Ենթաբազմություն

Ենթաբազմություն բազմությունների տեսությունում - բազմության մասի հասկացություն

Էյլերի դիագրամում երևում է, որ A բազմությունը B բազմության ենթաբազմություն է

Սահմանում

$A$ բազմությունը համարվում է $B$ բազմության ենթաբազմություն, եթե $A$-ին պատկանող ցանկացած տարր պատկանում է նաև $B$-ին։

$(A\subset B)\Leftrightarrow (x\in A\Rightarrow x\in B).$

Ենթաբազմությունների համար գոյություն ունեն երկու սիմվոլիկ նշանակումներ.

«$A$-ն $B$-ի ենթաբազմություն է». նշանակվում է	«$A$-ն $B$-ի սեփական ենթաբազմություն է». նշանակվում է	Ծանոթություն
$A\subseteq B$	$A\subset B$	$\subseteq$ սիմվոլի արտաքին տեսքը ցույց է տալիս, որ եթե $A=B$, ապա $A\subseteq B$.
$A\subset B$	$A\subsetneq B$	«Ենթաբազմության» հասկացության համար օգտագործվում է ավելի պարզ սիմվոլ, քանի որ այդ հասկացությունն ավելի հիմնավոր է։

Ցավոք, նշանակումների երկու համակարգերն էլ օգտագործում են $\subset$ տարբեր իմաստներով, որը կարող է շփոթության բերել։ Այստեղ կօգտագործենք նշանակումների վերջին համակարգը։ $A$ բազմության բոլոր ենթաբազմությունների բազմությունը նշանակվում է ${\mathcal {P}}(A)$:

Սեփական ենթաբազմություն

Ցանկացած $B$ բազմություն համարվում է իր ենթաբազմությունը։ Եթե ցանկանում ենք $B$ բազմությունը բացառել դիտարկումից, օգտվում ենք սեփական ենթաբազմության հասկացությունից, որը սահմանվում է.

$A$ բազմությունը համարվում է $B$ բազմության սեփական ենթաբազմություն, եթե $A\subset B$ և $A\neq B$:

Դատարկ բազմությունը ցանկացած բազմության ենթաբազմություն է։ Եթե ցանկանում ենք բացառել նաև դատարկ բազմությունը, օգտվում ենք ոչ տրիվիալ ենթաբազմության հասկացությունից, որը սահմանվում է հետևյալ կերպ.

$A$ բազմությունը համարվում է $B$ բազմության ոչ տրիվիալ ենթաբազմություն, եթե $A$-ն $B$-ի սեփական ենթաբազմություն է և $A\neq \varnothing$:

Օրինակներ

• $\varnothing ,\{0\},\{1,3,4\}$ բազմությունները $\{0,1,2,3,4,5\}$ բազմության ենթաբազմություններ են։
• $\{\varnothing ,\uparrow ,moose\},\{\$,\%,*,\uparrow \},\{\varnothing \},\varnothing$ բազմությունները $\{\$,\%,\varnothing ,\uparrow ,*,moose\}$ բազմության ենթաբազմություններ են։
• Եթե $A=\{a,b\}$, ապա ${\mathcal {P}}(A)=\{\varnothing ,\{a\},\{b\},\{a,b\}\}$:
• Եթե $A=\{1,2,3,4,5\},\;B=\{1,2,3\},\;C=\{4,5,6,7\}$, ապա $B\subset A,\;C\not \subset A$:

Հատկություններ

Ենթաբազմության հարաբերությունն օժտված է մի շարք հատկություններով

• Ենթաբազմության հարաբերությունը մասնակի կարգավորված հարաբերություն է.
  • Ենթաբազմության հարաբերությունը ռեֆլեքսիվ է.

    $B\subset B$

  • Ենթաբազմության հարաբերությունը անտիսիմետրիկ է.

    $(A\subset B\;\land \;B\subset A)\Leftrightarrow (A=B)$

  • Ենթաբազմության հարաբերությունը տրանզիտիվ է.

    $(A\subset B\;\land \;B\subset C)\Rightarrow (A\subset C)$

• Դատարկ բազմությունը ցանկացած բազմության ենթաբազմություն է, այդ պատճառով այն ենթաբազմության հարաբերության նկատմամբ փոքրագույն բազմությունն է.

  $\varnothing \subset B$

• Ցանկացած $A$ և $B$ երկու բազմությունների համար հետևյալ պնդումները համարժեք են.
  • $A\subset B$
  • $A\cap B=A$
  • $A\cup B=B$
  • $B^{\complement }\subset A^{\complement }$

Վերջավոր բազմությունների ենթաբազմություններ

Եթե ելակետային բազմությունը վերջավոր է, ապա այն ունի վերջավոր քանակով ենթաբազմություններ։ Ավելի ստույգ, $n$ տարր ունեցող բազմությունն ունի $2^{n}$ ենթաբազմություններ, ներառյալ դատարկ բազմությունը։ Դրանում համոզվելու համար բավական է նկատել, որ յուրաքանչյուր տարր կարող է պատկանալ կամ չպատկանալ ենթաբազմությանը, նշանակում է, ենթաբազմությունների ընդհանուր քանակը կլինի երկյակների $n$-ապատիկ արտադրյալը։ Եթե դիտարկենք $n$ տարր ունեցող բազմության միայն $k\leq n$ տարր ունեցող ենթաբազմությունները, ապա նրանց քանակը կարտահայտվի $\textstyle {\binom {n}{k}}$ բինոմալ գործակցով։ Այս փաստը ստուգելու համար կարելի է հաջորդաբար ընտրել ենթաբազմության տարրերը։ Առաջին տարրը կարելի է ընտրել $n$ եղանակով, երկրորդը $n-1$ եղանակով, և այսպես շարունակ, $k$-րդ տարրը՝ $n-k+1$: Այսպիսով, ստանում ենք $k$ տարրից բաղկացած հաջորդականություն, և ճիշտ $k!$ այդպիսի հաջորդականություններին համապատասխանում է մեկ ենթաբազմություն։ Նշանակում է, գտնվում են այդպիսի $\textstyle {\frac {n(n-1)\dots (n-k+1)}{k!}}={\binom {n}{k}}$ ենթաբազմություններ։

Գրականություն

• Верещагин Н. К., Шень А. Лекции по математической логике и теории алгоритмов. Часть 1. Начала теории множеств.. — 3-е изд., стереотип. — М.: МЦНМО, 2008. — 128 с. — ISBN 978-5-94057-321-0 (ռուս.)