and the Geometry of the Universe's Hidden Dimensions. Basic Books. 978-0-465-02023-2.
  48. Dmitri Burago, Yu D Burago, Sergei Ivanov, A Course in Metric Geometry, American Mathematical Society, 2001, 0-8218-2129-6.
  49. Wald, Robert M. (1984), General Relativity, University of Chicago Press, ISBN 978-0-226-87033-5 
  50. Kline (1972) "Mathematical thought from ancient to modern times", Oxford University Press, p. 1032. Kant did not reject the logical (analytic a priori) possibility of non-Euclidean geometry, see Jeremy Gray, "Ideas of Space Euclidean, Non-Euclidean, and Relativistic", Oxford, 1989; p. 85. Some have implied that, in light of this, Kant had in fact predicted the development of non-Euclidean geometry, cf. Leonard Nelson, "Philosophy and Axiomatics," Socratic Method and Critical Philosophy, Dover, 1965, p. 164.
  51. «Ueber die Hypothesen, welche der Geometrie zu Grunde liegen»։ Արխիվացված օրիգինալից-ից 18 March 2016-ին 
  52. It is quite common in algebraic geometry to speak about geometry of algebraic varieties over finite fields, possibly singular. From a naïve perspective, these objects are just finite sets of points, but by invoking powerful geometric imagery and using well developed geometric techniques, it is possible to find structure and establish properties that make them somewhat analogous to the ordinary spheres or cones.