Խորանարդ հավասարում

Վիքիպեդիայից՝ ազատ հանրագիտարանից
Երեք իրական արմատով (հորիզոնական առանցքի հետ հատման կետում, որտեղ у = 0) խորանարդ հավասարման գրաֆիկը։ Առկա է 2 կրիտիկական կետ։
հավասարումն ունի մեկ իրական և երկու կեղծ արմատ։

Խորանարդ հավասարում, երրորդ աստիճանի հանրահաշվական հավասարում, ընդհանուր տեսքն է՝ ax3+bx2+cx+d= 0, որտեղ a≠0։ Խ. հ. x=y—b/3a տեղադրությամբ բերվում է «թերի», կանոնիկ տեսքի՝ y3+ py+q=0, որը լուծվում է Կարդանոյի բանաձևով՝

Լուծումը կարող է տրվել Սցիպիոս դել Ֆերոյի և Տարտագալիայի մեթոդներով, որը հրատարակվել է Գերալամո Կարդանոյի կողմից 1545 թ.ին[1]

Մեթոդը թույլ է տալիս հավասարումը բերել թերի խորանարդ հավասարման.

Մենք ներկայացնում ենք u և v փոփոխականների կապը հետևյալ հավասարման տեսքով.

և (2) հավասարումից օգտվելով այն կարելի է բերել հետևյալ հավասարման.

։

Եվ այստեղ էլ Կառնոն առաջ է քաշում ևս մի պայման՝ u և v փոփոխականների համար։

։

Քանի որ (3) հավասարման մեջ առաջին փակագիծն անհետանում է, մենք ստանում ենք և . հավասարումները։ Որտեղից և հավասարման երկու արմատներն են։

Այստեղից, Կարդանոն, որը չգիտեր կոմպլեքս թվերի մասին, ենթադրում է, որ թիվը ռեալ է և այն որոշվում է հետևյալ հավասարմամբ.

Լուծելով այս հավասարումը մենք կարող ենք և փոփոխականների արժեքները փոխարինել մեր արդյունքներով և ունենալ.

և ։

Եվ քանի որ այս թվերը ըստ Կարդանոյի ռեալ են, մենք ստանում ենք.

Բարդ խորանարդային հավասարումը լուծելիս ունենում ենք երկու կոմպլեքս արմատներ։ Այն փաստը, որ արտադրյալն իրական թիվ է, մենք ստանում ենք, որ և մյուս կողմից ։

Եթե պարտադիր չէ, որ խորանարդ հավասարման արժեքը լինի դրական, ապա մենք կարող ենք որոշել արժեքը։ Քանի որ մենք խորանարդ հավասարման համար ուղիղ լուծման ճանապարհ չունենք, ապա այն մենք կարող ենք լուծել հետևյալ հավասարմամբ. , որը մեզ կտա

և

Նշենք որ արմաատի նշանը չի ազդում փոփոխականի վրա, որովհետև նրա արժեքների փոփոխումը բերում է և փոփխականների արժեքի փոփոխման։ Մենք ընտրում ենք մինուս նշանը ունենալով, որ , երբ և թիվը զրոյի վրա բաժանվելուց խուսափելու համար։ Այս ընտրության դեպքում փոփոխականի համար վերը նշված արտահայտությունները միշտ աշխատում են՝ բացառությամբ երբ , որտեղ երկրորդ մասը դառնում է 0/0։ Այս դեպքում մենք ունենում ենք եռակի արմատ. .

Բայց խնդրի լուծման համար նշենք ևս մի քանի տարբերակներ, երբ խնդիրը հանգեցվում է քիչ քանակությունով քառակասի և խորանարդ արմատների գտնելուն.

Եթե մենք ունենում ենք երեք արտատ
Եթե և ապա
և երեք արմատները խորանարդ արմատներն են։
Եթե և ապա
այս դեպքում երեք արմատները հետևյալն են.
որտեղ
Ի վերջո, եթե և , ստացվում է կրկնակի արմատ և պարզագույն արմատ, որոնք կարող են լինել ռացիոնալ և փոփոխականների տեսանկյունից, բայց այս արտահայտությունն արմատից անմիջապես չենք կարող ստանալ.
և

Ծանոթագրություններ[խմբագրել | խմբագրել կոդը]

  1. Jacobson 2009, էջ. 210
Այս հոդվածի կամ նրա բաժնի որոշակի հատվածի սկզբնական կամ ներկայիս տարբերակը վերցված է Քրիեյթիվ Քոմմոնս Նշում–Համանման տարածում 3.0 (Creative Commons BY-SA 3.0) ազատ թույլատրագրով թողարկված Հայկական սովետական հանրագիտարանից։ CC-BY-SA-icon-80x15.png