Քառակուսի արմատ

Վիքիպեդիայից՝ ազատ հանրագիտարանից
Jump to navigation Jump to search
Nuvola apps edu mathematics blue-p.svg

Քառակուսի արմատ (2-րդ աստիճանի արմատ, ), թիվն է, որը քառակուսի բարձրացնելիս հավասար է [1]։ Հավասարազոր սահմանում․ -ի քառակուսի արմատը՝ հավասարման լուծումը հանդիսացող թիվն է։ արժեքի հաշվման գործողությունը կոչվում է «քառակուսի արմատի հանում» թվից։

Ավելի հաճախ և թվերը իրական թվեր են, բայց գոյություն ունի նաև կոմպլեքս թվերի և այլ մաթեմատիկական օբյեկտների համար արված ընդհանրացում։ Օրինակ՝ իրական թվերի համար․ որովհետև Քառակուսի արմատն ունի երկու արժեք, որոնք հակադարձ թվեր են, այսինքն, նույն արժեքն ունեցող, նշանով տարբերվող թվեր են, ինչը դժվարացնում է արմատների հետ աշխատանքը։ Միանշանակություն ապահովելու համար ներմուծում են թվաբանական արմատ հասկացությունը։ Մեր օրինակում դա 3-ն է։

Ռացիոնալ թվեր[խմբագրել | խմբագրել կոդը]

Ռացիոնալ -երի դեպքում հավասարումը միշտ չէ, որ ռացիոնալ լուծում ունի։ Նույնիսկ դրական -երի դեպքում, այս հավասարումը լուծում ունի միայն ու միայն այն դեպքում, երբ -ի թե՛ հայտարարը, և թե՛ համարիչը, հանդիանում են քառակուսային թվեր։

Ռացիոնալ թվից արմատից ստացված անընդհատ կոտորակը պարբերական է, որը մի կողմից ապահովում է լավ ռացիոնալ,մյուս կողմից սահմանափակոիմ է մոտարկում ն ճշգրտությունը․ , որտեղ կախված է [2][3]։ Ճիշտ է նաև, որ ցանկացած շղթայական կոտորակ, քառակուսային իռացիոնալություն է հանդիսանում։

Իրական թվեր[խմբագրել | խմբագրել կոդը]

Թեորեմ։ Ցանկավցած դրական թվի համար գոյություն ունի երկու իրական արմատ,որոնք հավասար են մոդուլով և հակադարձ նշանով[4]։

Ոչ բացասական թվից ոչ բացասական արմատ կոչվում է թվաբանական քառակուսի արմատ և նշանակվում է արմատի նշանով [5]։

Կոմպլեքս թվեր[խմբագրել | խմբագրել կոդը]

Կոմպլեքս թվերի դեպքում, լուծումները միշտ երկուսն են և տարբերվում են միայն նշանով(բացառությամբ զրոյի)։ Հաճախ այն նշանակում են՝ , սակայն պիտի դա անել զգուշությամբ։ Տարածված սխալ է՝

(ինչը, իհարկե, սխալ է)

Խսալը ստացվում է, քանի որ քառակուսի արմատը բազմանշանակ ֆունկցիա է։ Մասնավորապես, 1-ից քառակուսի արմատը երկու լուծում ունի՝ -1 և +1։

Կոմպլեքս թվից քառակուսի արմատ հանելու համար հարմար է օգտագործել կոմպլեքս թվի գրառման էքսպոնենցիալ ձևը։

Եթե

,

ապա (տես. Մուավրի բանաձև)

,

որտեղ մոդուլից քառակուսի արմատը ընդունվում է որպես հանրահաշվական արժեք, իսկ k -ն կարող է ընդունել k = 0 և k = 1 արժեքները։ Արդյունքում ստացվում է երկու տարբեր արժեքներ։

Գոյություն ունի նաև -ից արմատի զուտ հանրահաշվական ներկայացում։ Արմատի արժեքները ունեն հետևյալ տեսքը՝ , որտեղ

Որտեղ sgn-ն «նշան» ֆունկցիան է, իսկ արմատները նշանակում են ոչ բացասական իրական թվից սովորական թվաբանական արմատ։ Բանաձևը հեշտությամբ ստուգվում է քառակուսի բարձրացնելով[6]։

Օրինակ՝ -ից քառակուսի արմատի համար ստացվում է երկու արժեք․

Քառակուսի արմատը որպես տարրական ֆունկցիա[խմբագրել | խմբագրել կոդը]

Ֆունկցիայի գրաֆիկ

Քառակուսի արմատը տարրական ֆունկցիա է և աստիճանային ֆունկցիայի մասնավոր դեպքն է։ դեպքում, հանրահաշվական քառակուսի արմատը հարթ ֆունկցիա է, 0-ում աջից անընդհատ է և չի դիֆերենցվում[7]։ Երկարժեք ֆունկցիա է, որի ճյուղերը միանում են 0-ում։

Քառակուսի արմատը տարրական երկրաչափությունում[խմբագրել | խմբագրել կոդը]

Քառակուսի արմատը սերտորեն կապված է տարրական երկրաչափության հետ։Դիցուք՝ տրված է 1 երկարությամբ հատված, ապա կարկինի և քանոնի օգնությամբ կարելի է կառուցել միայն ու միայն այն հատվածները, որոնց երկարությունները գրառվում են՝ ոչ ավելի, քան ամբողջ թիվ ,չորս թվաբանական գործողություն, և քառակուսի արմատ պարունկող արտահայտությամբ[8]։

Տես նաև[խմբագրել | խմբագրել կոդը]

Ծանոթագրություն[խմբագրել | խմբագրել կոդը]

  1. Корень // Математическая энциклопедия (в 5 томах). — М.: Советская Энциклопедия, 1982. — Т. 3.
  2. Теорема Лиувилля о приближении алгебраических чисел
  3. См. А. Я. Хинчин, Цепные дроби, М. ГИФМЛ, 1960, §§ 4, 10.
  4. Фихтенгольц, Григорий Михайлович. Курс дифференциального и интегрального исчисления Том. 1. Введение, § 4 // Мат. анализ на EqWorld
  5. Г.Корн, Т.Корн. Справочник по математике (для научных работников и инженеров). М., 1975 г., п. 1.2.1
  6. Cooke, Roger Classical algebra: its nature, origins, and uses. — John Wiley and Sons, 2008. — P. 59. — ISBN 0-470-25952-3
  7. Фихтенгольц, гл. 2, § 1
  8. Р. Курант Г. Роббинс Что такое математика? МЦНМО, 2000. (ГЛАВА III Геометрические построения. Алгебра числовых полей)

Արտաքին հղումներ[խմբագրել | խմբագրել կոդը]