Գալուայի խումբ

Վիքիպեդիայից՝ ազատ հանրագիտարանից

Գալուայի խումբ, խումբ, դաշտի ընդարձակման հետ զուգակցվող խումբ: Կարևոր դեր է խաղում դաշտի ընդլայնման հետազոտման դեպքում, մասնավորապես՝ Գալուայի տեսության մեջ։ 1832 թվականին Էվարիստ Գալուան ներմուծեց մաթեմատիայում (խմբերի այդ հասկացության, բազմությունների) արմատների տեղափոխությունը։

Սահմանում[խմբագրել | խմբագրել կոդը]

Ենթադրենք K դաշտը հանդիսանում է PԳալուայի ընդլայնված դաշտ։ K դաշտի փոխադարձաբար համարժեք պատկերումները՝ -ը, իր վրա անվանում են ավտոմորֆ, եթե նա գումարը վերածում է գումարի, արտադրյալը՝ արտադրյալի, այսինքն՝ եթե K դաշտի ցանկացած տարրերի համար ճիշտ է հավասարությունը․

.

Գալուայի խումբը տրված ընդլայնված դաշտի համար կոչվում է K դաշտի բոլոր ավտոմորֆիզմի համախումբ, պահպաննելով P դաշտի տարրեր: .Սովորաբար նշանակում են G(K, P) կամ Gal(K, P).

Հատկություն[խմբագրել | խմբագրել կոդը]

Օրինակներ[խմբագրել | խմբագրել կոդը]

  • ընդլայնված դաշտը կազմված է տեսքի թվերից, որտեղ a, bռացիոնալ են։ Այստեղ Գալուայի խումբը պարունակում է 2 տարր՝ միավոր և երկրորդ գումարելին փոքրացնող նշանի գործողություն։
  • Ենթադրենք p-ն  պարզ թիվ է, դիտարկենք и վերջավոր դաշտերը, նրանցից առաջինը բնական կերպով ներդրված է երկրորդին։ Գալուայի խմբի տրված ընդլայնումը՝ ցիկլային է, այն ծնում է Ֆրոբենիուսի ավտոմորֆիզմը՝
.
  • Հանրահաշվական հավասարման Գալույի խումբը։ Դիտարկենք չորրորդ աստիճանի հանրահաշվական հավասարում ։ Այն թույլ է տալիս հետևյալ ձևափոխումը x փոփոխականով: . Для -ի համար հետևում է , այսինքն՝ .։ Ուստի -ից հետևում է, որ, что ։ Դա ցույց է տալիս, որ հավասարումը թույլ է տալիս ձևափոխությունը։ -ի համար ստացվում է ։Այդ հավասարման բաժանումը սկզբնական հավասարման տալիս է ։Այսպիսով ձևափոխությունը նույնպես թույլատրում է հավասարմանը։Նման ձևով ձևափոխությունների համար կարելի է ստանալ ձևափոխության հետևյալ բանաձևը՝ ։ Օգտագործելով տեղափոխությունը գտնում ենք, որ что և այլն։ Այժմ ապացուցենք, որ հավասարումը թույլ է տալիս անվերջ ձևափոխությունների խմբեր, որտեղ -ը ընդունում է բոլոր ամբողջ (դրական և բացասական) արժեքները, բազմապատիկ հինգի։Դրա համար անհրաժեշտ է ցույց տալ, որ թույլատրվում է ձևափոխությունը։Դրա համար ունենք ձևափոխությունը։ -ի բացասական ամբողջ արժեքները ստացվում է ձևափոխության օգտագործումից։ Դժվար չէ ապացուցել, որ ստացված ձևափոխությունները կազմում են խումբ։ Կազմած խմբի փոխարկումը տեղափոխում է հավասարման յուրաքանչյուր արմատ այդ նույն հավասարման արմատի։ Այժմ հետևենք ինչպես է հավասարման յուրաքանչյուր արմատ ձևափոխվում այդ խմբի ձևափոխությունների ազդեցության տակ։ Հանրահվի կուրսից հայտնի է, որ -ն հավասարման արմատները հանդիսանում են թվեր՝ ։ ձևափոխությունը տեղափոխում է արմատը -ում, արմատ -ը՝ -ում, արմատ -ը՝ -ում, արմատ -ում։ Ստացված տեղափոխությունները նշանակում են Полученная подстановка обозначается ։Նման ձևով կարելի է ցույց տալ, որ ձևափոխությունները բերվում է տեղափոխության։ ձևափոխությունը բերվում է տեղափոխության։ Մնացած ձևափոխությունները չի տալիս նոր տեղափոխության։ Այսպիսով հավասարման արմատների ձևափոխությունների խումբը մակածում է չորս կարգավորված վերջավոր խմբերի, կազմված հետևալ տարերից է ։ Այդ վերջավոր խմբերին անվանում են հավասարման Գալուայի խմբեր.[1]

Կիրառում[խմբագրել | խմբագրել կոդը]

Դաշտի ընդլայնում[խմբագրել | խմբագրել կոդը]

Դիտարկենք դաշտի ընդլայման հաջորդկան օղակները՝ Կառուցենք դաշտի համար Գալուայի խմբերը եզրային օղակներում՝ Համաձայն Գալուայի տեսության հիմնական թեորեմի` օղակում դաշտի յուրաքանչյուր միջակայքի ընդլայնումը համապատասխանում է G խմբի ենթախմբին, այսինքն ընդլայնված դաշտի օղակը կարելի է համադրել ենթախմբի ներդրված օղակին, որը նեղանում է G-ից մինչև տրիվիալ ենթախմբերի։ Եթե անմիջապես դիտենք միջակայքային դաշտը ( այսինքն՝ տեսքի դաշտը), տրված համապատասխանությունը հանդիսանում է դաշտի միջակայքային բազմություններից բիեկցիա Գալուայի խմբերի ենթախմբերի բազմությունում։Այդ ենթախմբերում, данное համապատասխան նորմալ ընդլայնումը, հանդիսանում է G նորմալ ենթախումբ և ընհակառակը։

Խմբերի տեսության օգնությամբ այս համապատասխանությունը թույլ է տալիս հետազոտել դաշտեր ընդլայնումը։Օրինակ․ նրանից անմիջապես հետևում է դաշտերի միջակայքային թիվը տրված նորմալ ընդլայնման համար միշտ վերջավոր է (ինչպես ենթախմբի թիվը վերջավոր խմբերում)։

Հանրահաշվական հավասարում[խմբագրել | խմբագրել կոդը]

Հանրահաշվական հավասարման հիմնական դաշտը կոչվում է թվերի համախումբ, որը կարելի է ստանալ այդ հավասարման գործակիցներից գումարման, հանման, բազմապատկման և բաժանմանգործողությունների օգնությամբ։ Դաշտերի վերլուծումը անվանում են թվերի համախումբ, որը կարելի է ստանալ այդ գործողություններով վերջավոր թվի օգնությամբ, ելնելեվ գործակիցներից և հավասարման արմատներից։ Ընդհանուր դեպքում դաշտը կազմված է միայն դաշտի վերլուծման ենթադաշտից։

Ընդունված է Գալուայի խումբը, դաշտի վերլուծման կազմված ավտոմորֆությունից, անվանել այդ հավասարման Գալուայի խումբ։ G(K, P)Գալուայի խմբից ցանկացած ավտոմորֆիզմ փոխադրում է ցանկացած բազմանդամի արմատ P դաշտի վրա, նորից այդ նույն բազմանդամի արմատ։ Այսպիսով, հանրահաշվական հավասարման Գալուայի խումբը չունենալով բազմապատիկ արմատ, կարելի է դիտել ինչպես խմբերի տեղափոխություն (հենց այդպես դիտարկեց նույն ինքը՝ Էվարիստ Գալուան):

Ծանոթագրություններ[խմբագրել | խմբագրել կոդը]

  1. Н. Х. Ибрагимов Азбука группового анализа. М.: Знание, 1989, Короткое отступление о группе Галуа, с. 42

Գրականություն[խմբագրել | խմբագրել կոդը]

  • Артин Э. Теория Галуа. М.: МЦНМО, 2008. ISBN 978-5-94057-062-2.
  • Постников М. М. Теория Галуа. М.: Наука, 1963, 517.1 П 63, 220 с.;