Աբելյան խումբ

Վիքիպեդիայից՝ ազատ հանրագիտարանից
Jump to navigation Jump to search

Աբելյան (կամ տեղափոխական) խումբըխումբ է, որում խմբային գործողությունը հանդիսանում է տեղափոխական, երբեմն ասում են,աբելյան խումբ , եթե ցանկացած երկու տարրերի համար ։ Սովորաբար աբելյան խմբի խմբային գործողությունների նշանակման համար օգտագործվում է հավելում (լատ.՝ additivus) գրառում,այսինքն՝ խմբային գործողությունները նշանակվում է նշանով և անվանվում է գումարում[1]։

Անվանումը տրված է նորվեգական մաթեմատիկոս Հ. Աբելի պատվին խմբի տեղադրման հետազոտությունում իր ներդրման համար։

Օրինակներ[խմբագրել | խմբագրել կոդը]

  • Զուգահեռ խմբի տեղափոխումը գծային տարածությունում։
  • Աբելյան ցանկացած ցիկլային խումբ ։ Իրոք ճիշտ է ցանկացած и , որ
    ։
    • Մասնավորապես, ամբողջ թվի բազմությունը գումարման տեղափոխական խումբ է, դա ճիշտ է և հանման դասի համար։
  • Ցանկացած օղակ հանդիսանում է իր գումարման տեղափոխական (աբելյան) խումբ, օրինակ կարող է ծառայել իրական թվերի դաշտը թվերի գումարման գործողություններով։
  • Տեղափոխական օղակի հակադարձելի տարրերը (մասնավորապես, ոչզրոյական տարրերը ցանկացած դաշտի) կազմում է բազմապատկման աբելյան խումբ։ Օրինակ, աբելյան խումբ է ներկայացնում ոչզրոյական իրական թվերի բազմությունը բազմապատկման գործողություններով։

Կապակցված սահմանումներ[խմբագրել | խմբագրել կոդը]

Հատկություններ[խմբագրել | խմբագրել կոդը]

  • Իհարկե, իզոմորֆ աբելյան խմբերի ծնունդը ուղղակի ցիկլային խմբի գումար է։
    • իզոմորֆ աբելյան վերջավոր խմբերը ուղղակի ցիկլային վերջավոր խմբերի գումար է։
  • Ցանկացած աբելյան խմբեր ունեն սովորական կազմություն ամբողջ թվերի մոդուլը օղակի նկատմամբ։ Իրոք, դիցուք ը բնական թիվ է, իսկ ը տեղափոխական խմբի տարր գործողությամբ, նշանակված +, այդ ժամանակ կարելի է որոշել ինչպես ( անգամ) և ։
  • Հոմոմորֆիզմ բազմություն բոլոր խմբային հոմոմորֆիզմներից՝ -ից , նույնպես հանդիսանում է աբելյան խումբ։ Իրոք, դիցուք երկու հոմոմորֆիզմ խումբ է աբելյան խմբերի միջև, այդ ժամանակ դրանց գումարը , տրված ինչպես , նույնպես հանդիսանում է հոմոմորֆիզմ (դա ճիշտ է,եթե չի հանդիսանում տեղափոխական խումբ)։
  • Աբելյան հասկացությունը սերտ կապված է կենտրոն հասկացության հետ, խումբը բազմություն է, կազմված նրա այն տարրերից,որոնք տեղափոխում են խմբի յուրաքանչյուր տարրի հետ և գլխավոր դեր յուրօրինակ «աբելյան չափումներում։»Աբելյան խումբ է, այն ժամանակ և միայն այն ժամանակ, երբ նրա կենտրոնը համընկնում է ամբողջ խմբի կենտրոնի հետ։

Վերջավոր աբելյան խմբեր[խմբագրել | խմբագրել կոդը]

Վերջավոր աբելյան խմբի հիմնական թեորեմը ապացուցում է,որ ցանկացած վերջավոր աբելյան խումբը հնարավոր է ր ցիկլային ենթախմբի գումարը բաշխվում է ուղղի վրա, որի հաջորդականությունը հանդիսանում է պարզ թվերի աստիճաններ։ Վերջավոր աբելյան խմբի կազմության մասին թեորեմայի այդ հետևանքը ընդհանուր է դեպքի համար, երբ խումբը չունի անվերջ տարերի հաջորդականություն։ իզոմորֆ է ուղղակի գումարին և այն ժամանակ և միայն այն ժամանակ, երբ և փոխադարձ պարզ են։ Հետևաբար, աբելյան խումբը կարելի է գրառել ուղղակի գումարի տեսքի

երկու տարբեր եղանակներով։

  • Որտեղ թիվ պարզ աստիճանի է։

Վարիացիաներ և ընդհանրացումներ[խմբագրել | խմբագրել կոդը]

  • Դիֆերենցիալ խումբը կոչվում է աբելյան խումբ , որում տրված է այսպիսի էնդոմորֆիզմ , որ : Այդ էնդոմորֆիզմը անվանում են դիֆերենցիալ։ Դիֆերենցիալ խմբի տարերին անվանում են շղթաներ, միջուկի տարրերը՝ ցիկլ, պատկերի տարրերը՝ սահմանային։

Տես նաև[խմբագրել | խմբագրել կոդը]

Գրականություն[խմբագրել | խմբագրել կոդը]

  • Винберг Э. Б.  Курс алгебры. — 3-е изд. — М.: Факториал Пресс, 2002. — 544 с. — 3000 экз. — ISBN 5-88688-060-7։

Ծանոթագրություններ[խմբագրել | խմբագրել կոդը]

  1. Ю. Л. Ершов Абелева группа (ռուս.) Математическая энциклопедия. — М. — Т. 1.