Բուլյան հանրահաշիվ

Վիքիպեդիայից՝ ազատ հանրագիտարանից
Jump to navigation Jump to search
Բուլյան հանրահաշիվ
անգլ.՝ Boolean algebra
Vennandornot.svg
Տեսակմաթեմատիկայի ճյուղ
Դասհանրահաշիվ
Անվանված էՋորջ Բուլ


Այս հոդվածը հանրահաշվի ճյուղերից մեկի մասին է։

Բուլյան հանրահաշիվ, մաթեմատիկայում և մաթեմատիկական տրամաբանության մեջ հանրահաշվի մի ենթաճյուղ, որտեղ փոփոխականների արժեքները համարվում են «ճշմարիտ» կամ «սխալ» ասույթներ, և սովորաբար դրանք արտահայտվում են 1 ու 0 թվերով։ Ի տարբերություն տարրական հանրահաշվի, որտեղ փոփոխականների արժեքները հիմնականում թվեր են, և իրենց հիմնական գործողություններն են գումարումը և բազմապատկումը, Բուլյան հանրահաշվում հիմնական գործողություններ են համարվում կոնյունկցիան՝ «և» տրամաբանական շաղկապով, որը արտահայտվում է նշանով, դիզյունկցիան՝ «կամ» շաղկապի կիրառմամբ, որը արտահայտվում է նշանով և հերքումը, որը ժխտում է դատողությունը` ցույց տալով, որ հակառակն է ճիշտ և նշանակվում է ¬ նշանով։

Բուլյան հանրահաշիվը ներկայացվել է 1854 թվականին Ջորջ Բուլի կողմից իր «Մտքի կանոնների ուսումնասիրություն» գրքում[1]։ Ըստ Հանթինգթոնի՝ «Բուլյան հանրահաշիվ» տերմինն առաջին անգամ առաջարկվել է Շեֆֆերի կողմից 1913 թվականին[2], թեեւ Չարլզ Սանդերս Պերսը դեռևս 1880 թվականին իր «Պարզագույն մաթեմատիկա» գրքի առաջին գլուխը վերնագրել է «Մեկ հաստատունով Բուլյան հանրահաշիվ»[3]։

Բուլի առաջին գիրքը, որը հրապարակվել է 1847 թվականին և վերնագրված է «Տրամաբանության մաթեմատիկական վերլուծություն», իրենում ներառում էր իսկական, բնագիր տեսությունը։ Սա առաջարկված է եղել որպես մաթեմատիկական լեզու, որը զբաղվում էր տրամաբանության հարցերով, ինչը ներկայումս անհրաժեշտ է ժամանակակից թվային սարքավորումներ կառուցելու համար, ծրագրավորման լեզուներում ու սովորաբար կրճատված է որպես bool տեսակ ու բացի այդ այն գոյություն ունի որպես հիմնական տվյալ բոլոր ժամանակակից ծրագրավորման լեզուներում։ Բուլյան հանրահաշիվը հիմնային դեր ունի թվային էլեկտրոնիկայի զարգացման մեջ։ Այն նաև օգտագործվում է վիճակագրության և բազմությունների տեսության մեջ[4]։

Պատմություն[խմբագրել | խմբագրել կոդը]

Բուլյան հանրահաշիվն ավելի վաղ ժամանակներից գոյություն ունի, քան աբստրակտ հանրահաշիվը և մաթեմատիկական տրամաբանությունը, ինչևէ այն կապվում է այս երկու ոլորտների ծագման հետ[5]։ Բուլյան հանրահաշիվը կատարելագործվել է 19րդ դարի վերջին Ջևոնսի, Շրյոդերի, Հանթինգթոնի և ուրիշների կողմից։ Կատարելագործվում է այնքան մինչև, որ ստանում է ժամանակակից մաթեմատիկական կառուցվածքի տեսք։ Իրականում Մ.Հ. Սթոունը ապացուցել է, որ յուրաքանչյուր Բուլյան հանրահաշիվ իզոմորֆ է բազմությունների հանրահաշվին[6]։

Երբ 1930-ական թվականներին Քլոուդ Շենոնը ուսումնասիրում էր անջատիչներով կառավարվող էլեկտրական շղթաները, նա նկատեց նմաննություններ բուլյան հանրահաշվի գործողությունների հետ և հանրահաշվորեն նկարագրեց դրանց աշխատանքը տրամաբանական փականների միջոցով։

Արժեքներ[խմբագրել | խմբագրել կոդը]

Մինչդեռ տարրական հանրահաշվում արտահայտությունները մեծամասամբ թվեր են ցույց տալիս, բուլյան հանրահաշվում դրանք ցույց են տալիս տրամաբանական արժեքը ՝ ճիշտ և սխալ։ Այս արժեքները ներկայացվածներ են բիթերով (կամ երկուական նիշերով), ավելի կոնկրետ՝ 0 և 1։ Դրանք ամբողջ թվեր՝ 0 և 1-ի նման չեն իրենց պահում, որոնց համար 1+1=2, այլ 2 տարրանոց վերջավոր դաշտ տարրերի պես, որոնց համար 1+1=0, որտեղ “+”-ը գործում է, որպես բուլյան հանրահածվի XOR այսպես կոչված «բացառող կամ»։

Բուլյան հանրահաշիվը բացի այդ գործ ունի նաև ֆունկցիաների հետ, որոնք սահմանված են {0,1} բազմության վրա։ Բիթերի հաջորդականությունն այդպիսի ֆունկցիա է, որը հաճախ է օգտագործվում։ Մեկ ուրիշ տարածված օրինակ է ինդիկատոր ֆունկցիան։

Ինչպես տարրական հանրահաշվում՝ Բուլյան հանրահաշվում ևս կարելի է զարգացնել հանրահաշվական նույնությունների վրա հիմնված տեսություն՝ անկախ փոփոխականների արժեքից։

Ծանոթագրություններ[խմբագրել | խմբագրել կոդը]

  1. Բուլ Ջորջ (2003) [1854]։ An Investigation of the Laws of Thought։ Prometheus Books։ ISBN 978-1-59102-089-9 
  2. E. V. Huntington. "New sets of independent postulates for the algebra of logic, with special reference to Whitehead and Russell's Principia mathematica", in Trans. Amer. Math. Soc. 35 (1933), 274-304; footnote, page 278.
  3. Peirce Charles S. (1931)։ Collected Papers 3։ Harvard University Press։ էջ 13։ ISBN 978-0-674-13801-8 
  4. Givant Steven, Halmos Paul (2009)։ Introduction to Boolean Algebras։ Undergraduate Texts in Mathematics, Springer։ ISBN 978-0-387-40293-2 
  5. J. Michael Dunn, Gary M. Hardegree (2001)։ Algebraic methods in philosophical logic։ Oxford University Press US։ էջ 2։ ISBN 978-0-19-853192-0 
  6. Marshall H. Stone (1936) "The Theory of Representations of Boolean Algebras," Transactions of the American Mathematical Society 40: 37-111.