Ֆուրիեի շարք

Վիքիպեդիայից՝ ազատ հանրագիտարանից
(Վերահղված է Ֆուրիեի շարքերից)

Ֆուրիեի շարք, մաթեմատիկայում պարբերական ֆունկցիայի (որը կարող է լինել որևէ ազդանշան կամ ալիք) վերլուծությունն ավելի պարզ ֆունկցիաների կամ տատանումների, այն է՝ սինուսոիդների (կամ կոմպսլեքս տեսքով՝ կոմպլեքս էքսպոնենցիալների) վերջավոր կամ անվերջ գումարի տեսքով։ Այդպես է անվանվել ի պատիվ Ֆրանսիացի մաթեմատիկոս Ժոզեֆ Ֆուրիեի, ով առաջինն է ուսումնասիրել այդ շարքերը ջերմահաղորդականության հավասարման կոնտեքստում։ Ֆուրիեյի շարքերի ուսումնասիրությունը Ֆուրիե-անալիզի ճյուղերից է, որն էլ իր հերթին մաս է կազմում Հարմոնիկ անալիզի։ Դեռ խորհրդային տարիներից Հայաստանում մի խումբ մաթեմատիկոսներ, մասնավորապես՝ ակադեմիկոս Ալեքսանդր Թալալյանը և իր ուսանողները, զբաղվում են Ֆուրիեի շարքերի ուսումնասիրությամբ։

Սահմանումը[խմբագրել]

Ենթադրենք f-ը որևէ ինտեգրելի 2\pi-պարբերական ֆունկցիա է՝ որոշված ամբողջ իրական թվային առանցքի վրա։ Մենք ցանկանում ենք այն ներկայացնել որպես հետևյալ տեսքի եռանկյունաչափական շարքի գումար.

f(t)= \sum_{n=0}^\infty A_n\cdot \sin(nt+\phi_n),  A_n\geq 0 ։

Կիրառելով եռանկյունաչափական ֆունկցիաների պարզագույն հատկությունները՝ շարքը կարելի է ձևափոխել և գրել՝


\begin{align}
\frac{a_0}{2} + \sum_{n=1}^{\infty} \left(\overbrace{a_n}^{A_n \sin(\phi_n)} \cos(nt)+ \overbrace{b_n}^{A_n \cos(\phi_n)}\sin(nt)\right)\\
\end{align}

տեսքով։ Սակայն երբեմն նախընտրելի է առավել կոմպակտ

\sum_{n=-\infty}^{\infty} c_n\cdot e^{int}

ներկայացումը, որը ստացվում է Ֆուրիեյի շարքից՝ կոմպլեքս էքսպոնենցիալի համար

e^{ix} = \cos x + i\sin x \

Էյլերի բանաձևից։

Եթե f-ը եռանկյունաչափական ֆունկցիաների վերջավոր գումար է, ապա կարելի է հեշտորեն համոզվել (օգտվելով եռանկյունաչափական համակարգի օրթոգոնալությունից), որ a_n և b_n գործակիցները որոշվում են հետևյալ բանաձևերով.

a_n = \frac{1}{\pi}\int_{0}^{2\pi} f(t)\cdot  \cos(\tfrac{nt}{P})\ dt,  b_n = \frac{1}{\pi}\int_{0}^{2\pi} f(t)\cdot  \sin(nt)\ dt,

իսկ կոմպլեքս ներկայացմամբ՝

c_n = \frac{1}{2\pi}\int_{0}^{2\pi} f(t)\cdot e^{-int}\ dt

բանաձևով։
Ընդհանուր դեպքում, տվյալ ինտեգրելի f ֆունկցիայի համար կդիտարկենք

 \frac{a_0}{2}+\sum_{n=1}^{\infty} \left(a_n \cos(nt)+b_n\sin(nt)\right)=\sum_{n=-\infty}^{\infty} c_n\cdot e^{int}

եռանկյունաչափական շարքը, որտեղ a_n, b_n և c_n գործակիցները որոշվում են վերը նշված բանաձևերով և այն կանվանենք f ֆունկցիայի Ֆուրիեի շարք։
Դասական Ֆուրիե-անալիզն ուսումնասիրում է Ֆուրիեի շարքերի զուգամիտությունը և տարամիտությունը, դրանց պայմանները։

Ներկայացում[խմբագրել]

Ֆունկցիայի եռանկյունաչափական շարքով վերլուծությունը հասկանալու համար դիտարկենք

f(t)=A\cdot \sin(\lambda t+\phi)

ֆունկցիան, որտեղ A\geq 0։
Սովորաբար t-ով նշվում է ժամանակը, իսկ f(t) ֆունկցիան՝ ալիքային տատանումը նկարագրող թվային պարամետրերից որևէ մեկի կախումը ժամանակից։
Վերոնշյալ բանաձևով որոշվող տատանումը կոչվում է հարմոնիկ (ներդաշնակ) տատանում։ Եթե, օրինակ, f(t)-ով նկարագրելու լինենք ճոճանակի շեղումը հավասարակշռության դիրքից, ապա այդ կերպ է կտատանվի հավասարակշռության դիրքից շեղված առանց դիմադրության տատանվող ճոճանակը (մաթեմատիկական ճոճանակ)։ Նմանատիպ բանաձևով են որոշվում նաև հավասարաչափ շրջանագծային շարժում կատարող կետի կոորդինատները։
A-ն կոչվում է տատանման ամպլիտուդ, \lambda-ն՝ հաճախականություն, իսկ \phi-ն՝ փուլ (սկզբնական շեղում)։
Եթե երկու ալիք վերադրվում են, արդյունքում ստացված նոր ալիքի տատանումները նկարագրող թվային գործակիցները սովորաբար հավասար են լինում առանձին ալիքների համապատասխան գործակիցների գումարին (վերադրման սկզբունք, տե՛ս w:Superposition principle)։ Հետևաբար, եթե ունենք N տարբեր ներդաշնակ տատանումներ՝

f_n (t)=A_n\cdot \sin(\lambda_n t+\phi_n),

նրանց վերադրումից առաջացած նոր ալիքի համար կստացվի՝

f(t)= \sum_{n=0}^N A_n\cdot \sin(\lambda_n t+\phi_n)։

Պարզագույն դեպքում, բոլոր \lambda_n-երը որևէ թվի պատիկներ են, ինչը նշանակում է, որ f_n(t)-երը ունեն ընդհանուր պարբերություն։ Մասշտաբը փոխելով՝ առանց ընդհանրությունը խախտելու կարող ենք ենթադրել, որ \lambda_n =n, այսինքն դիտարկում ենք 2\pi-պարբերական տատանումները (ընդհանուր դեպքը՝ առանց վերջին ենթադրության, մաթեմատիկայում առանձին ուսումնասիրության առարկա է. տե՛ս w:Almost periodic functions)։ Այդ դեպքում

f(t)=\sum_{n=0}^N A_n\cdot \sin(nt+\phi_n)։

Նման վերջավոր գումարի միջոցով կարող ենք ներկայացնել բազմաթիվ 2\pi-պարբերական տատանումներ, սակայն ոչ բոլորը։ Դա հստակ էր անգամ Ֆուրիեի շարքերի ուսումնասիրության ակունքներում կանգնած մաթեմատիկոսների համար։ Ուստի, հաջորդ բնական քայլը կլիներ փորձել ներկայացնել անվերջ գումարի տեսքով`

f(t)=\sum_{n=0}^\infty A_n\cdot \sin(nt+\phi_n)։

Սակայն Ֆուրիեյի ժամանակներում ֆունկցիաների անվերջ շարքի գումարը հստակորեն սահմանված չէր. անցավ որոշ ժամանակ, մինչև մաթեմատիկոսներին կհաջողվեր իմաստավորել Ֆուրեի ձևակերպած գաղափարները։ Ֆուրիեի շարքերի ուսումնասիրությունը հետագայում հիմք դարձավ բազմաթիվ նոր մաթեմատիկական տեսությունների և հայտնագործությունների, օրինակ՝ Գեորգ Կանտորի Բազմությունների տեսությունը, որը համարվում է մաթեմատիկայի հիմնարար տեսություներից մեկը։ Բազմությունների տեսությունը ստեղծելի՝ Կանտորը զբաղվում էր Ֆուրիեի շարքերի ուսումնասիրությամբ [1]։

Երկրաչափական մեկնաբանություն[խմբագրել]

Նկատենք, որ

f(t)=\sum_{n=0}^N A_n\cdot \sin(nt+\phi_n),  A_n\geq 0 ։

վերջավոր գումարին կարելի է տալ հետևյալ երկրաչափական մեկնաբանությունը․ պատկերացնենք՝ ունենք հաջորդական շրջանագծեր, այնպես որ առաջին շրջանագիծն ունի  A_0 շառավիղ, որի կենտրոնը կոորդինական առանցքի սկզբնակետում է։ Հաջորդ շրջանագիծն ունի  A_0 շառավիղ, որի կենտրոնը (A_0\cos(0t+\phi_0),A_0\sin(0t+\phi_0)) կետում է և այսպես շարունակ (նման նրան, թե ինչպես է Երկիրը պտտվում արեգակի շուրջը, Լուսինն էլ՝ Երկրի)։ Եթե այս շրջանագծերը տեղադրենք «ամեն հաջորդի կենտրոնը մյուսի ընթացիկ կետում» սկզբունքով, ապա վերջին շրջանագծի (A_N\cos(Nt+\phi_N),A_N\sin(Nt+\phi_N)) կետին համապատասխանող կետի y կոորդինատը t պահին կլինի f(t)-ն։

Հայտնի թեորեմներ[խմբագրել]

Տես՝

w:Riemann–Lebesgue lemma
w:Convergence of Fourier series
w:Fejér's theorem
w:Carleson's theorem

ԸՆդհանրացումներ[խմբագրել]

Ֆուրիեի շարքերը կարելի է սահմանել ցանկացած պարբերական ֆունկցիայի համար՝ փոխելով մասշտաբը։ Երբ պարբերությունը ձգտում է անվերջության, ինքնըստինքյան հանգում ենք Ֆուրիեի ձևափոխությանը։ Վեջինս Ֆուրիեի շարքերի անալոգն է ոչ պարբերական ֆունկցիաների համար։

Ավելի աբստրակտ մոտեցումը հնարավորություն է տալիս Ֆուրիեյի ձևափոխությունները սահմանել Լոկալ կոմպակտ աբելյան խմբերի վրա։ Մաթեմատիկայի՝ նմանատիպ հարցերն ուսումնասիրող բաժինը կոչվում է Աբստրակտ հարմոնիկ անալիզ։ Ավելի ընդհանուր՝ Ֆուրեյի շարքը կարելի դիտարկել Գելֆանդի ձևափոխություն շրջանագծի պտույտների խմբով ծնված խմբային հանրահաշվի վրա։

Ֆուրիեյի ձևափոխությունը հնարավոր է սահմանել նաև գրաֆների և բազմաձևությունների վրա։ Այստեղ մոտեցումը Լապլաս-Բերտրամի օպերատորի սպեկտրալ տեսության միջոցով է՝ ի տարբերություն Աբստրակտ Հարմոնիկ անալիզի առավել հանրահաշվական մոտեցման։

Մեկ այլ ընդհանրացում է եռանկյունաչափական շարքերի փոխարեն այլ ֆունցկիաներ դիտարկելը։ Քսաներորդ դարի երկրորդ կեսում սա ակտիվ բնագավառ էր և կապված էր համակարգերի բազիսության (հետագայում՝ ֆրեյմ) ուսումնասիրության հետ։

Կիրառություններ[խմբագրել]

Ժամանակակից տեխնոլոգիաների զարգացումը բազմաթիվ հարցերում պարտական է Ֆուրիեյի հայտնագործությանը։ Այն ժամանակակից ինժեներների ամենկարևոր գործիքներից մեկն է։
Օրինակ, Ռիմանն-Լեբեգի լեմման պնդում է, որ ազդանշանում մեծ հաճախականությունների ներդրումը փոքր է։ Քանի որ մեծ հաճախականությունները պատասխանատու են խզման կետերի համար, նրանց գործակիցները հարմար ձևով ընտրված ֆիլտրերի միջոցով զրոյացնելը հնարավորություն է տալիս մոդիֆիկացնել ֆունկցիան՝ պահպանելով նրա հիմնական մասը և վերացնելով խզման կետերը։ Այս սկզբունքն է ընկած վնասված նկարների կամ ֆայլերի վերակագնման, արխիվացիայի, աղմուկի հեռացման մեթոդների և այլքի հիմքում։ Երբեմն եռանկյունաչափական համակարգի փոխարեն օգտագործվում են այլ համակարգեր, ինչպես օրինակ Վեյվելեթներ, Շիրլեթներ, սակայն հիմնական սկզբունքը նույնն է և հաճախ հանգեցվում է եռանկյունաչափական համակարգով որոշվող հաճախականությունների անալիզին։ Մաթեմատիկայում ևս Ֆուրիեի շարքերն ունեն բազում կիրառություններ, օրինակ՝ մասնակի ածանցյալներով դիֆերենցիալ հավասարումները լուծման գործում և այլն։

Աղբյուրներ[խմբագրել]

  1. "[1] Կանտորի կողմից բազմությունների տեսության ստեղծման մասին

Գրականություն[խմբագրել]

  • Grafakos, Loukas (2008), Classical Fourier analysis, 249 (2nd տպ.), Berlin, New York: Springer-Verlag, doi:10.1007/978-0-387-09432-8, ISBN 978-0-387-09431-1 
  • Grafakos, Loukas (2009), Modern Fourier analysis, 250 (2nd տպ.), Berlin, New York: Springer-Verlag, doi:10.1007/978-0-387-09434-2, ISBN 978-0-387-09433-5 
  • Zygmund, A. (2002), Trigonometric series. Vol. I, II (3rd տպ.), Cambridge University Press, ISBN 978-0-521-89053-3 
  • Katznelson, Yitzhak (1976). An introduction to harmonic analysis (Second corrected տպ.). New York: Dover Publications, Inc. ISBN 0-486-63331-4. 
  • Nina K. Bary, A treatise on trigonometric series, Vols. I, II. Authorized translation by Margaret F. Mullins. A Pergamon Press Book. The Macmillan Co., New York 1964.
  • Körner, T.W. (1988), Fourier Analysis, Cambridge University Press, ISBN 0521389917 

Արտաքին հղումներ[խմբագրել]