Կոշի-Ադամարի թեորեմ

Կոշի-Ադամարի թեորեմ (նաեւ, Ադամարի թեորեմը աստիճանային շարքերի մասին), պնդում, որը գնահատում է աստիճանային շարքի զուգամիտության շառավղի մեծությունը որոշ դեպքերում։ Անվանակոչվել է ֆրանսիացի մաթեմատիկոսներ Կոշիի եւ Ադամարի պատվին։ Թեորեմն առաջին անգամ հրապարակել է Կոշին, 1821 թվականին, սակայն այն աննկատ է մնացել մինչեւ Ադամարի վերահայտնաբերումը։ Ադամարն իր արդյունքները հրապարակել է 1888 թվականին։ Նա թեորեմը ներառել է 1892 թվականի իր դոկտորական դիսերտացիայում։

Ձեւակերպումը

Դիցուք, $\sum _{\nu =0}^{+\infty }a_{\nu }(z-z_{0})^{\nu }$ - ը $R$ զուգամիտության շառավղով աստիճանային շարք է։ Այդ դեպքում՝

$(\alpha )$ եթե $\varlimsup \limits _{\nu \to +\infty }{\sqrt[{\nu }]{|a_{\nu }|}}$ վերին սահմանը գոյություն ունի եւ դրական է, ապա $R={\frac {1}{\varlimsup \limits _{\nu \to +\infty }{\sqrt[{\nu }]{|a_{\nu }|}}}}$;

$(\beta )$ եթե $\varlimsup \limits _{\nu \to +\infty }{\sqrt[{\nu }]{|a_{\nu }|}}=0$, ապա $R=+\infty$;

$(\gamma )$ եթե $\varlimsup \limits _{\nu \to +\infty }{\sqrt[{\nu }]{|a_{\nu }|}}$վերին սահմանը գոյություն չունի, ապա $R=0$:

Ապացույց

$(\alpha )$ Դիցուք, $\lambda =\varlimsup \limits _{\nu \to +\infty }{\sqrt[{\nu }]{|a_{\nu }|}}\in (0;+\infty )$.

Եթե $z\in \mathbb {C}$ այնպիսի կետ է, որ $|z-z_{0}|<{\frac {1}{\lambda }}$, ապա $\varlimsup \limits _{\nu \to +\infty }{\sqrt[{\nu }]{|a_{\nu }{(z-z_{0})}^{\nu }|}}<1$ եւ հնարավոր է գտնել այնպիսի $q<1$ թիվ, որ գրեթե բոլոր $\nu$-երի համար տեղի ունենա ${\sqrt[{\nu }]{|a_{\nu }{(z-z_{0})}^{\nu }|}}<q\,$ անհավասարությունը։ Այստեղից հետեւում է, որ $\sum _{\nu =0}^{+\infty }q^{\nu }$ երկրաչափական պրոգրեսիան $\sum _{\nu =0}^{+\infty }|a_{\nu }{(z-z_{0})}^{\nu }|$ շարքի զուգամետ վերին սահման է, այսինքն՝ $R={\frac {1}{\lambda }}$:

Հակառակ դեպքում, այսինքն եթե $z\in \mathbb {C}$ բավարարում է $|z-z_{0}|>{\frac {1}{\lambda }}$պայմանին, ապա $\varlimsup \limits _{\nu \to +\infty }({\sqrt[{\nu }]{|a_{\nu }|}}\cdot |z-z_{0}|)>1$ եւ անվերջ թվով $\nu$ համարների համար տեղի կունենա $|a_{\nu }{(z-z_{0})}^{\nu }|\geqslant 1$ անհավասարությունը։ Հետեւաբար, $\sum _{\nu =0}^{+\infty }|a_{\nu }(z-z_{0})^{\nu }|$ շարքը $z$ կետում տարամետ է, քանի որ նրա անդամները չեն ձգտում զրոյի։

$(\beta )$ Դիցուք, $\lambda =\varlimsup \limits _{\nu \to +\infty }{\sqrt[{\nu }]{|a_{\nu }|}}=0$: Այս դեպքում ցանկացած $z\in \mathbb {C}$-ի համար ${\sqrt[{\nu }]{|a_{\nu }{(z-z_{0})}^{\nu }|}}$ հաջորդականությունը զուգամիտում է զրոյի։ Այդ իսկ պատճառով, եթե ընտրենք $q=q(z)\in (0;1)$ թիվ, ապա գրեթե բոլոր $\nu$ համարների համար տեղի կունենա $|a_{\nu }{(z-z_{0})}^{\nu }|<q^{\nu }$ անհավասարությունը, որտեղից, ինչպես եւ $(\alpha )$ դեպքում, հետեւում է շարքի զուգամիտությունը $z$ կետում։ Ֆորմալ՝ $R={\frac {1}{+0}}=+\infty$:

$(\gamma )$ $\varlimsup \limits _{\nu \to +\infty }{\sqrt[{\nu }]{|a_{\nu }|}}$ վերին սահմանը $\mathbb {R}$ - ում գոյություն չունի (այսինքն, ֆորմալ՝ $\lambda =\varlimsup \limits _{\nu \to +\infty }{\sqrt[{\nu }]{|a_{\nu }|}}=+\infty \in {\overline {\mathbb {R} }}$) այն եւ միայն այն դեպքում, երբ ${\sqrt[{\nu }]{|a_{\nu }|}}$ հաջորդականությունը վերեւից սահմանափակ չէ։ Եթե $z\neq z_{0}$, ապա անսահմանափակ է նաեւ${\sqrt[{\nu }]{|a_{\nu }{(z-z_{0})}^{\nu }|}}$ հաջորդականությունը: Հետեւաբար՝ $\sum _{\nu =0}^{+\infty }a_{\nu }(z-z_{0})^{\nu }$ շարքը $z\neq z_{0}$ կետում տարամետ է։ Հարկ է նշել, որ $z=z_{0}$ դեպքում $\sum _{\nu =0}^{+\infty }a_{\nu }(z-z_{0})^{\nu }$ շարքը զուգամիտում է $a_{0}$-ի։ Վերջնական՝ $R=0$ (այսինքն, ֆորմալ՝ $R={\frac {1}{+\infty }}=+0$, փաստացի՝ $R=\varliminf \limits _{\nu \to +\infty }{\frac {1}{\sqrt[{\nu }]{|a_{\nu }|}}}=0$):

Գրականություն

• Գրաուերտ Գ., Լիբ Ի., Ֆիշեր Վ. Դիֆֆերենցիալ եւ ինտեգրալային հաշվարկներ, Մ., Мир, 1971