Հանրահաշիվ

Վիքիպեդիայից՝ ազատ հանրագիտարանից
Jump to navigation Jump to search
Քառակուսային բանաձևը արտահայտում է քառակուսի հավասարման ax2 + bx + c = 0 լուծումը, որտեղ a-ն զրո չի, ըստ a, b և c գործակիցների։

Հանրահաշիվ (Algebra (արաբերեն "al-jabr", բառացիորեն նշանակում է "անջատված մասերի վերամիավորում")[1]) մաթեմատիկայի ծավալուն մասերից մեկն է, ինչպես թվերի տեսությունը, երկրաչափությունը և մաթանալիզը, հանրահաշիվը, ընդհանուր առմամբ, մաթեմատիկական սիմվոլների և դրանց վրա սահմանված կանոնների ուսումնասիրությունն է[2]։ Այն համարյա ողջ մաթեմատիկայի կապող թելն է[3]։ Այն ներառում է ամեն ինչ, սկսած տարրական հավասարումների լուծումներից մինչև այնպիսի աբստրակտ հասկացություններ, ինչպիսիք են խմբերը, օղակները և դաշտերը։ Հանրահաշվի ավելի հիմնական մասերը կոչվում են տարրական հանրահաշիվ, ավելի աբստրակտ մասերը՝ աբստրակտ հանրահաշիվ կամ ժամանակակից հանրահաշիվ։ Տարրական հանրահաշիվը կարևոր է համարվում մաթեմատիկայի ցանկացած ուսումնասիրության համար, կարևոր գիտության, կամ ճարտարագիտության, ինչպես նաև բժշկության և տնտեսագիտության համար։ Աբստրակտ հանրահաշիվը բարձրագույն մաթեմատիկայի հիմնական բնագավառն է, որն ուսումնասիրվում է պրոֆեսիոնալ մաթեմատիկոսների կողմից։

Տարրական հանրահաշիվը թվաբանությունից տարբերվում է աբստրակցիայի կիրառմամբ, օրինակ թվերի փոխարեն տառեր օգտագործել, որոնք անհայտ են կամ բազմարժեք են։ Օրինակ, -ում -ն անհայտ է, բայց դրա արժեքը կարելի է գտնել օգտվելով ինվերսիաների կանոնից․ . = 2-ում և տառերը փոփոխականներ են, իսկ -ն հաստատուն է՝ լույսի արագությունը անօդ տարածության մեջ։ Հանրահաշիվը բանաձևեր գրելու և հավասարումներ լուծելու պարզ մեթոդներ է տալիս, քան նախկին բառերով ներկայացնելու մեթոդը։

Մաթեմատիկոսը, որ հետազոտություններ է կատարում հանրահաշվում, կոչվում է ալգեբրաիստ։

Ծագումնաբանություն[խմբագրել | խմբագրել կոդը]

Ալգեբրա բառը սկիզբ է առնում արաբերենից الجبر (al-jabr որ բառացիորեն նշանակում է "կոտրված մասերի վերամիավորում") պարսիկ մաթեմատիկոս և աստղագետ Ալ-Խորեզմիի Ilm al-jabr wa'l-muḳābala գրքի վերնագրից։ Բառը մուտք է գործել անգլերեն լեզու տասնհինգերորդ դարում, կամ իսպաներենից, իտալերենից կամ միջին լատիներենից։ Սկզբում այն վերաբերում էր կոտրված կամ դուրս ընկած ոսկորներին։ Մաթեմատիկական իմաստը գրանցվել է տասնվեցերորդ դարում[4]։

Հանրահաշիվը որպես մաթեմատիկայի ճյուղ[խմբագրել | խմբագրել կոդը]

Հանրահաշիվը թվաբանության նման սկիզբ է առել հաշվարկներից, տառեր թվերի փոխարեն։ Սա հնարավորություն է տալիս ապացուցել հատկանիշներ, որ ճիշտ են անկախ ներգրավված թվերից։ Օրինակ,

քառակուսի հավասարման մեջ

կարող են լինել ցանկացած թիվ (բացառությամբ հավասար է -ի), և քառակուսային բանաձևը կարող է օգտագործվել արագ և հեշտությամբ հաշվելու անհայտը, որը բավարարում է հավասարմանը։ Այսինքն գտնել հավասարման բոլոր լուծումները։

Պատմականորեն և ժամանակակից ուսումնառության մեջ հանրահաշվի ուսումնասիրությունը սկսվում է քառակուսի հավասարման նման հավասարումներ լուծելուց։ Այնուհետ ավելի ընդհանուր հարցեր են դիտարկվում, ինչպիսիք են "հավասարումը լուծում ունի՞", "Հավասարումը քանի լուծում ունի՞", "ի՞նչ կարելի է ասել լուծումների բնույթի մասին"։ Այս հարցերն հանգեցրին հանրահաշիվի ընդլայնմանը ոչ թվային օբյեկտների, ինչպիսիք են տեղափոխությունները, վեկտորները, մատրիցաները և բազմանդամները։ Այս ոչ-թվային օբյեկտների կառուցվածքային հատկությունները այնուհետև աբստրակցվեցին հանրահաշվական կառուցվածքների, ինչպիսիք են խմբերը, օղակները և դաշտերը։

Մինչև 16-րդ դարը մաթեմատիկան բաժանված էր երկու ենթաճյուղերի՝ թվաբանություն և երկրաչափություն։ Չնայած շատ վաղ մշակված որոշ մեթոդներ ներկայումս կարող են դիտարկվել որպես հանրահաշիվ, այնուամենայնիվ հանրահաշվի ծագումը և դրանից անմիջապես հետո անվերջ փոքրերի հաշիվը, որպես մաթեմատիկայի ենթաճյուղ, վերագրվում է 16-րդ կամ 17-րդ դարերին։ 19-րդ դարի հաջորդ կեսերին մաթեմատիկայի նոր ճյուղեր ծնունդ առան, որոնց մեծ մասն օգտագործում էր թե թվաբանություն և թե երկրաչափություն, և համարյա բոլորը՝ հանրահաշիվ։

Ներկայումս հանրահաշիվն այնքան է զարգացել, որ այն ներառում է մաթեմատիկայի շատ ճյուղեր։ Հանրահաշիվն այնքան է զարգացել, մինչև այն ներառել է մաթեմատիկայի շատ ճյուղեր, ինչպես դա երևում է Մաթեմատիկական առարկաների դասակարգումը հոդվածից,[5] առաջին մակարդակի ոչ մի բնագավառ հանրահաշիվ չի կոչվում։ Ներկայումս հանրահաշիվը ներառում է 08-Ընդհանուր հանրահաշվական համակարգեր, 12-Դաշտերի տեսություն, 16-ասոցիատիվ հանրահաշիվ, 17-ոչ ասոցիատիվ օղակներ և ոչ ասոցիատիվ հանրահաշիվ, 18-Կատեգորիաների տեսություն; հոմոլոգիական հանրահաշիվ, 19-K-տեսություն և 20-Խաղերի տեսություն։ Հանրահաշիվը լայնորեն օգտագործվում է նաև 11-Թվերի տեսության և 14-Հանրահաշվական երկրաչափության մեջ։

Պատմություն[խմբագրել | խմբագրել կոդը]

Հանրահաշվի վաղ պատմությունը[խմբագրել | խմբագրել կոդը]

Հանրահաշվի արմատները տանում են հին բաբելոնացի մաթեմատիկոսներին,[6] որոնք զարգացրել են առաջադեմ մաթեմատիկական համակարգ, որի օգնությամբ նրանք կարողանում էին ալգորիթմական ձևով հաշվարկներ կատարել։ Բաբելոնացիները խնդիրներ լուծելու համար բանաձևեր էին մշակել, որոնք այժմ լուծվում են օգտագործելով գծային հավասարումներ, քառակուսի հավասարումներ և անորոշ գծային հավասարումներ։ Հակառակ դրան, այդ բնագավառի եգիպտացի մաթեմատիկոսները, ինչպես նաև հույն մաթեմատիկոսները և չինացի մաթեմատիկոսները մ․թ․ա․ 1-ին հազարամյակում , սովորաբար այսպիսի հավասարումները լուծում էին երկրաչափական մեթոդներով, ինչպես նկարագրված է Մաթեմատիկական մագաղաթի, Էվկլիդեսի ''Սկզբունքներ'' և Մաթեմատիկայի ինը գլուխներ աշխատություններում։ Հույների երկրաչափական աշխատանքները, որ նկարագրված են Սկզբունքներ գործում, հիմք հանդիսացան մասնավոր խնդիրներից ավելի ընդհանրական խնդիրների ձևակերպումների և հավասարումների լուծումների, չնայած այն չիրագործվեց մինչև միջին դարերի իսլամում մաթեմատիկայի զարգացումը[7]։

Հույն մաթեմատիկոս Պլատոնի ժամանակ արդեն մաթեմատիկան կտրուկ փոփոխության էր ենթարկվել։ Հույները ստեղծել էին երկրաչափական հանրահաշիվը, որտեղ տարրերը ներկայացնում էին երկրաչափական օբյեկտների կողմերը, սովորաբար ուղիղներ, որոնք նշանակվում էին տառերով[8]։ Դիոֆանտուսը (մ.թ. III դար), ում երբեմն "հանրահաշվի հայր" էին անվանում, ալեքսանդրիացի հույն մաթեմատիկոս էր և Թվաբանություն վերնագրով գրքերի շարքի հեղինակ։[9] Այս տեքստերը վերաբերում են հանրահաշվական հավասարումների լուծումներին և թվերի տեսության մեջ հանգեցրին Դեոֆանտյան հավասարումների հասկացության ներմուծմանը։

Վերևում հիշատակված վաղ ավանդույթներն անմիջական ազդեցություն են ունեցել պարսիկ մաթեմաիկոս Ալ-Խորեզմիի (780–850) վրա։ Հետագայում, իր The Compendious Book on Calculation by Completion and Balancing գրքում նա հանրահաշիվը ներկայացրեց որպես մաթեմատիկայի ճյուղ, որն անկախ է երկրաչափությունից և թվաբանությունից[10]։

Հելենական մաթեմատիկոսներ Հերոնը Ալեքսանդրիայից և Դիոֆանտուսը,[11] նաև հնդիկ մաթեմատիկոսները, ինչպիսին Բրահմագուպտան է, շարունակեցին Եգիպտոսի և Բաբելոնի ավանդույթները, չնայած Դիոֆանտուսի Diophantus' Թվաբանությունը և Բրահմագուպտայի Brāhmasphuṭasiddhānta բարձր մակարդակի էին[12]։ Օրինակ, քառակուսի հավասարման առաջին ամբողջական թվաբանական լուծումը (ներառյալ զրոն և բացասական լուծումները) նկարագրված էին Բրահագուպտայի գրքում։[փա՞ստ] Հետագայում պարսիկ և արաբ մաթեմատիկոսները զարգացրին լուծումները գտնելու ավելի բարձրակարգ հանրահաշվական մեթոդներ։ Չնայած Դիոֆանտուսը և բաբելոնացիները հավասարումները լուծելու համար հիմնականում օգտագործում էին հատուկ ad hoc մեթոդները, Ալ-Խորեզմիի ներդրումը հիմնարար էր։ Նա գծային և քառակուսի հավասարումները լուծում էր առանց հանրահաշվական սիմվոլիզմի, բացասական թվերի և զրոյի, ուստի նա պետք է տարբերակեր հավասարումների մի քանի տեսակներ[13]։

Երբ հանրահաշիվը նույնականացվում է հավասարումների տեսության հետ, հույն մաթեմատիկոս Դիոֆանտուսը ավանդաբար հայտնի էր որպես "հանրահաշվի հայր", իսկ երբ այն նույնականացվում է հավասարումների ձևափոխության և լուծման կանոնների հետ, պարսիկ մաթեմատիկոս Ալ-Խորեզմին է համարվում որպես "հանրահաշվի հայր"։[14][15][16][17] Ներկայումս բանավեճ է ընթանում արդյոք ով (ընդհանուր առմամբ) իրավունք ունի համարվել "հանրահաշվի հայր"։ Նրանք, ովքեր աջակցում էին Դիոֆանտուսին, մատնանշում էին, որ Al-Jabr-ի հանրահաշիվը ավելի պարզունակ է քան, Թվաբանության մեջ հայտնաբերված հանրահաշիվը, որ Թվաբանությունը համաձայնեցված է, մինչդեռ Al-Jabr-ը ամբողջովին հռետորական[18]։ Նրանք, ովքեր աջակցում էին Ալ-Խորեզմիին, փաստում էին, որ կրճատման և հավասազորության մեթոդները մտցնելով "պարզեցման" և "հավասարակշռման" մեթոդները (հանված անդամների տեղափոխությունը հավասարման մյուս կողմ, այսինքն նման անդամների հեռացումը հավասարման երկու կողմերից) որը al-jabr տերմինը ի սկզբանե վերաբերում էր,[19] և քառակուսի հավասարումների լուծման վերաբերյալ, երկրաչափական ապացույցներով հիմնավորված, սպառիչ բացատրություն էր տալիս,[20] հանրահաշիվը դիտարկելով որպես անկախ բնագավառ իր սեփական իրավունքով[21]։ նրա հանրահաշիվը այևս չի վերաբերվում "լուծման ենթակա մի շարք պրոբլեմների, որոնց նկարագրությունը սկսվում է պարզ տերմիններից, որում համադրությունները պետք է տան հավասարումների բոլոր հնարավոր նախատիպերը, որը հետևաբար ակնհայտորեն կբացահայտեն ուսումնասիրության իրական օբյեկտը"։ Նա նաև ուսումնասիրում է հավասարումը հանուն իրեն և "ընդհանուր առմամբ, քանի որ այն սկիզբ է առնում ոչ թե խնդիրների լուծման ընթացքում, այլ հատուկ կոչված է սահմանելու խնդիրների անվերջ դաս"[22]։

Մեկ այլ պարսիկ մաթեմատիկոսի՝ Օմար Խայամին է վերագրվում հանրահաշվական երկրաչափության հիմքերի բացահայտումը և խորանարդ հավասարումների ընդհանուր երկրաչափական լուծումներ գտնելը։ Նրա Հանրահաշվական խնդիրների ձեռնարկ գիրքը (1070), որ նկարագրում է հանրահաշվի հիմունքները, պարսկական մաթեմատիկայի մի մասն էր, որն ի վերջո տեղափոխվեց Եվրոպա[23]։ Եվս մեկ պարսիկ մաթեմատիկոս Շարախ ալ-Դին ալ-Տուսին գտել էր խորանարդ հավասարումների տարբեր դեպքերի համար հանրահաշվական և թվային լուծումները[24]։ Նա նաև զարգացրեց մաթեմատիկական ֆունկցիայի գաղափարը[25]։ Հնդիկ մաթեմատիկոսներ Մահավիրան և Բհասակարա II-ը, պարսիկ մաթեմատիկոս Ալ Կարաջին,[26] և չին մաթեմատիկոս Զու Շիջին թվային մեթոդներով լուծեցին խորանարդ, չորրորդ, հինգերորդ և ավելի բարձր աստիճանի բազմանդամ հավասարումներ։ 13-րդ դարում Ֆիբոնաչիի կողմից խորանարդ հավասարումների լուծումը Եվրոպական հանրահաշվի վերածննդի սկիզբ դարձավ։ Ալ-Կալասադին (1412–1486) "հանրահաշվական սիմվոլիզմի ներմուծման առաջին քայլերը կատարեց։" Նա նաև հաշվարկեց ∑n2, ∑n3 և քառակուսի արմատներ հաշվելու համար օգտագործեց հաջորդական մոտավորությունների մեթոդը[27]։ Որքան իսլամիկ աշխարհը հետ էր գնում, այնքան Եվրոպական աշխարհն առաջընթաց էր ապրում։ Եվ այստեղ էր, որ հանրահաշիվն իր հետագա զարգացումն ապրեց։

Հանրահաշվի ժամանակակից պատմությունը[խմբագրել | խմբագրել կոդը]

Իտալացի մաթեմատիկոս Ջերոլամո Կարդանոն հրապարակել է խորանարդ և չորրորդ աստիճանի հավասարումների լուծումները 1545 թվականին իր Ars magna գրքում։

16-րդ դարի վերջում Ֆրանսուա Վիետի աշխատանքը նոր հանրահաշվի վրա կարևոր քայլ էր ժամանակակից հանրահաշվում։ 1637 թվականին Ռենե Դեկարտը հրատարակեց Երկրաչափությունը, որտեղ ներկայացրել էր անալիտիկ երկրաչափությունը և առաջարկել ժամանակակից հանրահաշվի նշումները։ Հանրահաշվի հետագա զարգացման մեջ մեկ այլ կարևոր իրադարձություն էր 16-րդ դարի կեսերին խորանարդ և չորրորդ աստիճանի հավասարումների ընդհանուր հանրահաշվական լուծումը։ Դետերմինանտի գաղափարը մշակել էր ճապոնացի մաթեմատիկոս Սեկի Կովան 17-րդ դարում, իսկ տասը տարի անց անկախ դրանից, Լեյբնիցը՝ գծային հավասարումների համակարգերի լուծման համար, օգտագործելով մատրիցաներ։ Գաբրիել Կրամերը նույնպես կատարել է որոշ աշխատանք մատրիցաների և դետերմինանտների վրա 18-րդ դարում։ Տեղափոխություններն ուսումնասիրվել են Ժոզեֆ-Լուի Լագրանժի կողմից և տեղ են գտել 1770 թվականին հրապարակված նրա Հանրահաշվական հավասարումների լուծումները աշխատության մեջ, որում նա ներկայացրեց Լագրանժի լուծումները։ Պաուլո Ռուֆինին առաջինն էր, որ զարգացրեց տեղափոխության խմբերի տեսությունը, և ինչպես իր նախորդները նաև հանրահաշվական հավասարումների լուծման համատեքստում։

Աբստրակտ հանրահաշիվը զարգացել է 19-րդ դարում, սկիզբ առնելով հավասարումների լուծման նկատմամբ հետաքրքրությունից, ի սկզբանե կենտրոնանալով այն բանի վրա, որ հիմա կոչվում է Գալուայի տեսություն և կառուցման խնդիրների վրա[28]։ Ջորջ Պիկոկը թվաբանության և հանրահաշվի մեջ աքսիոմատիկ մտածողության հիմնադիրն էր։ Օգաստես Դե Մորգանն իր Տրամաբանության առաջարկվող համակարգի ծրագիրը աշխատանքում բացահայտել է ռելացիոն հանրահաշիվը։ Ջոզայա Գիբսը մշակել է վեկտորների հանրահաշիվը եռաչափ տարածության մեջ, և Արթուր Քելին զարգացրել է մատրիցաների հանրահաշիվը (սա ոչ կոմուտատիվ հանրահաշիվն է)[29]։

Վերնագրում հանրահաշիվ բառ պարունակող մաթեմատիկայի ոլորտներ[խմբագրել | խմբագրել կոդը]

Աբստրակտ հանրահաշվին վերագրվող մաթեմատիկայի որոշ ճյուղեր իրենց վերնագրերում ունեն հանրահաշիվ բառը, օրինակ գծային հանրահաշիվ։ Մյուսները չունեն, օրինակ՝ խմբերի տեսություն, օղակների տեսություն և դաշտերի տեսություն։ Ներքո բերված են մաթեմատիկայի այն ոլորտները, որոնց վերնագրում կա "հանրահաշիվ" բառը։

Բազմաթիվ մաթեմատիկական կառուցվածքներ կոչվում են հանրահաշիվ:

Ծանոթագրություններ[խմբագրել | խմբագրել կոդը]

  1. «algebra»։ Oxford English Dictionary։ Oxford University Press 
  2. I. N. Herstein, Topics in Algebra, "An algebraic system can be described as a set of objects together with some operations for combining them." p. 1, Ginn and Company, 1964
  3. I. N. Herstein, Topics in Algebra, "...it also serves as the unifying thread which interlaces almost all of mathematics." p. 1, Ginn and Company, 1964
  4. T.F. Hoad, ed. (2003)։ «Algebra»։ The Concise Oxford Dictionary of English Etymology։ Oxford: Oxford University Press։ ISBN 978-0-19-283098-2։ doi:10.1093/acref/9780192830982.001.0001։ (subscription required (help)) 
  5. «2010 Mathematics Subject Classification»։ Վերցված է 5 October 2014 
  6. Struik Dirk J. (1987)։ A Concise History of Mathematics։ New York: Dover Publications։ ISBN 978-0-486-60255-4 
  7. Boyer 1991
  8. Կարլ Բոյեր, «Եվրոպան միջին դարերում» էջ 258։ ISBN 0-471-54397-7։ "Էվկլիդեսի մաթեմատիկական թեորեմաներում Տարրեր VII-IX, թվերը ներկայացված էին հատվածներով, որոնց կցված էին տառեր և Ալ-Խորեզմիի երկրաչափական ապացույցներում Հանրահաշիվը տառային դիագրամներ էին օգտագործված։ "
  9. Ֆլորիան Քաջորի (2010). "Տարրական մաթեմատիկայի պատմություն– դասավանդման մեթոդների հրահանգներով" p.34. ISBN 1-4460-2221-8
  10. Roshdi Rashed (November 2009)։ Al Khwarizmi: The Beginnings of Algebra։ Saqi Books։ ISBN 978-0-86356-430-7Կաղապար:Inconsistent citations 
  11. «Diophantus, Father of Algebra»։ Արխիվացված օրիգինալից-ից 27 July 2013-ին։ Վերցված է 5 October 2014 
  12. «History of Algebra»։ Վերցված է 5 October 2014 
  13. Josef W. Meri (2004)։ Medieval Islamic Civilization։ Psychology Press։ էջ 31։ ISBN 978-0-415-96690-0։ Վերցված է 25 November 2012 
  14. Boyer Carl B. (1991)։ A History of Mathematics (Second ed.)։ Wiley։ էջեր 181, 230։ ISBN 978-0-471-54397-8։ «

    p. 181:
    If we think primarily of matter of notations, Diophantus has good claim to be known as the 'father of algebra', but in terms of motivation and concept, the claim is less appropriate. The Arithmetica is not a systematic exposition of the algebraic operations, or of algebraic functions or of the solution of algebraic equations.

    p. 230:
    The six cases of equations given above exhaust all possiblities for linear and quadratic equations...In this sense, then, al-Khwarizmi is entitled to be known as 'the father of algebra'

    p. 228:
    Diophantus sometimes is called the father of algebra, but this title more appropriately belongs to al-Khowarizmi...

    »
     
  15. S Gandz, The sources of al-Khwarizmi’s algebra, Osiris, i (1936), 263–277. "In a sense, al-Khwarizmi is more entitled to be called "the father of algebra" than Diophantus because al-Khwarizmi is the first to teach algebra in an elementary form and for its own sake, Diophantus is primarily concerned with the theory of numbers."
  16. Christianidis Jean (August 2007)։ «The way of Diophantus: Some clarifications on Diophantus' method of solution»։ Historia Mathematica 34 (3): 289–305։ doi:10.1016/j.hm.2006.10.003։ «It is true that if one starts from a conception of algebra that emphasizes the solution of equations, as was generally the case with the Arab mathematicians from al-Khwārizmī onward as well as with the Italian algebraists of the Renaissance, then the work of Diophantus appears indeed very different from the works of those algebraists» 
  17. G.C. Cifoletti La question de l'algèbre: Mathématiques et rhétorique des homes de droit dans la France du 16e siècle Annales de l'École des Hautes Études en Sciences Sociales, 50 (6) (1995), pp. 1385–1416 "Le travail des Arabes et de leurs successeurs a privilégié la solution des problèmes.Arithmetica de Diophantine ont privilégié la théorie des equations''
  18. Boyer Carl B. (1991)։ A History of Mathematics (Second ed.)։ Wiley։ էջ 228։ ISBN 978-0-471-54397-8 
  19. (Boyer 1991, "The Arabic Hegemony" p. 229) "It is not certain just what the terms al-jabr and muqabalah mean, but the usual interpretation is similar to that implied in the translation above. The word al-jabr presumably meant something like "restoration" or "completion" and seems to refer to the transposition of subtracted terms to the other side of an equation; the word muqabalah is said to refer to "reduction" or "balancing" – that is, the cancellation of like terms on opposite sides of the equation."
  20. (Boyer 1991, "The Arabic Hegemony" p. 230) "The six cases of equations given above exhaust all possibilities for linear and quadratic equations having positive root. So systematic and exhaustive was al-Khwarizmi's exposition that his readers must have had little difficulty in mastering the solutions."
  21. Gandz and Saloman (1936), The sources of al-Khwarizmi's algebra, Osiris i, pp. 263–277: "In a sense, Khwarizmi is more entitled to be called "the father of algebra" than Diophantus because Khwarizmi is the first to teach algebra in an elementary form and for its own sake, Diophantus is primarily concerned with the theory of numbers".
  22. Rashed R., Armstrong Angela (1994)։ The Development of Arabic Mathematics։ Springer։ էջեր 11–12։ ISBN 978-0-7923-2565-9։ OCLC 29181926Կաղապար:Inconsistent citations 
  23. Mathematical Masterpieces: Further Chronicles by the Explorers, p. 92
  24. Կաղապար:MacTutor
  25. Victor J. Katz Bill Barton, Barton Bill (October 2007)։ «Stages in the History of Algebra with Implications for Teaching»։ Educational Studies in Mathematics 66 (2): 185–201 [192]։ doi:10.1007/s10649-006-9023-7Կաղապար:Inconsistent citations 
  26. (Boyer 1991, "The Arabic Hegemony" p. 239) "Abu'l Wefa was a capable algebraist as well as a trigonometer. ... His successor al-Karkhi evidently used this translation to become an Arabic disciple of Diophantus – but without Diophantine analysis! ... In particular, to al-Karkhi is attributed the first numerical solution of equations of the form ax2n + bxn = c (only equations with positive roots were considered),"
  27. «Al-Qalasadi biography»։ www-history.mcs.st-andrews.ac.uk։ Վերցված է 2017-10-17 
  28. "The Origins of Abstract Algebra". University of Hawaii Mathematics Department.
  29. "The Collected Mathematical Papers".Cambridge University Press.