Հերոնի բանաձև

Հերոնի բանաձևը թույլ է տալիս որոշել եռանկյան մակերեսը (S) երեք կողմերի (a, b, c) միջոցով։

$S={\sqrt {p(p-a)(p-b)(p-c)}},$$S={\sqrt {p(p-a)(p-b)(p-c)}},$

որտեղ p-ն եռանկյան կիսապարագիծն է՝ $p={\frac {a+b+c}{2}}$$p={\frac {a+b+c}{2}}$.

Ապացույց.

$S={1 \over 2}ab\cdot \sin {\gamma }$$S={1 \over 2}ab\cdot \sin {\gamma }$,

որտեղ $\ \gamma$$\ \gamma$՝ եռանկյան a և b կողմերով կազմված անկյունն է։ Կոսինուսների թեորեմի համաձայն՝

$c^{2}=a^{2}+b^{2}-2ab\cdot \cos \gamma ,$$c^{2}=a^{2}+b^{2}-2ab\cdot \cos \gamma ,$

Այստեղից՝

$\cos \gamma ={a^{2}+b^{2}-c^{2} \over 2ab},$$\cos \gamma ={a^{2}+b^{2}-c^{2} \over 2ab},$

Ուրեմն

$\ \sin ^{2}\gamma =1-\cos ^{2}\gamma =(1-\cos \gamma )(1+\cos \gamma )=$$\ \sin ^{2}\gamma =1-\cos ^{2}\gamma =(1-\cos \gamma )(1+\cos \gamma )=$

$={{2ab-a^{2}-b^{2}+c^{2}} \over 2ab}\cdot {{2ab+a^{2}+b^{2}-c^{2}} \over 2ab}=$$={{2ab-a^{2}-b^{2}+c^{2}} \over 2ab}\cdot {{2ab+a^{2}+b^{2}-c^{2}} \over 2ab}=$

$={{c^{2}-(a-b)^{2}} \over 2ab}\cdot {{(a+b)^{2}-c^{2}} \over 2ab}={1 \over 4a^{2}b^{2}}(c-a+b)(c+a-b)(a+b-c)(a+b+c)$$={{c^{2}-(a-b)^{2}} \over 2ab}\cdot {{(a+b)^{2}-c^{2}} \over 2ab}={1 \over 4a^{2}b^{2}}(c-a+b)(c+a-b)(a+b-c)(a+b+c)$.

Նկատելով, որ $a+b+c=2p$$a+b+c=2p$, $a+b-c=2p-2c$$a+b-c=2p-2c$, $a+c-b=2p-2b$$a+c-b=2p-2b$, $c-a+b=2p-2a$$c-a+b=2p-2a$, ստանում ենք՝

$\sin \gamma ={2 \over ab}{\sqrt {p(p-a)(p-b)(p-c)}}.$$\sin \gamma ={2 \over ab}{\sqrt {p(p-a)(p-b)(p-c)}}.$

Այսպիսով

$S={1 \over 2}ab\sin \gamma ={\sqrt {p(p-a)(p-b)(p-c)}},$$S={1 \over 2}ab\sin \gamma ={\sqrt {p(p-a)(p-b)(p-c)}},$

Տես նաև

• Եռանկյուն
• Մակերես
• Պարագիծ
• Կոսինուսների թեորեմ
• Հերոն Ալեքսանդրիացի

Հղումներ

• Եռանկյան մակերեսը