Ֆունկցիայի ածանցյալ

Վիքիպեդիայից՝ ազատ հանրագիտարանից
Ֆունկցիայի գրաֆիկը և ածանցյալը այդ կետում

Ֆունկցիայի ածանցյալ, ֆունկցիայի հետազոտման տարր, դիֆերենցիալ հաշվի հիմնական հասկացություններից, որ բնութագրում է ֆունկցիայի փոփոխության արագությունը տվյալ կետում։

Ածանցյալը ֆունկցիայի աճի արգումենտի աճի հարաբերության սահմանն է, երբ արգումենտի աճը ձգտում է զրոյի։ Ածանցյալի հաշվման գործողությունը կոչվում է դիֆերենցում, իսկ հակադարձ գործողությունը՝ ինտեգրում։

Ֆունկցիայի ածանցելիություն[խմբագրել | խմբագրել կոդը]

  • ֆունկցիան ածանցելի է կետում, եթե կամայական անվերջ փոքրի համար զուգամետ է հաջորդականությունը։
  • Եթե ֆունկցիան ածանցելի է կետում, ապա հաջորդականության սահմանն անվանում են ֆունկցիայի ածանցյալ կետում և նշանակում (կարդացվում է՝ էֆ շտրիխ )

։

Դիցուք -ն այն բազմությունն է, որին պատկանող կետերում ֆունկցիան ածանցելի է։ Այդ բազմության յուրաքանչյուր կետի համապատասխանեցնելով թիվը, կստանանք բազմության վրա որոշված ֆունկցիա։ Այդ ֆունկցիան անվանում են ֆունկցիայի ածանցյալ և նշանակում՝ կամ [1]։

Ածանցյալի ֆիզիկական իմաստները[խմբագրել | խմբագրել կոդը]

  • օրենքով ուղղագիծ շարժվող մարմնի արագությունը ժամանակի պահին հավասար է ֆունկցիայի ածանցյալին՝

։

  • Եթե ուղղագիծ շարժվող մարմնի արագությունը փոխվում է օրենքով, ապա նրա արագացումը ժամանակի պահին հավասար է ֆունկցիայի ածանցյալին՝

Հաստատուն ֆունկցիայի ածանցյալը[խմբագրել | խմբագրել կոդը]

հաստատուն ֆունկցիայի ածանցյալը՝ ցանկացած կետի և կամայական անվերջ փոքրի համար՝

Հաստատուն ֆունկցիայի ածանցյալը զրոն է։

Գծային ֆունկցիայի ածանցյալը[խմբագրել | խմբագրել կոդը]

գծային ֆունկցիայի ածանցյալը՝ ցանկացած կետի և կամայական անվերջ փոքրի համար՝

Հետևաբար, ։

Քառակուսային ֆունկցիայի ածանցյալը[խմբագրել | խմբագրել կոդը]

ֆունկցիայի ածանցյալը՝

Հետևաբար՝ ։

Հակադարձ ֆունկցիայի ածանցյալը[խմբագրել | խմբագրել կոդը]

ֆունկցիայի ածանցյալը զրոյից տարբեր կետում՝

Եթե -ն անվերջ փոքր է, ապա ։ Կիրառելով զուգամետ հաջորդականությունների քանորդի սահմանի վերաբերյալ թեորեմը, կստանք՝

ֆունկցիան ածանցելի է իր որոշման տիրույթի բոլոր կետերում և

Ցուցչային ֆունկցիայի ածանցյալը[խմբագրել | խմբագրել կոդը]

ֆունկցիայի ածանցյալը զրոյից տարբեր կետում՝

Հաշվի առնելով, որ , ստանում ենք՝

։

Հետևաբար ։

Անընդհատ ֆունկցիայի թեորեմը[խմբագրել | խմբագրել կոդը]

  • Եթե ֆունկցիան ածանցելի է որևէ կետում, ապա այդ կետում ֆունկցիան անընհատ է։

Ապացուցում[խմբագրել | խմբագրել կոդը]

Եթե ֆունկցիան ածանցելի է կետում, ապա կամայական անվերջ փոքրի համար

հաջորդականությունն անվերջ փոքր է։ Այստեղից ստանում ենք ՝

։

Քանի որ և հաջորդականություններն անվերջ փոքր են. ուրեմն հաջորդականությունը նույնպես անվերջ փոքր է։ Հետևաբար՝ ֆունկցիան կետում անընդհատ է։

Գումարի ածանցման կանոնը[խմբագրել | խմբագրել կոդը]

  • Եթե և ֆունկցիաները ածանցելի են որևէ կետում, իսկ -ն հաստատուն է, ապա և ֆունկցիաները նույնպես ածանցելի են այդ կետում, ընդ որում՝

։

Ապացուցում[խմբագրել | խմբագրել կոդը]

Դիցուք և ֆունկցիաներն ածանցելի են կետում, և -ը կամայական անվերջ փոքր է։ Օգտվելով զուգամետ հաջորդականությունների հատկություններից, ստանում ենք՝

Թեորեմի ֆիզիկական մեկնաբանությունը[խմբագրել | խմբագրել կոդը]

Դիցուք գետափնյա նավամատույցից միաժամանակ սկսում են շարժվել լաստն ու շոգենավը։ Ենթադրենք ժամանակի կամայական պահին շոգենավի հեռավորությունը լաստից է, իսկ լաստի հեռավորությունը նավամատույցից՝ է։ Դա կնշանակի, որ շոգենավը լաստից հեռանում է արագությամբ, իսկ լաստը նավամատույցից՝ արագությամբ։ Պարզ է, որ եթե լաստն ու շոգենավը շարժվեն նույն ուղղությամբ, ապա պահին շոգենավի հեռավորությունը նավամատույցից կլինի՝, իսկ եթե շարժվեն հակառակ ուղղություններով, ապա՝ ։ Հետևաբար, եթե լաստն ու շոգենավը շարժվեն նույն ուղղությամբ, ապա շոգենավը նավամատույցից կհեռանա

արագությամբ, իսկ հակառակ ուղղություններով շարժվելու դեպքում՝

Արտադրյալի ածանցման կանոնը[խմբագրել | խմբագրել կոդը]

  • Եթե և ֆունկցիաներն ածանցելի են որևէ կետում, ապա այդ կետում ածանցելի է նաև ֆունկցիան, ընդ որում՝

։

Ապացուցում[խմբագրել | խմբագրել կոդը]

Դիցուք և ֆունկցիաներն ածանցելի են կետում, և -ը կամայական անվերջ փոքր է։ Հեշտ է ստուգել, որ

Քանի որ ֆունկցիան կետում ածանցելի է, ուրեմն այն անընդհատ է կետում։ Հետևաբար, Օգտվելով զուգամետ հաջորդականությունների գումարի և արտադրյալի վերաբերյալ թեորեմից՝ երկու առնչություններից ստանում ենք.

Քանորդի ածանցման կանոնը[խմբագրել | խմբագրել կոդը]

Թեորեմ 1։ Եթե ֆունկցիան ածանցելի է կետում և , ապա այդ կետում ածանցելի է նաև ֆունկցիան, ընդ որում

։

Ապացուցում[խմբագրել | խմբագրել կոդը]

Դիցուք -ն անվերջ փոքր է։ Պարզ ձևափոխություններով ստանում ենք՝

Քանի որ ֆունկցիան ածանցելի և հետևաբար՝ անընդհատ է կետում, ուստի

Թեորեմ 2։ Եթե և ֆունկցիաններն ածանցելի են կետում և , ապա այդ կետում ածանցելի է նաև ֆունկցիան, ընդ որում

։

Ապացուցում[խմբագրել | խմբագրել կոդը]

Օգտվելով նախորդ թեորեմից և արտադրյալի ածանցման կանոնից, ստանում ենք՝

Բարդ ֆունկցիայի ածանցյալը[խմբագրել | խմբագրել կոդը]

Թեորեմ 1։ Եթե ֆունկցիան ածանցելի է կետում, իսկ ֆունկցիան՝ կետում, ապա ֆունկցիան ածանցելի է կետում, և

Թեորեմ 2։ Եթե ֆունկցիան ածանցելի է, ապա ֆունկցիան նույնպես ածանցելի է, և

Ապացուցում[խմբագրել | խմբագրել կոդը]

Դիցուք -ն անվերջ փոքր է։ Այդ դեպքում անվերջ փոքր է նաև հաջորդականությունը, ուստի

Տարրական ֆունկցիաների ածանցյալները[խմբագրել | խմբագրել կոդը]

Ծանոթագրություններ[խմբագրել | խմբագրել կոդը]

  1. Հանրահաշիվ և մաթեմատիկական անալիզի տարրեր(11-րդ դասարան):Հեղինակներ Գ.Գ. Գևորգյան, Ա. Ա. Սահակյան