Լեոնարդ Էյլեր

Վիքիպեդիայից՝ ազատ հանրագիտարանից
Jump to navigation Jump to search
Լեոնարդ Էյլեր
Leonhard Euler
Leonhard Euler 2.jpg
Ծնվել է ապրիլի 15, 1707(1707-04-15)[1][2][3][4][5][6][7]
Բազել, Շվեյցարիա[8][9]
Մահացել է սեպտեմբերի 18, 1783(1783-09-18)[3][4][5][6][7][10][11] (76 տարեկանում)
Սանկտ Պետերբուրգ, Ռուսական կայսրություն[8]
բնական մահով
Գերեզման Սմիոլենսկոե լյութերական գերեզմանոց և Lazarev Cemetery
Բնակության վայր(եր) Շվեյցարիա, Բազել, Սանկտ Պետերբուրգ և Սանկտ Պետերբուրգ
Քաղաքացիություն Old Swiss Confederacy
Ռուսական կայսրություն
Flag of Prussia (1892-1918).svg Պրուսիայի թագավորություն
Flag of Switzerland.svg Շվեյցարիա
Ազգություն Շվեյցարացիներ
Դավանանք Կալվինականություն
Մասնագիտություն մաթեմատիկոս, ֆիզիկոս, երաժշտագետ, երաժշտություն տեսաբան, համալսարանի պրոֆեսոր, գրող և ուսուցիչ
Հաստատություն(ներ) Բազելի համալսարան
Գործունեության ոլորտ մաթեմատիկական անալիզ, թվերի տեսություն, Քարտեզագրություն, calculus of variations, աստղագիտություն, ֆիզիկա, Մեխանիկա, theory of differential equations, Մաթեմատիկական ֆիզիկա, computational mathematics, Ձգաբանություն, օպտիկա և մաթեմատիկա
Անդամակցություն Պրուսիայի գիտությունների ակադեմիա[12], Շվեդիայի թագավորական գիտությունների ակադեմիա, Ռուսաստանի գիտությունների ակադեմիա, Պետերբուրգի գիտությունների ակադեմիա[3], Ֆրանսիական գիտությունների ակադեմիա[13], Արվեստների և գիտությունների ամերիկյան ակադեմիա, Լոնդոնի թագավորական ընկերություն[3] և Թուրինի Գիտությունների Ակադեմիա
Ալմա մատեր Բազելի համալսարան
Գիտական աստիճան փիլիսոփայության դոկտոր (1726) և Master of Philosophy (1723)
Տիրապետում է լեզուներին լատիներեն և գերմաներեն[2]
Գիտական ղեկավար Յոհան Բերնուլլի[14][15]
Եղել է գիտական ղեկավար Սեմյոն Կոտելնիկով, Ժոզեֆ Լուի Լագրանժ[16] և Johann Friedrich Hennert[17]
Հայտնի աշակերտներ Mikhail Evseyevich Golovin, Petr Inokhodtsev, Սեմյոն Կոտելնիկով, Anders Johan Lexell, Stepan Rumovsky, Nicolas Fuss և Յոհան Էյլեր[18]
Ազդվել է Պիեռ դե Ֆերմա, Քրիստիան Հյույգենս և Պիեռ Լուի դը Մոպերտյուի
Ամուսին(ներ) Salomea Abigail Euler և Katharina Euler
Երեխա(ներ) Յոհան Էյլեր և Christoph Euler
Ստորագրություն
Euler's signature.svg
Leonhard Euler Վիքիպահեստում

Լեոնարդ Էյլեր (գերմ.՝ Leonhard Euler, ապրիլի 15, 1707(1707-04-15)[1][2][3][4][5][6][7], Բազել, Շվեյցարիա[8][9] - սեպտեմբերի 18, 1783(1783-09-18)[3][4][5][6][7][10][11], Սանկտ Պետերբուրգ, Ռուսական կայսրություն[8]), ապրիլի 15 1707 թվական, Բազել, Շվեյցարիա, Սանկտ Պետերբուրգ, Ռուսական կայսրություն, շվեյցարացի, գերմանացիև ռուս մաթեմատիկոս և մեխանիկ, այս գիտությունների զարգացման համար ահռելի ներդրում ունեցած, (ինչպես նաև ֆիզիկայի, աստղագիտության և մի շարք այլ կիրառական գիտությունների համար։)[19]։ Էյլերը ավելի քան 850 աշխատանքների հեղինակ է[20] (ներառված ավելի քան երկու տասնայակ հիմնարար մենախոսության) մաթեմատիկական անալիզի, դիֆերենցիալ երկրաչափության, թվերի տեսության, մաթեմատիկական ֆիզիկայի, երկնային մեխանիկայի, օպտիկայի, նավաշինության, բալիստիկայի, մոտավոր հաշվարկների, երաժշտության տեսության և այլ բնագավառների վերաբերյալ [21][22]։ Նա խորությամբ ուսումնասիրել է բժշկություն, քիմիա, կենսաբանություն, օդագնացություն, երաժշտության տեսություն, եվրոպական և հնագույն մի շարք լեզուներ։ Պետերբուրգի Գիտությունների Ակադեմիայի, Պրուսական Գիտությունների Ակադեմիայի, Թուրինի Գիտությունների Ակադեմիայի, Լիսսաբոնի և Բազելի Գիտությունների Ակադեմիայի ակադեմիկոս, Փարիզի Գիտությունների Ակադեմիայի օտարերկրյա անդամ[23]։ 1720 - 1724 թվականներին սովորել է Բազելի համալսարանում։ 1727 թվականին աշխատել է Սանկտ Պետերբուրգի գիտությունների ակադեմիայում, 1741 թ. տեղափոխվել է Բեռլին, 1766 թվականին կրկին վերադարձել Պետերբուրգ[24]: Էյլերը Բեռլինի, Սանկտ Պետերբուրգի[19] և Փարիզի գիտությունների ակադեմիայի[25] և Լոնդոնի թագավորական ընկերության անդամ էր. նրա հետազոտություններն ընդգրկել են իր ժամանակի մաթեմատիկայի, ֆիզիկայի և մեխանիկայի բոլոր բաժինները[19]: Նա շարադրել է դիֆերենցիալ հավասարումների տեսության հիմունքները, մշակել է պինդ մարմնի կինեմատիկան և դինամիկան, տվել անշարժ կետի շուրջը դրա պտտման հավասարումը, հիմնադրել գիրոսկոպի տեսությունը։ Նավաշինության մասին իր աշխատանքներով նա մեծ ավանդ է ներդրել կանգունության տեսությունում[24]: Կյանքի համարյա կեսը անց է կացրել Ռուսաստանում, որտեղ իր զգալի ներդրումն է ունեցել ռուսական գիտության կայացման մեջ։ 1726 թվականին հրավիրվել է աշխատելու Սանկտ Պետերբուրգ, որտեղ և տեղափոխվել է մեկ տարի անց։ 1726 թվականից մինչ 1741 թվականը, ինչպես նաև աշխատել է 1766 թվականից Պետերբուրգի գիտությունների ակադեմիայում (սկսած ադյունտից մինչ պրոֆեսոր 1731 թվականից), 1741-ից մինչ 1766 թվականը աշխատել է Բեռլինում (միաժամանակ մնալով Պետերբուրգի գիտությունների ակադեմիայի պատվավոր անդամ)[19]։ Գալով Ռուսաստան, արդեն մեկ տարի անց նա լավ տիրապետում էր լեզվին և իր ստեղծագործությունների մի մասը հրատարակել է ռուսերենով[C 1]։ Առաջին ռուս ակադեմիկ-մաթեմատիկները (Սեմյոն Կիրիլովիչ Կոտելնիկովը) և աստղագետ (Ստեփան Յակովլեևիչ Ռումովսկին) Էյլերի աշակերտներն են եղել։ Նրա սերունդներից ոմանք դեռևս ապրում են Ռուսաստանում[26]

Կենսագրություն[խմբագրել | խմբագրել կոդը]

Շվեցարիա[խմբագրել | խմբագրել կոդը]

Լեոնարդ Էյլերը ծնվել է 1707 թվականի ապրիլի 15-ին բազելական պաստոր Պաուլ Էյլերի,ով Բեռնուլիի ընտանիքի ընկերն էր, և Մարգարիտա Էյլերի՝ ծնունդով Բրուկերի ընտանիքում։Շվեյցարիայի Բազել քաղաքում: Էյլերը ունեցել է երկու քույր` Աննա Մարիան, Մարիա Մագդալենան և կրտսեր եղբայր` Յոհան Հենրիխը: Լեոնարդի ծնունդից անմիջապես հետո, Էյլերների ընտանիքը Բազելից տեղափոխվել է Ռիհեն քաղաքը (որը Բազելից ուներ մեկ ժամվա հեռավորություն), այնտեղ Պաուլ Էյլերը պաստոր էր նշանակվել, որտեղ էլ անց է կացել տղայի մանկության մեծ մասը: Լեօնարդը նախնական կրթություն ստացել է, հոր ղեկավարությամբ, տանը (ով իր ժամանակ մաթեմատիկա էր սովորել Յակոբի Բեռնուլիի մոտ)[27]։ Պաստորը ավագ որդուն պատրաստում էր հոգևոր գործունեության համար, սակայն մաթեմատիկա էլ էր պարապում նրա հետ՝ նախ զբաղմունքի, այնպես էլ հետագա տրամաբանական մտածողության զարգացման համար, և Լեոնարդը շատ վաղ ցուցաբերեց մաթեմատիկական ընդունակությունները[28]։ Էյլերն իր հիմնական կրթությունը ստացել է Բազելի գիմնազիայում, որտեղ նա ապրում էր իր մորական տատիկի հետ (շարունակելով միաժամանակ խորությամբ ուսումնասիրել մաթեմատիկան): 1720 թվականին, տասներեք տարեկանում, նա հնարավորություն է ունեցել Բազելի համալսարանում մասնակցել դասերի, որտեղ նա գրավում է Իոհան Բեռնուլիի (Յակոբի Բեռնուլիի փոքր եղբոր) ուշադրությունը։ Ճանաչված գիտնականը, ուսումնասիրման համար, Էյլերին է փոխանցում մաթեմատիկական հոդվածներ, թույլատրելով անհասկանալի հարցերի պարզաբանման համար այցելել իրեն շաբաթ օրերին՝ ճաշից հետո։[29]

Բազելի համալսարանը XVII—XVIII դարերում

1720 թվականի հոկտեմբերի 20-ին 13-ամյա Լեոնարդ Էյլերը դարձավ Բազելի համալսարանի մշակույթի ֆակուլտետի ուսանող։ Սակայն մաթեմատիկայի հանդեպ սերը նրան մղում էր այլ ուղով։ Այցելելով իր ուսուցչի տուն, Լեոնարդը ծանոթացավ և սկսեց ընկերություն անել նրա որդիների՝ Դանիել Բեռնուլիի և Նիկոլայ Բեռնուլիի հետ, որոնք նույնպես, ընտանեկան ավանդույթի համաձայն, խորապես ուսումնասիրում էին մաթեմատիկան։ 1723 թվականին Էյլերը, Բազելի համալսարանում գոյություն ունեցող ավանդույթի համաձայն, առաջին մրցանակը (primam lauream) ստացավ[29]։ 1724 թվականի հուլիսի 8-ին 17-ամյա Լեոնարդ Էյլերը լատիներենով ելույթ ունեցավ, Դեկարտի և Նյուտոնին փիլիսոփայության ոլորտի հայացքների մասին և դրա համար ստացավ փիլիսոփայության մագիստրոսի կոչում։[30]. Հետագա երկու տարիների ընթացքում երիտասարդ Էյլերը գրում է մի քանի գիտական աշխատանք։ Նրանցից մեկը, «Ձային ֆիզիկայի մասին ատենախոսությունը», Բազելի համալսարանի ֆիզիկայի պրոֆեսորի ազատված պաշտոնի մրցույթի համար առաջադրվեց (1725)։ Սակայն, րնայած դրական արձագանքին, 19-ամյա Էյլերին բավականաչափ երիտասարդ համարեցին, որպեսզի ընդգրկեն պրոֆեսորական ամբիոնի թեկնածուների շարքում։ Հարկ է նշել, որ Շվեցարիայում գիտական պաշտոնների թափուր տեղերը այնքան էլ շատ չէին[31]։ Այդ իսկ պատճառով Դանիիլ և Նիկոլայ եղբայրները ուղևորվեցին Ռուսաստան, որտեղ այդ ժամանակ կազմավորվում էր Սանկտ Պետերբուրգի գիտությունների ակադեմիան, ովքեր խոստացան Էյլերի համար միջնորդել[28]։ 1726 թվականի հուլիսի 31-ին Նիկոլաուսը մահանում է քաղցկեղի պատճառով, մեկ տարի անց Դանիիլը ստանձնում է իր եղբոր` Նիկոլայի պաշտոնը մաթեմատիկայի և ֆիզիկայի բաժնում, նա առաջարկում է Էյլերին միանալ իրեն: 1726—1727 թվականներին Էյլերը Սանկտ Պետերբուրգից ծանուցում է ստանում՝ Բեռնուլիի եղբայրների երաշխավորությամբ նա հրավիրվում է բնախոսության ամբիոնում (այդ ամբիոնը զբաղեցնում էր Դանիիլ Բեռնուլին) ադյունկտի (ակադեմիկոսի կամ պրոֆեսորի օգնական) հաստիքի համար, տարեկան 200 ռուբլի ռոճիկով (պահպանվել է, 1726 թվականի նոյեմբերի 9-ի, Ակադեմիայի նախագահ Լավրենտի Լավրենտովիչ Բլյումենտրոստին ուղղված Էյլերի շնորհակալական նամակը հրավերի ընդունման մասին)։ Քանի որ Յոհան Բեռնուլին հայտնի բժիշկ էր, այդ իսկ պատճառով Ռուսաստանում Էյլերին ևս բժիշկ էին համարում, ճանաչելով որպես նրա լավագույն աշակերտի։ Բազելից Էյլերը իր մեկնումը հետաձգեց մինչ մարտ ամիսը, մնացած ժամանակը տրամադրելով բժշկական գիտությունների լուրջ ուսումնասիրմանը{{sfn|Пекарский П. П., т. 1|1870|с=250—251}, որոնց փայլուն տիրապետմամբ նա հաճախ զարմացնում էր իր ժամանակակիցներին։ Վերջապես, 1727 թվականի ապրիլի 5-ին Էյլերը մշտապես լքեց Շվեցարիան[31], չնայած շվեցարական Բազելյան հպատակությունը պահպանեց մինչ կյանքի վերջ[32]։

Ռուսաստան (1727—1741)[խմբագրել | խմբագրել կոդը]

1724 թվականի հունվարի 22-ին Պետրոս I-ը հաստատում է Սանկտ Պետերբուրգի գիտությունների Ակադեմիայի նախագիծը։ 1724 թվականի հունվարի 28-ին հրապարակվեց Ակադեմիայի ստեղծման Ղեկավար սենատի հրմանաը։ Առաջին տարիներին հրավիրված 22 պրոֆեսորներից և ասպիրանտներից ութը պարզվեց մաթեմատիկներ են, որոնք նաև զբաղվում էին մեխանիկայով, ֆիզիկայով, աստղագիտությամբ, քարտեզագրությամբ, նավաշինության տեսությամբ, չափերի և կշիռների ծառայությամբ[33]։ Էյերը (որի ուղին Բազելից անցնում էր Լյուբեկով, Ռեվելով և Կրոնշտադով) ժամանեց Սանկտ Պետերբուրգ 1727 թվականի մայիսի 24-ին, դրանից մի քանի օր առաջ մահացել էր Ակադեմիայի հովանավոր Եկատերինա I կայսրուհին, և գիտնականները գտնվում էին մոլորության մեջ։ Էյլերին, համերկրացի երկվորյակ եղբայներ Դանիիլ Բեռնուլին և Յակոբ Գերմանը, օգնեցին հարմարվել նոր տեղում, Յակոբ Գերմանը հանդիսանում էր բարձրագույն մաթեմատիկայի ամբիոնի պրոֆեսոր, նաև հեռավոր բարեկամ էր և Էյլերին հնարավորինս հովանավորում էր։ Էյլերը դարձավ բարձրագույն մաթեմատիկայի ասպիրանտ (և ոչ թե ֆիզիոլոգիայի, ինչպես որ պլանավորվել էր նախօրոք), չնայած նա Պետերբուրգում հետազոտություններ էր կատարել կենսաբանական հեղուկների հիդրոդինամիկայի բնագավառում, նրա համար սահմանեցին 300 ռուբլի տարեկան ռոճիկ ու պետական բնակարան տրամադրեցին[34]։ Համընդհանուր զարմանքի արդյունքում հաջորդ տարում Էյլերը արդեն վարժ խոսում էր ռուսերեն։[35]։ 1728 թվականին սկսվեցին «Պետերբուրգի գիտությունների ակադեմիայի մեկնաբանություններ» ռուսական առաջին ամսագրի հրատարակումները (լատիներենով)։ Որի երկրորդ հատորը ընդգրկում էր Էյլերի երեք հոդված, և հետագա տարիներին ակադեմիական ամենամյակի համարյա յուրաքանչյուր հրատարակում պարունակում էր նրա մի քանի նոր աշխատանք։ Իսկ ընդհանուր առմամբ ամսագրում հրատարակվել է Էյլերի ավելի քան 400 հոդված[33]։ 1730 թվականի սեպտեմբերին լրացավ ակադեմիկոսներ Յակոբ Գերմանի և Գեորգ Բեռնարդ Բիլֆինգերի պայմանագրերի ժամկետը (վերջինս փորձարարական և տեսական ֆիզիկայի ամբիոնի պրոֆեսորն էր)։ Նրանց ամբիոնները սկսեցին գլխավորել համապատասխանաբար Դանիիլ Բեռնուլին և Լեոնարդ Էյլերը, որից հետո Էյլերի ռոճիկը հասավ 400 ռուբլու, իսկ 1731 թվականի հունվարի 22-ին պաշտոնապես ստանձնեց պրոֆեսորի պաշտոնը։ Երկու տարի անց (1733) Դանիիլ Բեռնուլին վերադարձավ Շվեցարիա, և Էյլերը, թողնելով ֆիզիկայի ամբիոնը, գլխավորեց նրանը, դառնալով բարձրագույն մաթեմատիկայի ակադեմիկոս և պրոֆեսոր շուրջ 600 ռուբլի ռոճիկով (Դանիիլ Բեռնուլին կրկնակի էր վարձատրվում)[36][37]։ 1733 թվականի դեկտեմբերի 27-ին Լեոնարդ Էյլերը ամուսնանում է ակադեմիական գեղանկարիչ Գեորգ Ջսելի (պետերբուրգյան շվեցարացի) աղջկա Կատարինայի (գերմ.՝ Katharina Gsell) հետ[38]։ Նորապսակները Նևայի առափնյայում բնակարան ձեռք բերեցին։ Էյլերի ընտանիքում ծնվեցին 13 երեխա, սակայն ապրեցին երեք որդին և երկու աղջիկը[39]։ Երիտասարդ պրոֆեսորի աշխատանքները շատ էին՝ քարտեզագրությունը, ամենահավանական եզրակացությունները, նավաշինարարների և հրետանավորի խորհրդատվությունները, ուսումնական ձեռնարկների խմբագրումը, հրշեջային պոմպերի նախագծումը և այլն։ Նրանից նույնիսկ պահանջում էին հորոսկոպների կազմում, որոնց պատվերը, սակայն Էյլերը լրջագույն նրբազգացությամբ ուղղում էր աստղագետին։ Ալեքսանդր Սերգեևիչ Պուշկինը պատմում է, իբր Էյլերը հորոսկոպ է կազմել նորածին Իվան VI-ի (1740) համար, բայց արդյունքը այնքան սարսափելի էր, որ նա ոչ մեկի չէր ցուցադրել, միայն անբախտ արքայազնի մահից հետո պատմել էր դուքս Կիրիլ Գրիգորևիչ Ռազումսկուն[40]։ Այս պատմական անեկդոտի իսկությունը խիստ կասկածելի է։ Ռուսաստանում բնակության առաջին շրջանում նա գրել է ավելի քան 90 խոշոր գիտական աշխատանք։ Ակադեմիական «Գրառումների» նշանակալի մասը կազմում են Էյլերի աշխատանքները։ Նա զեկուցումներ էր անում գիտական սեմինարների ժամանակ, հասարակական դասախոսություններ կարդում, մասնակցում ղեկավարական տարբեր տեխնիկական պատվերների գերատեսչությունների կատարմանը[41]։ 1730-ականների ընթացքում Էյլերը գլխավորում թր Ռուսական կայսրության քարտեզագրության աշխատանքները, որը ավարտվեց (1745 թվականին Էյլերի մեկնումից հետո) երկրի տերիտորիայի ատլասի հրտարակմամբ[42]։ Ինչպես պատմում է Նիկոլայ Իվանովիչ Ֆրուսսը, 1735 թվականին Ակադեմիան հրահանգ է ստանում մեծածավալ մաթեմատիկական արագ հաշվարկի համար, ընդ որում ակադեմիկոսների խումբը դրա համար պահանջեց երեք ամիս ժամանակ, սակայն Էյլերը միայնակ վերջացրեց այն երեք օրում, բայց գերբեռնվածությունը հենց այնպես չանցավ և նա հիվանդացավ ու կորցրեց աջ աչքի տեսողությունը։ Չնայած, Էյլերը տեսողության կորուստը վերագրում էր Ակադեմիայի աշխարհագրական դեպարտամենտում քարտեզագրությանը[43]։ 1736 թվականին հրատարակված «Մեխանիկա, կամ շարժման գիտություն, շարադրված անալիտիկորեն» երկհատոր ստեղծագործությունը, Էյլերին բերեց համաեվրոպական ճանաչողություն։ Այս մենախոսության մեջ նա դատարկության և դիմադրող միջավայում շարժման խնդրի լուծման համար, հաջողությամբ կիրառել է մաթեմատիկական անալիզի մեթոդները[41]։

Վ․ Պ․ Սոկոլովի փորագրանկարը (1766)[44], հավանաբար ըստ 1737 թ. լուսանկարի

Ակադեմիայի կարևորագույն խնդիրներից էր համարվում հայրենական կադրերի պատրաստումը, ինչի համար ակադեմիային կից ստեղծվել էր Պետերբուրգի Ակադեմիական համալսարանը և Ակադեմիական գիմնազիան։ Էյլերը գերմաներենով կազմեց «Թվաբանության ձեռնարկի» շատ բարորակ տարբերակը, որը անմիջապես թարգմանվեց ռուսերենով ու մեկ տարի չէ, որ ծառայաեց որպես նախնական դասագիրք։ Առաջին մասի թարգմանությունը 1740 թվականին կատարել է Ակադեմիայի ռուս ասպիրանտ (ադյունկտ), Էյլերի աշակերտ Վասիլի Ադոդուրովը[45]։ Երբ 1740 թվականին, Կայսրուհի Աննա Յոհաննովնան մահացավ, իրավիճակը սրվեց, և կայսր հրապարակվեց փոքրահասակ Յոհան VI-ը։ «Կանխատեսվում էր որոշ վտանգ,— գրում էր հետագայում Էյլերը ինքնակենսագրականում։ Արժանափառ կայսրուհի Աննայի վախճանից հետո գահի խնամակալության շրջանում վիճակը վստահելի չէր դառնում»։ Իրականում, գահի խնամակալության շրջանում Պետերբուրգի ակադեմիան վերջնականապես մատնվեց անխնամության[41]։ Էյլերը արդեն տարբերակներ էր մտածում հայրենիք վերադառնալու համար։ Վերջիվերջո նա ընդունես Պրուսիայի Ֆրիդրիխ II թագավորի առաջարկը, ով հրավիրում էր նրան Մաթեմատիկսական դեպարտամենտի տնօրենի պաշտոնը ստնձնելու համար։ Ակադեմիան կազմավորվել էր դեռևս Լայբնիցի կողմից հիմնադրված պրուսական Թագավորական ընկերության հիմքի վրա, բայց այդ տարիներին գտնվում էր անմխիթար վիճակում։

Պրուսիա (1741—1766)[խմբագրել | խմբագրել կոդը]

Էյլերը դիմեց Պետերբուրգի ակադեմիայի ղեկավարությանը ազատման խնդրանքով[46]՝

Aquote1.png Այն բանի համար եմ համարում հարկավոր, ինչպես որ թույլ առողջության, այնպես էլ այլ հանգամանքների, որոնել բարենպաստ կլիմա և Պրուսիայի Թագավորական Մեծությունից ինձ հատկացված հրավերը ընդունելը։ Այդ պատճառով խնդրում եմ Գիտությունների Կայսերական Ակադեմիային ամենահլու խնդիրքս ինձ ազատել և ապահովել իմ և տնեցիներիս համար ուղևորության կարիքները հոգալ Aquote2.png

1741 թվականի մայիսի 29-ին Ակադեմիայից թույլատվությունը ստացվեց[46]։ Էյլերը «ազատ էր» և որպես Ակադեմիայի պաշտոնական անդամ 200 ռուբլի դրուիքով հաստատված։ 1741 թվականի հունիսին 34-ամյա Լեոնարդ Էյլերը կնոջ, երկու տղաների և ձորս զարմիկների հետ ժամանեց Բեռլին։ Այնտեղ նա մնաց 25 տարի և հրատարակեց 260 աշխատանք[47]։ Բեռլինում Էյլերին սկզբնական շրջանում ընդունեցին բարյացակամորեն, նույնիսկ հրավիրեցին պալատական պարահանդեսների[46]։ Մարքիզ Մարի Ժան Անտուան Նիկոլա Կոնդորսեն հիշատակում է, որ Էյլերին հրավիրել է պարահանդեսի։ Թագուհի-մայրիկի այն հարցին, թե ինչու է նա այդչափ քչախոս, Էյլերը պատասխանում է՝ «Ես մի երկրից եմ եկել, որտեղ խոսացողին կախում են»[48]։ Էյլերը բավականաչափ զբաղված էր։ Մաթեմատիկական հետազոտություններին զուգահեռ, նա ղեկավարում էր աստղադիտարանը[47], զբաղվում տարաբնույթ պրակտիկ աշխատանքներով, որոնց մեջ ներառված էր նաև օրացույցերի հրատարակումը (Ակադեմիայի եկամուտների հիմնական աղբյուրը[47]), պրուսական մետաղադրամների դրամահատումը, նոր ջրանցքի նախագծումը կենսաթոշակների և վիճակախաղերի ապահովվման կազմակերպմանը[49]։

1756 թվականի դիմանկար, կատարված Էմանուել Հանդիմանի կողմից (Kunstmuseum, г. Базель)

1742 թվականին հրատարակվեց Յոհան Բեռնուլիի ստեղծագործությունների քառահատոր ժողովածուն։ Ուղարկելով այն Բազելից Բեռլին Էյլերին, ծեր գիտնականը գրում է իր աշակերտին՝ «Ես նվիրաբերեցի ինձ բարձրագույն մաթեմատիկայի մանկությանը։ Դու, իմ ընկեր, կշարունակես նրա ձևավորումը հասունության ժամանակ»։ Բեռլինյան ժամանակաշրջանում, մեկը մյուսի հետևից, լույս էին տեսնում Էյլերի աշխատանքները՝ «Անվերջ փոքրերի վերլուծության ներածություն» (1748), «Լուսնի շարժման տեսություն» (1753), «Դիֆերենցիալ հաշվի հրահանգները» (լատ.՝ Institutiones calculi differentialis, 1755)։ Նրա աշխատանքներում օգտագործվում են հորինված տերմինաբանություն և մաթեմատիկական սիմվոլիկա, որոնք որոշակիորեն պահպանվել են մինչ այսօր, շարադրումը բերվում է պրակտիկ ալգորիթմների մակարդակի։ Գերմանիայում եղած ամբողջ ժամանակ Էյլերը պաշտպանում է Ռուսաստանի հետ ունեցած կապը։ Նա մասնակցում է Պետերբուրգի Ակադեմիայի հրատարակումներին, նրա համար գրքեր և գործիքներ է հայթայթում, խմբագրում ռուսական ամսագրերի մաթեմատիկական բաժինները։ Նրա բնակարանում, տարիներով գիշերօթիկով ապրում էին երիտասարդ ռուս գիտնականներ, որոնք գործուղվել էին ստաժավորման։ Հայտնի է Էյլերի և Միխաիլ Վասիլևիչ Լոմոնոսովի աշխույժ նամակագրությունը, որի գործունեության մեջ Էյլերը բարձր էր գնահատում այն, որ «գիտափորձերն ու տեսությունը ուրախանալիորեն համընկնում էին»[C 2]։ 1747 թվականին Էյլերը Գիտությունների ակադեմիայի նախագահ դուքս Կիրիլ Գրիգորևիչ Ռազումովսկուն բարյացակամ կարծիք տվեց Լոմոնոսովի ֆիզիկայի և քիմիայի հոդվածների վերաբերյալ[C 3]՝

Aquote1.png Բոլոր այս ատենախոսությունները ոչ թե լավ են, այլև բավականաչափ հիանալի են, քանզի նա (Լոմոնոսովը) ֆիզիկական և քիմիական բացարձակ կարևոր նյութերի մասին է գրում, որոնց մասին մինչ այժմ չգիտեին և չէին կարողանում բացատրել նույնիսկ ամենախելացի մարդիկ, իսկ նա այնքան մատչելիորեն է բացատրում, որ ես համոզված եմ դրանց ճշմարտացի լինելուն։ Այս առիթով, հանձինս ճշմարտության, պարոն Լոմոնոսովին պետք է հարգանքի տուրք մատուցել ֆիզիկական և քիմիական երևույթների ճշմարտացի մեկնաբաման համար։ Պետք է այլ Ակադեմիաները նույնպես ի վիճակի լինեն ցուցադրելու այդ բացահայտումները, որոնք ցույց է տվել պարոն Լոմոնոսովը։ Aquote2.png

Այս բարձր գնահականին չի խանագարել նույնիսկ այն,որ Լոմոնոսովը մաթեմատիկական աշխատանքներ չի գրել ու չի տիրապետել բարձրագույն մաթեմատիկային[C 4][C 5]։ Էյլերին մայրը տեղեկացրեց Շվեցարիայում հոր մահվան մասին (1745), շուտով նա տեղափոխվեց Էյլերի մոտ (մահացել է1761 թվականին)։ 1753 թվականին Էյլերը Շառլոտենբուրգում հողամասով ու այգով կալվածք գնեց, որտեղ և տեղավորվեց նրա բազմանդամ ընտանիքը[49]։

Ժամանակակիցների կարծիքով, Էյլերը ամբողջ կյանքը մնաց համեստ, կենսուրախ, ծայրահեղ զգայուն մարդ, մշտապես պատրաստ օգնության հասնելու ուրիշներին։ Սակայն թագավորի հետ հարաբերությունները չէին ստացվում՝ Ֆրիդրիխը գտել էր նոր անտանելի տխուր մաթեմատիկի, ով բացարձակ աշխարհիկ չէր և նրա հետ արհամարհանքով էր վերաբերվում։ 1759 թվականին մահացավ Էյլերի ընկեր, Բեռլինի գիտությունների ակադեմիայի նախագահ Պյեռ Լուի դը Մոպերտյուին։ Նախագահի պաշտոնը Ֆրիդրիխ II-ը առաջարկեց Ժան Լը Ռոն Դ'Ալամբերին, սակայն նա հրաժարվեց։ Ֆրիդրիխը, չնայած չէր սիրում Էյլերին, այնուամենայնիվ Ակադեմիայի ղեկավարությունը, առանց նախագահի պաշտոնի, հանձնեց նրան[50]։ Յոթնամյա պատերազմի ժամանակ (1756—1763) ռուսական հրետանին ջախջախեց Էյլերի տունը, որի մասին իմանալով ֆելդմարշալ Պետրոս Սեմյոնովիչ Սալտիկովը անմիջապես փոխհատուցեց վնասը, իսկ հետագայում Ելիզավետա Պետրովնան նրան ուղարկեց անձամբ իր կողմից 4000 ռուբլի[51]։ 1765 թվականին հրատարակվեց «Պինդ մարմինների շարժման տեսությունը», իսկ մեկ տարի անց՝ «Փոփոխակային հաշվարկների տարրերը»։ Հենց այստեղ առաջին անգամ հնչեց Էյլերի, Ժոզեֆ Լուի Լագրանժի մաթեմատիկայի նոր բաժնի անվանումը։ 1762 թվականին Եկատերինա II-ը նստեց ռուսական գահին, որը վարում էր լուսավորյալ աբսոլյուտիզմի (բացարձակապետություն) քաղաքականություն։ Շատ լավ հասկանալով պետության առաջընթացի և սեփական թագաժառանգի համար գիտության նշանակությունը, նա ժողովրդական մշակույթի և լուսավորության համակարգում, արեց մի քանի կարևոր, գիտության համար բարեհաջող բարեփոխումներ։ Կայսրուհին Էյլերին առաջարկեց մաթեմատիկական դասարանի ղեկավարումը, Ակադեմիայի կոնֆերենց-քարտուղարի կոչումը և տարեկան 1800 ռուբլի դրույք սահմանեց։ «Իսկ եթե դուր չգա,— ասվում էր այդ նամակում նրա ներկայացուցչին,— կբարեհաճի տեղեկացնել իր պայմանների մասին, միայն թե չհապաղի Պետերբուրգ ժամանման համար»։ Ի պատասխան Էյլերը տեղեկացրեց իր պայմանների մասին[52]՝

  • ռոճիկ տարեկան 3000 ռուբլի և Ակադեմիայի փոխ-նախագահի պաշտոնը,
  • բնակարան, հեռու զինտեղամասից[53];
  • վարձատրվող պաշտոններ իր երեք տղաների համար, այդ թվում ավագի համար Ակադեմիայի քարտուղարի պաշտոնը։

Բոլոր պայմանները ընդունվեցին։ 1766 թվականի հունվարի վեցին Եկատերինան տեղեկացրեց դուքս Միխաիլ Իլլարիոնովիչ Վորոնցովին[54]՝

Aquote1.png Ձեզ ուղղված պարոն Էյլերի նամակը ինձ բավականաչափ ուրախություն պարգևեց, քանի որ ես նամակից տեղեկացա, որ նա կրկին ցանկանում է ընդունվել իմ մոտ ծառայության։ Իհարկե, ես գտնում եմ, որ նա հարմար թեկնածու է Ակադեմիայի փոխ-նախագահի պաշտոնի համար, բայց դրա համար անհրաժեշտ է որոշ մջոցառումներ իրականացնել, նախքան այդ կոչումը հաստատելս, ասում եմ հաստատելս, քանի որ մինչ այժմ այդ կոչումը չկար։ Իրադարձությունների ներկայիս դրությանբ 3000 ռուբլի աշխատավարձի համար չկա, սակայն այնպիսի հատկանիշներ ունեցող մարդու համար, ով Էյլերն է, ես ակադեմիական ռոճիկին կավելացնեմ պետական եկամուտներից նաև, որը իրար հետ կկազմի 3000 ռուբլի․․․Ես համոզված եմ, որ իմ ակադեմիան կհառնի մոխիրներից այդպիսի կարևոր ձեռքբերումից հետո, և կանխավ ինձ շնորհավորում եմ այն բանի համար, որ վերադարձրել եմ Ռուսաստան այդպիսի մեծ մարդու։ Aquote2.png

հետագայում Էյլերը առաջադրեց ևս մի քանի պայման (կնոջը ամենամյա թոշակ 1000 ռուբլու սահմանում, իր մահից հետո, ճանապարհածախսերի փոխհատուցում, աշխատատեղ իր բժիշկ որդու համար և հենց իր՝ Էյլերի համար աստիճանակարգում)։ Եկատերինան բավարարեց այս պայմանները ևս, բացի աստիճանակարգից, կատակելով այսպես՝ «Ես կտայի նրան աստիճան, որը որ նա ուզում է, ուղղակի կարծում եմ, որ այդ աստիճանը նրան կհավասարեցնի այն բազմաթիվ մարդկանց հետ, ովքեր ունեն աստիճանակարգ, սակայն չարժեն պարոն Էյլերին։ Իրականում, նրա հայտնիությունը ավելին է աստիճանակարգից, որպեսզի արժանանա համընդհանուր հարգանքի»[53]։ Էյլերը դիմեց թագավորին ազատման համար, բայց պատասխան չստացավ։ Դիմեց կրկին Ֆրիդրիխին, սակայն Ֆրիդրիխը չէր ցանկանում նույնիսկ քննարկել նրա մեկնման հարցը։ Էյլերին որոշիչ աջակցություն ցուցաբերեց, կայսրուհու անունից, ռուսական ներկայացուցչության միջնորդությունը[55]։ 1766 թվականի մայիսի 2-ին վերջապես Ֆրիդրիխը թույլատրեց հռչակավոր գիտնականին մեկնել Պրուսիայից, չսահմանափակվելով, իմիջայլոց, Ժան Լը Ռոն Դ'Ալամբերին իր գրառման մեջ Էյլերի հասցեին չարախոսելուց՝ «Պարոն Էյլերը, ով անսահման սիրում է Փոքր և Մեծ Արջի համաստեղությունները, մոտիկացել է հյուսիսին լավ պայմանների և դրանց հետազոտման համար»[56]։ Սակայն, Էյլերի կրտսեր որդուն՝ հրետանու փոխգնդապետ Քրիստափոր Լեոնտևիչ Էյլերին, թագավորը հրաժարվեց ազատել բանակից[57], հետագայում Եկատերինա II-ի հովանավորությամբ, նա ամեն դեպքում կարողացավ միանալ հորը և ծառայությունը ավարտել ռուսական բանակում մինչ գեներալ-լեյտենանտի կոչումը[58]։ 1766 թվականին Էյլերը վերջնականապես վերադարձավ Ռուսաստան։

Կրկին Ռուսաստան (1766—1783)[խմբագրել | խմբագրել կոդը]

XVIII դարի երկրորդ կեսին Պետերբուրգի Գիտությունների Ակադեմիայի շենքը (Կունստկամերա)

1766 թվականի հունվարի 17-ին 60-ամյա Էյլերը ընտանիքով (ընդամենը 18 հոգի) ժամանեց ռուսական մայրաքաղաք[56]։ Ժամանումից անիջապես հետո նրան ընդունեց կայսրուհին։ Եկատերինա II-ը դիմավորեց նրան ինչպես օգոստոսափայլ անձի և ողողեց բարերարություններով՝ 8000 ռուբլի տուն գնելու համար Վասիլևսկի կղզում և տեղավորվելու համար, սկզբնական շրջանի ահամար տրամադրեց նաև իր խոհարարներից մեկին և հանձնարարեց Էյլերին կազմել Ակադեմիայի վերականգնման նախագիծը[59]։ Ի դժբախտություն Էյլերի, անմիջապես ժամանումից հետո, նրա ձախ աչքին կատարակտ առաջացավ, որի պատճառով նա լիովին կորցրեց տեսողությունը։ Հավանաբար, հենց այդ պատճառով խոստացված փոխ-նախագահի կոչումը նա այդպես էլ չստացավ (որը ամենևին չխանգարեց, Էյլերին և նրա սերունդներին, հետագա համարյա հարյուր տարիների ընթացքում մասնակցելու Ակադեմիայի ղեկավարմանը[49])։ Սակայն կուրությունը չանդրադարձավ գիտնականի աշխատունակության վրա, նա միայն նշեց, որ հիմա քիչ կզբաղվի մաթեմատիկայով[60]։ Մինչ քարտուղար գտնելը, նա իր մտքերը թելադրում էր դերձակ-տղային, որը ամեն ինչ գրառում էր գերմաներենով։ Հրատարակումների և աշխատանքների թիվը նույնիսկ ավելացավ, Ռուսաստան երկրորդ այցելության ընթացքում Էյլերը մոտ 400 հոդված ու 10 գիրք թելադրեց, որը կազմում է նրա ստեղծագործական գործունեության համարյա կեսը[49]։ 1768—1770 թվականներին լույս տեսավ երկհատոր «Ունիվերսալ թվաբանություն» մենախոսությունը (հրատարակվել է նաև «Հանրահաշվի հիմունքներ» և «Հանրահաշվի ընդհանուր կուրս» անվամբ)։ Սկզբում այս աշխատանքը լույս տեսավ ռուսերենով (1768—1769), իսկ գերմաներենով հրատարակվեց երկու տարի հետո[61]։ Գիրքը թարգմանվեց բազմաթիվ լեզուներով և վերահրատարակվեց ավելի քան 30 անգամ (երեք անգամ ռուսերենով)։ Հետագայում հանրահաշվի բոլոր դասագրքերը լույս էին տեսնում Էյլերի գրքի խիստ ազդեցության տակ[62]։ Այս տարիներին լույս տեսավ նաև եռահատոր «Դիօպտրիկան» (լատ.՝ Dioptrica, 1769—1771) ոսպնյակների համակարգերի և հիմնարար «Ինտեգրալ հաշվիվը» (լատ.՝ Institutiones calculi integralis, 1768—1770), նույնպես երեք հատորով [63]։

«Նամակներ գերմանական արքայադստերը», երրորդ հրատարակություն (1780)

XVIII, մասամբ XIX դարում մեծ հանրաճանաչություն ստացան էյլերյան «Ֆիզիկական և փիլիսոփայական տարբեր նյյյութեր, գրված ինչ-որ գերմանացի արքայադստերը․․․» (1768), որոնք պարունակում էին 40-ից ավել հրատարակություններ ավելի քան 10 լեզուներով (ընդ որում չորսը ռուսերենով)։ Դա լայնամասշտաբ, մատչելիորեն գրված գիտահանրամատչելի հանրագիտարան է[64]։ 1771 թվականին Էյլերի կյանքում տեղի ունեցան երկու կարևոր իրադարձություն։ Մայիսին Պետերբուրգում տեղի ունեցած հրդեհի պատճառով ոչնչացան հարյուրավոր տներ, այդ թվում Էյլերի տունն ու համարյա ամբողջ ունեցվածքը։ Գիտնականիը մեծ դժվարությամբ փրկվեց։ Բարեբախտաբար բոլոր ձեռագրերը հնարավոր եղավ փրկել, այրվել էր միայն «Լուսնի շարժման նոր տեսությունը», բայց այն անմիջապես վերականգնվեց հենց Էյլերի կողմից, ով մինչ խորը ծերություն պահպանեց ֆենոմենալ հիշողությունը[65]։ Էյլերը ստիպված էր ժամանակավորապես տեղավորվել նոր տան մեջ։ Երկրորդ իրադարձությունը՝ նույն տարվա սեպտեմբերին, կայսրուհու հատուկ հրամանով Պետերբուրգ ժամանեց հայտնի գերմանացի ակնաբույժ բարոն Վետցելը Էյլերին բուժելու համար։ Զննումից հետո նա համաձայնեց վիրահատել և հեռացնել ձախ աչքի կատարակտը։ Էյլերը սկսեց կրկին տեսնել։ Բժիշկը խորհուրդ տվեց աչքը պաշտպանել պայժառ լուսավորվածությունից, չգրել, չկարդալ և աստիճանաբար ընտենալալ նոր վիճակին։ Սակայն, վիրահատությունից հետո, Էյլերը ընդամենը մի քանի օր անց հանեց վիրակապը և շուտով նորից կորցրեց տեսողությունը։ Այս անգամ՝ վերջնականապես[65]։ 1772 թվական՝ «Լուսնի շարժման նոր տեսությունը»։ Էյլերը վերջապես ավարտեց իր բազմամյա աշխատանքը, մասնավորապես լուծելով երեք մարմինների խնդիրը։ 1773 թվականին Դանիիլ Բեռնուլիի երաշխավորությամբ Բազելից Պետերբուրգ ժամանեց Բեռնուլիի աշակերտ Նիկոլաուս Ֆուսը։ Դա Էյլերի համար մեծ հաջողություն էր։ Ֆուսը օժտված մաթեմատիկ էր, ով ժամանումից անմիջապես հետո իր վրա վերցրեց Էյլերի մաթեմատիկական աշխատանքների հոգածությունը։ Ֆուսը ամուսնացավ Էյլերի թոռնուհու հետ։ Հետագա տասը տարիների ընթացքում, մինչ մահը, Էյլերը հիմնականում նրան էր թելադրում իր գաղաթարները, չնայած երբեմն «օգտվում էր մեծ տղայի և իր այլ աշակերտների աչքերից»[32]։ Նույն 1773 թվականին մահացավ Էյլերի կինը, որի հետ նա ամուսնացած էր համարյա 40 տարի։ Կնոջ մահը ցավագին հարված էր գիտնականի համար։ Շուտով նա ամուսնացավ կնոջ քրոջ՝ Սալոմե-Աբիգայլի հետ[66]։ 1779 թվականին հրատարակվեց «Համընդհանուր գնդային եռանկյունաչափությունը», դա գնդային եռանկյունաչափության ամբողջ համակարգի առաջին ընդհանուր շարադրանքն էր[67]։

Լ․ Էյլերի շիրմաքարը, գրանիտե սարկոֆագ

Էյլերը ջանասիրաբար աշխատել է մինչև վերջին օրերը։ 1783 թվականի սեպտեմբերից 76-ամյա գիտնականը ունենում էր գլխացավեր և թույլ էր։ Սեպտեմբերի 7-ին (18) ընտանիքի հետ ունեցած ճաշից հետո, ակադեմիկոս Անդրեյ Իվանովիչ Լեկսելի հետ վերջերս հայտնաբերված Ուրան մոլորակի և նրա ուղեծրի մասին զրույցի ժամանակ, նա անսպասելիորեն իրեն վատ է զգում։ Էյլերը հասցնում է ասել՝ «Ես մահանում եմ»,— և կորցնում է գիտակցությունը։ Մի քանի ժամ անց այդպես էլ գիտակցության չգալով, նա մահանում է ուղեղի արյունազեղումից[68]։ «Նա դադարեց հաշվել և մահացավ»,- Փարիզի Գիտությունների Ակադեմիայում կայացած սգո նիստի ժամանակ իր մահախոսականում ասել է Նիկոլա դը Կոնդորսեն (ֆր.՝ Il cessa de calculer et de vivre)։ Նրան թաղեցին Պետերբուրգի Սմոլենսկյան լյութերական գերեզմանատանը։ Հուշարձանի գերմաներեն գրառումը ասում է՝ «Այստեղ հանգչում են ամբողջ աշխարհին հայտնի իմաստուն, առաքինի, բարեպաշտ անձի՝ Լեոնարդ Էյլերի մնացորդները։ Ծնվել է Բազելում 1707 թվականի ապրիլի 4-ին, մահացել 1783 թվականի սեպտեմբերի 7-ին»[69]. По смерти Эйлера его могила затерялась и была найдена, в заброшенном состоянии, только в 1830 году[69]։ Մահից հետո Էյլերի գերեզմանը կորցրել էին և գտել միայն 1830 թվականին անմխիթար վիճակում[69]։ 1837 թվականին Գիտությունների Ակադեմիան փոխեց նրա շիրմաքարը նոր գրանիտե սալով, որը գոյություն ունի մինչ մեր օրերը, նրա վրա լատիներենով գրված է՝ «Լեոնարդ Էյլերին՝ Պետերբուգի ակադեմիայի կողմից» (լատ.՝ Leonhardo Eulero — Academia Petropolitana)[69]։ Էյլերի 250-ամյակի տոնակատարության ժամանակ (1957 год), մեծագույն մաթեմատիկոսի աճյունը տեղափոխվել է Ալեքսանդր Նևսկու մայրավանքի Լազարևյան գերեզմատան «XVIII դարի մեծ գերեզմանատուն», որտեղ տեղավորվեց Միխաիլ Լոմոնոսովի շիրմի մոտ[49]։

Ներդրում գիտության մեջ[խմբագրել | խմբագրել կոդը]

Էյլերը թողել է մաթեմատիկայի, մեխանիկայի, ֆիզիկայի, աստղագիտության և մի շարք բնագիտական գիտությունների տարբեր բնագավառների վերաբերյալ բազմաթիվ կարևոր աշխատություններ[49]: Էյլերի իմացությունները, բացի մաթեմատիկականից, հանրագիտարանային էին, նա խորությամբ ուսումնասիրում էր բուսաբանություն, բժշկագիտություն, քիմիա, երաժշտության տեսություն, բազմաթից հնագույն ու եվրոպական լեզուներ: Էյլերը հաճույքով մասնակցում էր գիտական երկխոսությունների, որոնցից առավել հայտնիէին դարձել՝

Բոլոր թվարկված դեպքերում էյլերի տեսակետը պաշտպանել է ժամանակակից գիտությունը:

Ներդրում մաթեմատիկայում[խմբագրել | խմբագրել կոդը]

Էյլերի բանաձևը

XVIII դարը, մաթեմատիկայի տեսանկյունից, համարվում է Էյլերի դարը[49]: Եթե մինչ Էյլերը, մաթեմատիկայի բնագավառում հաջողություններն ու առաջընթացները իրարաից անջատված էին ու ոչ բոլոր դեպքերում իրար հետ համաձայնեցված, ապա Էյլերը առաջին անգամ իրար կապեց թվաբանությունը, երկրաչափությունը, եռանկյունաչափությունը, թվերի տեսությունը և այլ դիսցիպլինանաներ մի համակարգի մեջ, միաժամանակ ավելացնելով դրանց իր հայտնագործություններից[70]: Մաթեմատիկայի զգալի բաժիններ այդ ժամանակվանից ուսուցանվում են «ըստ Էյլերի» ու ընդ որում, համարյա, առանց փոփոխությունների[49]: Էյլերի շնորհիվ մաթեմատիկա ներմուծվեց շարքերի տեսությունը, «Էյլերի բանաձևը», որը հիմնաքարային է համարվում Կոմպլեքս թվերի տեսության մեջ, ամբողջական մոդուլով համեմատման հնարքը, շղթայական կոտորակների ընդհանուր տեսությունը, մեխանիկայի անալիտիկ հիմքը, ինտեգրման և դիֆերենցիալ հավասարումների բազմաթվային հնարքները, Էյլերի e թիվը, կեղծ միավորի համար i նշանակումը, հատուկ ֆունկցիաների շարքը, և այլն[49]: Ըստ էության, հենց Էյլերն է հայտնագործել մաթեմատիկական մի քանի նոր դիսցիպլիններ՝ թվերի տեսությունը, վարիացիոն հաշվարկումը, կոմպլեքս ֆունկցիաների տեսությունը, մակերևույթների դիֆերենցիալ երկրաչափությունը, , նա է դրել հատուկ ֆունկցիաների հիմքը: Նրա գործունեության այլ բնագավառներից են՝ Դիոֆանտյան հավասարումները, մաթեմատիկական ֆիզիկան, վիճակագրությունը և այլն:[49] Գիտության պատմաբան Կլիֆորդ Ամբոուզ Տրուսդելը գրում է՝ «Էյլերը արևմտյան քաղաքականության եջ առաջին գիտնականն էր, ով սկսեց գրել մաթեմատիկայի մասին, հասկանալի ընթերցման համար, պարզ ու հստակ լեզվով»[71]: Կենսագիրները նշում են, որ Էյլերը վիրտուոզ ալգորիթմիստ էր: Նա ձգտում էր անվերապահորեն մինչև վերջ հասցնել իր հայտնագործությունները և ինքն էլ թվային հաշվարկների մեծ վարպետ էր[72]: Նիկոլա դը Կոնդորսեն պատմում է, որ մի անգամ երկու ուսանող, ովքեր իրարից անկախ աստղագիտական հաշվարկներ էին կատարում, 50-երորդ նշանում ստացան իրարից քիչ տարբերվող արդյունքներ ու օգնության համար դիմեցին Էյլերին: Էյլերը մտովի կատարեց նույն հաշվարկները և արտահայտեց ճիշտ արդյունքը[65]:

Թվերի տեսություն[խմբագրել | խմբագրել կոդը]

Պաֆնուտի Չեբիշևը գրում է՝ «Էյլերի կողից դրվել էր թվերի տեսությունը կազմող բոլոր տեսակի հետազոտությունների սկիզբը»[73]: XVIII դարի մաթեմատիկոսներից շատերը զբաղվում էին վերլուծության զարգացմամբ, բայց Էյլերը իր հետ տարավ հնագույն մաթեմատիկայի խանդավառությունը: Նրա աշխատանքների շնորհիվ թվերի տեսության նկատմամբ հետաքրքրվածությունը դարեվերջին աճեց[74]: Էյլերը շարունակում էր Պիեռ դե Ֆերմայի հետազոտությունները, որը ավելի վաղ արտահայտել էր (Դիոֆանտի ազդեցությամբ) մի շարք իրարից կտրտված հիպոթեզներ բնական թվերի մասին: Էյլերը ճշգրտորեն ապացուցեց այդ հիպոթեզները, էականորեն համամասնեց և միավորեց դրանք թվերի տեսության մեջ[75]: Նա մաթեմատիկա ներմուծեց բացառիկ «Էյլերի ֆունկցիան» և նրա օգնությամբ ձևակերպեց կենտ պարզ թվերի մասին «Էյլերի թեորեմը» երկու քառակուսիների գումարի տեսքով[75]: Տվեց չորս խորանարդների խնդրի լուծումներից մեկը: Ապացուցեց, որ Մերսենի թիվը պարզ է, ավելի քան հարյուր տարվա ընթացքում այն մնաց առավել հայտնի պարզ թիվը[76]: Էյլերը ստեղծել է ըստ մոդուլի բնական թվերի համեմատման և քառակուսային արմատի հանման տեսության հիմքը, տալով դրանց համար Էյլերի չափանիշները: Էյլերը ներմուծել է նախասկզբնական արմատի հասկացությունը և հիպոթեզ է առաջ քաշել, որ յուրաքանչյուր p պարզ թվի համար գոյություն ունի p մոդուլով արմատ, բայց դա ապացուցել նա չկարողացավ, այդ թեորեմը ավելի ուշ ապացուցվեց Ադրիեն-Մարի Լեժանդրի և Կառլ Գաուսի կողմից: Տեսության մեջ մեծ նշանակություն է ունեցել նաև Էյլերի մեկ այլ՝ փոխադարձության քառակուսային օրենք հիպոթեզը, որը նույնպես ապացուցվել է Գաուսի կողմից[75]: Էյլերը ապացուցեց Ֆերմայի մեծ թեորեմը և -ի համար, ստեղծեց Շղթայական կոտորակի ընդհանուր տեսությունը, ուսումնասիրել է Դիոֆանտյան հավասարումների տարբեր դասեր, թվերի բաղադրիչների բաժանման տեսությունը[77][78] Բնական թվի քանակի բաժանման խնդրի մեջ ստացել է հաջորդականությունների ֆունկցիայի աստիճան բարձրացնելը արտահայտող բանաձևը՝ անվերջ

արտադրյալի միջոցով:

Էյլերը որոշել է Ռիմանի զետա ֆունկցիան, որի ընդհանրացումը հետագայում ստացել է Բեռնարդ Ռիմանի անվանումը՝

,

որտեղ իրական թիվ է (Ռիմանի մոտ՝ կոմպլեքս թիվ): Էյլերը նրա համար ներմուծեց

վերլուծությունը, որտեղ արտադրյալը վերցվում է բոլոր թվերով: Այսպիսով նա բացահայտեց, որ թվերի տեսությունում հնարավոր է մաթանալիզի մեթոդների կիրառությունը, դրանով իսկ սկիզբ դնելով թվերի անալիտիկ տեսությանը[79], որի հիմքում ընկած է Էյլերի նույնությունը և հաջորդականությունների բխեցման ֆունկցիան[80]:

Մաթեմատիկական անալիզ[խմբագրել | խմբագրել կոդը]

Գիտության առջև Էյլերի գլխավոր նվաճումներից մեկը նրա «Անվերջ փոքրերի անալիզի նախաբան» մենախոսությունն է (1748): 1755 թվականին լույս տեսավ լրացուցիչ «Դիֆերենցիալ հաշվարկը», իսկ 1768—1770 թվականներին «Ինտեգրալ հաշիվի» եռահատորը: Ընդհանուր առմամբ դա հիմնավորված, օրինակներով լավ պարզաբանված, մտածված տերմինաբանությամբ ու սիմվոլներով դասընթաց էր[81]: «Կարելի է համոզված ասել, որ այն ամենի ուղիղ կեսը, ինչը յլերի աշխատանքներում» (Նիկոլայ Լուզին)[82]: Էյլերը առաջինն է տվել ինտեգրման և դրա հետ օգտագործվող տեխնիկական հնարքների համակարգված տեսությունը: Մասնավորապես, նա է հեղինակը ռացիոնալ ֆունկցիայի ինտեգրման դասական այն հնարքի, որը կատարվում է պարզ կոտորակների բաղդատման եղանակով և դիֆերենցիալ հավասարումների կամայական կարգի հաստատուն գործակցի լուծման մեթոդով[83]: Առաջին անգամ դուրս է բերել բազմապատիկ ինտեգրալը[19]: Էյլերը մշտապես հատուկ ուշադրություն էր դարձնում դիֆերենցիալ հավասարումների լուծումների մեթոդներին՝ որպես սովորական դիֆերենցիալ հավասարումների, և մասնակի ածանցյալներով դիֆերենցիալ հավասարումները, բացահայտելով ու նկարագրելով ինտեգրվող դիֆերենցիալ հավասարումների կարևոր դասերը: Շարադրել է Էյլերի «բեկյալների մեթոդը» (1768), որը իրենից ներկայացնում է սովորական դիֆերենցիալ հավասարումների լուծման համակարգ: Միաժամանակ Ալեքսի Կլոդ Կլերոյի հետ Էյլերը դուրս բերեց գծային դիֆերենցիալ ձևի ինտեգրման պայմանները կախված երկու կամ երեք փոփոխականներից(1739)[19]: Ստացավ լուրջ արդյունքներ էլիպտիկ ֆունկցիաների տեսությունում, այդ թվում էլիպտիկ ինտեգրալների գումարման առաջին թեորեմները (1761)[84]: Առաջինն էր, ով ուսումնասիրեց շատ փոփոխականներով ֆունկցիաների մաքսիմումներն ու մինիմումները[85]: e թիվը հայտնի էր նույնիսկ Ջոն Նեփյերի և Յակոբ Բեռնուլիի ժամանակներից, սակայն Էյլերը այս հաստատունի այնպիսի խորը ուսումնասիրություն կատաեց, որ այդ ժամանակվանից այն կրում է Էյլերի անունը: Նրա կողմից ուսումնասիրված հաջորդ հաստատունը՝ Էյլեր-Մասկերոնի հաստատունն է: Ցուցչային ֆունկցիայի, լոգարիթմական և եռանկյունաչափական ֆունկցիաների ժամանակակից տեսքը ևս Էյլերի վաստակն է, ինչպես նաև կոմպլեքս դեպքի համար նրանց սիմվոլներն ու ընդհանրացումները[86]: Բանաձևերը, որոնք դասագրքերում հաճախ անվանված են «Ռիման-Կոշի պայմաններ», առավել ճշգրիտ կլիներ անվանել «Ժան Լը Ռոն Դ'Ալամբերի-Էյլերի» պայմաններ[87][88]:

Վարիացիոն հաշվարկի առաջին գիրքը

Ժոզեֆ Լուի Լագրանժի հետ նա կիսում է վարիացիոն հաշվարկի հայտնագործման պատիվը, դուրս բերելով Էյլեր-Լագրանժի հավասարումները ընդհանուր վարիացիոն խնդրի համար: 1744 թվականին Էյլերը հրատարակեց «Կոր գծերի որոնման մեթոդներ...» տրակտատը[89], որը վարիացիոն հաշվարկի առաջին աշխատանքն էր[90] (այլ բաներին զուգահեռ, այն պարունակում էր առաձգական կորերի տեսության և նյութերի դիմադրությունների առաջին համակարգված շարադրանքը[91]) Էյլերը էականորեն առաջ քաշեց շարքերի տեսությունը և այն տարածեց կոմպլեքս բաժնի վրա, ստանալով կոմպլեքս թվերի եռանկյունաչափական իմաստը արտահայտող հանրահայտ Էյլերի բանաձևը: Մաթեմատիկական աշխարհի վրա մեծ ազդեցություն թողեցին Էյլերի կողմից առաջին անգամ գումարված շարքերը, այդ թվում մինչ իրեն ոչ մեկի չտրվող հակադարձ քառակուսիների շարքերը՝

:

Շարքերի միջոցով Էյլերը ուսումնասիրեց հանրահաշվորեն անարտահայտելի ֆունկցիաների (տրանսցենդենտ ֆունկցիաներ), օրինակ ինտեգրալային լոգարիթմը[92]: Նա (1729—1730) թվականներին հայտնագործեց, այժմ բազաթիվ կիրառություններ ունեցող «Էյլերյան ինտեգրալները»՝ հատուկ ֆունկցիաները, որոնք գիտության մեջ են մտել որպես Էյլերի գամա-ֆունկցիա և բետա-ֆունկցիա[93]: Առաձգական թաղանթի տատանման խնդրի լուծման ժամանակ (Լիտավրի ձայնի բարձրության որոշման ժամանակ ծագած) 1764 թվականին Էյլերը առաջին անգամ ներմուծեց[94] Բեսելի ֆունկցիաների գաղափարը կամայական բնական ինդեքսի համար[95]: Ավելի ուշ հայտնված տեսակետից, Էյլերի գործողությունները անվերջ շարքերի հետ ոչ միշտ կարող են համարվել կորեկտ, բայց մաթեմատիկական ֆենոմենալ ինտուիցիան համարյա բոլոր դեպքերում նախանշում էր նրա համար ճշմարիտ արդյունք: Դրա հետ մեկտեղ համարյա բոլոր կարևոր հարաբերություններում Էյլերի հասկացողությունը որոշում էր ժամանակը՝ օրինակ, նրա կողմից առաջարկված ցրված շարքերի ընդհանրացված գումարը և գործողությունները նրանց, հետ հիմք հանդիսացան այդ շարքերի ժամանակակաից տեսության համար, որը զարգացավ XIX դարեվերջ - XX դարեսկզբին[96]:

Երկրաչափություն[խմբագրել | խմբագրել կոդը]

ABC եռանկյան մեջ H-ը օրթոկենտրոնն է, արտագծյալ շրջանագծի U կենտրոնը և S կենտրոնոիդը ընկած են միևնույն «Էյլերի ուղղի վրա»
Էյլերի թեորեմի ճշգրտումը: Էյլերի ուղիղը (կարմիրը) անցնում է եռանկյանը արտագծած շրջանագծի կենտրոնով, նրա օրթոկենտրոնով, ծանրության կենտրոնով և ինը կետերի շրջանագծով

Էյլերը տարրական երկրաչափության մեջ հայտնաբերեց մի քանի փաստեր, որոնք վրիպել էին էվկլիդեսի աչքից[97]՝

«Անվերջ փոքրերի անալիզի նախաբանի» երկրորդ հատորը (1748) անալիտիկ երկրաչափության և դիֆերենցիալ երկրաչափության աշխարհում առաջին դասագիրքն է: Էյլերը տվել է 3-րդ և 4-րդ կարգի հանրահաշվական կորերի, ինչպես նաև երկրորդ կարգի մակերևույթների դասակարգումը[99]: «Աֆինական ձևափոխություն» տերմինը այդ գրքում առաջին անգամ գործածվել է այդպիսի ձևափոխությունների տեսության հետ: 1732 թվականին Էյլերը ներդրեց մակերևույթների վրա գեոդեզիկ գծերի ընդհանուր հավասարումները[100]: 1760 թվականին լույս տեսան հիմնարար «մակերեսի թեքվածության հետազոտությունները»: Էյլերը հայտնաբերեց, որ հարթ մակերևույթի յուրաքանչյուր կետում գոյություն ունեն երկու ուղղահայց հատույթներ թեքվածության շառավղի մինիմումով և մաքսիմումով, ու այդ հարթությունները իրար փոխադարձ ուղղահայաց են: Նա է ներդրել նաև մակերևույթի թեքվածության հատման կապի բանաձևը գլխավոր կորերի հետ[101]: 1771 թվականին Էյլերը հրատարակեց «Մարմինների մասին, որոնց մակերեևույթը կարող ենք դարձնել հարթություն» շարադրանքը: Այս աշխատանքում ներդրված է բացվող մակերևույթների գաղափարը, այսինքն այն մակերևույթների, որոնք կարող են դրվել առանց ծալքերի ու պատռվածքների հարթության վրա: Էյլերը, սակայն, այստեղ լիովին տալիս է չափողական թենզորի ընդհանուր տեսությունը, որից կախված է մակերևույթի ամբողջ ներքին երկրաչափությունը: Ավելի ուշ չափայնության հետազոտությունները դարձան նրա համար մակերևույթների տեսության գլխավոր գործիքը[101]: Քարտեզագրության խնդիրների հետ կապված Էյլերը խորը ուսումնասիրեց կոնֆորմ արտապատկերումները, առաջին անգամ կիրառելով դրա համար կոմպլեքս անալիզի հիմունքները[102]:

Կոմբինատորիկա[խմբագրել | խմբագրել կոդը]

Գրականություն[խմբագրել | խմբագրել կոդը]

  • Новая теория движения Луны. — Л.: Изд. АН СССР, 1934.
  • Метод нахождения кривых линий, обладающих свойствами максимума, либо минимума или решение изопериметрической задачи, взятой в самом широком смысле. — М.; Л.: Гостехиздат, 1934. — 600 с.
  • Основы динамики точки. — М.-Л.: ОНТИ, 1938.
  • Дифференциальное исчисление. — М.-Л.: Геодезиздат, 1949.
  • Интегральное исчисление. В 3 томах. — М.: Гостехиздат, 1956—1958.
  • Вариационные принципы механики. Сб. статей: Ферма, Гамильтон, Эйлер, Гаусс и др / Полак Л. (ред.). — М.: Физматлит, 1959. — 932 с.
  • Избранные картографические статьи. — М.-Л.: Геодезиздат, 1959.
  • Введение в анализ бесконечных. В 2 томах. — М.: Физматгиз, 1961.
  • Исследования по баллистике. — М.: Физматгиз, 1961.
  • Переписка. Аннотированный указатель. — Л.: Наука, 1967. — 391 с.
  • Письма к немецкой принцессе о разных физических и философских материях. — СПб.: Наука, 2002. — 720 с. — ISBN 5-02-027900-5, 5-02-028521-8
  • Опыт новой теории музыки (фрагменты трактата) // Музыкальная академия, 1995, № 1, с.140-146.
  • Опыт новой теории музыки, ясно изложенной в соответствии с непреложными принципами гармонии. — СПб.: Рос. акад. наук, С.-Петерб. науч. центр, изд-во Нестор-История, 2007. — ISBN 978-598187-202-0
  • Руководство к арифметике для употребления гимназии Императорской Академии наук. — М.: Оникс, 2012. — 313 с. — ISBN 978-5-458-27255-1
  • Euler Leonhard (1736)։ Mechanica, sive Motus scientia analytice exposita. 1 (լատիներեն) 

Ծանոթագրություններ[խմբագրել | խմբագրել կոդը]

  1. 1,0 1,1 German National Library, Berlin State Library, Bavarian State Library et al. Record #118531379 // Gemeinsame Normdatei — 2012—2016.
  2. 2,0 2,1 2,2 data.bnf.fr: տվյալների բաց շտեմարան — 2011.
  3. 3,0 3,1 3,2 3,3 3,4 3,5 3,6 Մակտյուտոր մաթեմատիկայի պատմության արխիվ
  4. 4,0 4,1 4,2 4,3 4,4 Léonard (Leonhard) Euler — 1834.
  5. 5,0 5,1 5,2 5,3 5,4 SNAC — 2010.
  6. 6,0 6,1 6,2 6,3 6,4 Nationalencyklopedin — 1999.
  7. 7,0 7,1 7,2 7,3 7,4 Find A Grave — 1995. — ed. size: 165000000
  8. 8,0 8,1 8,2 8,3 8,4 8,5 Эйлер Леонард // Большая советская энциклопедия: [в 30 т.] / под ред. А. М. Прохоров — 3-е изд. — М.: Советская энциклопедия, 1978. — Т. 29 : Чаган — Экс-ле-Бен. — С. 574–575.
  9. 9,0 9,1 9,2 http://www.jstor.org/stable/2298449
  10. 10,0 10,1 10,2 data.bnf.fr: տվյալների բաց շտեմարան — 2011.
  11. 11,0 11,1 11,2 http://data.bnf.fr/ark:/12148/cb12157666x
  12. Encyclopædia BritannicaEncyclopædia Britannica, Inc., 1768. — Vol. 22. — ISBN 978-1-59339-292-5
  13. NNDB — 2002.
  14. Mathematics Genealogy Project — 1997.
  15. Berry A. A Short History of AstronomyJohn Murray, 1898.
  16. Mathematics Genealogy Project — 1997.
  17. Mathematics Genealogy Project — 1997.
  18. Euler's Disciples (Students)
  19. 19,0 19,1 19,2 19,3 19,4 19,5 Боголюбов А. Н.  Математики. Механики. Биографический справочник. — Киев: Наукова думка, 1983. — 639 с. — С. 543—544. Քաղվածելու սխալ՝ Սխալ <ref> թեգ. «Bogolyubov» անվանումը սահմանվել է մի քանի անգամ, սակայն տարբեր բովանդակությամբ:
  20. История механики в России, 1987, էջ 54
  21. 21,0 21,1 Рыбников К. А., 1974, էջ 197
  22. Храмов Ю. А.  Физики. Биографический справочник. 2-е изд. — М.: Наука, 1983. — 400 с. — С. 307—308.
  23. Котек В. В., 1961, էջ 95
  24. 24,0 24,1 Քաղվածելու սխալ՝ Սխալ <ref> պիտակ՝ դպրհանր անվանումով ref-երը տեքստ չեն պարունակում:
  25. Котек В. В., 1961, էջ 95.
  26. Глейзер Г. И.  История математики в школе. — М.: Просвещение, 1964. — С. 232.
  27. Пекарский П. П., т. 1, 1870, էջ 248—249
  28. 28,0 28,1 Фрейман Л. С., 1968, էջ 145—146
  29. 29,0 29,1 Пекарский П. П., т. 1, 1870, էջ 249
  30. Котек В. В., 1961, էջ 4
  31. 31,0 31,1 Котек В. В., 1961, էջ 5
  32. 32,0 32,1 Геккер И. Р., Эйлер А. А.  Семья и потомки Леонарда Эйлера // Развитие идей Леонарда Эйлера и современная наука. Сб. статей. — М.: Наука, 1988. — ISBN 5-02-000002-7 — С. 468—497.
  33. 33,0 33,1 Котек В. В., 1961, էջ 8—9
  34. Пекарский П. П., т. 1, 1870, էջ 251
  35. Яковлев А. Я.  Леонард Эйлер. — М.: Просвещение, 1983. — 82 с.
  36. Пекарский П. П., т. 1, 1870, էջ 70, 252, 312
  37. Котек В. В., 1961, էջ 6, 13
  38. Пекарский П. П., т. 1, 1870, էջ 252
  39. Nicolas Fuss.։ «Eulogy of Euler by Fuss» (անգլերեն)։ Արխիվացված օրիգինալից-ից 2011-08-23-ին։ Վերցված է 22 октября 2008 
  40. Пушкин А. С.  Анекдоты, XI // Собрание сочинений. — Т. 6.
  41. 41,0 41,1 41,2 Фрейман Л. С., 1968, էջ 151—152
  42. Քաղվածելու սխալ՝ Սխալ <ref> պիտակ՝ RI7 անվանումով ref-երը տեքստ չեն պարունակում:
  43. Пекарский П. П., т. 1, 1870, էջ 254
  44. «Портрет Эйлера, В. П. Соколов»։ Արխիվացված օրիգինալից-ից 2014-01-09-ին։ Վերցված է 2013-09-20 
  45. Котек В. В., 1961, էջ 10
  46. 46,0 46,1 46,2 Гиндикин С. Г., 2001, էջ 213
  47. 47,0 47,1 47,2 Грау К.  Леонард Эйлер и Берлинская академия наук // Развитие идей Леонарда Эйлера и современная наука. Сб. статей. — М.: Наука, 1988. — ISBN 5-02-000002-7 — С. 81—93.
  48. Пер. академика А. Н. Крылова (Крылов А. Н.  Леонард Эйлер. — Л.: Изд-во АН СССР, 1933. — С. 8. — 40 с.). Источник анекдота: Marquis de Condorcet.  Eulogy of Euler. History of the Royal Academy of Sciences (1783). — Paris, 1786. — P. 37—68.(ֆր.); см. оригинальный текст: ֆր.՝ Madame, répondit-il, parce que je viens d’un pays où, quand on parle, on est pendu
  49. 49,0 49,1 49,2 49,3 49,4 49,5 49,6 49,7 49,8 49,9 Юшкевич А. П.  Леонард Эйлер. Жизнь и творчество // Развитие идей Леонарда Эйлера и современная наука. Сб. статей. — М.: Наука, 1988. — ISBN 5-02-000002-7 — С. 15—47.
  50. Котек В. В., 1961, էջ 45
  51. Гиндикин С. Г., 2001, էջ 217
  52. Քաղվածելու սխալ՝ Սխալ <ref> պիտակ՝ FR168 անվանումով ref-երը տեքստ չեն պարունակում:
  53. 53,0 53,1 Саткевич А.А. Леонард Эйлер. В двухсотую годовщину дня его рождения // Русская старина. — 1907. — № 12. — С. 26–27.
  54. Гиндикин С. Г., 2001, էջ 218—219
  55. Отрадных Ф. П., 1954, էջ 13
  56. 56,0 56,1 Пекарский П. П., т. 1, 1870, էջ 292
  57. Фрейман Л. С., 1968, էջ 169—170
  58. Николаус Фусс.  Похвальная речь покойному Леонгарду Эйлеру // Развитие идей Леонарда Эйлера и современная наука. Сб. статей. — М.: Наука, 1988. — ISBN 5-02-000002-7 — С. 353—382.
  59. Белл Э. Т. Творцы математики, 1979, էջ 123
  60. Котек В. В., 1961, էջ 12
  61. Емельянова И. С.  Читайте, читайте Эйлера // Математика в высшем образовании. — Н. Новгород: ННГУ, 2008. — № 5. — С. 113—120.
  62. История математики, том III, 1972, էջ 41
  63. Фрейман Л. С., 1968, էջ 171
  64. Гиндикин С. Г., 2001, էջ 248—250
  65. 65,0 65,1 65,2 Белл Э. Т. Творцы математики, 1979, էջ 123
  66. Котек В. В., 1961, էջ 68
  67. История математики, том III, 1972, էջ 209
  68. Белл Э. Т. Творцы математики, 1979, էջ 125
  69. 69,0 69,1 69,2 69,3 Петров А. Н.  Памятные эйлеровские места в Ленинграде // Леонард Эйлер. Сб. статей в честь 250-летия со дня рождения, представленных Академии наук СССР. — М.: Изд-во АН СССР, 1958. — С. 603.
  70. Рыбников К. А., 1974, էջ 198
  71. Сандалинас, Хоакин Наварро. До предела чисел. Эйлер. Математический анализ // Наука. Величайшие теории. — М.: Де Агостини, 2015. — В. 20. — С. 104. — ISSN 2409-0069.
  72. Белл Э. Т. Творцы математики, 1979, էջ 117
  73. Чебышёв П. Л.  Полное собрание сочинений. — М.—Л., 1944. — Т. I. — С. 10.
  74. История математики, том III, 1972, էջ 101
  75. 75,0 75,1 75,2 Венков Б. А.  О работах Леонарда Эйлера по теории чисел // Леонард Эйлер 1707-1783. Сборник статей и материалов к 150-летию со дня смерти. — М.—Л.: Изд-во АН СССР, 1935. — С. 81—88.
  76. Caldwell, Chris.։ «The largest known prime by year»։ Արխիվացված օրիգինալից-ից 2013-08-19-ին։ Վերցված է 2013-08-17 (անգլ.)
  77. Башмакова И. Г.  Вклад Леонарда Эйлера в алгебру // Развитие идей Леонарда Эйлера и современная наука. Сб. статей. — М.: Наука, 1988. — ISBN 5-02-000002-7 — С. 139—153.
  78. Рыбников К. А., 1974, էջ 298—299
  79. Քաղվածելու սխալ՝ Սխալ <ref> պիտակ՝ OTR32 անվանումով ref-երը տեքստ չեն պարունակում:
  80. Рыбников К. А., 1974, էջ 300—303
  81. Фрейман Л. С., 1968, էջ 156—167, 171
  82. Отрадных Ф. П., 1954, էջ 17
  83. Отрадных Ф. П., 1954, էջ 10
  84. Рыбников К. А., 1974, էջ 230—231
  85. Отрадных Ф. П., 1954, էջ 22
  86. Рыбников К. А., 1960—1963, Том II, С. 26—27
  87. Лаврентьев М. А., Шабат Б. В.  Методы теории функций комплексного переменного. — М.: Наука, 1965. — 716 с. — С. 22.
  88. Рыбников К. А., 1974, էջ 231
  89. Эйлер Л., 1934
  90. Котек В. В., 1961, էջ 15
  91. Euler L. De motu vibratorio timpanorum // Novi Commentarii Acad. Sci. Imp. Petrop., 10, 1766. — P. 243—260.
  92. Фрейман Л. С., 1968, էջ 173
  93. Рыбников К. А., 1974, էջ 229
  94. Euler L. De motu vibratorio timpanorum // Novi Commentarii Acad. Sci. Imp. Petrop., 10, 1766. — P. 243—260.
  95. Ватсон Г. Н.  Теория бесселевых функций. Ч. II. — М.: Изд-во иностр. литературы, 1949. — 798 с. — С. 13—14.
  96. См., например: Харди Г. Г.  Расходящиеся ряды. 2-е изд / Пер. с англ. — URSS, 2006. — С. 504.
  97. Ефремов Дм.  Новая геометрия треугольника. — 1902.
  98. Матвеев С. В. Эйлерова характеристика // Матем. энциклопедия. Т. 5. — М.: Сов. энциклопедия, 1984. — 1248 стб. — Стб. 936—937.
  99. Отрадных Ф. П., 1954, էջ 18—19
  100. История математики, том III, 1972, էջ 188
  101. 101,0 101,1 История математики, том III, 1972, էջ 189—191
  102. История математики, том III, 1972, էջ 169—171

Արտաքին հղումներ[խմբագրել | խմբագրել կոդը]


Քաղվածելու սխալ՝ <ref> tags exist for a group named "C", but no corresponding <references group="C"/> tag was found, or a closing </ref> is missing