Վերջավոր դաշտ

Վերջավոր դաշտ, կամ ընդհանուր հանրահաշվում Գալուայի դաշտ, դաշտ, որը բաղկացած է վերջավոր թվով տարրերից, այս թիվը կոչվում է դաշտի կարգ։

Վերջավոր դաշտը սովորաբար նշանակվում է $\mathbb {F} _{q}$ կամ $\mathrm {GF} (q)$ (հապավումը՝ Galois field-ից) և կոչվում է $q$ կարգի Գալուայի դաշտ, որտեղ $q$ -ն՝ դաշտի տարրերի թիվն է^[1]։ Վերջնական ճշտությամբ մինչև իզոմորֆիզմը վերջավոր դաշտը լիովին որոշվում է իր կարգով, որը միշտ հանդիսանում է ինչ-որ պարզ թվի աստիճան, այսինքն՝ $q=p^{n}$ , որտեղ $p$ -ն պարզ թիվ է, $n$ -ը՝ ցանկացած բնական թիվ։ Ընդ որում $p$ լինելու է այդ դաշտի բնութագիրը^[2]։

Վերջավոր դաշտի հասկացությունը օգտագործվում է թվերի տեսության^[3], խմբերի տեսության ^[3], հանրահաշվական երկրաչափության^[3] և ծածկագիտություն մեջ^[4]։

Սահմանում և հատկություններ

Վերջավոր դաշտ կոչվում է վերջավոր բազմությունը, որի վրա սահմանված են գումարման, բազմապատկման, հանման և բաժանման (բացի 0-ի բաժանումից) կամայական գործողություններ, ըստ աքսիոմների դաշտի^[5]։

Վերջավոր դաշտի մուլտիպլիկատիվ խումբը ցիկլային է։ Այսինքն, $\mathbb {F} _{q}$ դաշտի ոչ բոլոր զրոյական տարրերն են ձևավորում խումբ բազմապատկման գործողության նկատմամբ (այս խումբը կոչվում է դաշտի մուլտիպլիկատիվ խումբ և նշանակում է $\mathbb {F} _{q}^{*}$ )։ Այս խումբը համարվում է ցիկլային, այսինքն այն ունի ծնիչ տարր, իսկ մնացած բոլոր տարրերը ստացվում են ծնիչի աստիճանններով^[5]։ Այսինքն, գոյություն ունի $g$ գեներացնող տարր, այնպես, որ ցանկացած $a\in \mathbb {F} _{q}^{*}$ -ի համար կարելի է գրել.

$\exists n:g^{n}=a\mod q$ ։

Գեներացնող տարրը՝ $\mathbb {F} _{q}^{*}$ , կոչվում է նաև $\mathbb {F} _{q}.$ դաշտի պարզունակ տարր։ $\mathbb {F} _{q}$ դաշտը պարունակում է $\varphi (q-1)$ պարզունակ տարրեր, որտեղ $\varphi$ ՝ Էյլերի ֆունկցիան է^[6]։

Դաշտը ունի նաև մի շարք այլ հատկություններ.

Ըստ Ֆերմայի թեորեմի, $\mathbb {F} _{q}$ դաշտի յուրաքանչյուր տարր բավարարում է $a^{q}=a$ հավասարմանը^[2]։
$\mathbb {F} _{p^{n}}$ դաշտն իր մեջ պարունակում է $\mathbb {F} _{p^{k}}$ ենթադաշտ այն և միայն այն ժամանակ, երբ $k$ հանդիսանում է $n$ -ի բաժանարար^[1]։
Եթե $f\in \mathbb {F} _{q}[x]$ -ը $m$ աստիճանի չբերվող բազմապատկման է, ապա $\mathbb {F} _{q^{m}}$ դաշտը պարունակում է նրա ցանկացած $\alpha$ արմատ, ընդ որում նրա բոլոր արմատների բազմությունն ունի $\mathbb {F} _{q^{m}}$ տեսքը։ Այսպիսով, $\mathbb {F} _{q^{m}}$ դաշտը հանդիսանում է $f$ բազմանդամի վերլուծման դաշտը $\mathbb {F} _{q}$ դաշտի վար^[7]։
Յուրաքանչյուր $\mathbb {F} _{q}$ վերջավոր դաշտի և $n$ բնական թվերի համար բոլոր նորմավորված, $\mathbb {F} _{q}$ բազմանդամների արտադրյալը հավասար է $x^{q^{n}}-x:$ Մասնավորապես, այդպիսի բազմանդամների աստիճանների գումարը հավասար է $q^{n}$ ^[8]։
$\mathbb {F} _{q},$ դաշտի վրա բերվող n աստիճանի նորմավորված բազմանդամների $\mathbb {F} _{q},$ թիվը որոշվում է $N(q,n)={\frac {1}{n}}\sum _{d|n}\mu (d)q^{\frac {n}{d}}$ բանաձևով, որտեղ $\mu$ Մյոբիուսի ֆունկցիան է։ Այս պնդումը հետևում է $q^{n}=\sum _{d|n}dN(q,d)$ բանաձևից^[9]։

Պարզ թվով տարրերով դաշտ

Պարզ կարգի ցանկացած դաշտ կարող է ներկայացվել տարրերի հանման օղակով (այսինքն, $\mathbb {GF} _{p}$ տարրերով ցանկացած դաշտ իզոմորֆ է հանման $\mathbb {Z} /(p)$ օղակին)։ Վերջնական դաշտի առավել հայտնի օրինակներից է՝ ըստ $p$ պարզ թվի մոդուլի հանման դասերի դաշտը, որը նշանակվում է $\mathbb {Z} /(p)$ -ով^[10]։ Այդ դաշտը կարելի է ներկայացնել հետևյալ կերպ. $p$ պարզ թվի համար դաշտի տարրերը կլինեն $\{0,1,...,p-1\}$ թվերը։ Գումարումը և բազմապատկումը սահմանվում են որպես թվերի ավելացում և բազմապատկվում արդյունքի բերվում $p$ մոդուլի միջոցով^[11]։ Ստորև տրված են նման դաշտեր երկրու և երեք տարերով։

Նվազեցվող օղակների հետ կապը

Չպետք է շփոթել վերջնական դաշտերը $\mathbb {F} _{p^{n}}$ և նվազեցումների օղակները $\mathbb {Z} /(p^{n})$ ։ Միայն այն ժամանակ, երբ թիվը պարզ է, օղակը համարվում է նվազեցվող ^[12]։

Երբ n > 1 նվազեցված օղակը $\mathbb {Z} /(p^{n})$ դաշտ չի համարվում։ Օրինակ՝

$\mathbb {F} _{8}$ ցանկացած տարրի համար ճիշտ է $x+x=0$ ։

Օղակը $\mathbb {Z} _{8}$ , Հաշվելով $x+x$ մենք կստանանք 0 միայն երկու դեպքում, երբ $x=4,x=0$ ։ Այս օղակը ունի զրոյական բաժանարար։

Վերջավոր դաշտերի բնութագրիչ

Յուրաքանչյուր վերջավոր դաշտի բնութագրիչը հանդիսանում է պարզ թիվ։ Թող՝ $F$ -ն լինի վերջավոր դաշտ։ Այդ դեպքում այն բաղկացած է $p^{n}$ տարրերից, որտեղ $F$ դաշտի բնութագրիչը $p$ է, իսկ $n$ բնական թիվը՝ $F$ դաշտի կարգն է իր պարզ ենթադաշտի վրա^[2].

Վերջավոր դաշտի գոյության և միակության թեորեմի համաձայն, յուրաքանչյուր $p$ պարզ և $n$ բնական թվերի համար գոյություն ունի վերջավոր դաշտ՝ $p^{n}$ տարրերով և $q=p^{n}$ տարրերով ցանկացած վերջավոր դաշտ իզոմորֆ է բազմանդամի վերլուծման $x^{q}-x$ դաշտի նկատմամբ՝ $\mathbb {F} _{p}$ դաշտի վրա։ Տվյալ թեորեմը մեզ թույլ է տալիս խոսել տրված $q$ կարգի, բավականին սահմանված դաշտի մասին (այսինքն, Գաուլայի դաշտի մասին, որը բաղկացած է՝ $q$ տարրից)^[13]։

Կառուցում

$\mathbb {F} _{p^{n}}$ դաշտը n > 1 -ի դեպքում կարելի է կառուցվել որպես $\mathbb {K} =\mathbb {F} _{p}[x]/(f(x))$ ֆակտոր օղակ, որտեղ $f(x)$ -ը $\mathbb {F} _{p}$ դաշտի նկատմամբ nաստիճանի չբերվող բազմանդամ է։ Այսպիսով, $p^{n}$ տարրից դաշտ կառուցելու համար բավական է գտնել $n$ աստիճանի, $\mathbb {F} _{p}$ դաշտի վրա չբերվող բազմանդամ (նման բազմությունները միշտ գոյություն ունի)։ $\mathbb {K}$ դաշտի տարրերը հանդիսանում են $n$ -ից փոքր աստիճաններով, $\mathbb {F} _{p}$ -ից գործակիցներով, $f(x)$ բազմանդանով ծնված բազմանդամների տարբերության դաս։

$f(x)$ տարրը համարվում է $\alpha =x+(f(x))\in \mathbb {F} _{p}[x]/(f(x))$ բազմանդամի արմատը և $\mathbb {F} _{p}[x]/(f(x))$ դաշտը ծնվում է այդ տարրով՝ $\mathbb {F} _{p}$ դաշտում, հետևաբար անցումը $\mathbb {F} _{p}$ դաշտից $\mathbb {F} _{p}[x]/(f(x))$ դաշտ անվանում են $f(x)$ չբերվող բազմանդամի արմատի միավորումը $\mathbb {F} _{p}$ դաշտին^[14]^[15]։

Օրինակներ

Երկու տարրերից կազմված դաշտ

$\mathbb {F} _{2}$ դաշտը բաղկացած է երկու տարրերից, սակայն այն կարող է տրված լինել տարբեր եղանակներով՝ կախված տարրերի ընտրությունից և նրա վրա գումարման և բազմապատկամ գործողությունների սահմանելուց^[16]։

Որպես երկու՝ «0» և «1», թվերից բաղկացած բազմություն, որտեղ գումարման և բազմապատկման գործողությունը սահմանվում են ինչպես բերված արդյունքների 2 մոդուլով թվերի գումարում և բազմապատկում.

+	0	1
0	0	1
1	1	0

×	0	1
0	0	0
1	0	1

Որպես «ՍԽԱԼ» (F) և «ՃԻՇՏ» (T) երկու տրամաբանական օբեկտների բազմություն, որի վրա գումարման և բազմապատկման գործողությունները սահմանվում են որպես բուլյան գործողություններ համապատասխանաբար «բացառող կամ» և «և».

+	F	T
F	F	T
T	T	F

×	F	T
F	F	F
T	F	T

Ակնհայտ է, որ տրված դաշտերը միմիանց իզոմորֆ են, այսինքն, դրանք իրականում առաջադրանքի տրման երկու տարբեր եղանակներ են։

Երեք տարրերից կազմված դաշտ

Դաշտը $\mathbb {F} _{3}=\{0,1,2\}$ -ն է։ Գումարումը և բազմապատկումը սահմանված են ինչպես 3 մոդուլով թվերի գումարում և բազմապատկում։ $\mathbb {F} _{3}$ գործողությունների աղյուսակը ունի հետևյալ տեսքը.

+	0	1	2
0	0	1	2
1	1	2	0
2	2	0	1

×	1	2
0	0	0
1	1	2
2	2	1

Չորս տարրերից կազմված դաշտ

$\mathbb {F} _{4}$ դաշտը կարելի է ներկայացնել որպես $\{0,1,\alpha ,\alpha +1\}$ բազմություն (որտեղ $\alpha$ -ը $f(x)=x^{2}+x+1$ բազմանդամի արմատն է $\mathbb {F} _{2}$ դաշտի վրա, այսինքն՝ $\alpha ^{2}=-\alpha -1=\alpha +1$ ): $\mathbb {F} _{4}$ գործողությունների աղյուսակներն ունեն հետևյալ տեսքը^[17].

+	0	1	$\alpha$	$\alpha +1$
0	0	1	$\alpha$	$\alpha +1$
1	1	0	$\alpha +1$	$\alpha$
$\alpha$	$\alpha$	$\alpha +1$	0	1
$\alpha +1$	$\alpha +1$	$\alpha$	1	0

×	1	$\alpha$	$\alpha +1$
0	0	0	0
1	1	$\alpha$	$\alpha +1$
$\alpha$	$\alpha$	$\alpha +1$	1
$\alpha +1$	$\alpha +1$	1	$\alpha$

Ինը տարրերից կազմված դաշտ

$\mathbb {F} _{9}=\mathrm {GF} (3^{2})$ դաշտի կառուցման համար բավարար է գտնել 2-րդ կարգի, $\mathbb {F} _{3}$ -ի վրա չբերվող նորմավորված բազմանդամ։ Այդպիսի բզմանդամներ են հանդիսանում.

x^{2}+1

x^{2}+x+2

x^{2}+2x+2

$x^{2}+1$ -ի համար որոնվող դաշտը $\mathbb {F} _{9}=\mathbb {Z} _{3}[x]/(x^{2}+1)$ -ն է (եթե $x^{2}+1$ -ի փոխարեն վերցնենք այլ բազմություն, ապա կստացվի նոր դաշտ, հնին իզոմորֆ)։ Ստորև բերված աղյուսակում $i$ սիմվոլը նշանակում է $x$ բազմության համաժեքության դաս՝ $\mathbb {Z} _{3}[x]/(x^{2}+1)$ ֆակտոր իղակում, $i^{2}+1=0$ հավասարմանը բավարարող։

$\mathbb {F} _{9}$ գումարման աղյուսակը սահմանվում է $1+1+1=0$ հարաբերությունից ելնելով։

+	0	1	2	$i$	$i+1$	$i+2$	$2i$	$2i+1$	$2i+2$
0	0	1	2	$i$	$i+1$	$i+2$	$2i$	$2i+1$	$2i+2$
1	1	2	0	$i+1$	$i+2$	$i$	$2i+1$	$2i+2$	$2i$
2	2	0	1	$i+2$	$i$	$i+1$	$2i+2$	$2i$	$2i+1$
$i$	$i$	$i+1$	$i+2$	$2i$	$2i+1$	$2i+2$	0	1	2
$i+1$	$i+1$	$i+2$	$i$	$2i+1$	$2i+2$	$2i$	1	2	0
$i+2$	$i+2$	$i$	$i+1$	$2i+2$	$2i$	$2i+1$	2	0	1
$2i$	$2i$	$2i+1$	$2i+2$	0	1	2	$i$	$i+1$	$i+2$
$2i+1$	$2i+1$	$2i+2$	$2i$	1	2	0	$i+1$	$i+2$	$i$
$2i+2$	$2i+2$	$2i$	$2i+1$	2	0	1	$i+2$	$i$	$i+1$

$\mathbb {F} _{9}$ -ում բազմապատկման աղյուսակը սահմանվում է $i^{2}=-1$ հարաբերությունից։

×	1	2	$i$	$i+1$	$i+2$	$2i$	$2i+1$	$2i+2$
0	0	0	0	0	0	0	0	0
1	1	2	$i$	$i+1$	$i+2$	$2i$	$2i+1$	$2i+2$
2	2	1	$2i$	$2i+2$	$2i+1$	$i$	$i+2$	$i+1$
$i$	$i$	$2i$	2	$i+2$	$2i+2$	1	$i+1$	$2i+1$
$i+1$	$i+1$	$2i+2$	$i+2$	$2i$	1	$2i+1$	2	$i$
$i+2$	$i+2$	$2i+1$	$2i+2$	1	$i$	$i+1$	$2i$	2
$2i$	$2i$	$i$	1	$2i+1$	$i+1$	2	$2i+2$	$i+2$
$2i+1$	$2i+1$	$i+2$	$i+1$	2	$2i$	$2i+2$	$i$	1
$2i+2$	$2i+2$	$i+1$	$2i+1$	$i$	2	$i+2$	1	$2i$

16 տարրերից կազմված դաշտի մուլտիպլիկատիվ խումբ

Երբ $\mathbb {F} _{16}=\mathrm {GF} (2^{4})$ դաշտը կազմվում է $x^{4}+x+1$ չբերվող բազմանդամի օգնությամբ, ընդլայման տարրերը տրվում են բազմանդամի գործակցների հավաքածուներով, որը ստացվում է $x^{4}+x+1$ բազմանդամի վրա բաժանման մնացորդում՝ գրված աստիճանների աճման կարգով։ Մուլտիպլիկատիվ խումբը ծնվում է $\alpha =x$ տարրով, որը գրի առնվում որպես (0, 1, 0, 0)^[18]

Բազմանդամ	$\alpha$ աստիճան	$1,x,x^{2},x^{3}$
1	$\alpha ^{0}$	(1, 0, 0, 0)
$\alpha$	$\alpha$	(0, 1, 0, 0)
$\alpha ^{2}$	$\alpha ^{2}$	(0, 0, 1, 0)
$\alpha ^{3}$	$\alpha ^{3}$	(0, 0, 0, 1)
$1+\alpha$	$\alpha ^{4}$	(1, 1, 0, 0)
$\alpha +\alpha ^{2}$	$\alpha ^{5}$	(0, 1, 1, 0)
$\alpha ^{2}+\alpha ^{3}$	$\alpha ^{6}$	(0, 0, 1, 1)
$\alpha ^{3}+\alpha +1=\alpha ^{3}+\alpha ^{4}$	$\alpha ^{7}$	(1, 1, 0, 1)
$1+\alpha ^{2}=\alpha +1+\alpha ^{2}+\alpha$	$\alpha ^{8}$	(1, 0, 1, 0)
$\alpha +\alpha ^{3}$	$\alpha ^{9}$	(0, 1, 0, 1)
$\alpha ^{2}+1+\alpha =\alpha ^{2}+\alpha ^{4}$	$\alpha ^{10}$	(1, 1, 1, 0)
$\alpha +\alpha ^{2}+\alpha ^{3}$	$\alpha ^{11}$	(0, 1, 1, 1)
$1+\alpha +\alpha ^{2}+\alpha ^{3}=\alpha ^{2}+\alpha ^{3}+\alpha ^{4}$	$\alpha ^{12}$	(1, 1, 1, 1)
$1+\alpha ^{2}+\alpha ^{3}=\alpha +\alpha ^{2}+\alpha ^{3}+\alpha ^{4}$	$\alpha ^{13}$	(1, 0, 1, 1)
$1+\alpha ^{3}=\alpha +\alpha ^{3}+\alpha ^{4}$	$\alpha ^{14}$	(1, 0, 0, 1)
$1=\alpha +\alpha ^{4}$	$\alpha ^{15}$	(1, 0, 0, 0)

Ուսումնասիրության պատմություն

Վերջավոր դաշտերի տեսության սկիզբը սկսվում է 17-րդ և 18-րդ դարերից։ Այս թեմայի շուրջ աշխատել են գիտնականներ ինչպիսիք են Պիեռ դը Ֆերման, Լեոնարդ Էյլերը, Ժոզեֆ Լուի Լագրանժը և Ադրիեն-Մարի Լեժանդրը, որոնց կարելի է համարել պարզ կարգի վերջավոր դաշտերի տեսությունների հիմնադիրներ։ Այնուամենայնիվ, վերջավոր դաշտերի ընդհանուր տեսությունը մեծ հետաքրքրություն է ներկայացնում, սկսած Կառլ Գաուսի և Էվարիստ Գալուայի աշխատանքներից^[19]։ Որոշ ժամանակ այս տեսությունը կիրառություն գտավ միայն հանրահաշվի և թվերի տեսության մեջ, սակայն հետագայում շփման նոր եզրեր են ի հայտ եկել հանրահաշվական երկրաչափության, կոմբինատորիկայի և կոդավորման տեսության հետ^[3]։

Գալուայի ներդրումը

1830 թվականին տասնութամյա Էվարիստ Գալուան աշխատանք հրատարակեց^[20], որը հիմք դրեց վերջավոր դաշտերի ընդհանուր տեսությանը։ Այդ աշխատանքում Գալուան (կապված փոփոխականների և հանրահաշվական հավասարումների տեսության հետազոտության հետ^[21]) ներ է մուծում համեմատության երևակայական $F(x)\equiv 0{\pmod {p}}$ արմատը, որտեղ $F(x)$ -ն p մոդուլով չբերվող, $\nu$ աստիճանի կամայական բազմանդամ է։ Դրանից հետո դիտարկվում է $A=a_{0}+{a_{1}}i+{a_{2}}i^{2}+\ldots +a_{\nu -1}i^{\nu -1}$ ընդհանուր արտահայտությունը, որտեղ $a_{0},a_{1},...,a_{\nu -1}$ ՝ p մոդուլով որոշ ամբողջական թվեր։ Եթե այդ թվերին տանք բոլոր հնարավոր արժեքները, ապա $A$ արտահայտությունը կընդունի $p^{\nu }$ արժեքը։ Այնուհետև Գալուան ցույց է տալիս, որ այդ արժեքները դաշտ են ձևավորում և այդ դաշտի մուլտիպլիկատիվ խումբը համարվում է ցիկլիկ։ Այսպիսով, այս աշխատանքը համարվում է վերջավոր դաշտերի ընդհանուր տեսության հիմքը։ Ի տարբերություն նախորդների՝ միայն $\mathbb {F} _{p}$ դաշտը դիտարկող, Գալուան հետազոտում է արդեն $\mathbb {F} _{p^{n}}$ դաշտերը, որոնք իր պատվին սկսեցին անվանել Գալուայի դաշտ^[22]։

Իրականում, այս ուղղությամբ առաջին աշխատանքը գրել է Գաուսը մոտավորապես 1797 թվականին, սակայն նրա կյանքի ընթացքում այս ուսումնասիրությունը երբեք չի հրատարակվել։ Այս ուսումնասիրությունը հավանաբար անտեսվել է նրա գրությունների խմբագրի կողմից և այդ իսկ պատճառով այս աշխատանքը լույս է տեսել միայն նրա մահից հետո՝ 1893 թվականին^[23]։

Հետագա զարգացում

1893 թվականին մաթեմաթիկոս Էլիակիմ Գաստինգս Մուրը ապացուցեց վերջավոր դաշտերի դասակարգման թեորեմ, որը հաստատում էր, որ յուրաքանչյուր վերջավոր դաշտ հանդիսանում է Գալուայի դաշտ, այսինքն՝ $p^{n}$ անդամներով յուրաքանչյուր դաշտ իզոմորֆ է $\mathbb {F} _{p}$ -ից գործակիցներով բազմանդամների և $n$ աստիճանի չբերվող բազմանդամի հանման մոդուլի դասի դաշտին^[24]։ Այդ տարի էլ կատարվում է վերջավոր դաշտերին աքսոմատիկ մոտեցում ցուցաբերելու առաջին փորձը, որը իրականացրել է Հենրիխ Մարտինը, ով իր աշխատանքում փորձել է համատեղել մաթեմատիկայի տարբեր ճյուղերում առաջացած հասկացությունները, այդ թվում նաև վերջավոր դաշտերի հասկացությունը^[25]։ Այնուհետև, 1905 թվականին, Ժոզեֆ Վեդդերբյորնը ապացուցում է Վեդդերբյորնի թեորեմն այն մասին, որ յուրաքանչյուր վերջավոր մարմին կոմուտատիվ է, այսինքն՝ դաշտ է համարվում։ Աքսիոմատիկ դաշտի ժամանակակից սահմանումը (վերջավոր դաշտերով որպես մասնավոր դեպք) պատկանում է Էրնեստ Շտայնիցին և շարադրվել է նրա 1910 թվականի աշխատությունում^[26]։

Կիրառում

Դիոֆանտյան հավասարում

Դիոֆանտովի հավասարումը հանդիսանում է ամբողջ գործակիցներով հավասարում, որտեղ փոփոխականները նաև ընդունում են ամբողջ թվի արժեքներ։ Նման հավասարումների քննարկման մեծ ալիք է առաջացրել Ֆերման՝ ձևավորելով իր թեորեմները։ Ֆերմայի թեորեմը պնդում է, որ եթե $p$ պարզ թիվ է, որը չի հանդիսանում մեկ այլ $a$ բաժանարար, ապա $a^{p-1}\equiv 1{\pmod {p}}$ ։ Վերջավոր դաշտերի տեսության մեջ այս տեսությունը հանդիսանում է Լագրանժի թեորեմի ակնհայտ հետևանք, որը կիրառվում է $a$ տարրով ծնված մուլտիպլիկատիվ ենթախմբի նկատմամբ, քանի որ $\mathbb {F} _{p}$ դաշտի ամբողջ մուլտիպլիկատիվ խումբը բաղկացած է $p-1$ տարրերից^[5]։

Ֆերման նկատել է, որ միակ պարզ թվերը, որոնք կարող են ներկայացնել երկու քառակուսիների գումարով, դրանք այն պարզ թվերն են, որոնք տալիս են 1 մնացորդ 4-ի վրա բաժանելիս։ Մասնավորապես, նա նշում է, որ

5=1^{2}+2^{2},\quad 13=2^{2}+3^{2},\quad 17=1^{2}+4^{2},\quad 29=2^{2}+5^{2},\quad 37=1^{2}+6^{2},\quad 41=4^{2}+5^{2}.

1640 թվականի դեկտեմբերի 25-ին թվագրված իր նամակում Մարենա Մերսեննուին Ֆերման առաջարկում է լուծել $a^{2}+b^{2}=p$ հավասարումը^[27]։

Հուլիոս Դեդեկինդը ուսումնասիրել է այս հավասարումը $\mathbb {F} _{p}$ վերջավոր դաշտում, որտեղ այն ընդունում է այս տեսքը $a^{2}+b^{2}=0$ ։ Եթե $b=0$ , ապա հավասարումը տրիվյալ է։ Հակառակ դեպքում, երկու մասերը կարելի է բաժանել $b^{2}$ -ի և փոփոխելով ստանալ $x^{2}+1=0$ տեսքի հավասարում։ Բազմապատկելով $x^{2}-1=0$ -ով ստացվում է $x^{4}-1=0$ հավասարումը։ $x$ -ը համարելով 4 կարգի մուլտիպլիկատիվ ենթախմբի գեներատոր, p-ի վրա կարելի է ստանալ անհրաժեշտ և բավարար պայմաններ, որոնց դեպքում հավասարումը ունի լուծում։ Ֆերմա — Էյլեր թեորեմի հետագա ապացույցը, որը տարել է Դեդեկինդը, չի օգտագործում վերջավոր դաշտերի հասկացություններ և այն կարելի է գտնել համապատասխան հոդվածում^[28]։

Ուղղիչ կոդերի տեսություն

Ուղղիչ կոդերի տեսության ստեղծման տարի է համարվում 1948 թվականը, երբ հրապարակվել Է Կլոդ Շենոնի հոդվածը, որում նա ցույց է տալիս, որ որևէ ալիքով ինֆորմացիայի փոխանցման ժամանակ սխալների առկայությունը այդ թվում կախված է ալիքի փոխանցման արագության և անցանելիության կարողության հարաբերակցությունից։ Փոխանցման արագությունը պետք է լինի ավելի անցանելիության կարողությունից բարձր։ Շենոնը ապացույցներ է ներկայացրել, սակայն դրանք ճանաչվել են ոչ անկախ^[29]։

Ռիչարդ Հեմինգն առաջարկել է կառուցողական մոտեցում, դրանով իսկ տվյալ թեմատիկային վերաբերվող հոդվածներին զարգացման վեկտոր հաղորդելով։ Իր աշխատանքում Հեմինգը ստեղծել է պարզ կոդ, որը որոշակի ձևով ուղղում է սխալները։ Հեմինգն ուղղիչ կոդերը դիտարկում է միայն $\mathbb {F} _{2}$ դաշտի վրա^[30]։ Շուտով նմանատիպ կոդեր ստեղծվեցին կամայական վերջնական դաշտերի վրա 1949 թվականին Գոլեյում^[31]։ Սակայն այդ տեսության մեջ ամենամեծ ներդրումը այնուամենայնիվ Հեմինգին է պատկանում^[30]։

Ծածկագրություն

Վերջնավոր դաշտերը լայն կիրառություն են ստացել ծածկագիտության մեջ։ Հիմնարար աշխատանք է համարվում ծածկագրության մասին բաց բանալիով Դիֆֆի և Հելմանի հոդվածը, որի մեջ ներկայացված է բանալիների փոխանակման արձանագրություն^[4]։ Այս աշխատանքում օգտագործվել են որոշակի տեսքի վերջավոր դաշտեր։ Ավելի ուշ ի հայտ եկան վերջավոր դաշտերի վրա հիմնված բազմաթիվ կրիպտոգրաֆական արձանագրություններ և կրիպտոգրաֆական համակարգեր։ Դրանց թվին են պատկանում Էլ-Գամալի սխեման, Advanced Encryption Standard^[32], Շնորրի սխեման, Չաումայի (կույր ստորագրություն) ալգորիթմը, XTR կրիպտոգրաֆական համակարգը և շատ ուրիշներ։ Ժամանակակից կրիպտոգրաֆիայի մեջ հիմնական օբյեկ հանդիսացող Էլիպտական կորերի վրա հիմնված ալգորիթմները նույնպես օգտագործում են վերջավոր դաշտեր^[33]։

Բացի այդ, հաճախ կոդավորման որակը կախված է մեծ պարզ թվերի արագ գեներացնելու կարողությունից։ Համապատասխանաբար, խնդիր է ծագում թվի՝ պարզ արտադրիչների վերլուծման ալգորիթմի կառուցման (այս կամ այն թվի պարզության որոշում)։ Միխայել Ռաբինը հրապարակել է ուսումնասիրություն, որում նա առաջարկում է պարզության թեստ՝ հիմնված դաշտի մուլտիպլիկատիվ խմբի հատկությունների վրա^[33]։

Այլ

1960 թվականին Ռեյ Բոուզը և Ռոյ-Չոուդխուռին հրապարակեցին աշխատանք, որում հետազոտել են բազմանդամների ընտանիքը վերջավոր դաշտում։ Ալեքսիս Հոկվինգն ընդհանրացրեց նրանց տեսությունը, ինչը հանգեցրեց ԲՉՀ կոդի ստեղծմանը, որի մասնավոր դեպքը Ռիդ - Սոլոմոնի հայտնի կոդն է, որը ունի շատ լայն կիրառություն։ Այն օգտագործվում է ձայնագրման և ընթերցման ժամանակ՝ օպերատիվ հիշողության կարգավորիչներում, տվյալների արխիվացման, ինֆորմացիայի կոշտ սկավառակների (ECC) և CD/DVD վրա ձայնագրման համար։ Հատկանշական է, որ տեղեկատվության զգալի ծավալի վնասման կամ սկավառակային կրիչի մի քանի հատվածների վնասման դեպքում Ռիդա - Սոլոմոնի կոդը թույլ է տալիս վերականգնել կորցրած տեղեկատվության մեծ մասը։ ԲՉՀ կոդը օգտագործվում է ՆԱՍԱ -ի որոշ զոնդերի (ինչպիսին է Վոյաջերը^[34]) կապի համակարգում։

Ծանոթագրություններ

1 2 Лидл, Нидеррайтер, 1988, էջ 68
1 2 3 Лидл, Нидеррайтер, 1988, էջ 66
1 2 3 4 Лидл, Нидеррайтер, 1988, էջ 5
1 2 Diffie, Hellman, 1976
1 2 3 Ю.И.Журавлев, Ю.А.Флеров, М.Н.Вялый. Дискретный анализ. Основы высшей алгебры. — М.: МЗ Пресс, 2007. — С. 151. — 224 с.
↑ Лидл, Нидеррайтер, 1988, էջ 69-70
↑ Лидл, Нидеррайтер, 1988, էջ 71
↑ Лидл, Нидеррайтер, 1988, էջ 119
↑ Лидл, Нидеррайтер, 1988, էջ 121
↑ Лидл, Нидеррайтер, 1988, էջ 65
↑ Егоров А. А. Сравнения по модулю и арифметика остатков // Квант. — 1970. — № 5. — С. 28—33.
↑ Винберг, 2011, էջ 32
↑ Лидл, Нидеррайтер, 1988, էջ 67-68
↑ Винберг, 2011, էջ 409
↑ Лидл, Нидеррайтер, 1988, էջ 51, 66
↑ Габидулин Э. М., Кшевецкий А. С., Колыбельников А. И., Владимиров С. М. Защита информации. Учебное пособие. Версия от 22 ноября 2015 года. — С. 249.
↑ Mullen, Gary L.; Panario, Daniel Handbook of Finite Fields. — CRC Press, 2013. — ISBN 978-1-4398-7378-6
↑ Ю.И.Журавлев, Ю.А.Флеров, М.Н.Вялый. Дискретный анализ. Основы высшей алгебры. — М.: МЗ Пресс, 2007. — С. 152. — 224 с.
↑ Лидл, Нидеррайтер, 1988, էջ 10
↑ Evariste Galois (1830), Sur la théorie des nombres. Bulletin des sciences mathématiques de M. Férussac 13, pp 428—435 (1830)
↑ Бурбаки Н. Очерки по истории математики / пер. с фр. И. Г. Башмаковой под ред. К. А. Рыбникова. — М.: ИЛ, 1963. — С. 102.
↑ Israel Kleiner. A History of Abstract Algebra. — Birkhäuser, 2007. — С. 70. — 168 с. — ISBN 978-0-8176-4684-4
↑ G. Frei. The Unpublished Section Eight: On the Way to Function Fields over a Finite Field. — Goldstein Schappacher Schwermer, 2007. — С. 159-198.
↑ Moore, Eliakim Hastings. A doubly-infinite system of simple groups // Chicago Congr. Papers. — 1896. — P. 208-242. Архивировано из первоисточника 19 նոյեմբերի 2015.
↑ H. Weber, " Die allgemeinen Grundlagen der Galois’schen Gleichungstheorie ", Mathematische Annalen, vol. 43, 1893, p. 521—549
↑ Ernst Steinitz, " Algebraische Theorie der Körper ", Journal für die reine und angewandte Mathematik, vol. 137, 1910, p. 167—309 (ISSN 0075-4102)
↑ Ю.И.Журавлев, Ю.А.Флеров, М.Н.Вялый. Дискретный анализ. Основы высшей алгебры. — М.: МЗ Пресс, 2007. — С. 38. — 224 с.
↑ R. Dedekind, Supplément XI des Leçons en théorie des nombres de Dirichlet, 1894
↑ Шеннон, К. Математическая теория связи // Работы по теории информации и кибернетике. — М.: Издательство иностранной литературы, 1963. — С. 243—332.
1 2 Хэмминг, К. Коды с обнаружением и исправлением ошибок. — М.: Издательство иностранной литературы, 1956. — С. 7-23.
↑ Golay M. J. E. Notes on digital coding // Proceedings IRE. 1949. V. 37, P.657.
↑ О.С Зензин, М.А. Иванов Стандарт криптографической защиты - AES. Конечные поля.. — КУДИЦ-Образ, 2002. — С. 41 - 78. — 176 с. — ISBN 5-93378-046-4
1 2 Анатолий Болотов, Сергей Гашков, Александр Фролов, Анатолий Часовских Элементарное введение в эллиптическую криптографию. Алгебраические и алгоритмические основы. — КомКнига, 2006. — С. 390 — 398. — 527 с. — ISBN 5-484-00443-8
↑ Bose R. C., Ray-Chaudhuri D. K. On a class of error-correcting binary group codes // Inform. Control. — vol. 3. — mars 1960. — p. 68—79.

Գրականություն

Винберг Э. Б. Курс алгебры. — новое изд., перераб. и доп. — М.: МЦНМО, 2011. — 592 с. — 2000 экз. — ISBN 978-5-94057-685-3
Лидл Р., Нидеррайтер Г. Конечные поля. В 2-х тт. — М.: Мир, 1988. — 430 с. — ISBN 5-03-000065-8
Журавлев Ю. И., Флеров Ю. А., Вялый М. Н. Дискретный анализ. Основы высшей алгебры. — 2-е изд. — М.: МЗ Пресс, 2007. — 224 с. — 1000 экз. — ISBN 5-94073-101-5
Васильев К. К., Глушков В. А., Дормидонтов А. В., Нестеренко А. Г. Теория электрической связи. — Ульяновск: УлГТУ, 2008. — 452 с. — ISBN 978-5-9795-0203-8
Steinitz, Ernst. Algebraische Theorie der Körper(գերմ.) // Journal für die reine und angewandte Mathematik. — 1910. — Т. 137. — С. 167-309.
Diffie W., Hellman M. E. New Directions in Cryptography // IEEE Trans. Inf. Theory / F. Kschischang — IEEE, 1976. — Vol. 22, Iss. 6. — P. 644—654. — ISSN 0018-9448; 1557-9654 — doi:10.1109/TIT.1976.1055638</includeonly
Kleiner, Israel. A History of Abstract Algebra. — Birkhäuser, 2007. — ISBN 978-0-8176-4684-4

[Лидл,_Нидеррайтер—1988——68-1] 1 2 Лидл, Нидеррайтер, 1988, էջ 68

[Лидл,_Нидеррайтер—1988——66-2] 1 2 3 Лидл, Нидеррайтер, 1988, էջ 66

[Лидл,_Нидеррайтер—1988——5-3] 1 2 3 4 Лидл, Нидеррайтер, 1988, էջ 5

[Diffie,_Hellman—1976——-4] 1 2 Diffie, Hellman, 1976

[autogenerated2-5] 1 2 3 Ю.И.Журавлев, Ю.А.Флеров, М.Н.Вялый. Дискретный анализ. Основы высшей алгебры. — М.: МЗ Пресс, 2007. — С. 151. — 224 с.

[Лидл,_Нидеррайтер—1988——69-70-6] Лидл, Нидеррайтер, 1988, էջ 69-70

[Лидл,_Нидеррайтер—1988——71-7] Лидл, Нидеррайтер, 1988, էջ 71

[Лидл,_Нидеррайтер—1988——119-8] Лидл, Нидеррайтер, 1988, էջ 119

[Лидл,_Нидеррайтер—1988——121-9] Лидл, Нидеррайтер, 1988, էջ 121

[Лидл,_Нидеррайтер—1988——65-10] Лидл, Нидеррайтер, 1988, էջ 65

[11] Егоров А. А. Сравнения по модулю и арифметика остатков // Квант. — 1970. — № 5. — С. 28—33.

[Винберг—2011——32-12] Винберг, 2011, էջ 32

[Лидл,_Нидеррайтер—1988——67-68-13] Лидл, Нидеррайтер, 1988, էջ 67-68

[Винберг—2011——409-14] Винберг, 2011, էջ 409

[Лидл,_Нидеррайтер—1988——51,_66-15] Лидл, Нидеррайтер, 1988, էջ 51, 66

[16] Габидулин Э. М., Кшевецкий А. С., Колыбельников А. И., Владимиров С. М. Защита информации. Учебное пособие. Версия от 22 ноября 2015 года. — С. 249.

[Mullen,_Panario-17] Mullen, Gary L.; Panario, Daniel Handbook of Finite Fields. — CRC Press, 2013. — ISBN 978-1-4398-7378-6

[18] Ю.И.Журавлев, Ю.А.Флеров, М.Н.Вялый. Дискретный анализ. Основы высшей алгебры. — М.: МЗ Пресс, 2007. — С. 152. — 224 с.

[Лидл,_Нидеррайтер—1988——10-19] Лидл, Нидеррайтер, 1988, էջ 10

[:7-20] Evariste Galois (1830), Sur la théorie des nombres. Bulletin des sciences mathématiques de M. Férussac 13, pp 428—435 (1830)

[21] Бурбаки Н. Очерки по истории математики / пер. с фр. И. Г. Башмаковой под ред. К. А. Рыбникова. — М.: ИЛ, 1963. — С. 102.

[22] Israel Kleiner. A History of Abstract Algebra. — Birkhäuser, 2007. — С. 70. — 168 с. — ISBN 978-0-8176-4684-4

[23] G. Frei. The Unpublished Section Eight: On the Way to Function Fields over a Finite Field. — Goldstein Schappacher Schwermer, 2007. — С. 159-198.

[24] Moore, Eliakim Hastings. A doubly-infinite system of simple groups // Chicago Congr. Papers. — 1896. — P. 208-242. Архивировано из первоисточника 19 նոյեմբերի 2015.

[25] H. Weber, " Die allgemeinen Grundlagen der Galois’schen Gleichungstheorie ", Mathematische Annalen, vol. 43, 1893, p. 521—549

[26] Ernst Steinitz, " Algebraische Theorie der Körper ", Journal für die reine und angewandte Mathematik, vol. 137, 1910, p. 167—309 (ISSN 0075-4102)

[:6-27] Ю.И.Журавлев, Ю.А.Флеров, М.Н.Вялый. Дискретный анализ. Основы высшей алгебры. — М.: МЗ Пресс, 2007. — С. 38. — 224 с.

[28] R. Dedekind, Supplément XI des Leçons en théorie des nombres de Dirichlet, 1894

[29] Шеннон, К. Математическая теория связи // Работы по теории информации и кибернетике. — М.: Издательство иностранной литературы, 1963. — С. 243—332.

[:1-30] 1 2 Хэмминг, К. Коды с обнаружением и исправлением ошибок. — М.: Издательство иностранной литературы, 1956. — С. 7-23.

[31] Golay M. J. E. Notes on digital coding // Proceedings IRE. 1949. V. 37, P.657.

[32] О.С Зензин, М.А. Иванов Стандарт криптографической защиты - AES. Конечные поля.. — КУДИЦ-Образ, 2002. — С. 41 - 78. — 176 с. — ISBN 5-93378-046-4

[ReferenceA-33] 1 2 Анатолий Болотов, Сергей Гашков, Александр Фролов, Анатолий Часовских Элементарное введение в эллиптическую криптографию. Алгебраические и алгоритмические основы. — КомКнига, 2006. — С. 390 — 398. — 527 с. — ISBN 5-484-00443-8

[:3-34] Bose R. C., Ray-Chaudhuri D. K. On a class of error-correcting binary group codes // Inform. Control. — vol. 3. — mars 1960. — p. 68—79.

[1]

[2]

[3]

[4]

[5]

[6]

[7]

[8]

[9]

[10]

[11]

[12]

[13]

[14]

[15]

[16]

[17]

[18]

[19]

[20]

[21]

[22]

[23]

[24]

[25]

[26]

[27]

[28]

[29]

[30]

[31]

[32]

[33]

[34]