Ուղղահայացություն

Վիքիպեդիայից՝ ազատ հանրագիտարանից
Jump to navigation Jump to search

Ուղղահայացություն, երկչափ առնչություն տարբեր օբյեկտների (վեկտորների, ուղիղների, ենթատարածությունների և այլն) միջև:

Ուղղահայացությունը նշանակելու համար գոյություն ունի համընդհանուր նշան՝ , որը 1634 թվականին առաջարկել է ֆրանսիացի մաթեմատիկոս Պիեռ Էրիգոնը: Օրինակ, և ուղիղների ուղղահայացությունը նշանակվում է այսպես՝ :

Հարթության վրա[խմբագրել | խմբագրել կոդը]

Ուղղահայաց ուղիղները հարթության վրա[խմբագրել | խմբագրել կոդը]

Երկու ուղիղներ հարթության վրա կոչվում են ուղղահայաց, եթե հատվելիս առաջացնում են 4 ուղիղ անկյուններ:

ուղղից դուրս գտնվող կետից ուղղին ուղղահայաց տարված ուղիղն անվանում են նաև կետից ուղղին իջեցված ուղղահայաց: Իսկ եթե կետը գտնվում է ուղղի վրա, ապա ասում են, որ ուղիղը կետում ուղղին կանգնեցված ուղղահայացն է[1]:

Կոորդինատներով[խմբագրել | խմբագրել կոդը]

Անալիտիկ տեսանկյունից արտահայտած՝

և

գծային ֆունկցիաներով տրված ուղիղները կլինեն ուղղահայաց, եթե նրանց անկյունային գործակիցները բավարարեն հետևյալ պայմանը.

Ուղղահայացի կառուցումը[խմբագրել | խմբագրել կոդը]

Ուղղահայացի կառուցում

Քայլ 1: Կարկինի միջոցով կառուցենք P կենտրոնով կիսաշրջանագիծ՝ ստանալով А և В կետերը:

Քայլ 2: Չփոփոխելով շառավիղը՝ կառուցենք P կետով անցնող երկու կիսաշրջանագծեր՝ համապատասխանաբար A և В կենտրոններով: Բացի P կետից այդ շրջանագծերը հատվում են ևս մեկ կետում, որը նշանակենք Q:

Քայլ 3: Միացնենք P և Q կետերը: PQ կլինի AB ուղղին տարված ուղղահայաց:

Ուղղին տարված ուղղահայացի հիմքի կոորդինատներ[խմբագրել | խմբագրել կոդը]

Դիցուք ուղիղը տրված է և կետերով: կետից ուղղին տարվում է ուղղահայաց: Այդ դեպքում ուղղահայացի հիմքը կարելի է գտնել հետևյալ կերպ․ Եթե (ուղղաձիգ), ապա և , Եթե (հորիզոնական), ապա և :

Մնացած բոլոր դեպքերում՝

,
:

Եռաչափ տարածության մեջ[խմբագրել | խմբագրել կոդը]

Ուղղահայաց ուղիղներ[խմբագրել | խմբագրել կոդը]

Երկու ուղիղներ տարածության մեջ ուղղահայաց են միմյանց, եթե նրանք համապատասխանաբար զուգահեռ են երկու այլ՝ միևնույն հարթության մեջ գտնվող փոխուղղահայաց ուղիղների: Միևնույն հարթության մեջ գտնվող երկու ուղիղներ կոչվում են ուղղահայաց (կամ փոխուղղահայաց), եթե կազմում են չորս ուղիղ անկյուններ:

Ուղղի և հարթության ուղղահայացություն[խմբագրել | խմբագրել կոդը]

Սահմանում. Ուղիղը կոչվում է հարթությանն ուղղահայաց, եթե այն ուղղահայաց է այդ հարթության մեջ գտնվող բոլոր ուղիղներին (ցանկացած ուղղի):

Հայտանիշ. Եթե ուղիղն ուղղահայաց է հարթության երկու հատվող ուղիղների, ապա այն ուղղահայաց է այդ հարթությանը:

Հարթությունը, որն ուղղահայաց է երկու զուգահեռ ուղիղներից մեկին, ուղղահայաց է նաև մյուսին: Տարածության կամայական կետով անցնում է տրված հարթությանն ուղղահայաց ուղիղ, ընդ որում՝ միայն մեկը:

Ուղղահայաց հարթություններ[խմբագրել | խմբագրել կոդը]

Երկու հարթություններ կոչվում են ուղղահայաց, եթե նրանց կազմած երկնիստ անկյունը հավասար է 90°:

  • Եթե հարթությունն անցնում է մյուս հարթությանն ուղղահայաց ուղղով, ապա այդ հարթություններն ուղղահայաց են:
  • Եթե ուղղահայաց հարթություններից մեկին պատկանող կետից ուղղահայաց տարվի մյուս հարթությանը, ապա այդ ուղղահայացն ամբողջությամբ ընկած կլինի առաջին հարթության մեջ:
  • Եթե երկու ուղղահայաց հարթություններից մեկում ուղղահայաց տարվի նրանց հատման գծին, ապա այդ ուղղահայացն ուղղահայաց կլինի երկրորդ հարթությանը:
  • Հարթությունը, որն ուղղահայաց է երկու հատվող հարթություններին, ուղղահայաց է նրանց հատման գծին[2]:

Բազմաչափ տարածություններում[խմբագրել | խմբագրել կոդը]

Հարթությունների ուղղահայացությունը քառաչափ տարածությունում[խմբագրել | խմբագրել կոդը]

Հարթությունների ուղղահայացությունը քառաչափ տարածությունում երկու իմաստ ունի. հարթությունները կարող են ուղղահայաց լինել եռաչափ իմաստով, եթե նրանք հատվում են ուղղով (այսինքն՝ գտնվում են միևնույն հիպերտարածության մեջ), և նրանց կազմած երկնիստ անկյունը հավասար է 90°:

Հարթությունները կարող են ուղղահայաց լինել նաև քառաչափ իմաստով, եթե նրանք հատվում են մի կետում (այսինքն՝ չեն գտնվում միևնույն հիպերտարածության մեջ), և ցանկացած 2 ուղիղներ, որոնք տարված են այդ հարթություններում նրանց հատման կետով (յուրաքանչյուրն իր հարթությունում), ուղղահայաց են:

Քառաչափ տարածության մեջ տրված կետով կարելի է տանել քառաչափ իմաստով փոխուղղահայաց ճիշտ 2 հարթություններ (այդ պատճառով քառաչափ էվկլիդեսյան տարածությունը կարելի է ներկայացնել որպես երկու հարթությունների դեկարտյան արտադրյալ): Իսկ եթե միավորենք ուղղահայացության երկու տեսակներն էլ, ապա տրված կետով կարելի է տանել 6 փոխուղղահայաց հարթություններ (որոնք ուղղահայաց կլինեն վերոնշյալ երկու դեպքերից յուրաքանչյուրում):

Վեց փոխուղղահայաց հարթությունների գոյությունը կարելի է պարզաբանել հետևյալ օրինակով: Դիցուք տրված է x y z t դեկարտյան կոորդինատների համակարգ: Կոորդինատային ուղիղների յուրաքանչյուր զույգի համար գոյություն ունի այդ երկու ուղիղներն ընդգրկող հարթություն: Այդպիսի զույգերի քանակը հավասար է : xy, xz, xt, yz, yt, zt, և նրանց համապատասխանում են 6 հարթություններ: Այդ հարթություններից նրանք, որոնք ներառում են նույնանուն առանցք, ուղղահայաց են եռաչափ իմաստով և հատվում են ուղղով (օրինակ, xy և xz, yz և zt), իսկ նրանք, որոնք նույնանուն առանցք չեն ներառում, ուղահայաց են քառաչափ իմաստով և հատվում են կետով (օրինակ, xy և zt, yz և xt):

Հիպերտարածության և ուղղի ուղղահայացություն[խմբագրել | խմբագրել կոդը]

Դիցուք տրված է n-աչափ (n>2) էվկլիդեսյան տարածություն և նրա հետ զուգակցված վեկտորական տարածություն, իսկ l ուղիղը ուղղորդված վեկտորական տարածության հետ և հիպերտարածությունը ուղղորդված վեկտորական տարածության հետ (որտեղ , ) պատկանում են տարածությանը:

l ուղիղը կոչվում է հիպերտարածությանն ուղղահայաց, եթե ենթատարածությունը օրթոգոնալ է ենթատարածությանը, այսինքն՝ :

Տարբերակներ և ընդհանրացումներ[խմբագրել | խմբագրել կոդը]

  • Ինվերսիայի տեսությունում ներմուծվում են շրջանագիծ կամ ուղիղ՝ ուղղահայաց շրջանագծին:
  • Շրջանագծերի և ինվերսիայի տեսությունում երկու շրջանագծեր, որոնք հատվում են ուղիղ անկյան տակ, կոչվում են օրթոգոնալ (ուղղահայաց): Շրջանագծերը կարելի է համարել օրթոգոնալ, եթե նրանք միմյանց հետ կազմում են ուղիղ ակյուն: Սովորաբար կորերի կազմած անկյունը նրանց՝ հատման կետում տարված շոշափողների կազմած անկյունն է:
  • Ինվերսիայի տեսությունում ուղիղն ուղղահայաց է շրջանագծին, եթե անցնում է վերջինիս կենտրոնով:

Տես նաև[խմբագրել | խմբագրել կոդը]

Ծանոթագրություններ[խմբագրել | խմբագրել կոդը]

  1. А. П. Киселёв Элементарная геометрия / под редакцией Н. А. Глаголева. — 1938.
  2. Александров А.Д., Вернер А. Л., Рыжик В.И. Стереометрия. Геометрия в пространстве. — Висагинас: Alfa, 1998. — С. 46. — 576 с. — (Библиотека школьника). — ISBN 9986582539