Խորանարդ հավասարում

Վիքիպեդիայից՝ ազատ հանրագիտարանից
Երեք իրական արմատով (հորիզոնական առանցքի հետ հատման կետում, որտեղ у = 0) y=(x^3+3x^2-6x-8)/4 խորանարդ հավասարման գրաֆիկը։ Առկա է 2 կրիտիկական կետ։
8x^3 + 7x^2 - 4x + 1 հավասարումն ունի մեկ իրական և երկու կեղծ արմատ։

Խորանարդ հավասարում, երրորդ աստիճանի հանրահաշվական հավասարում, ընդհանուր տեսքն է՝ ax3+bx2+cx+d= 0, որտեղ a≠0։ Խ. հ. x=y—b/3a տեղադրությամբ բերվում է «թերի», կանոնիկ տեսքի՝ y3+ py+q=0, որը լուծվում է Կարդանոյի բանաձևով՝

Լուծումը կարող է տրվել Սցիպիոս դել Ֆերոյի և Տարտագալիայի մեթոդներով, որը հրատարակվել է Գերալամո Կարդանոյի կողմից 1545 թ.ին[1]

Մեթոդը թույլ է տալիս հավասարումը բերել թերի խորանարդ հավասարման.

 t^3 + pt + q = 0\,. \qquad (2)

Մենք ներկայացնում ենք u և v փոփոխականների կապը հետևյալ հավասարման տեսքով.

u+v=t\,

և (2) հավասարումից օգտվելով այն կարելի է բերել հետևյալ հավասարման.

 u^3+v^3+(3uv+p)(u+v)+q=0 \qquad (3)\,։

Եվ այստեղ էլ Կառնոն առաջ է քաշում ևս մի պայման՝ u և v փոփոխականների համար։

 3uv+p=0\,։

Քանի որ (3) հավասարման մեջ առաջին փակագիծն անհետանում է, մենք ստանում ենք  u^3+v^3=-q և  u^3v^3=-p^3/27. հավասարումները։ Որտեղից  u^3 և  v^3 հավասարման երկու արմատներն են։

 z^2 + qz - {p^3\over 27} = 0\,.

Այստեղից, Կարդանոն, որը չգիտեր կոմպլեքս թվերի մասին, ենթադրում է, որ թիվը ռեալ է և այն որոշվում է հետևյալ հավասարմամբ.  \frac{q^2}{4}+\frac{p^3}{27} >0\,.

Լուծելով այս հավասարումը մենք կարող ենք  u և  v փոփոխականների արժեքները փոխարինել մեր արդյունքներով և ունենալ.

 u^{3}=-{q\over 2} + \sqrt{{q^{2}\over 4}+{p^{3}\over 27}} և v^{3}=-{q\over 2} - \sqrt{{q^{2}\over 4}+{p^{3}\over 27}}։

Եվ քանի որ այս թվերը ըստ Կարդանոյի ռեալ են, մենք ստանում ենք.

 t_1=u+v=\sqrt[3]{-{q\over 2}+ \sqrt{{q^{2}\over 4}+{p^{3}\over 27}}} +\sqrt[3]{-{q\over 2}- \sqrt{{q^{2}\over 4}+{p^{3}\over 27}}}

Բարդ խորանարդային հավասարումը լուծելիս ունենում ենք երկու կոմպլեքս արմատներ։ Այն փաստը, որ  uv արտադրյալն իրական թիվ է, մենք ստանում ենք, որ\,\tfrac{-1}{2} + i\tfrac{\sqrt{3}}{2}\, և մյուս կողմից \,\tfrac{-1}{2} - i\tfrac{\sqrt{3}}{2}\,։

Եթե  \frac{q^2}{4}+\frac{p^3}{27}\, պարտադիր չէ, որ խորանարդ հավասարման արժեքը լինի դրական, ապա մենք կարող ենք որոշել u^3 արժեքը։ Քանի որ մենք v^3 խորանարդ հավասարման համար ուղիղ լուծման ճանապարհ չունենք, ապա այն մենք կարող ենք լուծել հետևյալ հավասարմամբ. v=-\frac{p}{3u}, որը մեզ կտա

 u=\sqrt[3]{-{q\over 2}- \sqrt{{q^{2}\over 4}+{p^{3}\over 27}}} \qquad (4)

և

t=u-\frac{p}{3u}\,.

Նշենք որ արմաատի նշանը չի ազդում t փոփոխականի վրա, որովհետև նրա արժեքների փոփոխումը բերում է u և v փոփխականների արժեքի փոփոխման։ Մենք ընտրում ենք մինուս նշանը ունենալով, որ u\ne 0, երբ p = 0 և q\ne 0 թիվը զրոյի վրա բաժանվելուց խուսափելու համար։ Այս ընտրության դեպքում t փոփոխականի համար վերը նշված արտահայտությունները միշտ աշխատում են՝ բացառությամբ երբ p = q=0, որտեղ երկրորդ մասը դառնում է 0/0։ Այս դեպքում մենք ունենում ենք եռակի արմատ.  t=0.

Բայց խնդրի լուծման համար նշենք ևս մի քանի տարբերակներ, երբ խնդիրը հանգեցվում է քիչ քանակությունով քառակասի և խորանարդ արմատների գտնելուն.

Եթե p=q=0 մենք ունենում ենք երեք արտատ
t=0.\,
Եթե p=0 և q\ne 0 ապա
u=-\sqrt[3]{q} \text{ and } v = 0
և երեք արմատները -q խորանարդ արմատներն են։
Եթե p\ne 0 և q=0 ապա
u=\sqrt{{p\over 3}} \qquad \text{and} \qquad v=-\sqrt{{p\over 3}},
այս դեպքում երեք արմատները հետևյալն են.
t=u+v=0 , \qquad t=\omega_1u-{p\over 3\omega_1u}=\sqrt{-p} , \qquad t={u\over \omega_1}-{\omega_1p\over 3u}=-\sqrt{-p} ,
որտեղ
\omega_1=e^{i\frac{2\pi}{3}}=-\tfrac{1}{2} + \tfrac{\sqrt{3}}{2}i.
Ի վերջո, եթե 4p^3+27q^2=0 և p\ne 0, ստացվում է կրկնակի արմատ և պարզագույն արմատ, որոնք կարող են լինել ռացիոնալ p և q փոփոխականների տեսանկյունից, բայց այս արտահայտությունն արմատից անմիջապես չենք կարող ստանալ.
 t_1=t_2= -\frac{3q}{2p}\quad և \quad t_3=\frac{3q}{p}\,.

Ծանոթագրություններ[խմբագրել]

  1. Jacobson 2009, p. 210
Այս հոդվածի կամ նրա բաժնի որոշակի հատվածի սկզբանական տարբերակը վերցված է Հայկական սովետական հանրագիտարանից, որի նյութերը թողարկված են Քրիեյթիվ Քոմմոնս Նշում–Համանման տարածում 3.0 (Creative Commons BY-SA 3.0) թույլատրագրի ներքո։ CC-BY-SA-icon-80x15.png