Բուլյան հանրահաշիվ

Վիքիպեդիայից՝ ազատ հանրագիտարանից
Jump to navigation Jump to search
Բուլյան հանրահաշիվ
անգլ.՝ Boolean algebra
Vennandornot.svg
Տեսակ մաթեմատիկայի ճյուղ
Դաս հանրահաշիվ
Անվանված է Ջորջ Բուլ


Այս հոդվածը հանրահաշվի ճյուղերից մեկի մասին է։

Բուլյան հանրահաշիվ, մաթեմատիկայում և մաթեմատիկական տրամաբանության մեջ հանրահաշվի մի ենթաճյուղ, որտեղ փոփոխականների արժեքները համարվում են «ճշմարիտ» կամ «սխալ» ասույթներ, և սովորաբար դրանք արտահայտվում են 1 ու 0 թվերով։ Ի տարբերություն տարրական հանրահաշվի, որտեղ փոփոխականների արժեքները հիմնականում թվեր են, և իրենց հիմնական գործողություններն են գումարումը և բազմապատկումը, Բուլյան հանրահաշվում հիմնական գործողություններ են համարվում կոնյունկցիան՝ «և» տրամաբանական շաղկապով, որը արտահայտվում է նշանով, դիզյունկցիան՝ «կամ» շաղկապի կիրառմամբ, որը արտահայտվում է նշանով և հերքումը, որը ժխտում է դատողությունը` ցույց տալով, որ հակառակն է ճիշտ և նշանակվում է ¬ նշանով։

Բուլյան հանրահաշիվը ներկայացվել է 1854 թվականին Ջորջ Բուլի կողմից իր «Մտքի կանոնների ուսումնասիրություն» գրքում[1]։ Ըստ Հանթինգթոնի՝ «Բուլյան հանրահաշիվ» տերմինն առաջին անգամ առաջարկվել է Շեֆֆերի կողմից 1913 թվականին[2], թեեւ Չարլզ Սանդերս Պերսը դեռևս 1880 թվականին իր «Պարզագույն մաթեմատիկա» գրքի առաջին գլուխը վերնագրել է «Մեկ հաստատունով Բուլյան հանրահաշիվ»[3]։

Բուլի առաջին գիրքը, որը հրապարակվել է 1847 թվականին և վերնագրված է «Տրամաբանության մաթեմատիկական վերլուծություն», իրենում ներառում էր իսկական, բնագիր տեսությունը։ Սա առաջարկված է եղել որպես մաթեմատիկական լեզու, որը զբաղվում էր տրամաբանության հարցերով, ինչը ներկայումս անհրաժեշտ է ժամանակակից թվային սարքավորումներ կառուցելու համար, ծրագրավորման լեզուներում ու սովորաբար կրճատված է որպես bool տեսակ ու բացի այդ այն գոյություն ունի որպես հիմնական տվյալ բոլոր ժամանակակից ծրագրավորման լեզուներում։ Բուլյան հանրահաշիվը հիմնային դեր ունի թվային էլեկտրոնիկայի զարգացման մեջ։ Այն նաև օգտագործվում է վիճակագրության և բազմությունների տեսության մեջ[4]։

Պատմություն[խմբագրել | խմբագրել կոդը]

Բուլյան հանրահաշիվն ավելի վաղ ժամանակներից գոյություն ունի, քան աբստրակտ հանրահաշիվը և մաթեմատիկական տրամաբանությունը, ինչևէ այն կապվում է այս երկու ոլորտների ծագման հետ[5]։ Բուլյան հանրահաշիվը կատարելագործվել է 19րդ դարի վերջին Ջևոնսի, Շրյոդերի, Հանթինգթոնի և ուրիշների կողմից։ Կատարելագործվում է այնքան մինչև, որ ստանում է ժամանակակից մաթեմատիկական կառուցվածքի տեսք։ Իրականում Մ.Հ. Սթոունը ապացուցել է, որ յուրաքանչյուր Բուլյան հանրահաշիվ իզոմորֆ է բազմությունների հանրահաշվին[6]։

Երբ 1930-ական թվականներին Քլոուդ Շենոնը ուսումնասիրում էր անջատիչներով կառավարվող էլեկտրական շղթաները, նա նկատեց նմաննություններ բուլյան հանրահաշվի գործողությունների հետ և հանրահաշվորեն նկարագրեց դրանց աշխատանքը տրամաբանական փականների միջոցով։

Արժեքներ[խմբագրել | խմբագրել կոդը]

Մինչդեռ տարրական հանրահաշվում արտահայտությունները մեծամասամբ թվեր են ցույց տալիս, բուլյան հանրահաշվում դրանք ցույց են տալիս տրամաբանական արժեքը ՝ ճիշտ և սխալ։ Այս արժեքները ներկայացվածներ են բիթերով (կամ երկուական նիշերով), ավելի կոնկրետ՝ 0 և 1։ Դրանք ամբողջ թվեր՝ 0 և 1-ի նման չեն իրենց պահում, որոնց համար 1+1=2, այլ 2 տարրանոց վերջավոր դաշտ տարրերի պես, որոնց համար 1+1=0, որտեղ “+”-ը գործում է, որպես բուլյան հանրահածվի XOR այսպես կոչված «բացառող կամ»։

Բուլյան հանրահաշիվը բացի այդ գործ ունի նաև ֆունկցիաների հետ, որոնք սահմանված են {0,1} բազմության վրա։ Բիթերի հաջորդականությունն այդպիսի ֆունկցիա է, որը հաճախ է օգտագործվում։ Մեկ ուրիշ տարածված օրինակ է ինդիկատոր ֆունկցիան։

Ինչպես տարրական հանրահաշվում՝ Բուլյան հանրահաշվում ևս կարելի է զարգացնել հանրահաշվական նույնությունների վրա հիմնված տեսություն՝ անկախ փոփոխականների արժեքից։

Ծանոթագրություններ[խմբագրել | խմբագրել կոդը]

  1. Բուլ Ջորջ (2003) [1854]։ An Investigation of the Laws of Thought։ Prometheus Books։ ISBN 978-1-59102-089-9 
  2. E. V. Huntington. "New sets of independent postulates for the algebra of logic, with special reference to Whitehead and Russell's Principia mathematica", in Trans. Amer. Math. Soc. 35 (1933), 274-304; footnote, page 278.
  3. Peirce Charles S. (1931)։ Collected Papers 3։ Harvard University Press։ էջ 13։ ISBN 978-0-674-13801-8 
  4. Givant Steven, Halmos Paul (2009)։ Introduction to Boolean Algebras։ Undergraduate Texts in Mathematics, Springer։ ISBN 978-0-387-40293-2 
  5. J. Michael Dunn, Gary M. Hardegree (2001)։ Algebraic methods in philosophical logic։ Oxford University Press US։ էջ 2։ ISBN 978-0-19-853192-0 
  6. Marshall H. Stone (1936) "The Theory of Representations of Boolean Algebras," Transactions of the American Mathematical Society 40: 37-111.