Ֆունկցիայի գրաֆիկը և ածանցյալը այդ կետում Ֆունկցիայի ածանցյալ , ֆունկցիայի հետազոտման տարր, դիֆերենցիալ հաշվի հիմնական հասկացություններից, որ բնութագրում է ֆունկցիայի փոփոխության արագությունը տվյալ կետում։
Ածանցյալը ֆունկցիայի աճի և արգումենտի աճի հարաբերության սահմանն է, երբ արգումենտի աճը ձգտում է զրոյի։
Ածանցյալի հաշվման գործողությունը կոչվում է դիֆերենցում, իսկ հակադարձ գործողությունը՝ ինտեգրում։
f
{\displaystyle f}
ֆունկցիան ածանցելի է
X
0
{\displaystyle X_{0}}
h
n
{\displaystyle h_{n}}
անվերջ փոքրի համար զուգամետ է
f
(
x
0
+
2
c
−
2
(
2
f
−
2
n
)
h
n
)
−
f
(
x
0
)
h
n
{\displaystyle {\frac {f(x_{0}+2c-2_{(}2f-2n)h_{n})-f(x_{0})}{h_{n}}}}
հաջորդականությունը ։Եթե
f
{\displaystyle f}
X
0
{\displaystyle X_{0}}
f
(
x
0
+
h
n
)
−
f
(
x
0
)
h
n
{\displaystyle {\frac {f(x_{0}+h_{n})-f(x_{0})}{h_{n}}}}
հաջորդականության սահմանն անվանում են
f
{\displaystyle f}
x
0
{\displaystyle x_{0}}
f
′
(
x
0
)
{\displaystyle f'(x_{0})}
x
0
{\displaystyle x_{0}}
f
′
(
x
0
)
=
lim
n
→
∞
f
(
x
0
+
h
n
)
−
f
(
x
0
)
h
n
{\displaystyle f'(x_{0})=\lim _{n\rightarrow \infty }{\frac {f(x_{0}+h_{n})-f(x_{0})}{h_{n}}}}
Դիցուք
D
{\displaystyle D}
բազմությունն է, որին պատկանող կետերում
y
=
f
(
x
)
{\displaystyle y=f(x)}
x
{\displaystyle x}
f
′
(
x
)
{\displaystyle f'(x)}
D
{\displaystyle D}
y
=
f
(
x
)
{\displaystyle y=f(x)}
f
′
{\displaystyle f'}
y
′
{\displaystyle y'}
[ 1]
s
(
t
)
{\displaystyle s(t)}
V
(
t
)
{\displaystyle V(t)}
արագությունը ժամանակի
t
{\displaystyle t}
s
(
t
)
{\displaystyle s(t)}
V
(
t
)
=
s
′
(
t
)
{\displaystyle V(t)=s'(t)}
Եթե ուղղագիծ շարժվող մարմնի արագությունը փոխվում է
V
(
t
)
{\displaystyle V(t)}
a
(
t
)
{\displaystyle a(t)}
արագացումը ժամանակի
t
{\displaystyle t}
a
(
t
)
=
V
′
(
t
)
{\displaystyle a(t)=V'(t)}
f
(
x
)
=
a
{\displaystyle f(x)=a}
հաստատուն ֆունկցիայի ածանցյալը՝ ցանկացած
x
0
{\displaystyle x_{0}}
h
n
{\displaystyle h_{n}}
անվերջ փոքրի համար՝
f
(
x
0
+
h
n
)
−
f
(
x
0
)
h
n
=
a
−
a
h
n
=
0
:
{\displaystyle {\frac {f(x_{0}+h_{n})-f(x_{0})}{h_{n}}}={\frac {a-a}{h_{n}}}=0:}
Հաստատուն ֆունկցիայի ածանցյալը զրոն է։
Օրինակ
Գտնենք
f
(
x
)
=
6
x
+
1
{\displaystyle f(x)=6x+1}
f
(
x
0
+
h
n
)
−
f
(
x
)
h
n
=
6
(
x
+
h
n
)
+
1
−
6
x
−
1
h
n
→
6
:
{\displaystyle {\frac {f(x_{0}+h_{n})-f(x)}{h_{n}}}={\frac {6(x+h_{n})+1-6x-1}{h_{n}}}\rightarrow 6:}
Հետևաբար,
(
6
x
+
1
)
′
=
6
{\displaystyle (6x+1)'=6}
f
(
x
)
=
k
x
+
b
{\displaystyle f(x)=kx+b}
x
0
{\displaystyle x_{0}}
h
n
{\displaystyle h_{n}}
անվերջ փոքրի համար՝
f
(
x
0
+
h
n
)
−
f
(
x
)
h
n
=
k
(
x
+
h
n
)
+
b
−
k
x
−
b
h
n
=
k
:
{\displaystyle {\frac {f(x_{0}+h_{n})-f(x)}{h_{n}}}={\frac {k(x+h_{n})+b-kx-b}{h_{n}}}=k:}
Հետևաբար,
(
k
x
+
b
)
′
=
k
{\displaystyle (kx+b)'=k}
Օրինակ
Գտնենք
f
(
x
)
=
4
x
2
{\displaystyle f(x)=4x^{2}}
f
(
x
0
+
h
n
)
−
f
(
x
)
h
n
=
(
4
x
+
h
n
)
2
−
(
4
x
)
2
h
n
=
4
⋅
2
x
+
h
n
→
8
x
:
{\displaystyle {\frac {f(x_{0}+h_{n})-f(x)}{h_{n}}}={\frac {(4x+h_{n})^{2}-(4x)^{2}}{h_{n}}}=4\cdot 2x+h_{n}\rightarrow 8x:}
Հետևաբար՝
(
4
x
2
)
′
=
8
x
{\displaystyle (4x^{2})'=8x}
f
(
x
)
=
x
2
{\displaystyle f(x)=x^{2}}
f
(
x
0
+
h
n
)
−
f
(
x
0
)
h
n
=
(
x
+
h
n
)
2
−
x
2
h
n
=
2
x
+
h
n
→
2
x
:
{\displaystyle {\frac {f(x_{0}+h_{n})-f(x_{0})}{h_{n}}}={\frac {(x+h_{n})^{2}-x^{2}}{h_{n}}}=2x+h_{n}\rightarrow 2x:}
Հետևաբար՝
(
x
2
)
′
=
2
x
{\displaystyle (x^{2})'=2x}
Օրինակ
Գտնենք
f
(
x
)
=
1
5
x
{\displaystyle f(x)={\frac {1}{5x}}}
f
(
x
0
+
h
n
)
−
f
(
x
)
h
n
=
1
5
x
+
h
n
−
1
5
x
h
n
=
−
1
5
x
(
5
x
+
h
n
)
→
−
1
25
x
2
{\displaystyle {\frac {f(x_{0}+h_{n})-f(x)}{h_{n}}}={\frac {{\frac {1}{5x+h_{n}}}-{\frac {1}{5x}}}{h_{n}}}=-{\frac {1}{5x(5x+h_{n})}}\rightarrow -{\frac {1}{25x^{2}}}}
Հետևաբար՝
f
(
x
)
=
(
1
5
x
)
′
=
−
1
25
x
2
{\displaystyle f(x)=\left({\frac {1}{5x}}\right)'=-{\frac {1}{25x^{2}}}}
f
(
x
)
=
1
x
{\displaystyle f(x)={\frac {1}{x}}}
x
{\displaystyle x}
f
(
x
0
+
h
n
)
−
f
(
x
0
)
h
n
=
1
x
+
h
n
−
1
x
h
n
=
−
1
x
(
x
+
h
n
)
:
{\displaystyle {\frac {f(x_{0}+h_{n})-f(x_{0})}{h_{n}}}={\frac {{\frac {1}{x+h_{n}}}-{\frac {1}{x}}}{h_{n}}}=-{\frac {1}{x(x+h_{n})}}:}
Եթե
h
n
{\displaystyle h_{n}}
lim
n
→
∞
(
x
+
h
n
)
=
x
{\displaystyle \lim _{n\rightarrow \infty }(x+h_{n})=x}
f
(
x
0
+
h
n
)
−
f
(
x
0
)
h
n
→
−
1
x
2
:
{\displaystyle {\frac {f(x_{0}+h_{n})-f(x_{0})}{h_{n}}}\rightarrow -{\frac {1}{x^{2}}}:}
f
(
x
)
=
1
x
{\displaystyle f(x)={\frac {1}{x}}}
(
1
x
)
′
=
−
1
x
2
:
{\displaystyle \left({\frac {1}{x}}\right)'=-{\frac {1}{x^{2}}}:}
Օրինակ
Գտնենք
f
(
x
)
=
8
x
+
1
{\displaystyle f(x)={\sqrt {8x+1}}}
f
(
x
0
+
h
n
)
−
f
(
x
)
h
n
=
(
8
x
+
1
)
+
h
n
−
(
8
x
+
1
)
h
n
=
(
(
8
x
+
1
)
+
h
n
−
(
8
x
+
1
)
)
(
8
x
+
1
)
+
h
n
+
(
8
x
+
1
)
)
h
n
(
(
8
x
+
1
)
+
h
n
+
(
8
x
+
1
)
)
=
{\displaystyle {\frac {f(x_{0}+h_{n})-f(x)}{h_{n}}}={\frac {{\sqrt {(8x+1)+h_{n}}}-{\sqrt {(8x+1)}}}{h_{n}}}={\frac {({\sqrt {(8x+1)+h_{n}}}-{\sqrt {(8x+1)}}){\sqrt {(8x+1)+h_{n}}}+{\sqrt {(8x+1)}})}{h_{n}({\sqrt {(8x+1)+h_{n}}}+{\sqrt {(8x+1)}})}}=}
=
1
(
8
x
+
1
)
+
h
n
+
(
8
x
+
1
)
→
1
2
8
x
+
1
:
{\displaystyle ={\frac {1}{{\sqrt {(8x+1)+h_{n}}}+{\sqrt {(8x+1)}}}}\rightarrow {\frac {1}{2{\sqrt {8x+1}}}}:}
Հետևաբար
f
(
x
)
=
(
8
x
+
1
)
′
=
1
2
8
x
+
1
{\displaystyle f(x)=\left({\sqrt {8x+1}}\right)'={\frac {1}{2{\sqrt {8x+1}}}}}
f
(
x
)
=
x
{\displaystyle f(x)={\sqrt {x}}}
x
{\displaystyle x}
f
(
x
0
+
h
n
)
−
f
(
x
0
)
h
n
=
x
+
h
n
−
x
h
n
=
(
x
+
h
n
−
x
)
(
x
+
h
n
+
x
)
h
n
(
x
+
h
n
+
x
)
=
1
x
+
h
n
+
x
:
{\displaystyle {\frac {f(x_{0}+h_{n})-f(x_{0})}{h_{n}}}={\frac {{\sqrt {x+h_{n}}}-{\sqrt {x}}}{h_{n}}}={\frac {({\sqrt {x+h_{n}}}-{\sqrt {x}})({\sqrt {x+h_{n}}}+{\sqrt {x}})}{h_{n}({\sqrt {x+h_{n}}}+{\sqrt {x}})}}={\frac {1}{{\sqrt {x+h_{n}}}+{\sqrt {x}}}}:}
Հաշվի առնելով, որ
lim
n
→
∞
(
x
+
h
n
)
=
x
{\displaystyle \lim _{n\rightarrow \infty }{\sqrt {(x+h_{n})}}={\sqrt {x}}}
lim
n
→
∞
f
(
x
+
h
n
)
−
f
(
x
)
h
n
=
1
2
x
{\displaystyle \lim _{n\rightarrow \infty }{\frac {f(x+h_{n})-f(x)}{h_{n}}}={\frac {1}{2{\sqrt {x}}}}}
Հետևաբար
(
x
)
′
=
1
2
x
{\displaystyle ({\sqrt {x}})'={\frac {1}{2{\sqrt {x}}}}}
Եթե ֆունկցիան ածանցելի է որևէ կետում, ապա այդ կետում ֆունկցիան անընհատ է։ Ապացուցում Եթե
f
{\displaystyle f}
x
0
{\displaystyle x_{0}}
h
n
{\displaystyle h_{n}}
β
n
=
f
(
x
0
+
h
n
)
−
f
(
x
0
)
h
n
−
f
′
(
x
0
)
{\displaystyle \beta _{n}={\frac {f(x_{0}+h_{n})-f(x_{0})}{h_{n}}}-f'(x_{0})}
f
(
x
0
+
h
n
)
−
f
(
x
0
)
=
f
′
(
x
0
)
⋅
h
n
+
β
n
⋅
h
n
{\displaystyle f(x_{0}+h_{n})-f(x_{0})=f'(x_{0})\cdot h_{n}+\beta _{n}\cdot h_{n}}
Քանի որ
h
n
{\displaystyle h_{n}}
β
n
{\displaystyle \beta _{n}}
հաջորդականություններն անվերջ փոքր են. ուրեմն
f
(
x
0
+
h
n
)
−
f
(
x
0
)
{\displaystyle f(x_{0}+h_{n})-f(x_{0})}
f
{\displaystyle f}
x
0
{\displaystyle x_{0}}
Օրինակներ
Գտնենք
f
(
x
)
=
6
x
2
+
9
x
{\displaystyle f(x)=6x^{2}+9x}
(
sin
x
+
cos
x
)
{\displaystyle (\sin x+\cos x)}
f
(
x
)
=
(
6
x
2
+
9
x
)
′
=
(
6
x
2
)
′
+
(
9
x
)
′
=
12
x
+
9
{\displaystyle f(x)=(6x^{2}+9x)'=(6x^{2})'+(9x)'=12x+9}
(
sin
x
+
cos
x
)
′
=
(
sin
x
)
′
+
(
cos
x
)
′
=
cos
x
−
sin
x
{\displaystyle (\sin x+\cos x)'=(\sin x)'+(\cos x)'=\cos x-\sin x}
Եթե
f
{\displaystyle f}
g
{\displaystyle g}
k
{\displaystyle k}
k
⋅
f
,
f
+
g
{\displaystyle k\cdot f,f+g}
f
−
g
{\displaystyle f-g}
(
k
⋅
f
)
′
=
k
⋅
f
′
,
(
f
+
g
)
′
=
f
′
+
g
′
,
(
f
−
g
)
′
=
f
′
−
g
′
{\displaystyle (k\cdot f)'=k\cdot f',~~~(f+g)'=f'+g',~~~(f-g)'=f'-g'}
Ապացուցում Դիցուք
f
{\displaystyle f}
g
{\displaystyle g}
x
{\displaystyle x}
h
n
{\displaystyle h_{n}}
զուգամետ հաջորդականությունների հատկություններից, ստանում ենք՝
(
f
(
x
+
h
n
)
+
g
(
x
+
h
n
)
)
−
(
f
(
x
)
+
g
(
x
)
)
h
n
=
f
(
x
+
h
n
)
−
f
(
x
)
h
n
+
g
(
x
+
h
n
)
−
g
(
x
)
h
n
→
f
′
(
x
)
+
g
′
(
x
)
:
{\displaystyle {\frac {(f(x+h_{n})+g(x+h_{n}))-(f(x)+g(x))}{h_{n}}}={\frac {f(x+h_{n})-f(x)}{h_{n}}}+{\frac {g(x+h_{n})-g(x)}{h_{n}}}\rightarrow f'(x)+g'(x):}
Դիցուք գետափնյա նավամատույցից միաժամանակ սկսում են շարժվել լաստն ու շոգենավը ։ Ենթադրենք ժամանակի կամայական
t
{\displaystyle t}
շոգենավի հեռավորությունը լաստից
s
1
(
t
)
{\displaystyle s_{1}(t)}
s
2
(
t
)
{\displaystyle s_{2}(t)}
V
1
(
t
)
=
s
1
′
(
t
)
{\displaystyle V_{1}(t)=s'_{1}(t)}
V
2
(
t
)
=
s
2
′
(
t
)
{\displaystyle V_{2}(t)=s'_{2}(t)}
t
{\displaystyle t}
s
(
t
)
=
s
1
(
t
)
+
s
2
(
t
)
{\displaystyle s(t)=s_{1}(t)+s_{2}(t)}
s
(
t
)
=
s
1
(
t
)
−
s
2
(
t
)
{\displaystyle s(t)=s_{1}(t)-s_{2}(t)}
V
(
t
)
=
s
′
(
t
)
=
s
1
′
(
t
)
+
s
2
′
(
t
)
=
V
1
(
t
)
+
V
2
(
t
)
{\displaystyle V(t)=s'(t)=s'_{1}(t)+s'_{2}(t)=V_{1}(t)+V_{2}(t)}
արագությամբ, իսկ հակառակ ուղղություններով շարժվելու դեպքում՝
V
(
t
)
=
s
′
(
t
)
=
s
1
′
(
t
)
−
s
2
′
(
t
)
=
V
1
(
t
)
−
V
2
(
t
)
{\displaystyle V(t)=s'(t)=s'_{1}(t)-s'_{2}(t)=V_{1}(t)-V_{2}(t)}
Օրինակներ
Գտնենք
f
(
x
)
=
6
x
2
⋅
9
x
{\displaystyle f(x)=6x^{2}\cdot 9x}
(
sin
x
⋅
cos
x
)
{\displaystyle (\sin x\cdot \cos x)}
f
(
x
)
=
(
6
x
2
⋅
9
x
)
′
=
(
6
x
2
)
′
⋅
(
9
x
)
+
(
6
x
2
)
⋅
(
9
x
)
′
=
12
x
⋅
(
9
x
)
+
(
6
x
2
)
⋅
9
=
108
x
2
+
54
x
2
=
162
x
2
{\displaystyle f(x)=(6x^{2}\cdot 9x)'=(6x^{2})'\cdot (9x)+(6x^{2})\cdot (9x)'=12x\cdot (9x)+(6x^{2})\cdot 9=108x^{2}+54x^{2}=162x^{2}}
(
sin
x
⋅
cos
x
)
′
=
(
sin
x
)
′
⋅
cos
x
+
sin
x
⋅
(
cos
x
)
′
=
cos
x
⋅
cos
x
−
sin
x
⋅
sin
x
=
cos
2
x
−
sin
2
x
{\displaystyle (\sin x\cdot \cos x)'=(\sin x)'\cdot \cos x+\sin x\cdot (\cos x)'=\cos x\cdot \cos x-\sin x\cdot \sin x=\cos ^{2}x-\sin ^{2}x}
Եթե
f
{\displaystyle f}
g
{\displaystyle g}
f
⋅
g
{\displaystyle f\cdot g}
(
f
⋅
g
)
′
=
f
′
⋅
g
+
f
⋅
g
′
{\displaystyle (f\cdot g)'=f'\cdot g+f\cdot g'}
Ապացուցում Դիցուք
f
{\displaystyle f}
g
{\displaystyle g}
x
{\displaystyle x}
h
n
{\displaystyle h_{n}}
f
(
x
+
h
n
)
⋅
g
(
x
+
h
n
)
−
f
(
x
)
⋅
g
(
x
)
=
g
(
x
+
h
n
)
⋅
[
f
(
x
+
h
n
)
−
f
(
x
)
]
+
f
(
x
)
⋅
[
g
(
x
+
h
n
)
−
g
(
x
)
]
:
{\displaystyle f(x+h_{n})\cdot g(x+h_{n})-f(x)\cdot g(x)=g(x+h_{n})\cdot [f(x+h_{n})-f(x)]+f(x)\cdot [g(x+h_{n})-g(x)]:}
Քանի որ
g
{\displaystyle g}
x
{\displaystyle x}
x
{\displaystyle x}
lim
n
→
∞
g
(
x
+
h
n
)
=
g
(
x
)
:
{\displaystyle \lim _{n\rightarrow \infty }g(x+h_{n})=g(x):}
lim
n
→
∞
f
(
x
+
h
n
)
⋅
g
(
x
+
h
n
)
−
f
(
x
)
⋅
g
(
x
)
h
n
=
lim
n
→
∞
g
(
x
+
h
n
)
⋅
lim
n
→
∞
f
(
x
+
h
n
)
−
f
(
x
)
h
n
+
f
(
x
)
lim
n
→
∞
g
(
x
+
h
n
)
−
g
(
x
)
h
n
=
f
′
(
x
)
⋅
g
(
x
)
+
f
(
x
)
⋅
g
′
(
x
)
:
{\displaystyle \lim _{n\rightarrow \infty }{\frac {f(x+h_{n})\cdot g(x+h_{n})-f(x)\cdot g(x)}{h_{n}}}=\lim _{n\rightarrow \infty }g(x+h_{n})\cdot \lim _{n\rightarrow \infty }{\frac {f(x+h_{n})-f(x)}{h_{n}}}+f(x)\lim _{n\rightarrow \infty }{\frac {g(x+h_{n})-g(x)}{h_{n}}}=f'(x)\cdot g(x)+f(x)\cdot g'(x):}
Օրինակներ
Գտնենք
f
(
x
)
=
6
x
2
9
x
{\displaystyle f(x)={\frac {6x^{2}}{9x}}}
2
x
cos
x
{\displaystyle {\frac {2x}{\cos x}}}
f
(
x
)
=
(
6
x
2
9
x
)
′
=
(
6
x
2
)
′
⋅
(
9
x
)
−
(
6
x
2
)
⋅
(
9
x
)
′
(
9
x
)
2
=
12
x
⋅
(
9
x
)
−
(
6
x
2
)
⋅
9
81
x
2
=
2
3
{\displaystyle f(x)=\left({\frac {6x^{2}}{9x}}\right)'={\frac {(6x^{2})'\cdot (9x)-(6x^{2})\cdot (9x)'}{(9x)^{2}}}={\frac {12x\cdot (9x)-(6x^{2})\cdot 9}{81x^{2}}}={\frac {2}{3}}}
(
2
x
cos
x
)
′
=
(
2
x
)
′
⋅
cos
x
+
2
x
⋅
(
cos
x
)
′
(
cos
2
x
)
=
2
cos
x
−
2
x
⋅
sin
x
c
o
s
2
x
{\displaystyle \left({\frac {2x}{\cos x}}\right)'={\frac {(2x)'\cdot \cos x+2x\cdot (\cos x)'}{(\cos ^{2}x)}}={\frac {2\cos x-2x\cdot \sin x}{cos^{2}x}}}
Թեորեմ 1։
g
{\displaystyle g}
x
{\displaystyle x}
g
(
x
)
≠
0
{\displaystyle g(x)\neq 0}
1
g
{\displaystyle {\frac {1}{g}}}
(
1
g
)
′
=
−
g
′
g
2
{\displaystyle \left({\frac {1}{g}}\right)'=-{\frac {g'}{g^{2}}}}
Ապացուցում Դիցուք
h
n
{\displaystyle h_{n}}
1
g
(
x
+
h
n
)
−
1
g
(
x
)
h
n
=
−
1
g
(
x
)
g
(
x
+
h
n
)
⋅
g
(
x
+
h
n
)
−
g
(
x
)
h
n
:
{\displaystyle {\frac {{\frac {1}{g(x+h_{n})}}-{\frac {1}{g(x)}}}{h_{n}}}=-{\frac {1}{g(x)g(x+h_{n})}}\cdot {\frac {g(x+h_{n})-g(x)}{h_{n}}}:}
Քանի որ
g
{\displaystyle g}
x
{\displaystyle x}
lim
n
→
∞
g
(
x
+
h
n
)
−
g
(
x
)
h
n
=
g
′
(
x
)
,
lim
n
→
∞
g
(
x
+
h
n
)
=
g
(
x
)
:
{\displaystyle \lim _{n\rightarrow \infty }{\frac {g(x+h_{n})-g(x)}{h_{n}}}=g'(x),~~~\lim _{n\rightarrow \infty }g(x+h_{n})=g(x):}
Թեորեմ 2։
f
{\displaystyle f}
g
{\displaystyle g}
x
{\displaystyle x}
g
(
x
)
≠
0
{\displaystyle g(x)\neq 0}
f
g
{\displaystyle {\frac {f}{g}}}
(
f
g
)
′
=
f
′
⋅
g
−
f
⋅
g
′
g
2
{\displaystyle \left({\frac {f}{g}}\right)'={\frac {f'\cdot g-f\cdot g'}{g^{2}}}}
Ապացուցում Օգտվելով նախորդ թեորեմից և արտադրյալի ածանցման կանոնից, ստանում ենք՝
(
f
(
x
)
g
(
x
)
)
′
=
(
f
(
x
)
⋅
1
g
(
x
)
)
′
=
f
′
(
x
)
⋅
1
g
(
x
)
+
f
(
x
)
(
1
g
(
x
)
)
′
=
f
′
(
x
)
g
(
x
)
+
f
(
x
)
(
−
g
′
(
x
)
g
2
(
x
)
)
=
f
′
(
x
)
g
(
x
)
−
f
(
x
)
g
′
(
x
)
g
2
(
x
)
:
{\displaystyle \left({\frac {f(x)}{g(x)}}\right)'=\left(f(x)\cdot {\frac {1}{g(x)}}\right)'=f'(x)\cdot {\frac {1}{g(x)}}+f(x)\left({\frac {1}{g(x)}}\right)'={\frac {f'(x)}{g(x)}}+f(x)\left(-{\frac {g'(x)}{g^{2}(x)}}\right)={\frac {f'(x)g(x)-f(x)g'(x)}{g^{2}(x)}}:}
Օրինակ
Գտնենք
f
(
x
)
=
cos
(
2
x
2
+
6
)
{\displaystyle f(x)=\cos(2x^{2}+6)}
(
cos
(
2
x
2
+
6
)
)
′
=
(
2
x
2
+
6
)
′
⋅
(
cos
(
2
x
2
+
6
)
)
′
=
−
4
x
sin
(
2
x
2
+
6
)
{\displaystyle (\cos(2x^{2}+6))'=(2x^{2}+6)'\cdot (\cos(2x^{2}+6))'=-4x\sin(2x^{2}+6)}
Թեորեմ 1։
t
=
g
(
x
)
{\displaystyle t=g(x)}
x
0
{\displaystyle x_{0}}
y
=
f
(
t
)
{\displaystyle y=f(t)}
t
0
=
g
(
x
0
)
{\displaystyle t_{0}=g(x_{0})}
F
=
f
∘
g
{\displaystyle F=f\circ g}
x
0
{\displaystyle x_{0}}
F
′
(
x
0
)
=
f
′
(
g
(
x
0
)
)
⋅
g
′
(
x
0
)
:
{\displaystyle F'(x_{0})=f'(g(x_{0}))\cdot g'(x_{0}):}
Թեորեմ 2։
f
{\displaystyle f}
F
(
x
)
=
f
(
k
x
+
b
)
{\displaystyle F(x)=f(kx+b)}
F
′
(
x
)
=
k
⋅
f
′
(
k
x
+
b
)
:
{\displaystyle F'(x)=k\cdot f'(kx+b):}
Ապացուցում Դիցուք
h
n
{\displaystyle h_{n}}
k
⋅
h
n
{\displaystyle k\cdot h_{n}}
lim
n
→
∞
F
(
x
+
h
n
)
−
F
(
x
)
h
n
=
lim
n
→
∞
f
(
k
x
+
k
h
n
+
b
)
−
f
(
k
x
+
b
)
h
n
=
k
⋅
lim
n
→
∞
f
(
k
x
+
b
+
k
h
n
)
−
f
(
k
x
+
b
)
k
h
n
=
k
⋅
f
′
(
k
x
+
b
)
:
{\displaystyle \lim _{n\rightarrow \infty }{\frac {F(x+h_{n})-F(x)}{h_{n}}}=\lim _{n\rightarrow \infty }{\frac {f(kx+kh_{n}+b)-f(kx+b)}{h_{n}}}=k\cdot \lim _{n\rightarrow \infty }{\frac {f(kx+b+kh_{n})-f(kx+b)}{kh_{n}}}=k\cdot f'(kx+b):}
(
x
a
)
′
=
a
⋅
x
a
−
1
{\displaystyle (x^{a})'=a\cdot x^{a-1}}
(
sin
x
)
′
=
cos
x
{\displaystyle (\sin x)'=\cos x}
(
cos
x
)
′
=
−
sin
x
{\displaystyle (\cos x)'=-\sin x}
(
t
g
x
)
′
=
1
cos
2
x
{\displaystyle (\mathrm {tg} \ x)'={\frac {1}{\cos ^{2}x}}}
(
c
t
g
x
)
′
=
−
1
sin
2
x
{\displaystyle (\mathrm {ctg} \ x)'=-{\frac {1}{\sin ^{2}x}}}
(
e
x
)
′
=
e
x
{\displaystyle (e^{x})'=e^{x}}
(
a
x
)
′
=
a
x
ln
a
{\displaystyle (a^{x})'=a^{x}\ln a}
(
ln
x
)
′
=
1
x
{\displaystyle (\ln x)'={\frac {1}{x}}}
(
log
a
x
)
′
=
1
x
ln
a
{\displaystyle (\log _{a}x)'={\frac {1}{x\ln a}}}
(
arcsin
x
)
′
=
1
1
−
x
2
{\displaystyle (\arcsin x)'={\frac {1}{\sqrt {1-x^{2}}}}}
(
arccos
x
)
′
=
−
1
1
−
x
2
{\displaystyle (\arccos x)'=-{\frac {1}{\sqrt {1-x^{2}}}}}
(
a
r
c
t
g
x
)
′
=
1
1
+
x
2
{\displaystyle (\mathrm {arctg} \ x)'={\frac {1}{\ {1+x^{2}}}}}
(
a
r
c
c
t
g
x
)
′
=
−
1
1
+
x
2
{\displaystyle (\mathrm {arcctg} \ x)'=-{\frac {1}{\ {1+x^{2}}}}}
↑ Հանրահաշիվ և մաթեմատիկական անալիզի տարրեր(11-րդ դասարան):Հեղինակներ Գ.Գ. Գևորգյան, Ա. Ա. Սահակյան
Մաթեմատիկական անալիզի հիմունքները։ Հեղինակ Ֆիխտենգոլց [1] (չաշխատող հղում)
![{\displaystyle f(x+h_{n})\cdot g(x+h_{n})-f(x)\cdot g(x)=g(x+h_{n})\cdot [f(x+h_{n})-f(x)]+f(x)\cdot [g(x+h_{n})-g(x)]:}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a4e9a6a51f6fb041641e8ae35b832f4abd352184)
