Ենթաբազմություն

Վիքիպեդիայից՝ ազատ հանրագիտարանից

Ենթաբազմություն բազմությունների տեսությունում - բազմության մասի հասկացություն

Էյլերի դիագրամում երևում է, որ A բազմությունը B բազմության ենթաբազմություն է

Սահմանում[խմբագրել | խմբագրել կոդը]

բազմությունը համարվում է բազմության ենթաբազմություն, եթե -ին պատկանող ցանկացած տարր պատկանում է նաև -ին։

Ենթաբազմությունների համար գոյություն ունեն երկու սիմվոլիկ նշանակումներ.

«-ի ենթաբազմություն է». նշանակվում է «-ի սեփական ենթաբազմություն է». նշանակվում է Ծանոթություն
սիմվոլի արտաքին տեսքը ցույց է տալիս, որ եթե , ապա .
«Ենթաբազմության» հասկացության համար օգտագործվում է ավելի պարզ սիմվոլ, քանի որ այդ հասկացությունն ավելի հիմնավոր է։

Ցավոք, նշանակումների երկու համակարգերն էլ օգտագործում են տարբեր իմաստներով, որը կարող է շփոթության բերել։ Այստեղ կօգտագործենք նշանակումների վերջին համակարգը։ բազմության բոլոր ենթաբազմությունների բազմությունը նշանակվում է :

Սեփական ենթաբազմություն[խմբագրել | խմբագրել կոդը]

Ցանկացած բազմություն համարվում է իր ենթաբազմությունը։ Եթե ցանկանում ենք բազմությունը բացառել դիտարկումից, օգտվում ենք սեփական ենթաբազմության հասկացությունից, որը սահմանվում է.

բազմությունը համարվում է բազմության սեփական ենթաբազմություն, եթե и :

Դատարկ բազմությունը ցանկացած բազմության ենթաբազմություն է։ Եթե ցանկանում ենք բացառել նաև դատարկ բազմությունը, օգտվում ենք ոչ տրիվիալ ենթաբազմության հասկացությունից, որը սահմանվում է հետևյալ կերպ.

բազմությունը համարվում է բազմության ոչ տրիվիալ ենթաբազմություն, եթե -ի սեփական ենթաբազմություն է և :

Օրինակներ[խմբագրել | խմբագրել կոդը]

  • բազմությունները բազմության ենթաբազմություններ են։
  • բազմությունները բազմության ենթաբազմություններ են։
  • Եթե , ապա :
  • Եթե , ապա :

Հատկություններ[խմբագրել | խմբագրել կոդը]

Ենթաբազմության հարաբերությունն օժտված է մի շարք հատկություններով[1]

  • Ենթաբազմության հարաբերությունը մասնակի կարգավորված հարաբերություն է.
    • Ենթաբազմության հարաբերությունը ռեֆլեքսիվ է.
    • Ենթաբազմության հարաբերությունը անտիսիմետրիկ է.
    • Ենթաբազմության հարաբերությունը տրանզիտիվ է.
  • Դատարկ բազմությունը ցանկացած բազմության ենթաբազմություն է, այդ պատճառով այն ենթաբազմության հարաբերության նկատմամբ փոքրագույն բազմությունն է.
  • Ցանկացած և երկու բազմությունների համար հետևյալ պնդումները համարժեք են.

Վերջավոր բազմությունների ենթաբազմություններ[խմբագրել | խմբագրել կոդը]

Եթե ելակետային բազմությունը վերջավոր է, ապա այն ունի վերջավոր քանակով ենթաբազմություններ։ Ավելի ստույգ, տարր ունեցող բազմությունն ունի ենթաբազմություններ, ներառյալ դատարկ բազմությունը: Դրանում համոզվելու համար բավական է նկատել, որ յուրաքանչյուր տարր կարող է պատկանալ կամ չպատկանալ ենթաբազմությանը, նշանակում է, ենթաբազմությունների ընդհանուր քանակը կլինի երկյակների -ապատիկ արտադրյալը։ Եթե դիտարկենք տարր ունեցող բազմության միայն տարր ունեցող ենթաբազմությունները, ապա նրանց քանակը կարտահայտվի բինոմալ գործակցով։ Այս փաստը ստուգելու համար կարելի է հաջորդաբար ընտրել ենթաբազմության տարրերը։ Առաջին տարրը կարելի է ընտրել եղանակով, երկրորդը եղանակով, և այսպես շարունակ, -րդ տարրը՝ : Այսպիսով, ստանում ենք տարրից բաղկացած հաջորդականություն, և ճիշտ այդպիսի հաջորդականություններին համապատասխանում է մեկ ենթաբազմություն։ Նշանակում է, գտնվում են այդպիսի ենթաբազմություններ։

Ծանոթագրություններ[խմբագրել | խմբագրել կոդը]

  1. ↑ В. А. Ильин, В. А. Садовничий, Бл. Х. Сендов. Глава 2. Вещественные числа // Математический анализ / Под ред. А. Н. Тихонова. — 3-е изд., перераб. и доп. — М.: Проспект, 2006. — Т. 1. — С. 65. — 672 с. — ISBN 5-482-00445-7 (ռուս.)

Գրականություն[խմբագրել | խմբագրել կոդը]

  • Верещагин Н. К., Шень А. Лекции по математической логике и теории алгоритмов. Часть 1. Начала теории множеств.. — 3-е изд., стереотип. — М.: МЦНМО, 2008. — 128 с. — ISBN 978-5-94057-321-0 (ռուս.)