Գումարում

Վիքիպեդիայից՝ ազատ հանրագիտարանից
Addition01.svg

Դասագրքերում գումարումը հաճախ բացատրվում է խնձորների և 3 + 2 = 5[1]:հավասարության միջոցով։ Գումարումը (նշանակվում է «+» նշանով )թվաբանական գործողություն է։ և թվերի գումարման արդյունքում ստացված թիվը կոչվում է և թվերի (գումարելիների) գումար և նշանակվում է [2]: Սա թվաբանության չորս տարրական մաթեմատիկական գործողություններից մեկն է, հանման,բազմապատկման , բաժանման հետ։ Երկու բնական թվերի գումարումը այդ մեծությունների ընդհանուր գումարն է։ Օրինակ, երեք և երկու խնձորների համախումբը (նկարում) գումարման արդյունքում տալիս է 5: Այս դիտարկումը համարժեք է «3 + 2 = 5» հանրահաշվական արտահայտությանը, այսինքն՝ «3 պլյուս 2 հավասար է 5»:

Գրառումը և տերմինաբանություն[խմբագրել | խմբագրել կոդը]

Հատկություններ[խմբագրել | խմբագրել կոդը]

Գումարման իրագործումը[խմբագրել | խմբագրել կոդը]

Երեխաների կողմից գումարման յուրացումը[խմբագրել | խմբագրել կոդը]

Գումարման աղյուսակ[խմբագրել | խմբագրել կոդը]

Լավ հիշելու համար երեխաներին հաճախ ցուցադրում են գումարման աղյուսակը 1-ից մինչև 10 թվերի զույգերի համար։ Այս աղյուսակն իմանալով, կարելի է իրականացնել ցանկացած գումարում։

Գումարման աղյուսակ.

1+ 2+ 3+ 4+ 5+ 6+ 7+ 8+ 9+ 10+
1 + 0 = 1 2 + 0 = 2 3 + 0 = 3 4 + 0 = 4 5 + 0 = 5 6 + 0 = 6 7 + 0 = 7 8 + 0 = 8 9 + 0 = 9 10 + 0 = 10
1 + 1 = 2 2 + 1 = 3 3 + 1 = 4 4 + 1 = 5 5 + 1 = 6 6 + 1 = 7 7 + 1 = 8 8 + 1 = 9 9 + 1 = 10 10 + 1 = 11
1 + 2 = 3 2 + 2 = 4 3 + 2 = 5 4 + 2 = 6 5 + 2 = 7 6 + 2 = 8 7 + 2 = 9 8 + 2 = 10 9 + 2 = 11 10 + 2 = 12
1 + 3 = 4 2 + 3 = 5 3 + 3 = 6 4 + 3 = 7 5 + 3 = 8 6 + 3 = 9 7 + 3 = 10 8 + 3 = 11 9 + 3 = 12 10 + 3 = 13
1 + 4 = 5 2 + 4 = 6 3 + 4 = 7 4 + 4 = 8 5 + 4 = 9 6 + 4 = 10 7 + 4 = 11 8 + 4 = 12 9 + 4 = 13 10 + 4 = 14
1 + 5 = 6 2 + 5 = 7 3 + 5 = 8 4 + 5 = 9 5 + 5 = 10 6 + 5 = 11 7 + 5 = 12 8 + 5 = 13 9 + 5 = 14 10 + 5 = 15
1 + 6 = 7 2 + 6 = 8 3 + 6 = 9 4 + 6 = 10 5 + 6 = 11 6 + 6 = 12 7 + 6 = 13 8 + 6 = 14 9 + 6 = 15 10 + 6 = 16
1 + 7 = 8 2 + 7 = 9 3 + 7 = 10 4 + 7 = 11 5 + 7 = 12 6 + 7 = 13 7 + 7 = 14 8 + 7 = 15 9 + 7 = 16 10 + 7 = 17
1 + 8 = 9 2 + 8 = 10 3 + 8 = 11 4 + 8 = 12 5 + 8 = 13 6 + 8 = 14 7 + 8 = 15 8 + 8 = 16 9 + 8 = 17 10 + 8 = 18
1 + 9 = 10 2 + 9 = 11 3 + 9 = 12 4 + 9 = 13 5 + 9 = 14 6 + 9 = 15 7 + 9 = 16 8 + 9 = 17 9 + 9 = 18 10 + 9 = 19
1 + 10 = 11 2 + 10 = 12 3 + 10 = 13 4 + 10 = 14 5 + 10 = 15 6 + 10 = 16 7 + 10 = 17 8 + 10 = 18 9 + 10 = 19 10 + 10 = 20

Թվերի գումարումը[խմբագրել | խմբագրել կոդը]

Բնական թվեր[խմբագրել | խմբագրել կոդը]

Ամբողջ թվեր[խմբագրել | խմբագրել կոդը]

Ռացիոնալ թվեր[խմբագրել | խմբագրել կոդը]

Ռացիոնալ թվերի գումարը կարելի է հաշվել ամենափոքր ընդհանուր հայտարարի միջոցով, բայց ընդհանրապես ռացիոնալ թվերի գումարման սահմանումն ընդգրկում է միայն ամբողջ թվերի գումարումն ու բազմապատկումը.

  • Ենթադրենք

Օրինակ,

.

Միևնույն հայտարար ունեցող կոտորակների գումարումը համեմատաբար հեշտ է. այս դեպքում կարելի է ուղղակի գումարել համարիչները, հայտարարը թողնելով նույնը. , օրինակ [3].

Իրական թվեր[խմբագրել | խմբագրել կոդը]

Կոմպլեքս թվեր[խմբագրել | խմբագրել կոդը]

Կոմպլեքս թվերը միմյանց գումարվում են իրական և կեղծ մասերի գումարման միջոցով [4][5]: Սա նշանակում է, որ

Օգտագործելով կոմպլեքս թվերի ներկայացումը որպես կոմպլեքս հարթության կետեր, կարելի է կոմպլեքս թվերի գումարմանը տալ հետևյալ երկրաչափական ներկայացումը. կոմպլեքս հարթության վրա որպես կետեր ներկայացվող A и B կոմպլեքս թվերի գումար հանդիսանում է X կետը, որը ստացվել է O, A և Bերեք կետերում գագաթներ ունեցող զուգահեռագծի կառուցմամբ։ Կամ, կարելի է ասել, X-ն այնպիսի կետ է, որ OAB և XBA եռանկյունները համընկնում են։

Գումարման հետ կապված գործողություններ[խմբագրել | խմբագրել կոդը]

Ծանոթագրություններ[խմբագրել | խմբագրել կոդը]

Հղումներ[խմբագրել | խմբագրել կոդը]

Գրականություն[խմբագրել | խմբագրել կոդը]

  • Akian, Marianne; Bapat, Ravindra; Gaubert, Stephane. Минус-плюс методы в теории возмущений собственных значений и обобщённой теоремы Лидски-Вишика-Люстреника (англ.) = Min-plus methods in eigenvalue perturbation theory and generalised Lidskii-Vishik-Ljusternik theorem. — 2006. — math.SP/0402090
  • Rob Austein. Сборник рисков (англ.) = The Risks Digest : журнал. — Arpanet-BBoards archives, 1987. — В. 45. — Т. 4.
  • Baez, J.; Dolan, J. Бесконечная математика — 2001 год и далее. От конечных множеств до Фейнмановских диаграмм = Mathematics Unlimited — 2001 and Beyond. From Finite Sets to Feynman Diagrams. — Springer Berlin Heidelberg, 2000. — 1236 с. — ISBN 3-540-66913-2
  • Baroody, Arthur; Tiilikainen, Sirpa. Развитие арифметических понятий и навыков = The Development of Arithmetic Concepts and Skills. — Routledge, 2013. — 520 с. — ISBN 0-8058-3155-X
  • Begle, Edward. Математика в начальной школе = The Mathematics of the Elementary School. — McGraw-Hill, 1975. — 453 с. — ISBN 0-07-004325-6
  • Bergman, George. Приглашение к общей алгебре и универсальным конструкциям = An Invitation to General Algebra and Universal Constructions. — 2-е изд. — Springer, 2015. — 572 с. — ISBN 0-9655211-4-1* Joshua Bloch. Экстра, Экстра — Прочитать все про Это: Почти все бинарные поиски сломаны (англ.) = Extra, Extra - Read All About It: Nearly All Binary Searches and Mergesorts are Broken // Official Google Research Blog : журнал. — 2006.
  • Bogomolny, Alexander. Что такое сложение? (англ.) = What Is Addition?.
  • Bates Bothman. Общая школьная арифметика = The common school arithmetic. — Prentice-Hall, 1837. — 270 с.
  • Bunt, Lucas N. H.; Jones, Phillip S.; Bedient, Jack D. Исторические корни элементарной математики = The Historical roots of Elementary Mathematics. — Prentice-Hall, 2012. — 336 с. — ISBN 0-13-389015-5
  • Burrill, Claude. Основы действительных чисел = Foundations of Real Numbers. — McGraw-Hill, 1967. — 163 с.
  • Beckmann, S. Изучение математики в начальной школе в целых числах (англ.) = The twenty-third ICMI study: primary mathematics study on whole numbers : журнал. — International Journal of STEM Education, 2014.
  • Van de Walle, John. Математика в начальной и средней школе: развивающее обучение = Elementary and Middle School Mathematics: Teaching Developmentally. — 5-е изд. — Pearson Education, 2015. — 576 с. — ISBN 0-205-38689-X
  • Weaver, J. Fred. Сложение и вычитание: когнитивная точка зрения. Интерпретации числа операций и символических представлений сложения и вычитания = Addition and Subtraction: A Cognitive Perspective. Interpretations of Number Operations and Symbolic Representations of Addition and Subtraction. — Taylor & Francis, 2012. — С. 8. — ISBN 0-89859-171-6
  • Williams, Michael. История вычислительной техники = A History of Computing Technology. — Prentice-Hall, 1985. — ISBN 0-13-389917-9
  • Rebecca Wingard-Nelson. Десятичные и обыкновенные дроби: Это легко = Decimals and Fractions: It's Easy. — Enslow Publishers, 2014. — 64 с. — ISBN 0766042529
  • Wynn, Karen. Развитие математических навыков = The Development of Mathematical Skills. — Taylor & Francis, 1998. — 338 с. — ISBN 0-86377-816-X
  • Viro, Oleg; Cascuberta, Carles; Miró-Roig, Rosa Maria; Verdera, Joan; Xambó-Descamps, Sebastià, eds. Европейский конгресс математики: Барселона, Июль 10–14, 2000, Volume I = European Congress of Mathematics: Barcelona, July 10–14, 2000, Volume I. Dequantization of Real Algebraic Geometry on Logarithmic Paper. — Birkhäuser, 2012. — Т. 1. — 582 с. — ISBN 3-7643-6417-3
  • Henry, Valerie J.; Brown, Richard S. Изучение основных фактов первоклассниками = First-grade basic facts: An investigation into teaching and learning of an accelerated, high-demand memorization standard. — Heinemann, 2008.
  • Dummit, D.; Foote, R. Абстрактная алгебра = Abstract Algebra. — Wiley, 1999. — 912 с.
  • Davison, David M.; Landau, Marsha S.; McCracken, Leah; Thompson, Linda. Математика: Исследования и приложения = Mathematics: Explorations & Applications. — Prentice Hall. — ISBN 0-13-435817-1
  • Dale R. Patrick, Stephen W. Fardo, Vigyan Chandra. Основы Электронных Цифровых Систем = Electronic Digital System Fundamentals. — The Fairmont Press, 2008. — 340 с.
  • Department of the Army (1961) Army Technical Manual TM 11-684. Принципы и Применения Математики для Межприборных соединений = Principles and Applications of Mathematics for Communications-electronics. — Headquarters, Department of the Army, 1992. — С. раздел 5.1. — 268 с.
  • Devine, D.; Olson, J.; Olson, M. Элементарная математика для учителей = Elementary Mathematics for Teachers. — Wiley, 1991.
  • Jackson, Albert. Аналоговые вычисления = Analog Computation. — McGraw-Hill, 1960.
  • Johnson, Paul. От палок и камней: личные приключения в математике = From Sticks and Stones: Personal Adventures in Mathematics. — Science Research Associates, 1975. — 552 с. — ISBN 0-574-19115-1
  • Ifrah, Georges. Всеобщая история вычислительной техники: от абака до компьютера = The universal history of computing: from the abacus to the quantum computer. — John Wiley, 2001. — 410 с.
  • Joshi, Kapil D. Основы дискретной математики = Foundations of Discrete Mathematics. — New Age International, 1989. — 748 с. — ISBN 978-0-470-21152-6
  • Dunham, William. Математическая Вселенная = The Mathematical Universe. — Wiley & Sons, 1994. — 314 с. — ISBN 0-471-53656-3
  • Kaplan, Robert. Что такое ничего: Естественная историю нуля = The Nothing That Is: A Natural History of Zero. — Oxford University Press, 1999. — 240 с. — ISBN 0-19-512842-7
  • Florian Cajori. История математических знаков = A History of Mathematical Notations. — The Open Court Company, 1928. — 818 с.
  • Carpenter, Thomas; Fennema, Elizabeth; Franke, Megan Loef; Levi, Linda; Empson, Susan. Детская игровая математика = Children's Mathematics: Cognitively Guided Instruction. — Heinemann, 2014. — 218 с. — ISBN 0325052875
  • Karpinski, Louis. История арифметики = The history of arithmetic. — Russell & Russell, 1925. — 200 с.
  • Килпатрик Д. Сложение: помощь детям в изучении математики = Adding It Up: Helping Children Learn Mathematics. — National Academy Press, 2001. — 454 с. — ISBN 0-309-06995-5
  • Conway, John B. Функция одной комплексной переменной = Functions of One Complex Variable I. — Springer Science, 1986. — 322 с. — ISBN 0-387-90328-3
  • Lee, John. Введение в гладкие многообразия = Introduction to Smooth Manifolds. — Springer, 2013. — 631 с. — ISBN 0-387-95448-1
  • Li, Y., & Lappan, G. Математический курс обучения в школьном образовании = Mathematics Curriculum in School Education. — Springer, 2013. — 663 с. — ISBN 9400775601
  • Linderholm, Carl. Математика затрудняет = Mathematics Made Difficult. — World Pub, 1972. — 207 с. — ISBN 0-7234-0415-1
  • Lipschutz, S., & Lipson, M. Схема Шаумся теории и проблем линейной алгебры = Schaum's Outline of Theory and Problems of Linear Algebra. — Erlangga, 2001. — 424 с. — ISBN 9797815714
  • Litvinov, Grigory; Maslov, Victor; Sobolevskii, Andreii. Иденпотентная математика и интервальный анализ = Idempotent mathematics and interval analysis. — American Mathematical Soc, 2005. — 370 с. — ISBN 0821835386
  • Jean-Louis Loday. Аритметр (англ.) = Arithmetree // Journal of Algebra : журнал. — 2002. — № 258. — doi:10.1016/S0021-8693(02)00510-0 — math/0112034
  • Mazur, Joseph. Поучительные символы: Краткая История Математических Обозначений и их Скрытых Сил = Enlightening Symbols: A Short History of Mathematical Notation and Its Hidden Powers. — Princeton University Press, 2014. — 321 с. — ISBN 1400850118
  • Williams, Michael. История вычислительной техники = A History of Computing Technology. — 2. — IEEE Computer Society Press, 1997. — 426 с. — ISBN 0-13-389917-9
  • Marguin, Jean. История устройства вычислительных машин = Histoire des Instruments et Machines à Calculer, Trois Siècles de Mécanique Pensante 1642-1942. — Hermann., 1994. — 206 с. — ISBN 978-2-7056-6166-3
  • Mikhalkin, Grigory; Sanz-Solé, Marta, ed. Тропическая геометрия и ее приложения = Tropical Geometry and its Applications. — 2-е изд. — Мадрин, Испания: Springer Science & Business Media, 2009. — 104 с. — ISBN 978-3-03719-022-7
  • Martin, John. Введение в языки и теорию вычислений = Introduction to Languages and the Theory of Computation. — 3. — McGraw-Hill, 2011. — 436 с. — ISBN 0-07-232200-4
  • Mosley, F. Использование цифровых линий с 5-8 летними детьми = Using Number Lines with 5-8 Year Olds. — Nelson Thornes, 2001. — 8 с. — ISBN 1874099952
  • Оксфордский словарь английского языка = Oxford English Dictionary. — Oxford University Press, 2005.
  • Порядок выполнения операций (англ.) = Order of Operations Lessons // Algebrahelp : журнал. — 2012.
  • Прохоров Ю.В. Математический энциклопедический словарь. — Советская энциклопедия, 1988. — 847 с.
  • James Randerson. У слонов достаточно ума, чтобы рисовать фигуры (англ.) = Elephants have a head for figures : журнал. — Theguardian, 2008.
  • Riley, K.F.; Hobson, M.P.; Bence, S.J. Математические методы в физике и инженерии: полное руководство = Mathematical Methods for Physics and Engineering: A Comprehensive Guide. — Cambridge University Press, 2006. — 437 с. — ISBN 978-0-521-86153-3
  • Rudin, Walter. Основы математического анализа = Principles of Mathematical Analysis. — 3. — McGraw-Hill, 1976. — 342 с. — ISBN 0-07-054235-X
  • Yeo, Sang-Soo, et al., eds. Алгоритмы и архитектуры для параллельной обработки = Algorithms and Architectures for Parallel Processing. — Springer, 2010. — 574 с. — ISBN 3642131182
  • «Словарь русского языка в 4-х томах» (ռուսերեն)։ Արխիվացված օրիգինալից-ից 2012-04-27-ին  Կաղապար:Проверено
  • Smith, Karl. Природа современной математики = The Nature of Modern Mathematics. — 3-е изд. — Brooks/Cole Pub. Co., 1980. — 620 с. — ISBN 0-8185-0352-1
  • Smith, Frank. Стеклянная стена: почему математика может показаться трудной = The Glass Wall: Why Mathematics Can Seem Difficult. — Teachers College Press, 2002. — 163 с. — ISBN 0-8077-4242-2
  • Sparks, F.; Rees C. Исследование основной математики = A Survey of Basic Mathematics. — 4. — McGraw-Hill, 1979. — 543 с. — ISBN 0-07-059902-5
  • Stewart, James. Исчисление: раннее трансцендирование = Calculus: Early Transcendentals. — 4. — Brooks/Cole, 2010. — 1344 с. — ISBN 0-534-36298-2
  • Taton, René. Расчётная механика. Что я знаю? = Le Calcul Mécanique. Que Sais-Je ? n° 367. — Presses universitaires de France, 1963.
  • Truitt, T.; Rogers, A. Основы аналоговых компьютеров = Basics of Analog Computers. — John F. Rider, 1960. — 378 с.
  • Ferreirós, José. Лабиринты мысли: История теории множеств и ее роль в современной математике = Labyrinth of Thought: A History of Set Theory and Its Role in Modern Mathematics. — Birkhäuser, 2013. — 440 с. — ISBN 0-8176-5749-5
  • R. Fierro. Математика для учителей начальной школы = Mathematics for Elementary School Teachers. — Cengage Learning, 2012. — 976 с. — ISBN 0538493631
  • Flynn, M.; Oberman, S. Передовые компьютерные арифметические конструкции = Advanced Computer Arithmetic Design. — Wiley, 2001. — 325 с. — ISBN 0-471-41209-0
  • Fosnot, Catherine T.; Dolk, Maarten. Молодые математики за работой: Конструирование чувства числа, сложения и вычитания = Young Mathematicians at Work: Constructing Number Sense, Addition, and Subtraction. — Heinemann, 2001. — 193 с. — ISBN 0-325-00353-X
  • Hempel, C. G. Философия Карла Г. Хемптела: исследования в области науки, объяснения и рациональность. = The philosophy of Carl G. Hempel: studies in science, explanation, and rationality. — Oxford University Press, 2000. — 464 с. — ISBN 0195343875
  • Horowitz, P.; Hill, W. Искусство схемотехники = The Art of Electronics. — 2. — Бином, 2009. — 704 с. — ISBN 0-521-37095-7
  • Schwartzman, Steven. Математические слова: Краткий Этимологический словарь математических терминов, используемых в английском языке = The Words of Mathematics: An Etymological Dictionary of Mathematical Terms Used in English. — MAA, 1994. — 261 с. — ISBN 0-88385-511-9
  • Schmidt, W., Houang, R., & Cogan, L. Последовательность обучения (англ.) = A coherent curriculum : журнал. — American educator, 2002.
  • Schyrlet Cameron, Carolyn Craig. Сложение и вычитание дробей в возрасте 5 — 8 лет = Adding and Subtracting Fractions, Grades 5 - 8. — Carson-Dellosa, 2013. — 64 с. — ISBN 162223006X
  • Schubert, E. Thomas; Phillip J. Windley; James Alves-Foss. Доказательство теорем логики более высоких порядков и их применение: труды 8-го международного фестиваля = Higher Order Logic Theorem Proving and Its Applications: Proceedings of the 8th International Workshop. — Springer, 1995. — 400 с.
  • Enderton, Herbert. Элементы теории множеств = Elements of Set Theory. — Gulf Professional Publishing, 1977. — 279 с. — ISBN 0-12-238440-7

Ծանոթագրություններ[խմբագրել | խմբագրել կոդը]

  1. Эндертон, 1977, էջ` 138: «…ընտրեք երկու խումբ` K և L , K = 2 հզորությամբ և L = 3 հզորությամբ: Մատների խումբը հարմար է, դասագրքերում նախընտրում են օգտագործել խնձորների խումբ»
  2. Математический энциклопедический словарь, 1988, էջ 546
  3. Ширлет, 2013, էջ 43
  4. Конвей, 1986, էջ 107
  5. Джоши, 1989, էջ 402