Մաթեմատիկան Հին Եգիպտոսում

Վիքիպեդիայից՝ ազատ հանրագիտարանից
Jump to navigation Jump to search

Հնագույն եգիպտական մաթեմատիկական տեքստերը վերաբերում են մ.թ.ա. II հազարամյակի սկզբին: Այնուհետև մաթեմատիկան գիտելիքները օգտագործել են աստղագիտության, նավիգացիայի, հողային հետազոտությունների, շենքերի, պատնեշների, ջրանցքների և ռազմական կառույցների կառուցման մեջ: Դրամական հաշվարկները, ինչպես և բուն գումարը, Եգիպտոսում չի եղել։ Եգիպտացիները գրել են պապիրուսի վրա, որը վատ է պահպանվել, ուստի Եգիպտոսի մաթեմատիկայի մասին մեր գիտելիքները զգալիորեն պակաս են, քան Բաբելոնի կամ Հունաստանի մաթեմատիկայի մասին գիտելիքները: Հավանաբար, այն ավելի զարգացած է եղել, քան կարելի է պատկերացնել: Այս կարծիքը հիմնված է այն փաստաթղթերի հիման վրա[1], որոնք մեզ են հասել և հայտնի է, որ հունական մաթեմատիկոսները մաթեմատիկային տիարպետել սովորել են եգիպտացիներից[2]:

Մեզ ոչինչ հայտնի չէ Եգիպտոսում մաթեմատիկական գիտելիքների զարգացման մասին` ինչպես հին, այնպես էլ ավելի ուշ ժամանակների: Պտղոմեոսների դինաստիայից հետո սկսվում է եգիպտական և հունական մշակույթների չափազանց բեղմնավոր շրջանը:

Աղբյուրներ[խմբագրել | խմբագրել կոդը]

Հիմնական պահպանվող աղբյուրները վերաբերում են Միջին Թագավորության ժամանակաշրջանին: Հնագույն եգիպտական մշակույթից պահպանված փաստաթղթերը.

  • Ահմեսի կամ Ռինդի պապիրուս, մանեածավալուն ձեռագիրը, որը պարունակում է 84 մաթեմատիկական խնդիր: Գրվել է մ.թ.ա. մոտ 1650 թվականին:
  • Մոսկվայի մաթեմատիկական պապիրուսը, որում կար 25 խնդիր: Գրվել է մ.թ.ա մոտ 1850 թվականինՙ 544 × 8 սմ
  • ասյպես է կոչվում «կաշվե փաթեթ», 25 × 43 սմ
  • Պապիրուս Լահունից, պարունակում է մի շարք հատվածներ մաթեմատիկական թեմաներով:
  • Բեռլինյան պապիրուս, գրված մ.թ.ա մոտ 1300 թվականին:
  • Կահիրե փայտե աղյուսակ (Ահմիմի աղյուսակ)
  • Ռեյսների պապիրուսՙ գրվել է մ.թ.ա մոտավորապես XIX դարում:

Նոր թագավորությունից մեզ հասել են հաշվարկային բնույթի մի քանի հատվածներ:

Բոլոր այս գրվածքների հեղինակները անհայտ են: Մեզ հասած հատվածները հիմնականում պատճեններ են, որոնք պատճենվել են հիքսոսների ժամանակաշրջանում: Գիտական գիտելիքների կրողներին կոչում էին դպիրներ, ովքեր հիմնականում պետական կամ տաճարային պաշտոնյաներ էին:

Ահմես պապիրուսի(մ.թ.ա. 1650-ական թվականներին) բոլոր խնդիրները կիրառելի բնույթ են կրում և կապված են շինարարության, հողամասերի սահմանազատման եւ այլնի մասին: Առաջադրանքները խմբավորված են ոչ թե մեթոդներով, այլ թեմաներով: Դրանք հիմնականում վերաբերում են եռանկյունների, քառանկյունների և շրջանների մակերեսներին, մի շարք գործողությունների՝ ամբողջ թվերի հետ կապված, թվաբանական միջինին, թվաբանական պրոգրեսիաների որոշմանը, մեկ անհայտով առաջին և երկրորդ աստիճանի հավասարումների լուծմանը[3]:

Լիովին բացակայում է որևէ բացատրություն կամ ապացույցներ: Փնտրվող արդյունքը տրվում է ուղիղ ձևով կամ տրվում է կարճ ալգորիթմ` հաշվարկման համար: Հին Արևելքի երկրների գիտության ներկայացման այս ձևը ենթադրում է, որ մաթեմատիկան զարգացել է այնտեղ ինդուկցիայով, հմուտ և սրամիտ գուշակություններով, որոնք ոչ մի ընդհանուր տեսություն չեն կազմում: Այնուամենայնիվ, պապիրուսում կա մի շարք փաստարկներ, ըստ որոնց հնագույն Եգիպտոսում մաթեմատիկան եղել է այդ տարիներից կամ այդ շրջանում այն սկսել է ձեռք բերել տեսական բնույթ: Այսպիսով, եգիպտական մաթեմատիկոսները կարողանում էին գտնել արմատներ և դրանք բարձրցնել տարբեր աստիճաններ, լուծել հավասարումներ, ծանոթ էին թվաբանական և երկրաչափական պրոգրեսիաներին և նույնիսկ տիրապետում էին հանրահաշվի այն գաղափարներին, երբ հավասարումների լուծման հատուկ հիերոգլիֆի «կույտ»-ը նշանակում են անհայտով:

Համարակալում (թվերի գրառում)[խմբագրել | խմբագրել կոդը]

Հին եգիպտացիների համարակալումը, այսինքն, թվերի գրառումը նման էր հռոմեացիներինի գրառմանը. սկզբում կան առանձին նշաններ 1, 10, 100, … 10 000 000: Եգիպտացիները գրել են աջից դեպի ձախ, իսկ փոքր թվերը գրել են սկզբում, այնպես, որ վերջում թվերի կարգը համապատասխանում էր ներկայիս կարգին: Հիերատիկ գրվածքում արդեն առանձին նշաններ կան 1-9 թվերի, ինչպես նաև տարբեր տասնյակների, հարյուրյակների և հազարավորների համար: Հին Եգիպտոսում ցանկացած թիվ կարելի է գրել երկու ձևով` բառերով և թվերով: Օրինակ, 30 թիվը գրելու համար դուք կարող եք օգտագործել սովորական նիշեր՝

Aa15
D36
D58

կամ գրեք նույնը թվերով (երեք տասնյակի նշան)՝

V20V20V20
Հիերոգլիֆներ թվերը ցուցադրելու համար
1 10 100 1000 10,000 100,000 1,000,000
Z1
V20
V1
M12
D50
I8
C11
Վառարան՝ արքայադուստր Նեֆերետիաբեթի դամբարանից (մ.թ.ա 2590—2565, Գիզա). Լուվր

Եգիպտացիները բազմապատկումը կատարում էին կրկնապատկման և ավելացման համադրությամբ: Բաժանումը բաղկացած էր բաժանարար ընտրությունից, այն բազմապատկման հակառակ գործողությունն է: Հատուկ նշաններ կային ռացիոնալ թվերի համար՝ և : Սակայն ընդհանուր ռացիոնալ թվերի՝ հասկացություն նրանց մոտ չի եղել, եւ բոլոր ոչ կանոնական թվերը ներկայացվում էին առանձին ֆրակցիաների գումար: Նման ընդլայնումները ամփոփել են աղյուսակներում՝

Հաճախակի հանդիպող ֆրակցիաների օրինակներ
Aa13
r
Z2
D22
r
Z1 Z1 Z1 Z1
r
Z1 Z1 Z1 Z1 Z1

Թվերի գրառման օրինակ Ռինդայի պապիրուսից[4]՝

Z2
Z1 Z1
Aa16r
Z1 Z1 Z1 Z1
Z2
r
10
Z1Z1Z1Z1

5 + 12 + 17 + 114 (= 5 57)

Թվաբանություն[խմբագրել | խմբագրել կոդը]

Գումարման և հանման նշաններ[խմբագրել | խմբագրել կոդը]

Որպեսզի ցույց տան գումարման կամ հանման նշանները, օգտագործել են

D54
կամ
D55

հիերոգլիֆը:

Եթե այս հիերոգլիֆի ոտքերի ուղղությունը համընկավ փոտարկղի ուղղությանը, ապա դա նշանակում է «գումարում», իսկ մյուս դեպքում այն նշանակում է «հանում»:

Գումարում[խմբագրել | խմբագրել կոդը]

Եթե գումարման ժամանակ տասից ավելի մեծ քանակ կա, ապա տասնյակ գրվում է աճող հիերոգլիֆով:

Օրինակ՝ 2343 + 1671

M12M12V1 V1
V1
V20 V20
V20 V20
Z1
Z1
Z1

+

M12V1 V1 V1
V1 V1 V1
V20 V20 V20 V20
V20 V20 V20 Z1

հավաքելով բոլոր նույն հիերոգլիֆները և ստանում ենք՝

M12M12M12V1 V1 V1 V1 V1
V1 V1 V1 V1 V20
V20 V20 V20 V20 V20
V20 V20 V20 V20 V20
Z1 Z1
Z1 Z1

փոխարինենք

M12M12M12V1 V1 V1 V1 V1
V1 V1 V1 V1 V1
V20Z1 Z1
Z1 Z1

և վերջնական արդյունք կստանանք

M12 M12
M12 M12
V20Z1 Z1
Z1 Z1

Բազմապատկում[խմբագրել | խմբագրել կոդը]

Հնագույն եգիպտական բազմապատկումը երկու թվերի բազմապատկման հետևողական մեթոդ է: Հատուկ թվերը բազմապատկելու համար պարտադիր չէր, որ նրանք իմանային բազմապատկման աղյուսակները, բավական էր, որ միայն կարողանային թվերը բաժանել փոքր մասերի, բազմապատկել այդ թվերը և գումարել:

Տարրալուծում[խմբագրել | խմբագրել կոդը]

Եգիպտացիները օգտագործեցին ամենափոքր համակարգերի տարրալուծման մեթոդը, որոնց գումարը կլինի սկզբնական թիվը:

Ճիշտ ընտրելու համար թվերը, պետք է իմանային հետևյալ արժեքների աղյուսակը՝

1 x 2 = 2
2 x 2 = 4
4 x 2 = 8
8 x 2 = 16
16 x 2 = 32

Օրինակ տարրալուծմենք «25» թիվը՝

  • 25-ի բազմապատկիչը 16 թիվն է
  • 25 — 16 = 9
  • 9-ի բազմապատկիչը 8 թիվն է
  • 9 — 8 = 1
  • 1-ի բազմապատկիչը 1 թիվն է
  • 1 — 1 = 0

Այսպիսով «25»-ը 16, 8 և 1 թվի գումարն է:

Օրինակ բազմապատկենք «13» և «238» թվերը՝

1 х 238 = 238
4 х 238 = 952
8 х 238 = 1904

13 х 238 = 3094

Հայտնի է, որ 13 = 8 + 4 + 1: Այս տերմիններից յուրաքանչյուրը պետք է բազմապատկվի 238-ով: Ստացվում է 13 × 238 = (8 + 4 + 1) × 238 = 8 x 238 + 4 × 238 + 1 × 238 = 3094:

Երկրաչափություն[խմբագրել | խմբագրել կոդը]

Մակերեսների հաշվում[խմբագրել | խմբագրել կոդը]

Երկրաչափության բնագավառից եգիպտացիները գիտեին ուղղանկյան, եռանկյան և տրապեզիայի մակերեսների հավման ճշգրիտ ձեւակերպումները: A, b, c, d կողմեր ունեցող կամայական քառանկյան մակերեսը մոտավորապես հաշվարկվում էր բանաձևերով: Այս բանաձևը ընդունելի ճշգրտություն է տալիս նաև այն դեպքում երբ պատկերը մոտ է ուղղանկյանը: Եգիպտացիները ենթադրում էին, եթե շրջանի տրամագիծը d է, ապա շրջանի S մակերեսը հավասար է տրամագծի 8/9 մասի քառակուսուն՝ : Այն համապատասխանում է նաև հետևալ մոտարկմանը՝ ≈ 3,1605 (սխալը 1%-ից պակաս է, ճշգրտությունը 99%)[5]:

Որոշ հետազոտողներ[6] Մոսկվայի մաթեմատիկական պապիրուսի 10-րդ խնդրի հիման վրա հավատում էին, որ եգիպտացիները գիտեին ոլորտի հաշվարկի ճշգրիտ բանաձևը, սակայն այլ գիտնականներ համաձայն չէին այդ տեսակետին[7][8]:

Ծավալների հաշվում[խմբագրել | խմբագրել կոդը]

Ջրի ժամացույցի վերակառուցում ըստ Օքսիրինհի գծագրերի

Եգիպտացիները կարողանում էին հաշվարկել զուգահեռանիստի, գլանի, կոնի և բուրգի ծավալները: Ենթադրյալ բուրգի ծավալը հաշվելու համար եգիպտացիները կիրառեցին հետևյալ կանոնը. ենթադրել են կտրված բուրգ, որի ստորին հիմքի կողմը նշանակել են a-ով, վերինը՝ b-ով, իսկ բարձրությունը՝ h-ով, ապա ծավալը հաշվարկել են հետևյալ (ճիշտ) բանաձևով՝ :

Օկիրինհիայում հայտնաբերված պապիրուսը ցույց է տալիս, որ եգիպտացիները կարողանում էին նաև հաշվել հատած կոնի ծավալը: Այս գիտելիքը նրանք օգտագործում էին ջրի ժամացույց պատրաստելու համար:

Եգիպտական եռանկյուն[խմբագրել | խմբագրել կոդը]

Եգիպտական եռանկյունը կոչվում է ուղղանկյուն եռանկյուն, որի կողմերը հարաբերում են ինչպես 3:4:5 : Առաջին դարում Պլուտարքոսն այս եռանկյունի մասին գրել է «Իսիդայի և Օսիրիսի մասին» շարադրանքում: Գուցե այդ պատճառով, այս եռանկյունին կոչվում է եգիպտական[9]: Իրոք, հունացի գիտնականները հայտնաբերել են, որ Եգիպտոսում ուղիղ անկյուն կառուցելու համար օգտագործվել է պարան, որը բաժանված է եղել 12 մասի:

Եգիպտական եռանկյունը ակտիվորեն օգտագործվում էր եգիպտացի գիտնականների և ճարտարապետների կողմից՝ ճիշտ անկյունների կառուցման համար, օրինակ բուրգեր կառուցելիս: Պատմաբան Վան դեր Վարդենը փորձել է կասկածի ենթարկել այդ փաստը, սակայն հետագայում ուսումնասիրությունները հաստատեցին այդ փաստը[10]:

Տես նաև[խմբագրել | խմբագրել կոդը]

Ծանոթագրություններ[խմբագրել | խմբագրել կոդը]

  1. Ван дер Варден Б. Л. Пробуждающаяся наука. Математика древнего Египта, Вавилона и Греции. Указ. соч., стр. 125: «Фалес путешествовал в Египет и привёз геометрию в Элладу» (из комментария Прокла к Евклиду).
  2. «Согласно большинству мнений, геометрия была впервые открыта в Египте, и возникла при измерении площадей» // Proclus Diadochus. In primum Euclidis Elementorum commentarii. — Leipzig, 1873. — С. 64.
  3. История математики, том I, 1970, էջ 21—33.
  4. Gardiner Alan H. Egyptian grammar: being an introduction to the study of hieroglyphs 3rd ed., rev. London: 1957, p. 197.
  5. История математики, том I, 1970, էջ 30—32.
  6. W. W. Struve Mathematischer Papyrus des Museum in Moskau. — Quellen und Studien zur Geschichte der Mathematik, Astronomie und Physik, Abteilung A. — Berlin: Springer, 1930. — С. 157.
  7. История математики, том I, 1970, էջ 31—32.
  8. Ван дер Варден Б. Л. Пробуждающаяся наука. Математика древнего Египта, Вавилона и Греции, стр. 44-45
  9. Прасолов В. В. Глава 1. Древний Египет и Вавилон // История математики. — (не публиковалась), 2013. — С. 5.
  10. Ван дер Варден Б. Л. Пробуждающаяся наука. Математика древнего Египта, Вавилона и Греции. М.: Физматлит, 1959, С. 13, подстрочное примечание


Գրականություն[խմբագրել | խմբագրել կոդը]

Արտաքին հղումներ[խմբագրել | խմբագրել կոդը]