Աստիճանային շարք

Վիքիպեդիայից՝ ազատ հանրագիտարանից
Jump to navigation Jump to search

Աստիճանային շարք մեկ փոփոխականով, դա ֆորմալ հանրահաշվական արտահայտություն է։

որում գործակիցներ ընտրվում է մի ինչ որ օղակից։

Աստիճանային շարքերի տարածություն[խմբագրել | խմբագրել կոդը]

Տարածությունը մեկ փոփոխականով աստիճանային շարքով և գործակիցներ -ից նշանակում են. տարածությունը ունի դիֆֆերենցիալ հանրահաշվի կառուցվածք (կոմուտատիվ օղակով, ամբողջական, միավորով, եթե այդպիսին է ) օղակը։ Այն հաճախ օգտագործում են մաթեմատիկայում նկատի առնելով, որ նրանում հեշտ ներկայացնելի և լուծելի է ֆորմալ դիֆֆերենցիալ-հանրահաշվական և նույնիսկ ֆունկցիոնալ հարաբերակցությունը (տես․ մեթոդ ածանցավոր ֆունկցիաներ)։ Դրա օգտագործումով այդ հարաբերակցությունը փոխակերպվում է աստիճանական գործակիցներով հանրահաշվական հավասարման։ Եթե այն թույլատրվում է, ասում է ֆորմալ աստիճանային շարքի տրված խնդրի լուծման մասին։

- ում սահմամված է գումարման, բազմապատկման, ֆորմալ դիֆֆերենցում և ֆորմալ վերադրում գործողությունները։

Ենթադրենք

Այդ ժամանակ։

(այդ դեպում անհրաժեշտ է, որ պահպանվի )

Աստիճանային շարքի զուգամիտություն[խմբագրել | խմբագրել կոդը]

Իրական կամ կոմպլեքս գործակիցներով ֆորմալ աստիճանային շարքից, գրառման ճանապարհով, ինչ որ իրական ֆորմալ փոփոխականի մեծությունից, իրական և կոմպլեքս դաշտում կարելի է ստանալ աստիճանային շարք։ Աստիճանային շարքը համարվում է զուգամիտվող (գումարվող), եթե զուգամիտվում է մասնակի հաջորդականության գումարը,կազմված նրա անդամներից և կոչվում է բացարձակ զուգամիտություն, եթե զուգամիտվում է մասնակի հաջորդականության գումարը, կազմված նրա անդամներից, վերցրած մոդուլով (նորմայով)։

Զուգամիտության հայտանիշներ[խմբագրել | խմբագրել կոդը]

Աստիճանային շարքի համար գոյություն ունի մի քանի թեորեմ, նկարագրելով պայմանը և բնույթը զուգամիտության։

  • Աբելի առաջին թեորեմ։ Ենթադրենք շարքը զուգամիտվում է կետում։ Այդ ժամանակ այդ շարքը զուգամիտվում է բացարձակապես շրջանում և հավասարաչափորեն այդ շրջանի ցանկացած կոմպակտ ենթաբազմությունում։ Հակադարձելով այդ թեորեմային, ստանում ենք, եթե աստիճանային շարքը տարամիտվում է դեպքում, այն տարամիտվում է ցանկացած դեպքում, այնպիսիք որ ։ Աբելի առաջին թեորեմայից նույնպես հետևում է, որ գոյություն ունի շրջանագծի այդպիսի շառավիղ ( հնարավոր է, զրոյական կամ անվերջ), որ -ի դեպքում շարքը զուգամիտում է բացարձակապես (և հավասարաչափորեն այդ շրջանի ) կոմպակտ ենթաբազմությունում, իսկ դեպքում տարամիտում է։ Այդ մեծությանը անվանում են շարքի զուգամիտության շառավիղ, իսկ շրջանը՝ զուգամիտության շրջան։
  • Կոշի-Ադամարի բանաձև։ Աստիճանային շարքի զուգամիտության շառավղի մեծությունը (եթե վերևի սահման գոյություն ունի և դրական է, Աստիճանային շարքի մասին Ադամարի թեորեմ) կարելի է հաշվել հետևյալ բանաձևով․

(Վերին սահմանի սահմանման առիթով տես․ «Հաջորդականության մասնակի սահման» հոդվածը)։

Ենթադրենք և , երկու աստիճանային շարք են и զուգամիտության շառավիղներով։Այն ժամանակ

Եթե շարքի համար -ը զրոյական ազատ անդամ է, ապա

Հարցը վերին սահմանի կետերում զուգամիտության շարքի մասին բավականին բարդ է շրջանի զուգամիտությունը և այստեղ ընդհանուր պատասխան չկա։ Ահա մի քանիսը շարքի զուգամիտության սահմանային կետերում շրջանի զուգամիտության մասին թեորեմայից։

  • Դալամբերի հայտանիշ։ Եթե և դեպքում,
անհվասարությունը տեղի ունի,
ապա աստիճանային շարքը զուգամիտվում է շրջանի բոլոր կետերում և հավասարաչափ -ով։
  • Դիրիխլիի հայտանիշ։ Եթե աստիճանային շարքի բոլոր գործակիցները դրական են և հաջորդականությունը մոնոտոն զուգամիտվում է 0-ի, ապա այդ շարքը զուգամիտվում է շրջանագծի բոլոր կետերում, բացի, գուցե կետում։

Աստիճանային շարքի գումարը, ինչպես կոմպլեքս պարամետրի ֆունկցիա, հանդիսանում է վերլուծական ֆունկցիայի տեսության ուսումնասիրման առարկա։

Փոփոխակումներ և ընդհանրացումներ[խմբագրել | խմբագրել կոդը]

n փոփոխականով աստիճանային շարք, դա ֆորմալ հանրահաշվական տեսքի արտահայտություն է,

կամ բազմաինդեքս նշանակումներ,

որտեղ վեկտորն է, -ն ՝ մուլտիինդեքսը, միանդամը։ պարամետրերով և գործակիցներով աստիճանային շարքի տարածությունը նշանակվում է՝ ։Նրանում սահմանված է գումարման,բազմապատկման, յուրաքանչյուր փոփոխականի դիֆֆերենցման և -տեղային վերադրման գործողություններ։ Ենթադրենք

Ապա.

տարածության մասին կարելի է գործնականում ասել նույնը, ինչ և ։