Աստիճանային շարք

Աստիճանային շարք մեկ փոփոխականով, դա ֆորմալ հանրահաշվական արտահայտություն է։

$F(X)=\sum \limits _{n=0}^{\infty }a_{n}X^{n},$

որում գործակիցներ ${a_{n}}$ ընտրվում է մի ինչ որ ${R}$ օղակից։

Աստիճանային շարքերի տարածություն

Տարածությունը մեկ փոփոխականով աստիճանային շարքով և գործակիցներ ${R}$-ից նշանակում են$R[[X]]$. $R[[X]]$ տարածությունը ունի դիֆերենցիալ հանրահաշվի կառուցվածք (կոմուտատիվ ${R}$ օղակով, ամբողջական, միավորով, եթե այդպիսին է ${R}$) օղակը։ Այն հաճախ օգտագործում են մաթեմատիկայում նկատի առնելով, որ նրանում հեշտ ներկայացնելի և լուծելի է ֆորմալ դիֆերենցիալ-հանրահաշվական և նույնիսկ ֆունկցիոնալ հարաբերակցությունը (տես․ մեթոդ ածանցավոր ֆունկցիաներ)։ Դրա օգտագործումով այդ հարաբերակցությունը փոխակերպվում է աստիճանական գործակիցներով հանրահաշվական հավասարման։ Եթե այն թույլատրվում է, ասում է ֆորմալ աստիճանային շարքի տրված խնդրի լուծման մասին։

$R[[X]]$- ում սահմամված է գումարման, բազմապատկման, ֆորմալ դիֆերենցում և ֆորմալ վերադրում գործողությունները։

Ենթադրենք

$F(X)=\sum \limits _{n=0}^{\infty }a_{n}X^{n},G(X)=\sum \limits _{n=0}^{\infty }b_{n}X^{n},H(X)=\sum \limits _{n=0}^{\infty }c_{n}X^{n}.$

Այդ ժամանակ։

$H=F+G\Leftrightarrow \forall n\,c_{n}=a_{n}+b_{n}$

$H=F\,\cdot \,G\Leftrightarrow \forall n\,c_{n}=\sum \limits _{k+l=n}a_{k}b_{l}$

$H=F\circ G\Leftrightarrow \forall n\,c_{n}=\sum \limits _{s=1}^{n}a_{s}\sum \limits _{k_{1}+\dots +k_{s}=n}b_{k_{1}}b_{k_{2}}\dots b_{k_{s}}$ (այդ դեպում անհրաժեշտ է, որ պահպանվի $b_{0}=0$)

$H=F'\Leftrightarrow \forall n\,c_{n}=(n+1)a_{n+1}$

Աստիճանային շարքի զուգամիտություն

Իրական կամ կոմպլեքս գործակիցներով ֆորմալ աստիճանային շարքից, գրառման ճանապարհով, ինչ որ ${X}$ իրական ֆորմալ փոփոխականի մեծությունից, իրական և կոմպլեքս դաշտում կարելի է ստանալ աստիճանային շարք։ Աստիճանային շարքը համարվում է զուգամիտվող (գումարվող), եթե զուգամիտվում է մասնակի հաջորդականության գումարը, կազմված նրա անդամներից և կոչվում է բացարձակ զուգամիտություն, եթե զուգամիտվում է մասնակի հաջորդականության գումարը, կազմված նրա անդամներից, վերցրած մոդուլով (նորմայով)։

Զուգամիտության հայտանիշներ

Աստիճանային շարքի համար գոյություն ունի մի քանի թեորեմ, նկարագրելով պայմանը և բնույթը զուգամիտության։

• Աբելի առաջին թեորեմ։ Ենթադրենք $\Sigma \,a_{n}x^{n}$ շարքը զուգամիտվում է ${x_{0}}$ կետում։ Այդ ժամանակ այդ շարքը զուգամիտվում է բացարձակապես ${|x|<|x_{0}|}$ շրջանում և հավասարաչափորեն այդ շրջանի ${x}$ ցանկացած կոմպակտ ենթաբազմությունում։ Հակադարձելով այդ թեորեմային, ստանում ենք, եթե աստիճանային շարքը տարամիտվում է ${x=x_{0}}$ դեպքում, այն տարամիտվում է ցանկացած ${x}$ դեպքում, այնպիսիք որ ${|x|>|x_{0}|}$։ Աբելի առաջին թեորեմայից նույնպես հետևում է, որ գոյություն ունի շրջանագծի այդպիսի ${R}$ շառավիղ ( հնարավոր է, զրոյական կամ անվերջ), որ ${|x|<R}$-ի դեպքում շարքը զուգամիտում է բացարձակապես (և հավասարաչափորեն այդ շրջանի $x$-ի ${|x|<R}$) կոմպակտ ենթաբազմությունում, իսկ ${|x|>R}$ դեպքում տարամիտում է։ Այդ $R$ մեծությանը անվանում են շարքի զուգամիտության շառավիղ, իսկ ${|x|<R}$ շրջանը՝ զուգամիտության շրջան։
• Կոշի-Ադամարի բանաձև։ Աստիճանային շարքի զուգամիտության շառավղի մեծությունը (եթե վերևի սահման գոյություն ունի և դրական է, Աստիճանային շարքի մասին Ադամարի թեորեմ) կարելի է հաշվել հետևյալ բանաձևով․

${1 \over R}={\varlimsup \limits _{n\rightarrow +\infty }}\,|a_{n}|^{1/n}$

(Վերին սահմանի սահմանման առիթով $\varlimsup \limits _{n\rightarrow +\infty }$ տես․ «Հաջորդականության մասնակի սահման» հոդվածը)։

Ենթադրենք $F(x)$ և $G(x)$, երկու աստիճանային շարք են ${R_{F}}$ և ${R_{G}}$ զուգամիտության շառավիղներով։ Այդ ժամանակ

$R_{F+G}\geq \min\{R_{F},\,R_{G}\}$

$R_{F\cdot G}\geq \min\{R_{F},R_{G}\}$

$R_{F'}\,=\,R_{F}$

Եթե շարքի համար $G(x)$-ը զրոյական ազատ անդամ է, ապա

$R_{F\circ G}\geq {R_{F} \over {R_{F}+1}}R_{G}$

Հարցը ${|x|=R}$ վերին սահմանի կետերում զուգամիտության շարքի մասին բավականին բարդ է շրջանի զուգամիտությունը և այստեղ ընդհանուր պատասխան չկա։ Ահա մի քանիսը շարքի զուգամիտության սահմանային կետերում շրջանի զուգամիտության մասին թեորեմայից։

• Դալամբերի հայտանիշ։ Եթե $n>N$ և $\alpha >1$ դեպքում,

$\left|{a_{n} \over a_{n+1}}\right|\geq R\left(1+{\alpha \over n}\right)$ անհավասարությունը տեղի ունի,

ապա $\Sigma \,a_{n}x^{n}$ աստիճանային շարքը զուգամիտվում է ${|x|=R}$ շրջանի բոլոր կետերում և հավասարաչափ $x$-ով։

• Դիրիխլիի հայտանիշ։ Եթե $\Sigma \,a_{n}x^{n}$ աստիճանային շարքի բոլոր գործակիցները դրական են և $a_{n}$ հաջորդականությունը մոնոտոն զուգամիտվում է 0-ի, ապա այդ շարքը զուգամիտվում է ${|x|=1}$ շրջանագծի բոլոր կետերում, բացի, գուցե ${x=1}$ կետում։

Աստիճանային շարքի գումարը, ինչպես $x$ կոմպլեքս պարամետրի ֆունկցիա, հանդիսանում է վերլուծական ֆունկցիայի տեսության ուսումնասիրման առարկա։

Փոփոխակումներ և ընդհանրացումներ

n փոփոխականով աստիճանային շարք, դա ֆորմալ հանրահաշվական տեսքի արտահայտություն է,

$F(X_{1},X_{2},\dots ,X_{n})=\sum \limits _{k_{1},k_{2},\dots ,k_{n}=0}^{+\infty }a_{k_{1},k_{2},\dots ,k_{n}}X_{1}^{k_{1}}X_{2}^{k_{2}}\dots X_{n}^{k_{n}}$ կամ բազմաինդեքս նշանակումներ,

$F(X)=\sum \limits _{\alpha }a_{\alpha }X^{\alpha },$

որտեղ $X$-ը $X=(X_{1},X_{2},\dots ,X_{n})$ վեկտորն է, $\alpha$-ն ՝ $\alpha =(k_{1},k_{2},\dots k_{n})$ մուլտիինդեքսը, $X^{\alpha }$-ն $X^{\alpha }=X_{1}^{k_{1}}X_{2}^{k_{2}}\dots X_{n}^{k_{n}}$ միանդամը։ $n$ պարամետրերով և $R$ գործակիցներով աստիճանային շարքի տարածությունը նշանակվում է՝ $R[[X_{1},X_{2},\dots ,X_{n}]]$։ Նրանում սահմանված է գումարման, բազմապատկման, յուրաքանչյուր փոփոխականի դիֆերենցման և $n$-տեղային վերադրման գործողություններ։ Ենթադրենք

$F(X)=\sum \limits _{\alpha }a_{\alpha }X^{\alpha },G(X)=\sum \limits _{\alpha }b_{\alpha }X^{\alpha },H(X)=\sum \limits _{\alpha }c_{\alpha }X^{\alpha }.$

Ապա.

$H=F+G\Leftrightarrow \forall {\alpha }\,c_{\alpha }=a_{\alpha }+b_{\alpha }$

$H=F\,\cdot \,G\Leftrightarrow \forall {\alpha }\,c_{\alpha }=\sum \limits _{\beta +\gamma =\alpha }a_{\beta }b_{\gamma }$

$H={\partial F \over \partial X_{i}}\Leftrightarrow \forall (k_{1},k_{2},\dots ,k_{n})\,c_{k_{1},k_{2},\dots ,k_{n}}=(k_{i}+1)a_{(k_{1},k_{2},\dots ,k_{i}+1,\dots ,k_{n})}$

$R[[X_{1},X_{2},\dots ,X_{n}]]$ տարածության մասին կարելի է գործնականում ասել նույնը, ինչ և $R[[X]]$։

Այս հոդվածի կամ նրա բաժնի որոշակի հատվածի սկզբնական կամ ներկայիս տարբերակը վերցված է Քրիեյթիվ Քոմմոնս Նշում–Համանման տարածում 3.0 (Creative Commons BY-SA 3.0) ազատ թույլատրագրով թողարկված Հայկական սովետական հանրագիտարանից  (հ․ 8, էջ 469)։