Մինկովսկու տարածություն

Մինկովսկու տարածություն, քառաչափ բազմաձևության մեջ միավորված էվկլիդեսյան երկրաչափությունը և ժամանակը մաթեմատիկական ֆիզիկայում։ Մինկովսկու տարածությունում տարածաժամանակի ինտերվալը երկու իրադարձությունների միջև անկախ է իներցիալ հաշվարկման համակարգից, որում գտնվում են այդ իրադարձությունները։ Չնայած Հերման Մինկովսկին սկզբնապես այն մշակել է էլեկտրամագնիսականությունում՝ Մաքսվելի հավասարումների համար, Մինկովսկու տարածաժամանակի մաթեմատիկական կառուցվածքը հարաբերականության հատուկ տեսության պոստուլատների անմիջական հետևանքն է։

Մինկովսկու տարածությունը լայնորեն առնչվում է Ալբերտ Այնշտայնի հարաբերականության հատուկ տեսությանը, և ամենատարածված մաթեմատիկական կառուցվածքն է, որում ձևակերպվում է հարաբերականության հատուկ տեսությունը։ Մինչ էվկլիդյան տարածությունում տարածության և ժամանակաի անկախ բաղադրիչները հաճախ տարբերվում են երկարության կրճատման և ժամանակի դանդաղման պատճառով, Մինկովսկու տարածաժամանակում բոլոր հաշվարկման համակարգերը համաձայնության են գալիս իրադարձությունների միջև տարածաժամանակի լրիվ հեռավորության շուրջ, այսինքն՝ ինտերվալն այստեղ ինվարիանտ մեծություն է։ Քանի որ ժամանակը տարբերվում է մյուս կոորդինատներից, Մինկովսկու տարածությունը տարբերվում է քառաչափ էվկլիդյան տարածությունից։

Մինկովսկու տարածության մեջ յուրաքանչյուր իրադարձությանը համապատասխանում է մի կետ (լորենցյան կամ գալիլեյյան կոորդինատներով), որի երեք կոորդինատները եռաչափ էվկլիդյան տարածության դեկարտյան կոորդինատներն են, իսկ չորրորդը ct կոորդինատն է, որտեղ c-ն լույսի արագությունն է, t-ն՝ իրադարձության ժամանակը։ Տարածական հեռավորությունների և իրադարձությունների միջև ժամանակահատվածի կապը տրվում է ինտերվալի քառակուսիով՝

$~s^{2}=c^{2}(t_{1}-t_{0})^{2}-(x_{1}-x_{0})^{2}-(y_{1}-y_{0})^{2}-(z_{1}-z_{0})^{2}$։

Մինկովսկու տարածությունում ինտերվալն ունի նույն դերը, ինչ հեռավորությունը՝ էվկլիդյան տարածության երկրաչափությունում։ Ինտերվալի քառակուսին համարժեք է էվկլիդյան տարածության հեռավորության քառակուսուն։ Ի տարբերություն վերջինիս՝ ինտերվալի քառակուսին ոչ միշտ է դրական։ Ինտերվալը տարբեր իրադարձությունների միջև կարող է նաև զրո լինել։

Պատմություն

Մինկովսկու տարածությունը դիտարկել են Անրի Պուանկարեն՝ 1905 և Հերման Մինկովսկին՝ 1908 թվականներին։

Պուանկարեն առաջինը սահմանեց և մանրամասն ուսումնասիրեց Լորենցի ձևափոխությունների ամենակարևոր հատկություններից մեկը՝ նրանց խմբային կառուցվածքը, և ցույց տվեց, որ «Լորենցի ձևափոխությունները ոչ այլ ինչ են, այլ պտույտ քառաչափ տարածության մեջ, որի կետերն ունեն $(x,y,z,it)$ կոորդինատներ»։ Այսպիսով Պուանկարեն Մինկովսկուց երեք տարի առաջ միավորել է տարածությունը և ժամանակը միասնական քառաչափ տարածաժամանակում։ Սակայն Պուանկարեն որևէ մեկնաբանություն չի տալիս, նրա նպատակն էր միայն Լորենցի ձևափոխությունները էվկլիդյան պտույտի ծանոթ հասկացություններով ձևակերպելը։

Պուանկարեի գաղափարը վերամշակում է Մինկովսկին, որն այն կիրառում է Մաքսվելի հավասարումները քառաչափ տեսքով ներկայացնելու համար՝ ցույց տալով, որ դրանք ինվարիանտ են Լորենցի ձևափոխությունների նկատմամբ։ Հետագայում նա քառաչափ ձևակերպումով ներկայացնում է Այնշտայնի հարաբերականության հատուկ տեսությունը, որը մինչ այդ եռաչափ տեսքով էր։ Այստեղից Մինկովսկին եզրակացնում է, որ ժամանակը և տարածությունը կարելի է դիտարկել հավասարաարժեք, և այսպիսով առաջ քաշում միասնական քառաչափ տարածաժամանակում տեղի ունեցող իրադարձությունների գաղափարը։

Առնչվող սահմանումներ

• Մինկովսկու տարածությունում պսևդոէվկլիդյան մետրիկան, որը որոշվում է ինտերվալի համար բերված բանաձևով, կոչվում է Մինկովսկու մետրիկա կամ լորենցյան մետրիկա։ Լորենցյան մետրիկ թենզորը սովորաբար նշանակվում է $~\eta _{ij}$, այն տրվում է $(1,\;-1,\;-1,\;-1)$ սիգնատուրով քառակուսային ձևով։ Լորենցյան մետրիկա կամ Մինկովսկու մետրիկա տերմինը կարող է կիրառվել 4-ից տարբեր չափականությունների համար։ Այդ դեպքում այն սովորաբար նշանակում է, որ մեկ կոորդինատը ժամանակն է, մյուսները տարածական կոորդինատներ են։
• Ինտերվալի զրո քառակուսի ունեցող բոլոր վեկտորների բազմությունը կոնական մակերևույթ է կազմում։ Այն կոչվում է լուսային կոն։
• Լուսային կոնի ներսում գտնվող վեկտորը կոչվում է ժամանականման վեկտոր, լուսային կոնից դուրս՝ տարածանման։
• Իրադարձությունը ժամանակի տվյալ պահին տարածության տվյալ կետում կոչվում է համաշխարհային կետ։
• Ժամանակի մեջ շարժվող մասնիկի համաշխարհային կետերի բազմությունը կոչվում է համաշխարհային գիծ։