Կոշի-Ադամարի թեորեմ

Վիքիպեդիայից՝ ազատ հանրագիտարանից
Jump to navigation Jump to search

Կոշի-Ադամարի թեորեմ (նաեւ, Ադամարի թեորեմը աստիճանային շարքերի մասին), պնդում, որը գնահատում է աստիճանային շարքի զուգամիտության շառավղի մեծությունը որոշ դեպքերում: Անվանակոչվել է ֆրանսիացի մաթեմատիկոսներ Կոշիի եւ Ադամարի պատվին: Թեորեմն առաջին անգամ հրապարակել է Կոշին, 1821 թվականին[1], սակայն այն աննկատ է մնացել մինչեւ Ադամարի վերահայտնաբերումը[2]: Ադամարն իր արդյունքները հրապարակել է 1888 թվականին[3]: Նա թեորեմը ներառել է 1892 թվականի իր դոկտորական դիսերտացիայում[4]:

Ձեւակերպումը[խմբագրել | խմբագրել կոդը]

Դիցուք, - ը զուգամիտության շառավղով աստիճանային շարք է: Այդ դեպքում՝

եթե վերին սահմանը գոյություն ունի եւ դրական է, ապա ;

եթե , ապա ;

եթե վերին սահմանը գոյություն չունի, ապա :

Ապացույց[խմբագրել | խմբագրել կոդը]

Դիցուք, .

Եթե այնպիսի կետ է, որ , ապա եւ հնարավոր է գտնել այնպիսի թիվ, որ գրեթե բոլոր -երի համար տեղի ունենա անհավասարությունը: Այստեղից հետեւում է, որ երկրաչափական պրոգրեսիան շարքի զուգամետ վերին սահման է, այսինքն՝ :

Հակառակ դեպքում, այսինքն եթե բավարարում է պայմանին, ապա եւ անվերջ թվով համարների համար տեղի կունենա անհավասարությունը: Հետեւաբար, շարքը կետում տարամետ է, քանի որ նրա անդամները չեն ձգտում զրոյի:

Դիցուք, : Այս դեպքում ցանկացած -ի համար հաջորդականությունը զուգամիտում է զրոյի: Այդ իսկ պատճառով, եթե ընտրենք թիվ, ապա գրեթե բոլոր համարների համար տեղի կունենա անհավասարությունը, որտեղից, ինչպես եւ դեպքում, հետեւում է շարքի զուգամիտությունը կետում: Ֆորմալ՝ :

վերին սահմանը - ում գոյություն չունի (այսինքն, ֆորմալ՝ ) այն եւ միայն այն դեպքում, երբ հաջորդականությունը վերեւից սահմանափակ չէ: Եթե , ապա անսահմանափակ է նաեւ հաջորդականությունը: Հետեւաբար՝ շարքը կետում տարամետ է: Հարկ է նշել, որ դեպքում շարքը զուգամիտում է -ի: Վերջնական՝ (այսինքն, ֆորմալ՝ , փաստացի՝ ):

Ծանոթագրություններ[խմբագրել | խմբագրել կոդը]

  1. Cauchy, A. L. (1821), Analyse algébrique .
  2. Bottazzini, Umberto (1986), The Higher Calculus: A History of Real and Complex Analysis from Euler to Weierstrass, Springer-Verlag, pp. 116–117, ISBN 978-0-387-96302-0 . Իտալերենից թարգմանվել է անգլերեն՝ Warren Van Egmond.
  3. Hadamard, J., «Sur le rayon de convergence des séries ordonnées suivant les puissances d'une variable», C. R. Acad. Sci. Paris 106: 259–262 .
  4. Hadamard, J. (1892), «Essai sur l'étude des fonctions données par leur développement de Taylor», Journal de Mathématiques Pures et Appliquées, 4e Série VIII, https://archive.org/details/essaisurltuded00hadauoft . Также в Thèses présentées à la faculté des sciences de Paris pour obtenir le grade de docteur ès sciences mathématiques, Paris: Gauthier-Villars et fils, 1892.

Գրականություն[խմբագրել | խմբագրել կոդը]

  • Գրաուերտ Գ., Լիբ Ի., Ֆիշեր Վ. Դիֆֆերենցիալ եւ ինտեգրալային հաշվարկներ, Մ., Мир, 1971