Վիքիպեդիայից՝ ազատ հանրագիտարանից
Հերոնի բանաձև ը թույլ է տալիս որոշել եռանկյան մակերեսը (S ) երեք կողմերի (a, b, c ) միջոցով։
S
=
p
(
p
−
a
)
(
p
−
b
)
(
p
−
c
)
,
{\displaystyle S={\sqrt {p(p-a)(p-b)(p-c)}},}
որտեղ p -ն եռանկյան կիսապարագիծն է՝
p
=
a
+
b
+
c
2
{\displaystyle p={\frac {a+b+c}{2}}}
.
S
=
1
2
a
b
⋅
sin
γ
{\displaystyle S={1 \over 2}ab\cdot \sin {\gamma }}
,
որտեղ
γ
{\displaystyle \ \gamma }
՝ եռանկյան a և b կողմերով կազմված անկյունն է։
Կոսինուսների թեորեմի համաձայն՝
c
2
=
a
2
+
b
2
−
2
a
b
⋅
cos
γ
,
{\displaystyle c^{2}=a^{2}+b^{2}-2ab\cdot \cos \gamma ,}
Այստեղից՝
cos
γ
=
a
2
+
b
2
−
c
2
2
a
b
,
{\displaystyle \cos \gamma ={a^{2}+b^{2}-c^{2} \over 2ab},}
Ուրեմն
sin
2
γ
=
1
−
cos
2
γ
=
(
1
−
cos
γ
)
(
1
+
cos
γ
)
=
{\displaystyle \ \sin ^{2}\gamma =1-\cos ^{2}\gamma =(1-\cos \gamma )(1+\cos \gamma )=}
=
2
a
b
−
a
2
−
b
2
+
c
2
2
a
b
⋅
2
a
b
+
a
2
+
b
2
−
c
2
2
a
b
=
{\displaystyle ={{2ab-a^{2}-b^{2}+c^{2}} \over 2ab}\cdot {{2ab+a^{2}+b^{2}-c^{2}} \over 2ab}=}
=
c
2
−
(
a
−
b
)
2
2
a
b
⋅
(
a
+
b
)
2
−
c
2
2
a
b
=
1
4
a
2
b
2
(
c
−
a
+
b
)
(
c
+
a
−
b
)
(
a
+
b
−
c
)
(
a
+
b
+
c
)
{\displaystyle ={{c^{2}-(a-b)^{2}} \over 2ab}\cdot {{(a+b)^{2}-c^{2}} \over 2ab}={1 \over 4a^{2}b^{2}}(c-a+b)(c+a-b)(a+b-c)(a+b+c)}
.
Նկատելով, որ
a
+
b
+
c
=
2
p
{\displaystyle a+b+c=2p}
,
a
+
b
−
c
=
2
p
−
2
c
{\displaystyle a+b-c=2p-2c}
,
a
+
c
−
b
=
2
p
−
2
b
{\displaystyle a+c-b=2p-2b}
,
c
−
a
+
b
=
2
p
−
2
a
{\displaystyle c-a+b=2p-2a}
, ստանում ենք՝
sin
γ
=
2
a
b
p
(
p
−
a
)
(
p
−
b
)
(
p
−
c
)
.
{\displaystyle \sin \gamma ={2 \over ab}{\sqrt {p(p-a)(p-b)(p-c)}}.}
Այսպիսով
S
=
1
2
a
b
sin
γ
=
p
(
p
−
a
)
(
p
−
b
)
(
p
−
c
)
,
{\displaystyle S={1 \over 2}ab\sin \gamma ={\sqrt {p(p-a)(p-b)(p-c)}},}
Այս հոդվածի կամ նրա բաժնի որոշակի հատվածի սկզբնական կամ ներկայիս տարբերակը վերցված է Քրիեյթիվ Քոմմոնս Նշում–Համանման տարածում 3.0 (Creative Commons BY-SA 3.0) ազատ թույլատրագրով թողարկված Հայկական սովետական հանրագիտարանից (հ․ 6, էջ 382 )։