Մյոբիուսի ֆունկցիա

Վիքիպեդիայից՝ ազատ հանրագիտարանից
Jump to navigation Jump to search

Մյոբիուսի ֆունկցիա, մուլտիպլիկատիվ թվաբանական ֆունկցիա, որը կիրառվում է թվերի տեսության մեջ և կոմբինատորիկայում։ Անվանվել է գերմանացի մաթեմատիկոս Ավգուստ Մյոբիուսի պատվին, որը առաջին անգամ դիտարկել է այն 1831 թվականին։

Սահմանում[խմբագրել | խմբագրել կոդը]

որոշված է բոլոր բնական թվերի համար, ընդունում է -1,0,1 արժեքները՝ կախված թվի պարզ արտադրիչների վերլուծման բնույթից։

  • , եթե -ը ազատ է քառակուսուց(չի բաժանվում ոչ մի պարզ թվի քառակուսու վրա), իսկ պարզ արտադրիչների վերլուծությունում արտադրիչների քանակը զույգ է։
  • , եթե -ը ազատ է քառակուսուց, իսկ պարզ արտադրիչների վերլուծությունում արտադրիչների քանակը կենտ է։
  • , եթե -ը ազատ չէ քառակուսուց։

Ըստ սահմանման ընդունված է համարել ։

50 առաջին կետերը

Հատկություններ[խմբագրել | խմբագրել կոդը]

  • Մյոբիուսի ֆունկցիան մուլտիպլիկատիվ է՝ ցանկացած և փոխադարձ պարզ թվերի համար ճիշտ է հավասարությունը։
  • ամբողջ թվի բոլոր բաժանարարների Մյոբիուսի ֆունկցիայի արժեքների գումարը հավասար է 0-ի։

Սա հետևում է այն բանից, որ ցանկացած ոչ դատարկ վերջավոր բազմության կենտ էլեմենտներով ենթաբազմությունների քանակը հավասար է զույգ էլեմենտներով ենթաբազմությունների քանակին։

  • որտեղ n -ը դրական ամբողջ թիվ է։
  • Մյոբիուսի ֆունկցիան սերտ կապված է Ռիմանի զետա ֆունկցիայի հետ։ Մյոբիուսի ֆունկցիայով են արտահայտվում Դիրիխլիեյի ֆունկցիայի շարքի գործակիցները, որոնք մուլտիպլիկատիվ հակադարձ են Ռիմանի զետա ֆունկցիային․
.

Շարքը բացարձակ զուգամետ է ուղղի վրա, ուղղի վրա զուգամիտում է պայմանական, միջակայքում պայմանական զուգամիտությունը համարժեք է Ռիմանի հիպոթեզին, իսկ դեպքում շարքը չի զուգամետում։

Երբ ճիշտ է նաև․

  • որտեղ p — պարզ թիվ է։
  • Մյոբիուսի ֆունկցիան կապված է նաև Մերտենսի ֆունկցիայի հետ, որը կապված է Ռիմանի զետա ֆունկցիայի զրոյական կետերի հետ։
  • Ճշմարիտ են նաև․
երբ
,

Բազմության զրոների գծային խտությունը հավասար է , իսկ միավորների խտությունը՝ ։

Մյոբիուսի հղում[խմբագրել | խմբագրել կոդը]

Մյոբիուսի հղման առաջին բանաձև[խմբագրել | խմբագրել կոդը]

Երկու թվաբանական և ֆունկցիաների համար

այն և միայն այն դեպքում, երբ

։

Մյոբիուսի հղման երկրորդ բանաձևը[խմբագրել | խմբագրել կոդը]

Երկու իրական և ֆունկցիաների համար, որոնք որոշված են համար

այն և միայն այն դեպքում, երբ

։

Այստեղ գումարը մեկնաբանվում է որպես ։

Մյոբիուսի ընդհանրացված թեորեմը[խմբագրել | խմբագրել կոդը]

Դիցուք տրված է որոշակի կարգավորված բազմություն հարաբերությամբ։ Համարենք, որ ։

Սահմանում[խմբագրել | խմբագրել կոդը]

Մյոբիուսի ընդհանրացված ֆունկցիան որոշվում է

ռեկուրենտ առընչությամբ։

Հղման բանաձևը[խմբագրել | խմբագրել կոդը]

Դիցուք g և f ֆունկցիաները ընդունում են իրական արժեքներ բազմության վրա և տեղի ունի պայմանը։

Ապա ։

Կապը Մյոբիուսի դասական ֆունկցիայի հետ[խմբագրել | խմբագրել կոդը]

Եթե բազմության փոխարեն դիտարկենք բնական թվերի բազմությունը, իսկ հարաբերության փոխարեն հարաբերությունը, ապա կստանանք , որտեղ - Մյոբիուսի դասական ֆունկցիան է։

Տես նաև[խմբագրել | խմբագրել կոդը]

Դիրիխլեյի բանաձևը

Գրականություն[խմբագրել | խմբագրել կոդը]

  • Ի․ Մ․ Վինոգրադով, Թվերի տեսության հիմունքներ, 9-րդ հրատարակություն, Մ․1981։
  • Холл М. Комбинаторика = Combinatorial Theory. — М.: Мир, 1970. — 424 с.

Արտաքին հղումներ[խմբագրել | խմբագրել կոդը]