Հաշվարկման լոգարիթմական համակարգ

Հաշվարկման լոգարիթմական համակարգ (LNS), թվաբանական համակարգ, որը երբեմն օգտագործվում է համակարգիչներում և թվային սարքավորումներում իրական թվերը ներկայացնելու համար, հատկապես թվային ազդանշանի մշակման ժամանակ։

Թեորիա[խմբագրել | խմբագրել կոդը]

LNS-ում $X$ թիվը լոգարիթմով ներկայացված է հետևյալ կերպ.

X\rightarrow \{s,x=\log _{b}(|X|)\},

որտեղ $x$ -ը նրա բացարձակ արժեքն է, իսկ $s$ -ը նշանակում է X նշանը $X$ ( $s=0$ կամ $X>0$ և $s=1$ կամ $X<0$ )։

Այս ձևակերպումը պարզեցնում է բազմապատկման, բաժանման և աստիճանի բարձրացման գործողությունները, քանի որ դրանք հանգում են համապատասխանաբար գումարման, հանման, բազմապատկման և բաժանման։ Մյուս կողմից, նշման այս ձևով գումարման և հանման գործողությունները պարզվում են, որ ավելի բարդ են, և դրանք հաշվարկվում են բանաձևերով.

\log _{b}(|X|+|Y|)=x+s_{b}(y-x)

\log _{b}(||X|-|Y||)=x+d_{b}(y-x),

որտեղ $z=y-x$ օպերանդների լոգարիթմների տարբերությունն է, $s_{b}(z)=\log _{b}(1+b^{z})$ «գումարի» ֆունկցիան, իսկ $d_{b}(z)=\log _{b}(|1-b^{z}|)$ ՝ «տարբերության» ֆունկցիան։ $s_{b}(z)$ և $d_{b}(z)$ ֆունկցիաները, որը պատկերված է աջ կողմում գտնվող նկարում, հայտնի են նաև որպես Գաուսի լոգարիթմներ։ Բազմապատկման, բաժանման, արմատի հանման և աստիճանի բարձրացման պարզեցումը փոխհատուցվում է գումարման և հանման համար այս ֆունկցիաների գնահատման դժվարությամբ։ Այս ավելացված գնահատման արժեքը կարող է աննշան լինել LNS-ի օգտագործման դեպքում հիմնականում լողացող ստորակետով գործողությունների ճշգրտությունը բարելավելու համար։

Պատմություն[խմբագրել | խմբագրել կոդը]

Լոգարիթմական թվերի համակարգը ինքնուրույն հորինվել և հրապարակվել է առնվազն երեք անգամ՝ որպես ֆիքսված և լողացող ստորակետով հաշվարկման համակարգերիայլընտրանք^[1]։

Քինգսբերին և Ռեյները 1971 թվականին ներկայացրել են թվային ազդանշանի մշակման «լոգարիթմական թվաբանությունը»^[2]։

Նմանատիպ LNS նկարագրվել է 1975 թվականին Շվարցլանդերի և Ալեհոպոուլոսի կողմից^[3]։

Լին և Էդգարը 1977 թվականին նկարագրել են նմանատիպ թվային համակարգ, որը նրանք անվանել են «Ֆոկուս»^[4]։

LNS-ում գումարման և հանման մաթեմատիկական հիմունքերը կապված են Կառլ Ֆրիդրիխ Գաուսի և Զ. Լեոնելլիի հետ^[5]^[6]։

Կիրառություն[խմբագրել | խմբագրել կոդը]

LNS-ն օգտագործվել է Gravity Pipe-ում (GRAPE)՝ հատուկ գերհամակարգիչ^[7], որը 1999 թվականին արժանացել է Գորդոն Բելլի մրցանակին։

LNS-ը սովորաբար օգտագործվում է որպես թաքնված մարկովյան մոդելների մաս, ինչպիսին է Վիտերբիի ալգորիթմը խոսքի ճանաչման և ԴՆԹ-ի հաջորդականության համար։

LNS-ի կիրառելիությունը հետազոտելու զգալի ջանքերը՝ որպես ընդհանուր նշանակության լողացող ստորակետով համակարգերի կենսունակ այլընտրանք՝ ճշգրիտ իրական թվերի հետ աշխատելու համար, նկարագրված են «Եվրոպական լոգարիթմական միկրոպրոցեսորի» (ELM) համատեքստում^[8]։ Ներկայացված է LNS-ում գործող 32-բիթանոց պրոցեսորի նախատիպը։ ELM ճարտարապետության վրա հիմնված LNS-ի հետագա բարելավումը կրկին ցույց տվեց զգալիորեն ավելի լավ հաշվարկային արագություն և ավելի մեծ ճշգրտություն, քան լողացող ստորակետով հաշվարկները^[9]։

LNS-ը երբեմն օգտագործվում է FPGA հավելվածներում, որտեղ թվաբանական գործողությունների մեծ մասը բազմապատկում և բաժանում է^[10]։

Ծանոթագրություններ[խմբագրել | խմբագրել կոդը]

↑ S. C. Lee and A. D. Edgar Addendum to "The Focus Number System"(անգլ.) // IEEE Transactions on Computers : journal. — 1979. — Т. C—28. — № 9. — С. 693. — doi:10.1109/TC.1979.1675442
↑ N. G. Kingsbury and P. J. W. Rayner Digital filtering using logarithmic arithmetic(անգլ.) // Electronics Letters : journal. — 1971. — Т. 7. — С. 55.
↑ E. E. Swartzlander and A. G. Alexopoulos The Sign/Logarithm Number System(անգլ.) // IEEE Transactions on Computers : journal. — 1975. — Т. C—24. — № 12. — С. 1238—1242. — doi:10.1109/T-C.1975.224172
↑ S. C. Lee and A. D. Edgar The focus number system(անգլ.) // IEEE Transactions on Computers : journal. — 1977. — Т. C—26. — № 11. — С. 1167—1170. — doi:10.1109/TC.1977.1674770
↑ «Logarithm: Addition and Subtraction, or Gaussian Logarithms». Encyclopædia Britannica Eleventh Edition. Արխիվացված է օրիգինալից 2013 թ․ հունվարի 29-ին. Վերցված է 2013 թ․ հունվարի 18-ին.
↑ G. Waldo Dunnington Carl Friedrich Gauss. — MAA, 2002. — ISBN 0-88385-547-X
↑ J Makino and M. Taiji Scientific Simulations with Special Purpose Computers: The GRAPE Systems. — Wiley, 1998. — ISBN 978-0-471-96946-4
↑ J. N. Coleman, C. I. Softley, J. Kadlec, R. Matousek, M. Tichy, Z. Pohl, A. Hermanek, and N. F. Benschop The European Logarithmic Microprocessor(անգլ.) // IEEE Transactions on Computers : journal. — 2008. — Т. 57. — № 4. — С. 532—546. — doi:10.1109/TC.2007.70791
↑ R.C Ismail and J.N Coleman ROM-less LNS (und) // 2011 20th IEEE Symposium on Computer Arithmetic (ARITH). — 2011. — С. 43—51. — doi:10.1109/ARITH.2011.15
↑ Haohuan Fu, Oskar Mencer, Wayne Luk Comparing Floating-point and Logarithmic Number Representations for Reconfigurable Acceleration(անգլ.) // IEEE Conference on Field Programmable Technology : journal. — 2006. — С. 337. — doi:10.1109/FPT.2006.270342

Արտաքին հղումներ[խմբագրել | խմբագրել կոդը]

[1] S. C. Lee and A. D. Edgar Addendum to "The Focus Number System"(անգլ.) // IEEE Transactions on Computers : journal. — 1979. — Т. C—28. — № 9. — С. 693. — doi:10.1109/TC.1979.1675442

[2] N. G. Kingsbury and P. J. W. Rayner Digital filtering using logarithmic arithmetic(անգլ.) // Electronics Letters : journal. — 1971. — Т. 7. — С. 55.

[3] E. E. Swartzlander and A. G. Alexopoulos The Sign/Logarithm Number System(անգլ.) // IEEE Transactions on Computers : journal. — 1975. — Т. C—24. — № 12. — С. 1238—1242. — doi:10.1109/T-C.1975.224172

[4] S. C. Lee and A. D. Edgar The focus number system(անգլ.) // IEEE Transactions on Computers : journal. — 1977. — Т. C—26. — № 11. — С. 1167—1170. — doi:10.1109/TC.1977.1674770

[5] «Logarithm: Addition and Subtraction, or Gaussian Logarithms». Encyclopædia Britannica Eleventh Edition. Արխիվացված է օրիգինալից 2013 թ․ հունվարի 29-ին. Վերցված է 2013 թ․ հունվարի 18-ին.

[6] G. Waldo Dunnington Carl Friedrich Gauss. — MAA, 2002. — ISBN 0-88385-547-X

[7] J Makino and M. Taiji Scientific Simulations with Special Purpose Computers: The GRAPE Systems. — Wiley, 1998. — ISBN 978-0-471-96946-4

[8] J. N. Coleman, C. I. Softley, J. Kadlec, R. Matousek, M. Tichy, Z. Pohl, A. Hermanek, and N. F. Benschop The European Logarithmic Microprocessor(անգլ.) // IEEE Transactions on Computers : journal. — 2008. — Т. 57. — № 4. — С. 532—546. — doi:10.1109/TC.2007.70791

[9] R.C Ismail and J.N Coleman ROM-less LNS (und) // 2011 20th IEEE Symposium on Computer Arithmetic (ARITH). — 2011. — С. 43—51. — doi:10.1109/ARITH.2011.15

[10] Haohuan Fu, Oskar Mencer, Wayne Luk Comparing Floating-point and Logarithmic Number Representations for Reconfigurable Acceleration(անգլ.) // IEEE Conference on Field Programmable Technology : journal. — 2006. — С. 337. — doi:10.1109/FPT.2006.270342

[1]

[2]

[3]

[4]

[5]

[6]

[7]

[8]

[9]

[10]