Լոբաչևսկու երկրաչափություն

Ռիմանի երկրաչափություն
Էվկլիդյան երկրաչափություն
Լոբաչևսկու երկրաչափություն

Լոբաչևսկու երկրաչափություն կամ հիպերբոլային երկրաչափություն, ոչ Էվկլիդեսյան երկրաչափություններից մեկը, երկրաչափական տեսություն, որը հիմնված է այն նույն հիմական աքսիոմների վրա, ինչ որ սովորական էվկլիդեսյան երկրաչափությունը, բացառությամբ զուգահեռ ուղիղների աքսիոմի, որը փոխարինվում է իր ժխտմամբ։

Զուգահեռների մասին էվկլիդեսյան աքսիոմը (ավելի ճիշտ, դրան համարժեք պնդումներից մեկը՝ այլ աքսիոմների առկայության դեպքում) կարելի է ձևակերպել հետևյալ կերպ.

Հարթության վրա ուղղին չպատկանող կետով կարելի է տանել տրված ուղղին զուգահեռ միայն մեկ ուղիղ։

Լոբաչևսկու երկրաչափության մեջ դրա փոխարեն ընդունված է հետևյալ աքսիոմը.

Տրված գծի վրա չգտնվող կետով անցնում է առնվազն երկու ուղիղ, որոնք ընկած են տվյալ ուղիղի հետ նույն հարթության վրա և չեն հատում այն։

Նիկոլայ Լոբաչևսկու աքսիոմը հանդիսանում է Էվկլիդեսի աքսիոմի բացարձակ ժխտումը (մյուս բոլոր աքսիոմների գործածության ժամանակ), քանի որ այն դեպքում, երբ տրված ուղղի վրա չգտնվող կետով չի անցնում նույն հարթության մեջ ոչ մի այդ ուղղին չհատող ուղիղ, բացառվում է մնացած աքսիոմների (բացարձակ երկրաչափության աքսիոմներ) ուժով։ Ինչպես օրինակ, ոլորտային երկրաչափությունը և Ռիմանի երկրաչափությունը, որտեղ ցանկացած երկու ուղիղներ հատվում են, և հետևաբար, ո՛չ Էվկլիդեսի զուգահեռների աքսիոմը, ո՛չ Լոբաչևսկու աքսիոմը տեղի չունեն, համատեղելի չեն բացարձակ երկրաչափության հետ։

Լոբաչևսկու երկրաչափությունը նկարագրում է Լոբաչևսկու տարածությունը։

Լոբաչևսկու երկրաչափությունն ունի լայն կիրառություն ինչպես մաթեմատիկայում, այնպես էլ ֆիզիկայում։ Նրա փիլիսոփայական և պատմական նշանակությունը կայանում է նրանում, որ իր կառուցմամբ Լոբաչևսկին ցույց տվեց երկրաչափության հնարավորությունները՝ էվկլիդեսյանից տարբերվող, որը նշանավորեց նոր դարաշրջան երկրաչափության, մաթեմատիկայի և ընդհանրապես՝ գիտության զարգացման մեջ։

Պատմություն

Հինգերորդ պոստուլատի ապացուցման փորձեր

Լոբաչևսկու երկրաչափության ելակետը Էվկլիդեսի V պոստուլատն էր, աքսիոմ՝ համարժեք զուգահեռ ուղիղների աքսիոմին։ Այն մտել է Էվկլիդեսի «Սկզբունքներ»-ի պոստուլատների ցուցակի մեջ։ Նրա ձևակերպման հարաբերական բարդությունն ու ոչ ինտուիտիվությունն առաջացրել են դրա երկրորդական լինելու տպավորություն, և այն որպես թեորեմ Էվկլիդեսի մնացած պոստուլատներից դուրս բերելու փորձեր։

Հինգերորդ պոստուլատն ապացուցել փորձող շատերի թվում են, մասնավորապես, հետևյալ խոշորագույն գիտնականները․

• Հին հունական մաթեմատիկոսներ Պտղոմեոսը (2-րդ դար) և Պրոկլը (5-րդ դար) (հիմնվելով այն ենթադրության վրա, որ երկու զուգահեռների միջև հեռավորությունը վերջավոր է)
• Իբն ալ Հայսամը Իրանից (10-րդ դարի վերջ - 11-րդ դարի սկիզբ) (հիմնվելով այն ենթադրության վրա, որ գծին ուղղահայաց շարժվողի վերջը նկարագրում է ուղիղ գիծ)
• Իրանցի մաթեմատիկոսներ Օմար Խայամը (11-րդ դար 2-րդ կեսից - 12-րդ դարի սկիզբ) և Նասր ալ-Դին Թուսին (13-րդ դար) (հիմնվելով այն ենթադրության վրա, որ երկու համընկնող գծերը չեն կարող շարունակել տարամետ լինել առանց հատվելու)
• Էվկլիդեսի զուգահեռության աքսիոմի ապացուցման մեզ հայտնի առաջին փորձը առաջարկել է Պրովանսի (Ֆրանսիա) բնակիչ Գերսոնիդեսը (նույն ինքը` Լեվի Բեն Գերշոմը, 14-րդ դար)։ Նրա ապացույցը հիմնվել է ուղղանկյան գոյության պնդման վրա։
• Գերմանացի մաթեմատիկոս Քրիստաֆոր Կլավիուսը (1574)
• Իտալացի մաթեմատիկոսներ
  • Պիետրո Անտոնիա Կատալդին (1603 թվականին առաջին անգամ տպագրել է ամբողջությամբ զուգահեռների հարցին նվիրված աշխատանք)
  • Ջովաննի Ալֆոնսո Բորելլին (1658)։
• Անգլիացի մաթեմատիկոս Վալլիսը (1663, տպագրվել է 1693) (հիմնվել է այն ենթադրության վրա, որ յուրաքանչյուր պատկերի համար գոյություն ունի նրան նման, բայց ոչ հավասար պատկեր)
• Ֆրանսիացի մաթեմատիկոս Լեժանդրը (1800) (հիմնվելով այն ենթադրության վրա, որ սուր անկյան ներքին տիրույթի յուրաքանչյուր կետով կարելի է տանել ուղիղ, որը կհատի անկյան երկու կողմերը։ Նա նաև ապացուցելու այլ փորձեր է արել)։

Հինգերորդ պոստուլատը ապացուցելու փորձերի ժամանակ մաթեմատիկոսները (բացահայտորեն կամ անուղղակիորեն) ներկայացրել են որոշակիորեն նոր հայտարարություն, որն ավելի ակնհայտ էր թվում նրանց։ Փորձեր են արվել օգտագործել հակասող ապացույցները․

• իտալացի մաթեմատիկոս Սաչերին (1733) (ձևակերպելով պոստուլատին հակասող պնդում, նա արել է մի շարք հետևանքներ և, սխալմամբ, դրանցից մի քանիսը հակասող ճանաչելով, պոստուլատը համարել է ապացուցված)
• գերմանացի մաթեմատիկոս Լամբերտը (մոտ 1766, հրատարակվել է 1786 թվականին) (հետազոտություններ կատարելուց հետո խոստովանել է, որ չի կարողացել հակասություններ հայտնաբերել իր կառուցած համակարգում)։

Ի վերջո, սկսել է ձևավորվել հասկացություն, որ հնարավոր է կառուցել տեսություն՝ հիմնված հակառակ պոստուլատի վրա։ Մասնավորապես`

• գերմանացի մաթեմատիկոսներ Կառլ Ֆերդինանդ Շվեյկարտը (1818) և Ֆրանց Ադոլֆ Տավրինուսը (1825)
• գերմանացի մաթեմատիկոս Կարլ Ֆրիդրիխ Գաուսը։

Ոչ էվկլիդեսյան երկրաչափության ստեղծում

Լոբաչևսկին իր «Երկրաչափության սկզբունքների մասին» աշխատությունում (1829, ոչ էվկլիդեսյան երկրաչափության մասին իր առաջին հրապարակած աշխատությունը) հստակ նշել է, որ հինգերորդ պոստուլատը հնարավոր չէ ապացուցել էվկլիդեսյան երկրաչափության այլ նախադրույթների հիման վրա, և որ Էվկլիդեսի պոստուլատին հակառակ պոստուլատը հնարավորություն է տալիս երկրաչափություն կառուցել նույնքան իմաստալից և հակասություններից զերծ, որքան էվկլիդյանը։

Ավելի ուշ և ինքնուրույն, Յանոս Բոլայը հանգել է նույն եզրակացություններին. նա հրատարակել է իր հետազոտությունները՝ որպես հոր գրքի հավելված։ Կարլ Ֆրիդրիխ Գաուսը նման եզրահանգումների է եկել ավելի վաղ (տե՛ս նրա նամակը Տավրինոսին, 1824 թ.)։ Այնուամենայնիվ, Գաուսը ձեռնպահ է մնացել հրապարակումներից, և նրա տեսակետների մասին կարելի է դատել միայն մի քանի նամակներից և օրագրային գրառումներից։ Գաուսի լռությունը հաճախ բացատրվում է նրանով, որ նա վախեցել է չհասկացված լինել։ Մասնավորապես, մի նամակում, որտեղ բարձրացվում է հինգերորդ պոստուլատի և ոչ էվկլիդյան երկրաչափության հարցը, Գաուսը գրել է. «Վախեցե՛ք բեոտիացիների ճիչից»։ Մեկ այլ բացատրությունն այն է, որ նա այն քչերից էր, ով հասկացել էր, որ, անկախ նրանից, թե որքան հետաքրքիր թեորեմներ են ստացվել ոչ Էվկլիդեսյան երկրաչափության մասին, դա ոչինչ չի ապացուցում. տեսականորեն միշտ էլ հնարավոր է, որ որպես հետագա հետևանքներ հակառակ պնդումներ կլինեն։

Թերևս Գաուսը հասկանում էր (կամ զգում էր), որ այդ ժամանակ (19-րդ դարի առաջին կեսը) դեռ չէին գտնվել մաթեմատիկական հասկացություններ, որոնք թույլ կտային նրան ճշտորեն ձևակերպել և լուծել այդ խնդիրը։ Մեկ այլ բացատրություն. թեև Գաուսն ավելի լավ էր հասկանում Լոբաչևսկու երկրաչափությունը, քան մյուսները, նա դա չէր համարում իր միտքը, քանի որ դրա մասին իմացել էր Շվեյքարտի, Տավրոսի և այլոց նամակներից։ 1846 թվականին աստղագետ Հենրիխ Քրիստիան Շումախերին ուղղված նամակում Գաուսը Լոբաչևսկու աշխատանքի մասին հետևյալ կերպ է գրել.

Այս աշխատությունն իր մեջ պարունակում է այն երկրաչափության հիմքը, որը պետք է տեղի ունենար, և ի դեպ, կկազմեր խիստ հետևողական ամբողջություն, եթե Էվկլիդեսյան երկրաչափությունը ճշմարիտ չլիներ... Լոբաչևսկին այն անվանում է «երևակայական երկրաչափություն». Դուք գիտեք, որ 54 տարի (1792 թվականից) ես դրանց որոշ զարգացումներով ունեմ նույն տեսակետները, որի մասին այստեղ չեմ ցանկանում հիշատակել. այսպիսով, իրականում Լոբաչևսկու ստեղծագործության մեջ ինձ համար նոր բան չգտա։ Բայց թեմայի զարգացման մեջ հեղինակը գնացել է ոչ այն ճանապարհով, որով ես եմ գնացել. այն վարպետորեն արել է Լոբաչևսկին՝ իսկական երկրաչափական ոգով։ Ես ինձ պարտավոր եմ համարում ձեր ուշադրությունը հրավիրել այս աշխատանքի վրա, որը հավանաբար ձեզ բացարձակապես բացառիկ բավականություն կպատճառի։

Արդյունքում Լոբաչևսկին հանդես է եկել որպես նոր երկրաչափության առաջին ամենափայլուն և հետևողական քարոզիչ։ Թեև Լոբաչևսկու երկրաչափությունը զարգացել է որպես մտահայեցողական տեսություն, և ինքը Լոբաչևսկին այն անվանել է «երևակայական երկրաչափություն», այնուամենայնիվ, նա առաջինն է բացահայտ առաջարկել այն ոչ թե որպես մտքի խաղ, այլ որպես տարածական հարաբերությունների հնարավոր և օգտակար տեսություն։

Լոբաչևսկու երկրաչափության հայտարարություն

Լոբաչևսկին մահացել է 1856 թվականին։ Մի քանի տարի անց հրապարակվել է Գաուսի նամակագրությունը, ներառյալ Լոբաչևսկու երկրաչափության մասին մի քանի խանդավառ ակնարկներ, ինչով Լոբաչևսկու աշխատանքի նկատմամբ հետաքրքրություն է առաջացրել։ Ի հայտ են եկել դրանց ֆրանսերեն և իտալերեն թարգմանությունները, ինչպես նաև հայտնի երկրաչափերի մեկնաբանությունները։ Վերահրատարակվել է նաև Բոյայիի աշխատությունը։

1868 թվականին լույս է տեսել Էուջենիո Բելտրամիի հոդվածը Լոբաչևսկու երկրաչափության մեկնաբանությունների մասին։ Բելտրամին որոշել է Լոբաչևսկու հարթության մետրիկան և ապացուցել, որ այն ամենուր հաստատուն բացասական կորություն ունի։ Այդպիսի հարթությունն արդեն հայտնի էր այդ ժամանակ՝ որպես Ֆերդինանդ Մինդինգի պսևդոսֆերա։ Բելտրամին եզրակացրել է, որ Լոբաչևսկու հարթությունը իզոմետրիկ է պսևդոսֆերայի մի մասի նկատմամբ (տես ստորև)։ Նույն հոդվածում Բելտրամին տալիս է նաև երկու մոդել, որոնք այժմ կոչվում են Կլայնի մոդել (Կլայնի պրոյեկտիվ մոդել) և Պուանկարեի մոդել ( Պուանկարեի կոմֆորմ-էվկլիդյան մոդել)։

Այս աշխատանքներում Բելտրամին տվել է նոր երկրաչափության ոչ հակասող հստակ երկրաչափական ապացույցը, ավելի ճիշտ՝ Լոբաչևսկու երկրաչափությունը հակասող է այն դեպքում և միայն այն դեպքում, երբ Էվկլիդեսի երկրաչափությունը հակասող է։ Լոբաչևսկին նույնպես ուներ նման ապացույց, բայց դա ավելի բարդ էր. մի կողմից Լոբաչևսկու երկրաչափությունում էվկլիդյան հարթության մոդելը կառուցվում էր Բելտրամիի նման մոդելով, մյուս կողմից՝ վերլուծական էր։

Վայերշտրասը Բեռլինի համալսարանում հատուկ սեմինար է նվիրել Լոբաչևսկու երկրաչափությանը (1870 թ.)։ Կազանի ֆիզիկամաթեմատիկական ընկերությունը կազմակերպել է Լոբաչևսկու ամբողջական աշխատությունների հրատարակումը, իսկ 1893 թվականին միջազգային մասշտաբով նշվել է ռուս մաթեմատիկոսի հարյուրամյակը։

Մոդելներ

Գաուսի կորություններ.
ձախից աջ.
Գաուսի բացասական կորությամբ մակերես (հիպերբոլոիդ)
Գաուսի զրոյական կորությամբ մակերես (գլան)
Գաուսի դրական կորությամբ մակերես (գունդ)։

Lոբաչևսկու երկրաչափության մոդելները ապացուցում են դրա ոչ հակասող լինելը, ավելի ճիշտ, ցույց են տալիս, որ Լոբաչևսկու երկրաչափությունը նույնքան ոչ հակասող է, որքան Էվկլիդեսի երկրաչափությունը։ Ինքը` Լոբաչևսկին տվել է իր վերլուծական երկրաչափության հիմքերը, և այդպիսով նա իրականում արդեն ուրվագծել է նման մոդել։ Նա նաև նկատել է, որ Լոբաչևսկու տարածության հորոսֆերան իզոմետրիկ (հավասարաչափական) է Էվկլիդյան հարթությանը, դրանով իսկ գործնականում առաջարկել է հակադարձ մոդելը։ Այնուամենայնիվ, ինքնին մոդելի հասկացությունն հստակեցվել է Բելտրամիի և այլոց աշխատություններում։

Պսևդոլորտ

Պսևդոոլորտ կամ պսևդոսֆերա

Իտալացի մաթեմատիկոս Էուջենիո Բելտրամին 1868 թվականին նկատել է, որ Լոբաչևսկու հարթության մի հատվածի երկրաչափությունը համընկնում է մակերևույթների հաստատուն բացասական կորության երկրաչափության հետ, որի ամենապարզ օրինակը պսևդոսֆերան է։ Եթե Լոբաչևսկու հարթության վերջի հատվածի կետերն ու ուղիղները համեմատենք պսևդոսֆերայի վրա կետերի և ամենակարճ գծերի (գեոդեզիական) հետ, իսկ Լոբաչևսկու հարթությունում շարժումը` պսևդոսֆերայի կորության վրայով պատկերի շարժման հետ, այսինքն՝ դեֆորմացիայի, որը պահպանում է երկարությունները, ապա Լոբաչևսկու երկրաչափության ցանկացած թեորեմ տեղ կգտնի պսևդոսֆերայի վրա։ Ընդ որում, երկարությունները, անկյունները, մակերեսները հասկացվում են պսևդոսֆերայի վրա դրանց բնական չափման իմաստով։

Պրոյեկտիվ մոդել

$P$ կետով անցնում են անսահման շատ «ուղիղներ», որոնք չեն հատում $a$ «ուղիղ գիծը»

Լոբաչևսկու ինքնաթիռի մոդելը առաջին անգամ առաջարկել է Բելտրամին։ Հարթությունը շրջանագծի ներսն է, ուղիղ գիծը շրջանագծի առանց ծայրերի լարն է, իսկ կետը շրջանագծի ներսում գտնվող կետն է։ «Շարժում» կանվանենք շրջանագծի ցանկացած փոխակերպում իր մեջ, որը լարերը վերածում է լարերի։ Համապատասխանաբար, շրջանագծի ներսում գտնվող թվերը, որոնք նման ձևով փոխակերպվում են միմյանց, կոչվում են հավասար։ Հետո պարզվում է, որ նման լեզվով նկարագրված ցանկացած երկրաչափական փաստ ներկայացնում է Լոբաչևսկու երկրաչափության թեորեմը կամ աքսիոմը։ Այլ կերպ ասած, Լոբաչևսկու երկրաչափության յուրաքանչյուր դրույթ հարթության վրա ոչ այլ ինչ է, քան Էվկլիդեսյան երկրաչափության հայտարարություն, որը վերաբերում է շրջանակի ներսում գտնվող պատկերներին, միայն նշված տերմիններով վերապատմված։ Զուգահեռների մասին էվկլիդեսյան աքսիոմն այստեղ ակնհայտորեն չի բավարարվում, քանի որ տրված լարի վրա չգտնվող կետով անցնում է ցանկացած թվով լարեր(«ուղիղ գծեր»), որոնք չեն հատում այն։ Այս մոդելում $A$ և $B$ կետերի միջև հեռավորությունը $NM$ լարի վրա սահմանվում է կրկնակի հարաբերության միջոցով։

$\ln \left({\frac {AN}{AM}}{\frac {BM}{BN}}\right)$:

Արտաքին բացարձակում իրականացվում է Անտի-դե Սիտերի տարածության երկրաչափությունը։

Կոնֆորմալ Էվկլիդեսյան մոդել, Պուանկարեի մոդել

Կոնֆորմալ-էվկլիդեսյան մոդել

Բելտրամիի առաջարկած Լոբաչևսկու ինքնաթիռի մեկ այլ մոդել. Շրջանակի ինտերիերը ընդունվում է որպես Լոբաչևսկու հարթություն, տրված շրջանագծի շրջագծին և դրա տրամագծերին ուղղահայաց շրջանային աղեղները համարվում են ուղիղ, իսկ շարժումները փոխակերպումներ են, որոնք ստացվում են շրջանագծերի նկատմամբ շրջադարձերի համակցություններով, որոնց աղեղները ծառայում են որպես ուղիղ գծեր։ Պուանկարեի մոդելը ուշագրավ է նրանով, որ այն պատկերում է անկյունները որպես սովորական անկյուններ։

Մոդել հիպերբոլոիդի վրա Մինկովսկու տարածության մեջ

Տարածության մեջ $(+,+,-)$ դիտարկենք երկխոռոչ հիպերբոլոիդը.

$x^{2}+y^{2}-t^{2}=-1$

Վերին սահմանը թող լինի $t>0$։ Նշենք, որ այս բաղադրիչը տարածականանման է։ Մասնավորապես,

$x^{2}+y^{2}-t^{2}=-1$.

Ըստ այս մետրիկայի` վերին բաղադրիչը Լոբաչևսկու հարթության մոդելն է։

Այս մոդելի ուղիղները (այլ կերպ ասած՝ գեոդեզիական) հիպերբոլոիդը հատող հարթություններն են, որոնք անցնում են կոորդինատների սկզբնակետով։

Հորիզոնական հարթության վրա կոորդինատների սկզբնակետով հետագա արտապատկերումն այս մոդելը վերածում է պրոյեկտիվ մոդելի (Կլայնի մոդել)։

Հորիզոնական հարթության վրա $(0,0,-1)$ կետով հետագա արտապատկերումն այս մոդելը վերածում է կոնֆորմ-էվկլիդյան մոդելի։

Մակերևույթի հաստատուն բացասական կորություն

Լոբաչևսկու երկրաչափության մեկ այլ վերլուծական սահմանումն այն է, որ Լոբաչևսկու երկրաչափությունը սահմանվում է որպես բացասական կորության հաստատուն ունեցող Ռիմանյան տարածության երկրաչափություն։ Այս սահմանումը իրականում տրվել է դեռևս 1854 թվականին Ռիմանի կողմից և ներառել է Լոբաչևսկու երկրաչափության մոդելը որպես երկրաչափություն մշտական կորության մակերեսների վրա։ Այնուամենայնիվ, Ռիմանը ուղղակիորեն չի կապում իր կառուցումները Լոբաչևսկու երկրաչափության հետ, և նրա զեկույցը, որտեղ նա հաղորդում էր դրանք, չի հասկացվել և հրապարակվել է միայն նրա մահից հետո (1868 թ.):

Նման մակերեսի օրինակ է երևակայական շառավղով գունդը

$({\vec {x}},{\vec {x}})=-1$,

$x^{2}+y^{2}-z^{2}=-1$

Լոբաչևսկու երկրաչափության բովանդակությունը

θ զուգահեռության անկյուն, $x$ և $y$ ուղիղները ասիմպտոտիկ զուգահեռ են $R$ ուղիղին

Լոբաչևսկին կառուցեց իր երկրաչափությունը՝ սկսած հիմնական երկրաչափական հասկացություններից և իր աքսիոմից, և ապացուցեց թեորեմները՝ օգտագործելով երկրաչափական մեթոդը, ինչպես դա արվում է Էվկլիդեսի երկրաչափության մեջ։ Հիմքը զուգահեռ գծերի տեսությունն էր, քանի որ այստեղից է սկսվում Լոբաչևսկու և Էվկլիդեսի երկրաչափության տարբերությունը։ Զուգահեռ աքսիոմից անկախ բոլոր թեորեմները ընդհանուր են երկու երկրաչափությունների համար. դրանք կազմում են այսպես կոչված բացարձակ երկրաչափություն, որը ներառում է, օրինակ, եռանկյունների հավասարության նշաններ։ Հետևելով զուգահեռների տեսությանը, կառուցվեցին այլ հատվածներ, այդ թվում՝ եռանկյունաչափությունը և անալիտիկ և դիֆերենցիալ երկրաչափության սկզբունքները։

Զուգահեռության անկյուն

Ներկայացնենք Լոբաչևսկու երկրաչափության մի քանի փաստ, որոնք այն տարբերում են Էվկլիդեսի երկրաչափությունից և հաստատվել են հենց Լոբաչևսկու կողմից։ $P$ կետով, որը չի գտնվում տրված $R$ ուղիղի վրա, անցնում են անսահման թվով ուղիղներ, որոնք չեն հատվում $R$-ին և գտնվում են նրա հետ նույն հարթության վրա. դրանց մեջ կան երկու ծայրահեղություններ $x$, $y$, որոնք կոչվում են ասիմպտոտիկ զուգահեռ (երբեմն ուղղակի զուգահեռ) $R$ ուղղին, իսկ մնացածները կոչվում են ուլտրզուգահեռ։ Անկյուն 𝜃 $P$-ից դեպի $R$ ուղղահայաց $PB$-ի և ասիմպտոտիկ զուգահեռներից յուրաքանչյուրի միջև (կոչվում է զուգահեռության անկյուն) նվազում է $90$°-ից մինչև $0$°, քանի որ $P$ կետը հեռանում է գծից (Պուանկարեի մոդելում՝ անկյունները սովորական իմաստով. համընկնում են Լոբաչևսկու իմաստով անկյունների հետ, և, հետևաբար, դրա վրա այս փաստը կարելի է ուղղակիորեն տեսնել)։ Զուգահեռ $x$-ը մի կողմից (և $y$-ը հակառակ կողմից) ասիմպտոտիկորեն մոտենում է $a$-ին, իսկ մյուս կողմից՝ անսահմանորեն հեռանում է նրանից (մոդելներում հեռավորությունները դժվար է որոշել, հետևաբար այդ փաստն ուղղակիորեն տեսանելի չէ)։

$PB=a$ հեռավորության վրա տրված ուղիղ գծից տեղակայված կետի համար, Լոբաչևսկին տվել է $P(a)$ զուգահեռության անկյան բանաձևը.

$\theta =\Pi (a)=2\operatorname {arctg} ~e^{-{\frac {a}{q}}}$:

Այստեղ $q$-ն ինչ-որ հաստատուն է՝ կապված Լոբաչևսկու տարածության կորության հետ։ Այն կարող է ծառայել որպես երկարության բացարձակ միավոր, ինչպես որ գնդերի շառավիղը հատուկ դիրք է գրավում գնդաձև երկրաչափության մեջ։ Եթե ուղիղ գծերն ունեն ընդհանուր ուղղահայաց, ապա դրանք գերզուգահեռ են, այսինքն՝ անսահմանորեն շեղվում են նրանից երկու ուղղություններով։ Դրանցից որևէ մեկին հնարավոր է վերականգնել մյուս գծին չհասնող ուղղահայացները։ Լոբաչևսկու երկրաչափության մեջ նման, բայց անհավասար եռանկյուններ չկան. Եռանկյունները համահունչ են, եթե նրանց անկյունները հավասար են։ Ցանկացած եռանկյան անկյունների գումարը փոքր է 𝜋 և կարող է կամայականորեն մոտ լինել զրոյին ($180$°-ի և $ABC$ եռանկյան անկյունների գումարի տարբերությունը Լոբաչևսկու երկրաչափության մեջ դրական է. այն կոչվում է այս եռանկյան թերություն)։ Սա ուղղակիորեն տեսանելի է Պուանկարեի մոդելում։ Տարբերություն 𝛿 = 𝜋 − ( 𝛼 + 𝛽 + 𝛾 ), Որտեղ 𝛼, 𝛽, 𝛾 - եռանկյան անկյունները՝ նրա մակերեսին համաչափ. $S=q^{2}\cdot \delta$

Բանաձևը ցույց է տալիս, որ կա եռանկյան առավելագույն տարածք, և սա վերջավոր թիվ է` $\pi q^{2}$ Ուղիղ գծից հավասար հեռավորությունների գիծը ուղիղ գիծ չէ, այլ հատուկ կոր, որը կոչվում է հավասար հեռավորություն կամ հիպերցիկլ։ Անսահման աճող շառավղով շրջանակների սահմանը ոչ թե ուղիղ գիծ է, այլ հատուկ կոր, որը կոչվում է սահմանային շրջան կամ հորոցիկլ։ Անսահման աճող շառավղով գնդերի սահմանը հարթություն չէ, այլ հատուկ մակերես՝ սահմանափակող գունդ կամ հորիսֆերա; Հատկանշական է, որ դրա վրա պահպանվում է էվկլիդեսյան երկրաչափությունը։ Սա Լոբաչևսկու համար հիմք հանդիսացավ եռանկյունաչափության բանաձևեր ստանալու համար։

Հարթությունը և տարածությունը լրացնելը կանոնավոր պոլիտոպներով

Լոբաչևսկու հարթության ձևավորում կանոնավոր եռանկյուններով ({3;7})

Լոբաչևսկու ինքնաթիռը կարելի է սալիկապատել ոչ միայն կանոնավոր եռանկյուններով, քառակուսիներով և վեցանկյուններով, այլև ցանկացած այլ կանոնավոր բազմանկյունով։ Այս դեպքում առնվազն 7 եռանկյուն, 5 քառակուսի, 4 հնգանկյուն կամ վեցանկյուն կամ 6-ից ավելի կողմ ունեցող 3 բազմանկյուն պետք է համընկնեն մանրահատակի մեկ գագաթի վրա, այսինքն՝ տարբեր շարվածքների թիվը անսահման է և օգտագործում է Շլաֆլի նշանը։ { $N$, $M$}

• {3, 7}, {3, 8}, …, {3, $M$}, որտեղ $M$ ≥ 7
• {4, 5}, {4, 6}, …, {4, $M$}, որտեղ $M$ ≥ 5
• {5, 4}, {5, 5}, …, {5, $M$}, որտեղ $M$ ≥ 4
• {6, 4}, {6, 5}, …, {6, $M$}, որտեղ $M$ ≥ 4
• { $N$, $M$ }, որտեղ $N$ ≥ 7, $M$ ≥ 3.

$S_{\left\{N;M\right\}}=q^{2}\pi \left(N-2-2{\frac {N}{M}}\right)$

Լոբաչևսկու տարածությունը լրացնելը կանոնավոր ուղղանկյուն դոդեկաեդրերով ({5,3,4})

Ի տարբերություն սովորական տարածության (եռաչափ Էվկլիդյան տարածության), որը կարող է լրացվել կանոնավոր բազմաեզրներով միայն մեկ ձևով (8 խորանարդ՝ գագաթին, կամ չորսը՝ եզրին {4,3,4}), Լոբաչևսկու եռաչափ տարածությունը կարող է լինել. սալիկապատված կանոնավոր պոլիէդրներով, ինչպես հարթության վրա, անսահման թվով ձևերով։ Օգտագործելով Schläfli խորհրդանիշը {$N$, $M$, $P$} ( $N$-գոնների $M$ կտորները համընկնում են մեկ գագաթի վրա, և $P$ պոլիէդրանները միանում են յուրաքանչյուր եզրին) բոլոր սալիկները կարող են գրվել հետևյալ կերպ.

• {3,3,6}, {3,3,7}, …, {3,3, $P$}, որտեղ $P$ ≥ 6
• {4,3,5}, {4,3,6}, …, {4,3, $P$}, որտեղ $P$ ≥ 5
• {3,4,4}, {3,4,5}, …, {3,4, $P$}, որտեղ $P$ ≥ 4
• {5,3,4}, {5,3,5}, …. {5,3, $P$}, որտեղ $P$ ≥ 4
• {3,5,3}, {3,5,4}, …, {3,5, $P$}, որտեղ $P$ ≥ 3:

Բացի այդ, Լոբաչևսկու տարածությունը սովորական խճանկարային հորոսֆերաներով լցնելու 11 եղանակ կա ({3,4,4}, {3,3,6}, {4,3,6}, {5,3,6}, {4,4,3}, {6,3,3}, {6,3,4}, {6,3,5}, {6,3,6}, {4,4,4}, {3,6,3})

Առասպելներ

Կա տարածված սխալ պատկերացում (արտացոլված է, մասնավորապես, ոչ մաթեմատիկական գրականության և բանահյուսության մեջ), որ Լոբաչևսկու երկրաչափության մեջ «զուգահեռ գծերը հատվում են»։ Սա ճիշտ չէ. Լոբաչևսկու երկրաչափության մեջ ճշգրիտ հնարավոր է տրված գծի վրա չգտնվող կետով տանել անսահման թվով ուղիղներ, որոնք չեն հատվում դրա հետ։

Տես նաև

• Ռիմանի երկրաչափություն
• Մինկովսկու տարածություն
• Ոլորտային երկրաչափություն

Գրականություն

Հիմնադիրների աշխատություններ

• Лобачевский Н. И. О началах геометрии // Казанский вестник. — Казань: Императорский Казанский университет, 1829—1830. — № 25—29.
• Об основаниях геометрии. Сборник классических работ по геометрии Лобачевского и развитию её идей. М.: Гостехиздат, 1956.
• Бельтрами Э. Опыт интерпретации неевклидовой геометрии // Об основаниях геометрии : Сборник. — М.: ГИТТЛ, 1956. — С.  Կողմ.
• Бельтрами Э. Основы теории пространств постоянной кривизны // Об основаниях геометрии : Сборник. — М.: ГИТТЛ, 1956. — С. 342—365.

Ժամանակակից գրականություն

• Лобаче́вского геоме́трия / Александров А. Д. // Большая Советская Энциклопедия / Гл. ред. Прохоров, Александр Михайлович. — 3-е изд. — Советская Энциклопедия, 1973. — Т. 14 : Куна—Ломами. — С. 586—588. — Стб. 1746—1752. — 629 000 экз.
• Александров А. Д., Нецветаев Н. Ю. Геометрия. — Москва: Наука, 1990.
• Александров П. С. Что такое неэвклидова геометрия. — Москва: УРСС, 2007.
• Делоне Б. Н. Элементарное доказательство непротиворечивости планиметрии Лобачевского. — Москва: Гостехиздат, 1956.
• Иовлев Н. Н. Введение в элементарную геометрию и тригонометрию Лобачевского. — М.-Л.: Гиз., 1930. — С. 67.
• Кадомцев С. Б. Геометрия Лобачевского и физика. — М.: Знание, 1984. — 64 с. — (Новое в жизни, науке, технике: *Математика, кибернетика. 1984, №08).
  • (переиздание) Кадомцев С. Б. Геометрия Лобачевского и физика. — Изд. 3-е. — М.: Книжный дом «ЛИБРОКОМ», 2009. — 72 с. — ISBN 978-5-397-00294-3
• Кадомцев С. Б., Позняк Э. Г., Попов А. Г. Геометрия Лобачевского: открытие и путь в современность» // Природа. — 1993. — № 7. — С. 19—27.
• Кадомцев С. Б., Позняк Э. Г., Соколов Д. Д. Некоторые вопросы геометрии Лобачевского, связанные с физикой. — Итоги науки и техн. Сер. Пробл. геом., 13, ВИНИТИ, М., 1982, 157—188.
• Клейн Ф. Неевклидова геометрия. — М.-Л.: ОНТИ, 1936. — С. 356.
• Норден А. П. Элементарное введение в геометрию Лобачевского. — М.: ГИТТЛ, 1953. — 248 с.
• Попов А. Г. Псевдосферические поверхности // Соросовский образовательный журнал. — ISSEP, 2004. — Т. 8. — № 2. — С. 119—127.
• Попов А. Г. Псевдосферические поверхности и некоторые задачи математической физики.
• Прасолов В. В. Геометрия Лобачевского. — М.: МЦНМО, 2004. — 88 с.
• Розенфельд Б. А. Интерпретации геометрии Лобачевского // Историко-математические исследования. — М.: ГИТТЛ, 1956. — № 9. — С. 169—208.
• Смогоржевский А. С. «О геометрии Лобачевского» // Популярные лекции по математике. — Гостехиздат, 1958. — Т. 23. — С. 68.
• Успенский Я. В. Введение в неевклидову геометрию Лобачевского — Болиаи. — Петроград: «Сеятель» Е. В. Высоцкого, 1922. — 180 с.
• Шафаревич И. Р., Ремизов А. О. Линейная алгебра и геометрия. — Москва: Физматлит, 2009.

Արտաքին հղումներ

• Геометрия Лобачевского Արխիվացված է Դեկտեմբեր 7, 2021 Wayback Machine-ի միջոցով:

Վիքիպահեստն ունի նյութեր, որոնք վերաբերում են «Լոբաչևսկու երկրաչափություն» հոդվածին։