Թվերի տեսություն

Վիքիպեդիայից՝ ազատ հանրագիտարանից
Jump to navigation Jump to search
Plimpton 322.jpg

Թվերի տեսություն, կամ ավելի վաղ օգտագործմամբ թվաբանություն, մաքուր մաթեմատիկայի ճյուղ է, որ հիմնականում նվիրված է ամբողջ թվերի ուսումնասիրությանը։ Մաթեմատիկայում ունեցած հիմնարար դերի համար, այն երբեմն անվանում են "Մաթեմատիկայի թագուհի"։ Թվերի տեսաբանները ուսումնասիրում են ինչպես պարզ թվերը, այնպես էլ ամբողջ թվերից կառուցված (այսինքն, ռացիոնալ թվերը) կամ որպես ամբողջ թվերի ընդհանրացումներից սահմանված օբյեկտների (այսինքն, հանրահաշվական թվեր) հատկությունները։

Ամբողջ թվերը կարող են դիտարկվել ինքնուրույն կամ հավասարումների լուծումներ (Դիոֆանտյան երկրաչափություն)։ Թվերի տեսության հարցերը հաճախ ավելի լավ են հասկացվում կոմպլեքս անալիզի օբյեկտներն (այսինքն, Ռիմանի զետա ֆունկցիա) ուսումնասիրելու միջոցով, որոնք ինչ որ ձևով (վերլուծական թվերի տեսություն) ծածկագրում են ամբողջ թվերի, պարզ թվերի կամ այլ թվային տեսական օբյեկտների հատկությունները։ Կարելի է նաև ուսումնասիրել իրական թվերը կապված ռացիոնալ թվերի հետ, օրինակ, ինչպես մոտարկվել էր վերջին դեպքում (Դիոֆանտյան մոտարկում

Թվերի տեսության վաղ տերմինը թվաբանությունէր։ Քսաներորդ դարի սկզբներին այն փոխարինվեց "թվերի տեսությամբ"։[note 1] (The word "Թվաբանություն" բառը լայն հասարակության կողմից օգտագործվում է "տարրական հաշվարկների" իմաստով, ինչպես նաև ձեռք է բերել այլ իմաստներ մաթեմատիկական տրամաբանության, որպես Պեանոյի թվաբանություն, և կոմպյուտերային գիտության, ինչպես լողացող ստորակետով թվաբանության մեջ։) Թվերի տեսության համար The use of the term թվաբանություն տերմինի օգտագործումը որոշակի հիմք ձեռք բերեց 20-րդ դարի երկրորդ կեսում, հնարավոր է մասնակիորեն ֆրաննսիական ազդեցության տակ։ [note 2] Մասնավորապես, թվաբանական որպես ածական նախընտրելի է քան թվա-տեսական։

Պատմություն[խմբագրել | խմբագրել կոդը]

Ծագում[խմբագրել | խմբագրել կոդը]

Թվաբանության արշալույս[խմբագրել | խմբագրել կոդը]

Թվաբանական բնույթի առաջին գտածոն սեղանի բեկոր է, կոտրված կավե կտոր պլիմպտոն 322 (Լարսա, Մեսոպոտամիա, մոտ․ մ․թ․ա․ 1800 թվական) պարունակում է "Պյութագորյան եռյակների" ցուցակ, այսինքն, այնպիսի ամբողջ թվեր, որ ։ Եռյակները չափազանց շատ են և չափազանց մեծ որպեսզի ստացվեն կոպիտ ուժի մեթոդով։ Առաջին սյունի վերնագիրն ասում է․ "The takiltum of the diagonal which has been subtracted such that the width..."[1]

Պլիմպտոն 322 աղյուսակը

Աղյուսակի դասավորությունը ենթադրում է[2] որ այդ քանակության միջոցով այն կառուցվել է արտահայտելու, ժամանակակից լեզվով, հետևյալ հավասարությունը

որը սովորական էր հին բաբելոնյան վարժություններում։[3] Եթե այլ մեթոդ է օգտագործվել,[4] սկզբում եռյակներն են ձևսվորել և այնուհետ վերադասավորել ըստ , ենթադրաբար որպես "աղյուսակ" իրական օգտագործման համար, այսինքն, կիրառությունների տեսանկյունից։ Հայտնի չէ, թե ինչ կիրառություններ էին դրանք, կամ արդյոք եղել են, Բաբելոնյան աստղագիտությունը, օրինակ իրականում ոտքի կանգնեց ավելի ուշ։ Դրա փոխարեն ենթադրվում էր, որ աղյուսակը դպրոցական խնդիրների թվային օրինակներ էին։[5][note 3]

Բաբելոնյան թվերի տեսությունը կամ ինչ փրկվել է Բաբելոնյան մաթեմատիկայից, բաղկացած է այս միակ ապշեցուցիչ Բաբելոնլան հանրահաշիվ (երկրորդական դպրոցի "հանրահաշիվ") հատվածից։[6] Ավելի ուշ Նեոպլատոնիկ աղբյուրները[7] հավաստում են, որ state that Պյութագորասը մաթեմատիկա է սովորել Բաբելոնացիներից։ Շատ ավելի վաղ աղբյուրները[8] հավաստում են, որ Թալեսը և Պյութագորասը ճամփորդել և սովորել են Եգիպտոսում։

Էվկլիդեսը IX 21—34 ամենայն հավանականությամբ պյութագորիական էր,[9] դա շատ պարզ նյութ էր ("կենտ անգամ զույգ զույգ է", "Եթե զույգ թիվը բաժանվում է կենտ թվի, ապա դրա կեսը նույնպես բաժանվում է այդ կենտ թվին"), սա այն ամենն է, որ անհրաժեշտ է ապացուցելու, որ իռացիոնալ թիվ է։[10] Պյութագորյան միստիկները մեծ կարևորություն էին տալիս կենտ և զույգ թվերին։[11] Բացահայտումը, որ իռացիոնալ է, վերագվում է վաղ պյութագորականներին (մինչ Թեոդորուսը).[12] Բացահայտումը, որ թվերը կարող է և իռացիոնալ լինել, մաթեմատիկայի պատմության մեջ կարծես թե առաջացրել է առաջին հիմնարար ճգնաժամը, դրա ապացույցը երբեմն վերագրում են Հիպասուսին, ով հեռացվել կամ պառակտվել է Պյութագորյան աղանդից։[13] Դա ստիպեց տարանջատել մի կողմից թվերը (ամբողջ թվերը և ռացիոնալ թվերը՝ թվաբանության օբյեկտները), և մյուս կողմից lերկարություններն ու համամասնությունները (որը մենք կստանանք իրական թվերով, ռացիոնալ կամ ոչ)։

Պյութագորյան ավանդույթը խոսում էր նաև այսպես կոչված բազմանկյան կամ ձևական թվերից։ Քառակուսի թվեր, խորանարդ թվեր և այլն, ավելի բնական են դիտվում, քան եռանկյուն թվեր, հնգանկյուն թվեր և այլն, [14], եռանկյուն և հնգանկյուն թվերի գումարների ուսումնասիրությունը արդյունավետ էին նոր ժամանակների վաղ շրջանում (17-րդ մինչև վաղ 19-րդ դար)։

Հին եգիպտական կամ Վեդայի աղբյուրներում ակնհայտ մաթեմատիկական նյութեր չկան, չնայած երկուսում էլ կա մի փոքր հանրահաշիվ։ Չինական մնացորդների թեորեմը ներկայացված է[15] Sunzi Suanjing (մեր թվարկության 3-րդ, 4-րդ կամ -րդ դար)[16]

Չինական մաթեմատիկայում կա նաև թվանշանային միստիցիզմ,[note 4] բայց ի տարբերություն Պյութագորականների, այն ոչ մի տեղ չի տանում։ Պյութագորյան կատարյալ թվերի նման, մոգական քառակուսիները սնահավատությունից անցել են թարմացման։

Դասական Հունաստանը և վաղ Հելենիստական ժամանակաշրջանը[խմբագրել | խմբագրել կոդը]

Բացի մի փոքր հատվածից, Դասական Հունաստանի մաթեմատիկան մեզ հայտնի է վաղ Հելլենիստական ժամանակաշրջանի կամ ոչ մաթեմատիկոս ժամանակակիցների հիշատակումներից կամ մաթեմատիկական աշխատանքների մմիջոցով։[17] Թվերի տեսության դեպքում, հիմնականում համապատասխանաբար Պլատոյի և Էվկլիդեսի կողմից։

Թեև ասիական մաթեմատիկան ազդել է հունական և հելլենիստական ուսուցման վրա, կարծես թե հունական մաթեմատիկան նաև տեղական ավանդույթ է:

Եվսեբիոսը, PE X, 4-րդ գլխում հիշատակում է Պյութագորասին:

"Փաստացի Պյութագորասը, ջանաբար ուսումնասիրելով յուրաքանչյուր ազգի իմաստությունը, այցելել է Բաբելոնը, Եգիպտոսը և ողջ Պարսկաստանը, սովորել է մոգերի և քահանաների օգնությամբ․ ի հավելումն նա կապված է եղել և սովորել բրահմանների (հնդիկ փիլիսոփաներ) մոտ և մի մասից նա հուսանել է աստղագիտություն, ուրիշներից երկրաչափություն, երրորդներից թվաբանություն և երաժշտություն, և տարբեր բաներ, տարբեր ազգերից, և միայն հույն իմաստուն մարդկանցից ոչինչ չի ստացել՝ քանի որ նրանք իմաստության պակաս ունեին, այսպիսով, նա ինքն է դառնում հույներին կրթելու հեղինակը, տարածելով իր կողմից արտասահմանում ձեռք բերածը։"[18]

Արիստոտելը հավաստում է, որ Պլատոյի փիլիսոփայությունը սերտորեն հետևում էր Պյութագորյան սկզբունքներին,[19] և Ցիցերոնն էլ հաստատել է այս հայտարարությունը․ Platonem ferunt didicisse Pythagorea omnia ("Նրանք ասում են, որՊլատոն ամեն ինչ սովորել է Պյութագորասից")։[20]

Պլատոն հափշտակված էր մաթեմատիկայով և հստակ տարանջատում էր թվաբանությունն ու հաշիվը։ (By Թվաբանության տակ նա հասկանում էր մասնավորապես ավելի շուտ թվերի տեսականացում, քան այն ինչ թվաբանությունը կամ թվերի տեսությունը նշանակում էին։) Պլատոյի երկխոսություններից մեկի՝ Theaetetus—ի միջոցով մենք գիտենք, որ Թեոդորուսը ապացուցել է, որ իռացիոնալ է։ Թեատետուսը, Պլատոյի նման, Թեոդորուսի աշակերտն էր։ նա աշխատում էր տարբեր տիպի անհամատեղելիության տարբերակման վրա, հետևաբար, հնարավոր է թվային համակարգերի ուսումնասիրության մեջ առաջինը լիներ։ (Պապուսի կողմից գրված Էվկլիդյան տարրեր X գրքում հիմնականում նկարագրված է Թեատետուսի աշխատանքը։)

Էվկլիդեսը իր Տարրեր աշխատության մի մասը հատկացրել է պարզ թվերին և բաժանելիությանը, թեմաներ, որ միարժեքորեն վերաբերում են թվերի տեսությանը և հիմնական դեր ունեն։ (Գիրք VII - IX, Էվկլիդյան տարրեր). Մասնավորապես, նա տվեց երկու թվերի ամենամեծ ընդհանուր բաժանարարը գտնելու ալգորիթմը (Էվկլիդյան ալգորիթմ; Ta88e8, Prop. VII.2) և պարզ թվերի անվերջության առաջին հայտնի ապացույցը։ (Տարրեր, Prop. IX.20).

1773 թվականին, Գոտհոլդ Լեսսինգը մակագիր հրատարակեց, որը նա գտել էր ձեռագրում, իր, որպես գրադանավար, աշխատանքի ընթացքում։ Այն Արքիմեդեսի նամակն էր Էրատոսթենեսին։[21][22] Մակագիրը առաջարկել է այն, ինչը հետագայում հայտնի դարձավ որպես Արքիմեդեսի խոշոր եղջերավոր անասունների խնդիր։ Դրա լուծումը (բացակայում է ձեռագրից) պահանջում է լուծել անորոշ քառակուսի հավասարում (որը հետագայում սխալմամբ անվանվեց Պելլի հավասարում)։ Որքանով հայտնի է, այդպիսի հավասարումները առաջինը հաջողությամբ ուսումնասիրվել են հնդկական մաթեմատիկական դպրոցի կողմից։ Հայտնի չէ, արդյոք Արքիմեդեսն ինքը լուծման մեթոդն ուներ։

Դիոֆանտուս[խմբագրել | խմբագրել կոդը]

Դիաֆանտուսի Թվաբանություն գրքի կազմը 1621 թվականի հրատարակություն

Դիոֆանտուսի մասին շատ քիչ բան է հայտնի, հավանաբար նա ապրել էմեր թվարկության երրորդ դարում, այսինքն Էվկլիդեսից հինգ դար հետո։ Դիոֆանտուսի Թվաբանություն տասներեք գրքերից հունարեն բնօրինակով պահպանվել են վեցը, արաբական թարգմանությամբ՝ չորսը։ Թվաբանությունը մշակված խնդիրների հավաքածու է, որտեղ խնդիրը սովորաբար կամ տեսքի բազմանդամային հավասարումների համակարգի ռացիոնալ լուծումներ գտնելն է։ Այսպիսով, այսօր մենք խոսում ենք Դիոֆանտյան հավասարումների մասին, ապա նկատի ունենք բազմանդամային հավասարումներ, որոնց համար պետք է գտնվեն ռացիոնալ կամ ամբողջ լուծումներ։

Կարելի է ասել Դիֆանտուսը ուսումնասիրում էր ռացիոնալ կետերը, այսինքն, կետերը, որոնց կոորդինատները ռացիոնալ են կորերի և հանրահաշվական բազմազանությունների վրա։ Ի տարբերություն դասական շրջանի հույների, ովքեր ստեղծեցին այն, ինչը երկրաչափական տերմիններով այժմ անվանում ենք երկրաչափական տերմիններով հիմնարար, Դիոֆանտուսը արեց այն, որը այսօր անվանում ենք հիմնարար հանրահաշվական երկրաչափություն հանրահաշիվ։ Ժամանակակից լեզվով ասած ինչ Դիոֆանտուսն էր անում, դա բազմազանությունների համար ռացիոնալ պարամետրիզացիա գտնելն է, այսինքն, տրված , հավասարման համար,նրա նպատակն էր գտնել երեք ռացիոնալ ֆունկցիաներ այնպիսիք, որ և , բոլոր արժեքների համար, որ , տալիս է լուծում

Դիոֆանտուսը ուսոմնասիրել է նաև որոշ ոչռացիոնալ կորերի հավասարումներ, որոնց համար ոչ ռացիոնալ պարամետրիզացիան հնարավոր է։ Նա կարողացել է այդ կորերի վրա որոշ ռացիոնալ կետեր գտնել որոնց միջոցով ստացվում է շոշափող կառուցվածք՝ փախակերպելով կոորդինատային երկրաչափության (որը Դիոֆանտուսի ժամանակ գոյություն չուներ), նրա մեթոդը կարելի է պատկերացնել որպես հայտնի ռացիոնալ կետում կորին շոշափող տանելև շոշափողի և կորի հատման այլ ռացիոնալ նոր կետ գտնել։ (Դիոֆանտուսը դիմում է նաև այսպես կոչված հատող կոնստրուկցիայի մասնավոր դեպքին։)

Հիմնականում զբաղված լինելով ռացիոնալ լուծումներով, նա ամբողջ թվերի հետ կապված որոշ արդյունքներ գրանցեց, մասնավորապես, որ յուրաքանչյուր ամբողջ թիվ չորս ամբողջ թվերի քառակուսիների գումար է (չնայած նա երբեք այդքան հստակ չէր ձևակերպել)։

Արիաբհատա, Բրահմագումպտա, Բհասկարա[խմբագրել | խմբագրել կոդը]

Թեև հունական աստղագիտությունը հավանաբար ազդել է հնդկական ուսուցման վրա, մինչև իսկ եռանկյունաչափության ստեղծման է բերել,[23] սակայն թվում է, հնդկական մաթեմատիկան ինքնին տեղական ավանդույթ է,[24] մասնավորապես, չկա որևէ ապացույց, որ Էվկլիդյան տարրերը Հնդկաստան են հասել մինչև 18-րդ դար։[25]

Արիաբհատան (մ․թ․ 476–550) ցույց է տվել, որ միաժամանակյա նմանությունների զույգերը , կարող են լուծվել կուտակա, կամ պուլվիրիզատոր մեթոդներով,[26] այս եղանակը մոտ է (ընդհանրացված) Էվկլիդյան ալգորիթմին, որը հավանաբար անկախ հայտնագործվել է Հնդկաստանում։[27] Թվում է, Արիաբհատան նկատի ուներ աստղագիտական հաշվարկների կիրառությունները։[23]

Բրահմագումպտան (մ․թ․ 628) սկսեց անորոշ քառակուսի հավասարումների ուսումնասիրությունը՝ մասնավորապես, սխալ անվանված Պելլի հավասարումը, որում առաջինը Արքիմեդեսն էր հետաքրքրված, և որը արևմուտքում մինչ Ֆերմայի և Էյլերի ժամանակները չէին սկսել լուծել։ Ավելի ուշ սանսկրիտ հեղինակները կհետևեն օգտագործելով Բրահմագումպտայի տեխնիկական տերմինաբանությունը։ Պելլի հավասարման լուծման ընդհանուր եղանակը (Չակրավալայի կամ "ցիկլիկ մեթոդ") վերջնականապես գտել է Ջավադևան (հիշատակվել է տասնմեկերորդ դարում, հակառակ դեպքում նրա գործը կանհետանար); վաղ պահպանված ցուցանմուշը հիշատակված է Բհասկարա II-ի Bīja-gaṇita աշխատությունում (տասներկուերորդ դար)։[28]

Հնդկական մաթեմատիկան մինչև տասնութերորդ դարը հիմնականում անհայտ էր Եվրոպայում։[29]1817 թվականին Հենրի Քոլբրուկը Բրահմագուպտայի և Բհասկարայի աշխատանքները թարգմանեց անգլերեն։[30]

Մաթեմատիկան իսլամական ոսկե դարում[խմբագրել | խմբագրել կոդը]

Ալ-Հայսամը ըստ արևմուտքի․ Selenographia-ի կազմը, որ ցույց է տալիս Ալհասենին Կաղապար:Sic, գիտելիքը բանականության միջոցով ներկայացնող և Գալիլեյը, գիտելիքը զգացմունքների միջոցով ներկայացնող։

Իններորդ դարի սկզբներում խալիֆ Ալ-Մամունը հրահանգեց թարգմանել հույն մաթեմատիկոսների շատ աշխատանքներ և գոնե մի սանսկրիտ աշխատանք (Sindhind, որը կարող է[31] կամ չի կարող[32] Բրահմագուպտայի աշխատանքը լինել)։ Դիոֆանտուսի գլխավոր Թվաբանություն աշխատանքը արաբերեն էր թարգմանվել Քուստա իբն Լուկայի կողմից։ (820–912). al-Fakhri աշխատության մի մասը (Ալ-Կարաջի, 953 – 1029) ինչ որ չափով հիմնվում է դրա վրա։ Համաձայն Ռաշեդ Ռոշդիի, Ալ-Կարաջիի ժամանակակից Իբն ալ-Հայսամը գիտեր [33] ավելի ուշ կանվանվեր Վիլսոնի թեորեմ։

Արևմտյան Եվրոպան միջին դարերում[խմբագրել | խմբագրել կոդը]

Բացի Ֆիբոնաչիի՝ ով կրթության տարիներին (1175–1200), ապրել և սովորել է հյուսիսային Աֆրիկայում և Կոնստանդնուպոլսում թվաբանական պրոգրեսիայի քառակուսիների աշխատությունից, Արևմտյան Եվրոպայում միջին դարերում թվերի տեսության բնագավառում ոչինչ չի արվել։ Եվրոպայում իրավիճակը սկսեց փոխվել ուշ Վերածննդի ժամանակաշրջանում, շնորհիվ հունական անտիկ գործերի նորացված ուսումնասիրության։ Դիոֆանտուսի Թվաբանություն գործի տեքստի ուղղումները և թարգմանությունը լատիներենի կատալիզատոր հանդիսացավ։

Վաղ ժամանակակից թվերի տեսություն[խմբագրել | խմբագրել կոդը]

Ֆերմա[խմբագրել | խմբագրել կոդը]

Պիեռ դե Ֆերմա

Պիեռ դե Ֆերման (1601–1665) երբեք չի հրատարակել իր գրառումները, մասնավորապես, թվերի տեսությանը վերաբերող նրա աշխատանքները համարյա ամբողջությամբ ներառված են մաթեմատիկոսներին ուղղված նրա նամակներում և մասնավոր մարգինալ նշումներում։[34] Թվերի տեսության մեջ գրեթե ոչ մի ապացույց նա չի գրառել, այդ բնագավառում նա մոդելներ չուներ։[35] Նա բազմակիորեն կիրառել էր մաթեմատիկական ինդուկցիան, ներկայացնելով անվերջ անկման մեթոդը։

Ֆերմայի առաջին հետաքրքրությունների շարքում էին կատարյալ թվերը (որոնք նկարագրված են Էվկլիդեսի Տարրերում, IX դար) և բարեկամական թվերը,[note 5] սա նրան ուղղորդեց դեպի ամբողջ թվերի բաժանելիություն, որը նրա նամակագրությունների մաս էր կազմում հենց սկզբից: Դա նրան կապեց ժամանակի մաթեմատիկական համայնքի հետ։[36] 1643 թվականին նա արդեն խորությամբ ուսումնասիրել էր Դիոֆանտուսի աշխատանքների Բաչետի հրատարակությունը, [37] նրա հետաքրքրությունները տեղափոխվեցին դեպի Դիոֆանտուսի խնդիրները և քառակուսիների գումարներըh [38] (մշակվել է նաև Դիոֆանտուսի կողմից)։

Արտաքին հղումներ[խմբագրել | խմբագրել կոդը]

Այս հոդվածի կամ նրա բաժնի որոշակի հատվածի սկզբնական կամ ներկայիս տարբերակը վերցված է Քրիեյթիվ Քոմմոնս Նշում–Համանման տարածում 3.0 (Creative Commons BY-SA 3.0) ազատ թույլատրագրով թողարկված Հայկական սովետական հանրագիտարանից  (հ․ 4, էջ 225 CC-BY-SA-icon-80x15.png


Քաղվածելու սխալ՝ <ref> tags exist for a group named "note", but no corresponding <references group="note"/> tag was found, or a closing </ref> is missing

  1. Neugebauer & Sachs 1945, էջ. 40 . The term takiltum is problematic. Robson prefers the rendering "The holding-square of the diagonal from which 1 is torn out, so that the short side comes up...".Robson 2001, էջ. 192
  2. Robson 2001, էջ. 189 . Other sources give the modern formula . Van der Waerden gives both the modern formula and what amounts to the form preferred by Robson.(van der Waerden 1961, էջ 79)
  3. van der Waerden, 1961, էջ` 184
  4. Neugebauer (Neugebauer 1969, էջեր 36–40) discusses the table in detail and mentions in passing Euclid's method in modern notation (Neugebauer 1969, էջ 39).
  5. Friberg, 1981, էջ` 302
  6. van der Waerden, 1961, էջ` 43
  7. Iamblichus, Life of Pythagoras,(trans. e.g. Guthrie 1987 ) cited in van der Waerden 1961, էջ. 108 . See also Porphyry, Life of Pythagoras, paragraph 6, in Guthrie 1987 Van der Waerden (van der Waerden 1961, էջեր 87–90) sustains the view that Thales knew Babylonian mathematics.
  8. Herodotus (II. 81) and Isocrates (Busiris 28), cited in: Huffman 2011 . On Thales, see Eudemus ap. Proclus, 65.7, (e.g. Morrow 1992, էջ. 52 ) cited in: O'Grady 2004, էջ. 1 . Proclus was using a work by Eudemus of Rhodes (now lost), the Catalogue of Geometers. See also introduction, Morrow 1992, էջ. xxx on Proclus's reliability.
  9. Becker 1936, էջ. 533 , cited in: van der Waerden 1961, էջ. 108 .
  10. Becker, 1936
  11. van der Waerden, 1961, էջ` 109
  12. Plato, Theaetetus, p. 147 B, (e.g. Jowett 1871 ), cited in von Fritz 2004, էջ. 212
    "Theodorus was writing out for us something about roots, such as the roots of three or five, showing that they are incommensurable by the unit;..." See also Spiral of Theodorus.
  13. von Fritz, 2004
  14. Heath, 1921, էջ` 76
  15. Sunzi Suanjing, Chapter 3, Problem 26. This can be found in Lam & Ang 2004, էջեր. 219–220 , which contains a full translation of the Suan Ching (based on Qian 1963 ). See also the discussion in Lam & Ang 2004, էջեր. 138–140 .
  16. The date of the text has been narrowed down to 220–420 AD (Yan Dunjie) or 280–473 AD (Wang Ling) through internal evidence (= taxation systems assumed in the text). See Lam & Ang 2004, էջեր. 27–28 .
  17. Boyer, Merzbach, էջ` 82
  18. http://www.tertullian.org/fathers/eusebius_pe_10_book10.htm
  19. Metaphysics, 1.6.1 (987a)
  20. Tusc. Disput. 1.17.39.
  21. Vardi, 1998, էջ` 305–319
  22. Weil, 1984, էջեր` 17–24
  23. 23,0 23,1 Plofker, 2008, էջ` 119
  24. Any early contact between Babylonian and Indian mathematics remains conjectural (Plofker 2008, էջ 42).
  25. Mumford, 2010, էջ` 387
  26. Āryabhaṭa, Āryabhatīya, Chapter 2, verses 32–33, cited in: Plofker 2008, էջեր. 134–140 . See also Clark 1930, էջեր. 42–50 . A slightly more explicit description of the kuṭṭaka was later given in Brahmagupta, Brāhmasphuṭasiddhānta, XVIII, 3–5 (in Colebrooke 1817, էջ. 325 , cited in Clark 1930, էջ. 42 ).
  27. Mumford, 2010, էջ` 388
  28. Plofker, 2008, էջ` 194
  29. Plofker, 2008, էջ` 283
  30. Colebrooke, 1817
  31. Colebrooke 1817, էջ. lxv , cited in Hopkins 1990, էջ. 302 . See also the preface in Sachau 1888 cited in Smith 1958, էջեր. 168
  32. Pingree 1968, էջեր. 97–125 , and Pingree 1970, էջեր. 103–123 , cited in Plofker 2008, էջ. 256 .
  33. Rashed, 1980, էջ` 305–321
  34. Weil, 1984, էջեր` 45–46
  35. Weil 1984, էջ. 118 . Մնացած բնագավառներում նույնիսկ ավելի սուղ էր (նշումը Mahoney 1994, էջ. 284 )։ Բաչետի ապացույցները "անհեթեթություն" էին(Weil 1984, էջ 33)։
  36. Mahoney 1994, էջեր. 48, 53–54 . Ֆերմայի նամակագրությունների սկզբնական թեմաներն էին բաժանելիությունը և թվերի տեսությունից դուրս էլի շատ թեմաներ։ Tannery & Henry 1891, Vol. II, pp. 72, 74 , cited in Mahoney 1994, էջ. 54 .
  37. Weil, 1984, էջեր` 1–2
  38. Weil, 1984, էջ` 53